大学物理实验-不确定度公式的计算

大学物理实验教学中关于实验数据的不确定度的计算和分析作者：孙红章王翚苏向英来源：《教育教学论坛》2015年第35期摘要：本文首先讨论了大学物理实验教学中关于不确定理论中的直接测量量的A类、B类标准不确定度和合成不确定度以及间接测量量的不确定度的通常表示方法，随后推算出了几个基本物理实验中各个测量量不确定度的计算公式，对大学本科学生的物理实验教学具有指导意义。

关键词：大学物理实验教学;不确定度计算;固体密度测量;杨氏弹性模量测量;共轭法测凸透镜焦距中图分类号：G642 ; ; 文献标志码：A ; ; 文章编号：1674-9324（2015）35-0169-02现如今在大学物理实验教学中为了更加准确和精确的表示实验测量结果，常使用不确定度理论来表示实验测量结果。

[1，2]在大学物理实验教学中，不确定度的计算一直是一个难点，也是一个重点，许多本科学生因为不确定度的计算方法非常复杂，而且计算量很大，而放弃对实验数据的科学处理。

这里我们将阐述大学物理实验教学中不确定度的通常表示方法，并结合有关的基本物理实验，在课堂上用多媒体演示，使大学一年级学生很容易掌握不确定度的计算，取得了良好的教学效果。

一、不确定度理论的一般原理和计算方法[3，4]不确定度理论对于直接测量量把数据的不确定度根据数据的性质来分类，把符合正态分布统计规律的称之为A类标准不确定度，而不符合正态分布统计规律的称之为B类标准不确定度。

把两类不确定度的平方和的根称之为测量量的合成标准不确定度，或者简称为不确定度。

大学物理实验中物理量的直接测量量的平均值的标准偏差即为A类标准不确定度，它的计算公式为：t的大小与物理量的测量次数n和置信概率p有关系，置信概率p一般约定取值为68.3%，特殊情况下置信概率p取95.4%。

如果我们测量9次，置信概率取p=68.3%，那么置信因子取t=1.07。

如果我们测量5次，置信概率取p=68.3%，置信因子取t=1.14。

合成标准不确定度 ：测量结果由其他
量间接得出时，按其它量的的方差或胁
方差算出的标准不确定度。测量结果y
的合成标准不确定度记为uc ( y)，也可简 写为 uc 或 u( y)。
相对合成标准不确定度 ur ：合成标准
不确定度的相对值。
ur
u(y) y
二、直接测量量不确定度的（简化）评定
对物理量X做n次等精度测量
x x uc (x)（单位） （p=）
单次测量的不确定度用B类标准不
确定度( uB )来评定。
二、间接测量量标准不确定度的 （简化）评定
—— 不确定度的传递与合成
设间接测量y是由各互不相关的直接测
量量 x1, x2, x3,, xm 通过函数关系求得。
y f (x1, x2, x3,, xm)
L=4.253±0.851ｍ
L=4.2±0.8ｍ
m 56000 200(g)
m (5.60 0.02) 104 (g)
数据处理基本方法
列表法 作图法 最小二乘法
列表法
表名
半导体热敏电阻的电阻与温度的关系
温度 t (C )
20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 45.0
电阻R ()
xLeabharlann n• 过失误差由于观测者未正确地使用仪器、观察
错误或记录错数据等不正常情况下
引起的误差。应将其剔除。
实 • 明确测量对象 验 要 • 选择合理的测量方法 求
• 正确地完成测量操作
• 正确处理测量数据
• 给出完整的测量结果
三、测量结果的完整表述
例： 固体密度测量结果
= 2.7271±0.0003（ g/cm） （ｐ=0.683）

∂f ∂f ∂f 2 2 2 U N = ⋅U x + ⋅U y + ⋅U z + L ∂y ∂x ∂z
2 2 2
UN 1 ∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 EN = = U x + U y + Uz + L ∂y N N ∂x ∂z
有效数字的运算规则 几个运算原则： 几个运算原则：
有效数字与有效数字运算 = 有效数字 可疑数字与可疑数字运算 = 可疑数字 （进位数可视为可靠数） 进位数可视为可靠数） 可疑数字与可靠数字运算= 可疑数字与可靠数字运算 可疑数字 可靠数字与可靠数字运算 = 可靠数字
四．间接测量结果的有效数字——有效数字的运算 间接测量结果的有效数字 有效数字的运算 规则 减运算——计算结果的小数点后应保 1 ． 加 、 减运算 计算结果的小数点后应保 留的位数与所有参加运算中小数点后位数最少的那 个相同。 15. 372 个相同。例：41.8＋15.41－8.372＝ 41.
2
g = 9.76m/s2 如 g = 9.74500m/s , 取3位有效数字
2
g = 9.74m/s
2
六．测量结果最终由不确定度定位 方法： 方法：
分度值1 分度值1mm
0 1 2 3 4
L=3.25cm 3.25
三位
分度值1 分度值1cm
0 1 2 3 4
L=3.2cm 3.2
二位
5
10
15
20
15.2mm
5
15.0mm
10
15
20
二、关于有效数字的几点说明： 关于有效数字的几点说明：
（1）非测量值（如公式中的常数，实验次 非测量值（如公式中的常数， 数等）不是有效数字， 数等）不是有效数字，如π，e等不是有效 数字。 数字。 在测量数据中， （2）在测量数据中，左边第一位非零数字 之前的零不是有效数字， 之前的零不是有效数字，但数据中间和末 尾的零应算为有效数字。 尾的零应算为有效数字。 ），0.00201（三位）， 例：0.0021（二位）， （二位）， （三位）， 0.002010（四位） （四位）

