实验室数据分析关于计算不确定度

物理实验技术的数据处理与不确定度分析在物理实验中，数据处理和不确定度分析是非常重要的环节。

通过对实验数据的处理和分析，科学家和研究人员可以得出准确的结论，并对实验结果的可靠性进行评估。

本文将探讨物理实验技术中的数据处理和不确定度分析方法，希望能为读者提供一些思路和技巧。

一、数据处理的基本原则数据处理是物理实验中必不可少的一步，其目的是从实验测量中获得有用的信息。

在进行数据处理时，有一些基本原则需要遵循：1.合理选择数据处理方法。

不同的实验会涉及到不同的数据处理方法，需要根据实验的性质选择合适的方法。

常见的数据处理方法有平均值、标准差、拟合曲线等。

2.检查数据的准确性和一致性。

在进行数据处理之前，需要对实验数据进行检查，确保数据的准确性和一致性。

如果发现数据存在问题，应该找出原因并进行修正。

3.选择合适的数学模型。

在进行拟合曲线处理时，需要选择合适的数学模型，并根据实验数据找到最佳拟合参数。

选择合适的数学模型可以提高数据处理的准确性。

4.评估数据处理结果的可靠性。

在进行数据处理之后，需要评估数据处理结果的可靠性。

通常可以使用标准差、残差分析等方法来评估处理结果的可靠性。

二、不确定度的定义与计算方法不确定度是对物理量测量结果不确定性的度量。

在进行不确定度分析时，有一些基本概念和计算方法需要了解：1.随机误差与系统误差。

随机误差是由于测量仪器、测量方法等造成的，通常呈现随机分布。

系统误差是由于实验条件、测量方法等原因引起的误差，通常具有一定的规律性。

2.不确定度的定义与表示。

不确定度是对测量结果的估计，通常用标准偏差或标准误差表示。

标准偏差表示测量结果的离散程度，而标准误差表示测量结果与真值之间的差异。

3.不确定度的计算方法。

不确定度的计算需要考虑到随机误差和系统误差。

常见的计算方法有多次测量法、标准差传递法、最小二乘法等。

4.不确定度的合成方法。

在实验中，常常会有多种误差来源。

对于多个误差来源，可以使用不确定度合成方法来计算总的不确定度。

大学物理实验教学中关于实验数据的不确定度的计算和分析作者：孙红章王翚苏向英来源：《教育教学论坛》2015年第35期摘要：本文首先讨论了大学物理实验教学中关于不确定理论中的直接测量量的A类、B类标准不确定度和合成不确定度以及间接测量量的不确定度的通常表示方法，随后推算出了几个基本物理实验中各个测量量不确定度的计算公式，对大学本科学生的物理实验教学具有指导意义。

关键词：大学物理实验教学;不确定度计算;固体密度测量;杨氏弹性模量测量;共轭法测凸透镜焦距中图分类号：G642 ; ; 文献标志码：A ; ; 文章编号：1674-9324（2015）35-0169-02现如今在大学物理实验教学中为了更加准确和精确的表示实验测量结果，常使用不确定度理论来表示实验测量结果。

[1，2]在大学物理实验教学中，不确定度的计算一直是一个难点，也是一个重点，许多本科学生因为不确定度的计算方法非常复杂，而且计算量很大，而放弃对实验数据的科学处理。

这里我们将阐述大学物理实验教学中不确定度的通常表示方法，并结合有关的基本物理实验，在课堂上用多媒体演示，使大学一年级学生很容易掌握不确定度的计算，取得了良好的教学效果。

一、不确定度理论的一般原理和计算方法[3，4]不确定度理论对于直接测量量把数据的不确定度根据数据的性质来分类，把符合正态分布统计规律的称之为A类标准不确定度，而不符合正态分布统计规律的称之为B类标准不确定度。

把两类不确定度的平方和的根称之为测量量的合成标准不确定度，或者简称为不确定度。

大学物理实验中物理量的直接测量量的平均值的标准偏差即为A类标准不确定度，它的计算公式为：t的大小与物理量的测量次数n和置信概率p有关系，置信概率p一般约定取值为68.3%，特殊情况下置信概率p取95.4%。

如果我们测量9次，置信概率取p=68.3%，那么置信因子取t=1.07。

如果我们测量5次，置信概率取p=68.3%，置信因子取t=1.14。

数据测量不确定度分类§1 测量值计算及其各项误差1 测量的概念测量：为确定被测对象的测量值，首先要选定一个单位，然后用这个单位与被测对象进行比较，求出它对该单位的比值──倍数，这个数即为数值。

表示一个被测对象的测量值时必须包含数值和单位两个部分。

目前，在物理学上各物理量的单位，都采用中华人民共和国法定计量单位，它是以国际单位制（SI）为基础的单位。

它是以米（长度）、千克（质量）、秒（时间）、安培（电流强度）、开尔文（热力学温度）、摩尔（物质的量）和坎德拉（发光强度）作为基本单位，称为国家单位制的基本单位；其它量（如力、能量、电压、磁感应强度等等）的单位均可由这些基本单位导出，称为国际单位制的导出单位。

2 直接测量、间接测量、等精度测量测量分为直接测量和间接测量。

直接测量是指把待测物理量直接与作为标准的物理量相比较，例如用直尺测某长度，间接测量是指按一定的函数关系，由一个或多个直接测量量计算出另一个物理量。

同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器并在相同的条件下对同一物理量进行的多次测量，叫做等精度测量。

以后说到对一个量的多次测量，如无另加说明，都是指等精度测量。

3 测量的正确度、精密度和精确度正确度表示测量结果系统误差的大小，精密度表示测量结果随机性的大小，精确度则综合反映出测量的系统误差与随机性误差的大小。

4 误差的概念测量值x与真值X之差称为测量误差Δ，简称误差。

Δ＝x-X。

误差的表示形式一般分为绝对误差与相对误差。

绝对误差使用符号±Δx。

x表示测量结果x与直值X之间的差值以一定的可能性（概率）出现的范围，即真值以一定的可能性（概率）出现在x-Δx至x+Δx区间内。

相对误差使用符号β。

由于仅根据绝对误差的大小还难以评价一个测量结果的可靠程度，还需要看测定值本身的大小，故用相对误差能更直观的表达测定值的误差大小。

绝对误差、相对误差和百分误差通常只取1～2位数字来表示。

5 误差的分类与来源一般将误差分为系统误差、随机误差、粗大误差三类。

物理实验技术的数据处理与不确定度分析思路物理实验是科学研究中不可或缺的一环，通过实验可以验证理论、观察现象、探索未知。

而在物理实验中，数据处理和不确定度分析是至关重要的环节。

本文将介绍物理实验技术的数据处理思路和不确定度分析方法，帮助读者更好地理解和应用于实验中。

一、数据处理思路1. 数据采集：在物理实验中，首先需要从实验仪器和设备中获得一系列的测量数据。

这些数据可能是时间序列、不同参数之间的变化关系或者离散的观测结果。

通常，我们会使用数据采集仪器或各种传感器进行数据采集，并将获得的数据存储在计算机或其他设备中。

2. 数据清理：获得原始数据后，需要对数据进行清理和预处理。

主要包括去除异常值、修正错误数据、补全缺失数据等操作。

数据清理可以提高数据的准确性和可靠性，保证后续分析的有效性。

3. 数据分析：数据分析是根据实验的目的和问题，对数据进行整合、统计和模型拟合等操作。

常见的数据分析方法包括平均值、标准差、相关性分析、回归分析等。

根据实验的特点和数据的特点，选择合适的分析方法进行数据处理。

4. 结果展示：数据处理的最后一步是将分析结果进行展示。

通常，我们使用图表、曲线、表格等方式展示处理后的数据。

同时，还要结合之前的实验目的和问题，对分析结果进行解释和讨论，用科学的语言和方式进行阐述。

二、不确定度分析思路在物理实验中，不确定度是指测量结果与真实值之间的差异，代表测量结果的精确程度。

不确定度的大小和计算方法对于结果的可靠性和准确性非常重要。

1. 误差来源：不确定度的分析首先需要确定误差的来源。

常见的误差来源包括仪器本身的误差、环境条件的影响、测量方法的局限性、实验操作的误差等。

通过仔细分析实验的过程和条件，可以确定主要的误差来源。

2. 不确定度计算：确定误差来源后，可以采用一系列的统计方法和数学模型计算不确定度。

常见的不确定度计算方法包括标准偏差法、最小二乘法、置信区间法等。

不同的方法适用于不同类型数据和实验问题，需要根据实际情况选择合适的方法。

物理实验技术中如何处理实验结果的不确定度物理实验技术中处理实验结果的不确定度是一项至关重要的任务。

实验结果的不确定度是由多种因素引起的，如仪器的精度、测量的误差、环境的影响等等。

在分析实验数据时，我们必须对这些不确定度进行合理的处理，以确保结果的准确性和可靠性。

首先，我们需要了解不确定度的概念。

不确定度是描述测量结果与其真实值的偏离程度的指标。

不确定度可以分为随机不确定度和系统不确定度。

随机不确定度是由随机误差引起的，可以通过多次重复实验来估计。

而系统不确定度则与测量方法、仪器精度等因素有关，需要通过仪器标定、误差分析等方法来估计。

在物理实验中，我们通常使用统计学方法来处理随机不确定度。

例如，在重复测量某个物理量时，我们可以计算测量值的平均值和标准差。

平均值代表了测量结果的中心位置，而标准差则反映了测量值的离散程度。

通过计算标准差，我们可以得到测量结果的随机不确定度。

为了增加结果的可靠性，我们可以进行更多的重复测量，并计算其平均值和标准差。