Δ 30 0.5% 0.2(mA) 仪
偶然误差的处理
偶然误差的特点：统计规律性
①小误差出现的概率大；大误差出现的概率小,具
有单峰性；
②正、负误差对称分布， 具有抵偿性。
0
P(x)
σ小
σ大
x
处理方法： ①取多次测量的平均值为测量结果
的最佳估计值。 ②研究其分布，找出其特
征值，归入A类不确定度，参与对测量结果 的评价。
y f ( x1 , x2 ,, xm )
通过直接测量已得 x1 x1 u x1 , x2 x2 u x 2 , ..., xm xm u xm
则
y f ( x1 , x2 , , xm )
u ( f f f u x1 ) 2 ( ux2 )2 ( u xm ) 2 x1 x2 xm
1 2
uV V EV 9.436 0.008 0.08(cm3 )
（4）环体积的测量结果为
V=9.44±0.08 cm3
9.436应与0.08取齐，故将9.436修约为9.44。
2-2数值的有效位数及其运算规则
有效位数的概念
测量结果用且只用它的有效位数表示。 不确定度决定有效位数。 具体为：不确定度的有效位数取1位，测量结果的末位与 不确定度末位对齐。
(4)合成不确定度
A B 0.002 0.002 0.0028 0.003mm
2 2 2 2
0.003 E 100% 0.03% 8.348
(5)测量结果为
D 8.348 0.003mm E 0.03%
设被测量y可写成m个直接测量量 x1 , x2 ,, xm 的函数

次数较多；
加测量次数，可以
– 很大的误差通常不出现；
减少测量误差
– 随机误差的算术平均值趋 于零；若无系统误差，测 次量数的少平，均乘值t因趋子于。真值。
认识正态分布函数
大物实设验对不物确定理度量X进行大量无系统误差的重复测量，测量值 xi(i=1,2,…）满足正态分布，则
平均值 等于真值 X 0
来源
偶然因素的微小随机性波动：温度、电源电压等
特点
误差的绝对值和符号以不可预知方式变化
处理
多次测量减小随机误差，计算标准偏差来估算测量的准确程度
测量值的分布
大物实验不确定度
• 重复测量中各测量值及其出现次数的关系
如：均匀分布、三角分布、正态分布、……
• 任何分布，其统计量的分布都趋于正态分 布
如：x1, x2, …… xn,
实验仪器的最大允许误差(Δ仪)
大物实验不确定度
1．仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术标准中查到。表 1.3.1（p13)摘录了部分仪器的最大误差。
2. 电测量仪表（指针式）的示值误差限：
数字仪表？
Δ仪= 量程×准确度等级/100 如：0.5级电流表，量程3A， Δ仪=3×0.5/100=0.015A
x
1 n
n i 1
xi
还有标准偏差等都是统计量
• 实验采用统计量表示
随机误差的正态分布
大量的实验发现，重复测量次数趋近无穷多时，随机
大物实验不确定度
误差δ趋近如下分布，f (δ)反映误差δ出现的几率。
f ()
1
- 2
e 22
2
0
δ
特点 – 正负测误量差次出数现的较几少率时相等； – 将绝对偏值离较正小态的分误差布出,增现的

i2 n →∞ n i = 1物理实验的不确定度表示和计算方法摘 要 本文在 分析物理 实验中引入 不确定度必 要性的 基 础上, 介绍了不确定度的有关概念, 提出了不 确定度的表示 和计算方法。

关键词 物理实验; 不确定度; 置信概率0 引 言在物理实验中总是通过各种测量方法和测量仪 器对各个物理量进行测量, 但如何对测量结果的可 靠性进行评价, 一直是测量和数据处理环节的重要 问题。