当然，在进行统计分析时，还需要考虑数据的正态性和偏离程度等因素。

除了随机不确定度，系统不确定度也是需要考虑的重要因素。

系统不确定度通常是由于仪器误差、环境条件等因素引起的。

为了估计系统不确定度，我们可以进行仪器标定、误差分析等操作。

通过对仪器的标定，我们可以了解仪器的精度和准确度，从而估计出系统误差的范围。

此外，我们还可以通过环境控制、实验设计等方法来减小系统误差对实验结果的影响。

在处理实验结果的不确定度时，我们还需要考虑到其他因素的影响。

例如，测量过程中的人为误差、数据处理中的逻辑误差等都会对实验结果造成影响。

为了减小这些误差的影响，我们需要加强实验操作规范，严格遵守实验流程，以确保实验结果的准确性和可靠性。

当我们对实验结果的不确定度有了正确的估计之后，我们可以进行进一步的数据分析和结论推断。

在数据分析中，我们可以利用统计方法进行假设检验、置信区间估计等操作，来对实验结果的准确性进行进一步的验证。

测量误差与不确定度评定测量误差1、测量误差和相对误差〔1〕、测量误差测量结果减去被测量的真值所得的差,称为测量误差,简称误差.这个定义从20世纪70年代以来没有发生过变化,以公式可表示为：测量误差=测量结果一真值.测量结果是由测量所得到的赋予被测量的值,是客观存在的量的实验表现,仅是对测量所得被测量之值的近似或估计,显然它是人们熟悉的结果,不仅与量的本身有关,而且与测量程序、测量仪器、测量环境以及测量人员等有关.真值是量的定义的完整表达,是与给定的特定量的定义完全一致的值,它是通过完善的或完美无缺的测量,才能获得的值.所以,真值反映了人们力求接近的理想目标或客观真理,本质上是不能确定的,量子效应排除了唯一真值的存在, 实际上用的是约定真值,须以测量不确定度来表征其所处的范围.因而, 作为测量结果与真值之差的测量误差,也是无法准确得到或确切获知的.过去人们有时会误用误差一词,即通过误差分析给出的往往是被测量值不能确定的范围,而不是真正的误差值.误差与测量结果有关,即不同的测量结果有不同的误差,合理赋予的被测量之值各有其误差并不存在一个共同的误差.一个测量结果的误差,假设不是正值〔正误差〕就是负值〔负误差〕,它取决于这个结果是大于还是小于真值.实际上,误差可表示为：误差=测量结果一真值=〔测量结果一总体均值〕+ 〔总体均值一真值〕=随机误差+系统误差1(2)、相对误差测量误差除以被测量的真值所得的商,称为相对误差.2、随机误差和系统误差(1)、随机误差测量结果与重复性条件下,对同一被测量进行无限屡次测量所得结果的平均值之差,称为随机误差.随机误差=测量结果一屡次测量的算术平均值(总体均值) 重复性条件是指在尽量相同的条件下,包括测量程序、人员、仪器、环境等,以及尽量短的时间间隔内完成重复测量任务.此前,随机误差曾被定义为：在同一量的屡次测量过程中,以不可预知方式变化的测量误差的分量.随机误差的统计规律性：①对称性：绝对值相等而符号相反的误差,出现的次数大致相等, 也即测得值是以它们的算术平均值为中央而对称分布的.由于所有误差的代数和趋于零,故随机误差又具有低偿性,这个统计特性是最为本质的；换言之,凡具有低偿性的误差,原那么上均可按随机误差处理.①有界性：测得值误差的绝对值不会超过一定的界限,也即不会出现绝对值很大的误差.③单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差数目多,也即测得值是以它们的算术平均值为中央而相对集中地分布的.(2)、系统误差在重复性条件下,对同一被测量进行无限屡次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差,称为系统误差.它是测量结果中期望不为零的误差分量.系统误差=屡次测量的算术平均值一被测量真值由于只能进行有限次数的重复测量,真值也只能用约定真值代替, 因此可能确定的系统误差只是其估计值,并具有一定的不确定度.系统误差大抵来源于影响量,它对测量结果的影响假设已识别并可定量表述,那么称之为“系统效应〞.该效应的大小假设是显著的,那么可通过估计的修正值予以补偿.但是,用以估计的修正值均由测量获得,本身就是不确定的.至于误差限、最大允许误差、可能误差、引用误差等,它们的前面带有正负(土)号,因而是一种可能误差区间,并不是某个测量结果的误差.对于测量仪器而言,其示值的系统误差称为测量仪器的“偏移〞, 通常用适当次数重复测量示值误差的均值来估计.过去所谓的误差传播定律,所传播的其实并不是误差而是不确定度, 故现已改称为不确定度传播定律.还要指出的是：误差一词应按其定义使用,不宜用它来定量说明测量结果的可靠程度.3、修正值和偏差(1)、修正值和修正因子用代数方法与未修正测量结果相加,以补偿其系统误差的值,称为修正值.含有误差的测量结果,加上修正值后就可能补偿或减少误差的影响. 由于系统误差不能完全获知,因此这种补偿并不完全.修正值等于负的系统误差,这就是说加上某个修正值就像扣掉某个系统误差,其效果是一样的,只是人们考虑问题的出发点不同而已,即真值=测量结果+修正值=测量结果一误差在量值溯源和量值传递中,常常采用这种加修正值的直观的方法.用高一个等级的计量标准来校准或检定测量仪器,其主要内容之一就是要获得准确的修正值.换言之,系统误差可以用适当的修正值来估计并予以补偿.但应强调指出：这种补偿是不完全的,也即修正值本身就含有不确定度.当测量结果以代数和方式与修正值相加后,其系统误差之模会比修正前的小,但不可能为零,也即修正值只能对系统误差进行有限程度的补偿.修正因子：为补偿系统误差而与未修正测量结果相乘的数字因子, 称为修正因子.含有系统误差的测量结果,乘以修正因子后就可以补偿或减少误差的影响.但是,由于系统误差并不能完全获知,因而这种补偿是不完全的, 也即修正因子本身仍含有不确定度.通过修正因子或修正值已进行了修正的测量结果,即使具有较大的不确定度,但可能仍然十分接近被测量的真值(即误差甚小).因此,不应把测量不确定度与已修正测量结果的误差相混淆.(2)、偏差：一个值减去其参考值,称为偏差.这里的值或一个值是指测量得到的值,参考值是指设定值、应有值或标称值.例如：尺寸偏差=实际尺寸一应有参考尺寸偏差=实际值一标称值在此可见,偏差与修正值相等,或与误差等值而反向.应强调指出的是：偏差相对于实际值而言,修正值与误差那么相对于标称值而言,它们所指的对象不同.所以在分析时,首先要分清所研究的对象是什么.常见的概念还有上偏差〔最大极限尺寸与参考尺寸之差〕、下偏差〔最小极限尺寸与参考尺寸之差〕,它们统称为极限偏差.由代表上、下偏差的两条直线所确定的区域,即限制尺寸变动量的区域,统称为尺寸公差 i+t 巾.二、测量不确定度的评定与表示1、测量不确定度表征合理地赋予被测量之值的分散性、与测量结果相联系的参数, 称为测量不确定度.“合理〞意指应考虑到各种因素对测量的影响所做的修正,特别是测量应处于统计限制的状态下,即处于随机限制过程中.“相联系〞意指测量不确定度是一个与测量结果“在一起〞的参数,在测量结果的完整表示中应包括测量不确定度.此参数可以是诸如标准［偏］差或其倍数, 或说明了置信水准的区间的半宽度.测量不确定度从词意上理解,意味着对测量结果可信性、有效性的疑心程度或不肯定程度,是定量说明测量结果的质量的一个参数.实际上由于测量不完善和人们的熟悉缺乏,所得的被测量值具有分散性,即每次测得的结果不是同一值,而是以一定的概率分散在某个区域内的许多个值.虽然客观存在的系统误差是一个不变值,但由于我们不能完全认知或掌握,只能认为它是以某种概率分布存在于某个区域内,而这种概率分布本身也具有分散性.测量不确定度就是说明被测量之值分散性的参数,它不说明测量结果是否接近真值.为了表征这种分散性,测量不确定度用标准［偏］差表示.在实际使用中,往往希望知道测量结果的置信区间,因此规定测量不确定度也可用标准［偏］差的倍数或说明了置信水准的区间的半宽度表示.为了区分这两种不同的表示方法,分别称它们为标准不确定度和扩展不确定度.(1)测量不确定度来源在实践中,测量不确定度可能来源于以下十个方面：①对被测量的定义不完整或不完善；②实现被测量的定义的方法不理想；③取样的代表性不够,即被测量的样本不能代表所定义的被测量；④对测量过程受环境影响的熟悉不周全,或对环境条件的测量与限制不完善；③对模拟仪器的读数存在人为偏移；③测量仪器的分辩力或鉴别力不够；③赋予计量标准的值或标准物质的值不准；⑧引用于数据计算的常量和其它参量不准；③测量方法和测量程序的近似性和假定性；③在外表上看来完全相同的条件下,被测量重复观测值的变化.由此可见,测量不确定度一般来源于随机性和模糊性,前者归因于条件不充分,后者归因于事物本身概念不明确.这就使测量不确定度一般由许多分量组成,其中一些分量可以用测量列结果(观测值)的统计分布来进行评价,并且以实验标准［偏］差表征；而另一些分量可以用其它方法(根据经验或其它信息的假定概率分布)来进行评价,并且也以标准［偏］差表征.所有这些分量,应理解为都奉献给了分散性.假设需要表示某分量是由某原因导致时,可以用随机效应导致的不确定度和系统效应导致的不确定度.(2)标准不确定度和标准［偏］差以标准［偏］差表示的测量不确定度,称为标准不确定度.标准不确定度用符号u表示,它不是由测量标准引起的不确定度, 而是指不确定度以标准［偏］差表示,来表征被测量之值的分散性.这种£( -)Xi - x分散性可以有不同的表示方式,例如：用—表示时,由于正残差与负 £Xi - X| 残差可能相消,反映不出分散程度；用—表示时,那么不便于进行解析 运算.只有用标准［偏］差表示的测量结果的不确定度,才称为标准不确 定度.当对同一被测量作n 次测量,表征测量结果分散性的量s 按下式算 出时,称它为实验标准［偏］差：式中：X j 为第i 次测量的结果；,为所考虑的n 次测量结果的算术平均值.对同一被测量作有限的n 次测量,其中任何一次的测量结果或观测 值,都可视作无穷屡次测量结果或总体的一个样本.数理统计方法就是 要通过这个样本所获得的信息(例如算术平均值,和实验标准［偏］差s 等),来推断总体的性质(例如期望N 和方差.2等).期望是通过无穷多 次测量所得的观测值的算术平均值或加权平均值,又称为总体均值N , 显然它只是在理论上存在并表示为lim ZN =i : J 方差.2那么是无穷屡次测量所得观测值x 与期望N 之差的平方的算 i 术平均值,它也只是在理论上存在并可表示为lim Z 一 02=3"「小四- i =1方差的正平方根.,通常被称为标准［偏］差,又称为总体标准［偏］ 差或理论标准［偏］差；而通过有限屡次测量得的实验标准［偏］差S,又称 为样本标准［偏］差.这个计算公式即为贝赛尔公式,算得的S 是.的估 计值. S 是单次观测值x i 的实验标准［偏］差,s/旬才是n 次测量所得算术 平均值工的实验标准［偏］差,它是工分布的标准［偏］差的估计值.为易于 区别,前者用s(x)表示,后者用$(x )表示,故有s(x )=s(x)/、n.通常用s(x)表征测量仪器的重复性,而用s(x )评价以此仪器进行n 次测量所得测量结果的分散性.随着测量次数n 的增加,测量结果的分 散性s(x )即与打成反比地减小,这是由于对屡次观测值取平均后,正、 负误差相X1Z 一 X -互抵偿所致.所以,当测量要求较高或希望测量结果的标准［偏］差较小时,应适当增加n；但当n>20时,随着n的增加,s(x)的减小速率减慢.因此,在选取n的多少时应予综合考虑或权衡利弊,由于增加测量次数就会拉长测量时间、加大测量本钱.在通常情况下,取nN3, 以n =4〜20为宜.另外,应当强调s〔1〕是平均值的实验标准［偏］差, 而不能称它为平均值的标准误差.2.不确定度的A类、B类评定及合成由于测量结果的不确定度往往由许多原因引起,对每个不确定度来源评定的标准［偏］差,称为标准不确定度分量,用符号u .表示.对这些标准不确定度分量有两类评定方法,即A类评定和B类评定.〔1〕不确定度的A类评定用对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度,称为不确定度的A类评定,有时也称A类不确定度评定.通过统计分析观测列的方法,对标准不确定度的进行的评定,所得到的相应标准不确定度称为A类不确定度分量,用符号u A表示.这里的统计分析方法,是指根据随机取出的测量样本中所获得的信息,来推断关于总体性质的方法.例如：在重复性条件或复现性条件下的任何一个测量结果,可以看作是无限屡次测量结果〔总体〕的一个样本,通过有限次数的测量结果〔有限的随机样本〕所获得的信息〔诸如平均值工、实验标准差$〕,来推断总体的平均值〔即总体均值N或分布的期望值〕以及总体标准［偏］差.,就是所谓的统计分析方法之一.A 类标准不确定度用实验标准［偏］差表征.〔2〕不确定度的B类评定用不同于对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度,称为不确定度的B类评定,有时也称B类不确定度评定.这是用不同于对测量样本统计分析的其他方法,进行的标准不确定度的评定,所得到的相应的标准不确定度称为B类标准不确定度分量, 用符号u B表示.它用根据经验或资料及假设的概率分布估计的标准［偏］差表征,也就是说其原始数据并非来自观测列的数据处理,而是基于实验或其他信息来估计,含有主观鉴别的成分.用于不确定度B类评定的信息来源一般有：①以前的观测数据；②对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验；③生产部门提供的技术说明文件；④校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的等别或级别,包括目前仍在使用的极限误差、最大允许误差等；⑤手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度；⑥规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限r或复现性限R.不确定度的A类评定由观测列统计结果的统计分布来估计,其分布来自观测列的数据处理,具有客观性和统计学的严格性.这两类标准不确定度仅是估算方法不同,不存在本质差异,它们都是基于统计规律的概率分布,都可用标准［偏］差来定量表达,合成时同等对待.只不过A 类是通过一组与观测得到的频率分布近似的概率密度函数求得.而B类是由基于事件发生的信任度〔主观概率或称为经验概率〕的假定概率密度函数求得.对某一项不确定度分量究竟用A类方法评定,还是用B类10 方法评定,应由测量人员根据具体情况选择.特别应当指出：A类、B类与随机、系统在性质上并无对应关系,为防止混淆,不应再使用随机不确定度和系统不确定度.(3)合成标准不确定度当测量结果是由假设干个其他量的值求得时,按其他各量的方差和协方差算得的标准不确定度,称为合成标准不确定度.在测量结果是由假设干个其他量求得的情形下,测量结果的标准不确定度,等于这些其他量的方差和协方差适当和的正平方根,它被称为合成标准不确定度.合成标准不确定度是测量结果标准［偏］差的估计值, 用符号也表示.方差是标准［偏］差的平方,协方差是相关性导致的方差.当两个被测量的估计值具有相同的不确定度来源,特别是受到相同的系统效应的影响(例如：使用了同一台标准器)时,它们之间即存在着相关性.如果两个都偏大或都偏小,称为正相关；如果一个偏大而另一个偏小,那么称为负相关.由这种相关性所导致的方差,即为协方差.显然,计入协方差会扩大合成标准不确定度,协方差的计算既有属于A类评定的、也有属于B类评定的.人们往往通过改变测量程序来防止发生相关性,或者使协方差减小到可以略计的程序,例如：通过改变所使用的同一台标准等.如果两个随机变量是独立的,那么它们的协方差和相关系数等于零, 但反之不一定成立.合成标准不确定度仍然是标准［偏］差,它表征了测量结果的分散性. 所用的合成的方法,常被称为不确定度传播律,而传播系数又被称为灵11 敏系数,用c i表示.合成标准不确定度的自由度称为有效自由度,用 v eff表示,它说明所评定的u c的可靠程度.通常在报告以下测量结果时, 可直接使用合成标准不确定度u c(y),同时给出自由度v eff：①根底计量学研究；②根本物理常量测量；③复现国际单位制单位的国际比对.3.扩展不确定度和包含因子(1)扩展不确定度扩展不确定度是确定测量结果区间的量,合理赋予被测量之值分布的大局部可望含于此区间.它有时也被称为展伸不确定度或范围不确定度.实际上扩展不确定度是由合成标准不确定度的倍数表示的测量不确定度,通宵用符号U表示.它是将合成标准不确定度扩展了k倍得到的, 即U=ku c,这里k值一般为2,有时为3,取决于被测量的重要性、效益和风险.扩展不确定度是测量结果的取值区间的半宽度,可期望该区间包含了被测量之值分布的大局部.而测量结果的取值区间在被测量值概率分布中所包含的百分数,被称为该区间的置信概率、置信水准或置信水平, 用符号p表示.这时扩展不确定度用符号U p表示,它给出的区间能包含被测量可能值的大局部(比方95%或99%等).按测量不确定度的定义,合理赋予的被测量之值的分散区间理应包含全部的测得值,即100%地包含于区间内,此区间的半宽通常用符号a12表示.假设要求其中包含95%的被测量之值,那么此区间称为概率为p=95%的置信区间,其半宽就是扩展不确定度与；类似地,假设要求99%的概率, 那么半宽为以.这个与置信概率区间或统计包含区间有关的概率,即为上述的置信概率.显然,在上面例举的三个半宽之间存在着U95VU99Va的关系,至于具体小多少或大多少,还与赋予被测量之值的分布情况有关.归纳上述内容,可将测量不确定度的分类简示为：测量不确定度：标准不确定度：A类标准不确定度B类标准不确定度合成标准不确定度扩展不确定度：U (k=2, 3)U p(p为置信概率)值得指出的是：在20世纪80年代曾用术语总不确定度,由于在报告最终测量结果时既可用扩展不确定度也可用合成标准不确定度,为避免混淆,目前在定量表示时一般不再使用总不确定度这个术语.(2)包含因子和自由度为求得扩展不确定度,对合成标准不确定度所乘之数字因子,称为包含因子,有时也称为覆盖因子.包含因子的取值决定了扩展不确定度的置信水平.鉴于扩展不确定度有U与U p两种表示方式,它们在称呼上并无区别,但在使用时k 一般为2或3,而k p那么为给定置信概率p所要求的数字因子.在被测量估计值拉近于正态分布的情况下,k p就是t分布(学生分布)中的t值.评定扩展不确定度U p时,p与自由度v,即可查表得到k p,进而求得13U p.参见JJF1059-1999?测量不确定度评定与表示?的附录A：“t分布在不同置信概率p与自由度v的t p〔v〕值〞.自由度一词,在不同领域有不同的含义.这里对被测量假设只观测一次,有一个观测值,那么不存在选择的余地,即自由度为0.假设有两个观测值,显然就多了一个选择.换言之,本来观测一次即可获得被测量值, 但人们为了提升测量的质量〔品质〕或可信度而观测n次,其中多测的〔n-1〕次实际上是由测量人员根据需要自由选定的,故称之为“自由度〞.在A类标准不确定度评定中,自由度用于说明所得的标准［偏］差的可靠程度.它被定义为“在方差计算中,和的项数减去对和的限制数〞. 按贝塞尔公式计算时,取和符号工后的项数等于n,而n个观测值与其平均值,之差〔残差〕的和显然为零,即工〔x i-工〕=0.这就是一个限制条件,即限制数为1,故自由度v=n-1.通常,自由度等于测量次数n减去被测量的个数叫即丫中小.实际上,自由度往往用于求包含因子k p,如果只评定U而不是U p,那么不必计算自由度及有效自由度.4.测量不确定度的评定和报告〔1〕测量不确定度的评定流程下列图简示了测量不确定度评定的全部流程.在标准不确定度分量评定环节中,JJF1059-1999建议列表说明,即列出标准不确定度一览表, 以便一目了然.14开始规定被测量第一步第二步第三步第四步结束下列图简示了扩展不确定度评定的流程.当以U报告最终测量结果时,可采用以下两种形式之一,但均须指明 k 值.例如：u (y)=0.35mg,取包含因子 k = 2,U = 2X0.35mg = 0.70mg,贝(a)m = 100.02147g, U = 0.70mg； k = 2(b)m=(100.02147±0.00070) g； k = 2当以U p报告最终测量结果时,可采用以下四种形式之一,但均须指明有效自由度v®.例如：u c(y)=0.35mg, v e ef = 9 按 p = 95%,查 JJF1059-1999?测量不确定度评定与表示?的附录A表得k p = t95(9)=2.26;U95=2.26X0.35mg=0.79mg,那么(a)m = 100.02147g； U95=0.79mg, 丫^ = 9.(b)m = 100.02147 (79) g; 丫^ = 9,括号内为45之值,其末位与前面结果内末位数对齐.(c)m = 100.02147 (0.00079) g；丫^ = 9,括号内为 U*之值,与前面结果有相同计量单位.(d)m=(100.02147±0.00079) g；丫^ = 9,括号内第二项为 U95之值.为明确起见,建议用以下方式说明：“式中,正负号后的值为扩展不确定度4广屋ujm),而合成标准不确定度ujm) =0.35由8,自由度v eef=9,包含因子k p = t95 (9)=2.26,从而具有约95%概率的置信区间工报告最终测量结果时,应注意有效位数：通常ujy)和U (或U p) 最多取2位有效数字,且y与y c(y)或U (或U p)的修约间隔应相同.不确定度也可以相对形式u r/y)或U@报告.三、测量误差与测量不确定度归纳上述内容,可将测量误差与测量不确定度之间存在的主要区别列于下表测量误差与测量不确定度的主要区别常用玻璃量器比对测量结果不确定度评定一、目的用衡量法检定10 ml分度吸管.二、检定步骤取容量50 ml的洁净量瓶,在电子天平上称量,去皮重〔清零〕,用被检定的10 ml分度吸管分别参加总容量的1/10、半容量和总容量的纯水〔自流液口起〕,天平显示的数值即为被检容量的质量值鲸〕,称完后将数字温度计直接插入瓶内测温,然后在JJG196-90衡量法用表〔二〕中查得质量值〔m〕,根据公式计算标准温度20℃时的实际容量. 三、被测量V20——标准温度20℃时量器的实际容量〔ml〕量器在标准温度20℃时的实际容量计算公式：V20 = V0+〔m0—m〕 / p式中：V20——量器在标准温度20℃时的实际容量〔ml〕；V0——量器的标称容量〔ml〕；m0——称得的纯水质量值〔g〕;m——衡量法用表〔二〕中查得的质量值〔g〕;pw——1℃时纯水密度值,近似为1 〔g/ml〕. 四、不确定度来源的识别根据被测量的计算公式可了解到,对被测量及其不确定度的影响主要有以下四个因素：19。

实验标准差和标准不确定度实验标准差和标准不确定度是在科学实验和数据分析中经常使用的两个重要概念。

它们对于评价实验数据的稳定性和精确度起着至关重要的作用。

本文将从理论基础、计算方法和应用实例三个方面对实验标准差和标准不确定度进行详细介绍。

首先，我们来看一下实验标准差的概念和计算方法。

实验标准差是用来衡量一组数据的离散程度的指标，它反映了数据点相对于均值的分散程度。

在实际应用中，我们常常使用样本标准差来估计总体标准差。

样本标准差的计算公式如下：\[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i \bar{x})^2}{n-1}} \]其中，\( x_i \) 是第i个数据点，\( \bar{x} \) 是样本均值，n是样本容量。

通过计算样本标准差，我们可以了解数据的分布情况，进而评估实验数据的稳定性和可靠性。

接下来，我们来介绍标准不确定度的概念和计算方法。

标准不确定度是用来描述测量结果的精确度的指标，它反映了测量结果的不确定程度。

标准不确定度的计算方法通常包括A类不确定度和B类不确定度的估计。

A类不确定度是由重复测量得到的数据计算得到的不确定度，而B类不确定度是由其他手段（如标定设备、厂家提供的数据等）得到的不确定度。

最终，标准不确定度可以通过A类不确定度和B类不确定度的平方和开平方得到。

在实际应用中，我们需要根据具体的实验条件和测量要求来选择合适的计算方法和估计方式，以得到准确的标准不确定度。

最后，我们通过一个应用实例来说明实验标准差和标准不确定度的计算和应用。

假设我们需要测量一根金属杆的长度，我们进行了多次测量，并得到了一组数据。

通过计算样本标准差，我们可以评估测量结果的稳定性；通过计算标准不确定度，我们可以评估测量结果的精确度。

在实际操作中，我们需要根据实验条件和测量要求来选择合适的计算方法和估计方式，以得到准确可靠的实验结果。

综上所述，实验标准差和标准不确定度是科学实验和数据分析中不可或缺的重要概念。

标准曲线的不确定度标准曲线是实验室常见的一种曲线，用于测定未知物质浓度。

在实际应用中，我们需要计算标准曲线的不确定度，以确保实验结果的准确性和可靠性。

本文将介绍标准曲线不确定度的计算方法及其重要性。

首先，我们需要了解标准曲线的构建过程。

通常情况下，我们会使用已知浓度的标准溶液，通过一系列实验测定其吸光度或荧光强度，然后绘制出标准曲线。

标准曲线通常是一条直线或曲线，其方程可以表示为y=ax+b，其中y表示吸光度或荧光强度，x表示浓度，a和b为拟合参数。

在实际操作中，我们往往会进行多次实验，得到多条标准曲线。

为了确定标准曲线的不确定度，我们需要进行统计分析。

首先，我们可以计算各个浓度点对应的吸光度或荧光强度的平均值和标准偏差。

然后，利用这些数据进行线性回归分析，得到拟合参数a和b的平均值及其不确定度。

接下来，我们需要计算标准曲线上各个浓度点的不确定度。

一般来说，标准曲线上每个浓度点的不确定度包括两部分，由拟合参数引起的不确定度和由实验测量引起的不确定度。

前者可以通过线性回归的结果直接得到，而后者则需要考虑实验测量的误差以及仪器的精密度。

在实际计算中，我们可以利用传递误差的方法来确定标准曲线上各个浓度点的不确定度。

首先，我们可以计算出拟合参数a和b的不确定度对浓度的传递函数，然后将其与实验测量的不确定度相结合，得到最终的结果。

标准曲线的不确定度是实验结果的重要组成部分，它直接影响到最终浓度的确定性和可靠性。

在实际操作中，我们需要根据实验条件和仪器精密度进行合理的设计和选择，以最大限度地减小标准曲线的不确定度。

总之，标准曲线的不确定度是实验室工作中一个重要而复杂的问题。

通过合理的设计、精确的实验操作和严格的数据分析，我们可以有效地确定标准曲线的不确定度，从而保证实验结果的准确性和可靠性。

希望本文的介绍能够对您有所帮助，谢谢阅读！。

不确定度在实验数据分析中的应用在实验领域中，不可避免地要面对各种测量误差和不确定性，这些因素对实验数据的准确性和可靠性有着极其重要的影响。

为了能够更好地处理实验数据，我们需要了解和利用不确定度这一概念。

本文将探讨不确定度在实验数据分析中的应用。

1. 什么是不确定度？不确定度是表征测量结果与被测量值真实值之间差异的一种度量方式。

它是指在一系列测量中，测量结果的分布范围。

可以理解为测量值与真实值之间的偏差或误差。

能够准确地评估不确定度对于准确评价数据质量具有重要作用。

2. 不确定度对实验数据的影响在实验领域中，测量误差和不确定性等因素对数据的影响不可避免。

如果忽略这些因素，将会导致实验数据的准确性出现偏差，无法对实验结果进行可靠的评估。

因此，了解实验数据的错误来源和不确定度可以帮助我们更好地处理实验数据，提高实验数据的可靠性和准确性。

3. 不确定度的计算方式不确定度的计算方式可以分为以下几种方法：（1）标准偏差法标准偏差是指一组测量数据离平均值的距离的平均值。

计算标准偏差时，需要计算出平均值和每个数据点与平均值之间的差值，然后将这些差值平方并求和。

最后将总和除以测量数再开方即可得到标准偏差。

标准偏差表示的是单次测量结果的精度。

（2）合成不确定度法合成不确定度是根据各种误差、不确定性源的性质，按照一定规则将其合成成一个总的不确定度。

这种方法需要系统地分析和评估所有可能的误差和不确定性源，并计算它们对最终结果的影响。

（3）最大值法最大值法是将不确定性源中最大的值认为是实验数据的总误差。

这种方法被用于不确定度源具有互相独立的前提下的一些误差和不确定性的总计算。

（4）重复测量法重复测量法是通过重复测量相同的样本来确定数据中的随机误差。

这种方法可以获得多个测量结果，从而使用平均值来代表数据。

4. 不确定度的应用在实验领域中，不确定度的应用主要包括以下三个方面：（1）计算实验数据的误差范围不确定度可以告诉我们实验数据的测量误差范围，通过计算不确定度，我们可以得到实验数据的误差范围。