过去的传统方法是用测量误差来评定测量结 果的可靠性, 而测量误差定义为测量值与真值之差, 由于真值是永远也测不到的, 所以测量误差也是一 个不可知量, 即用测量误差来评定测量结果的可靠 性是不科学的。

1980 年国际计量局提出了关于实验不确定度表示的建议书 《R ecomm endation INC -1C 19980》[ 1], 1992 年发表了 《测量不确定度表示法指南》, 在世界 范围内开展了用不确定度来评价测量结果的推广和 使用。

在此基础上, 国际理论与应用物理联合会与 国际标准化组织 ( ISO ) 等 7 个国际组织联合颁发了 《国际通用计量学基本术语》) 之后, 对物理教学中 有关 误差分析 和数据处 理方法 提出 了新的 要求。

在于某一个量值范围内的评定, 它反映了可能存在 的误差分布范围, 其大小给出了测量结果可信程度 的高低。

不确定度实际上具有非常明确的含义, 它 具有确定的量值, 其量纲与被测量的量纲相同, 但 通常总是联系于一定的概率。

不确定度一般含有多 个分量, 但按其数值的评定方法可归并成两类: A 类分量: 由测量列的统计分析评定的不确定 度分量, 即随机误差分量, 用△A 表示。

B 类分量: 由非统计方法评定的不确定度分量, 即未定系统误差分量, 用△B 表示。

合成不确定度: 为 A 类分量和 B 类分量按方差 合成原理进行合成, 用 u 表示可写为u =∑△2 + ∑△2( 1)AB总不确定度 ( 展伸不确定度) : 将合成不确定度 u 乘以一个与置信概率有关的包含因子 K p , 则得总 不确定度, 用 U 表示, U = K p u 。

北方民族大学物理实验中心 Fundamental physics experiment
6
1、合成不确定度
u ( x) u u
2 A
2 B
(k 1)
＊各不确定度相互独立 扩展不确定度
U ( x) ku( x)
2、测量结果的不确定度表示
x u ( x) （单位） P …
u ( x) E ( x) 100 % x
在某一数值u范围内，用公式表示为：
N N0 u
（置信概率为P）
其中u值可以通过一定的方法进行估算，称为不 确定度。
北方民族大学物理实验中心 Fundamental physics experiment
3
N N0 u
（置信概率为P）
测量的不确定度也可以理解为测量误差可能出现 的范围，标示着测量结果的可靠程度。如果不确定度 越大，则测量结果可靠性差，应用价值低，反之，则 测量结果的可靠性好，应用价值大。
Uy
Uy yEy
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21
1、间接测量量的最佳值
直接测量量
x, y , z , 的 最佳值为 x , y , z ,
N f ( x , y, z ,)
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其中：直接测量量x、y、z…的不确定度分别是
：
ux、uy、uz ux、uy、uz
则，间接测量量N的不确定度 量的不确定度
uN 是由直接测量
传递而来。
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用分光计测量三棱镜折射率实验数据处理1.顶角及不确定度)(A u 的计算(1)自准法: )(2118021210右右左左θθθθ-+--=A ， θθθ∆==⨯=)()()21(4)(22u u A u (2)反射法： )(412121右右左左θθθθ-+-=A 2.最小偏向角及最小偏向角的不确定度的计算 （1）最小偏向角min δ的计算公式：)(412121min 右右左左θθθθδ-+-= （2）最小偏向角min δ的不确定度计算公式： θθθδ∆==⨯=21)(21)()41(4)(22min u u u 仪器误差Δθ = 2′= ×10-4(rad) u (A ) = 2′= ×10-4(rad) u (δmin ) = 1′= ×10-4(rad)A = ° ′±2′ δmin = ° ′±1′3.折射率n 以及折射率的不确定度)(n u 的计算(1)折射率的计算公式 A A n 21sin )(21sin min +=δ (2)折射率的不确定度计算公式)(2)(222)(min 2min 222min δδδu A ctg A u A ctg A ctg n n u ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= )(2sin 2cos 21)(2sin 2sin 2cos 212cos 2sin 21min 22min 222min min δ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛δ++⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛δ+-δ+=u A A A u A A A A A )()21sin(2)(21cos )()21(sin 2)21sin(min 22min 222min δδδu A A A u A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= 22min 222min )21()21sin(2)(21cos )()21(sin 2)21sin(θδθδ∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A A A式中的角度的不确定度应取弧度为单位n±u (n)= ±思考题及参考答案1.望远镜光轴与分光计的中心轴相垂直，应该在望远镜中看到什么现象利用哪些螺钉调节光学平行平板或三棱镜两个光学面反射的十字像，都能与望远镜分划板叉丝刻线上交点重合。

实验数据处理1． 计算三棱镜顶角及不确定度)(A u 顶角A 的计算公式： (1)自准法 )(211802121右右左左θθθθ-+--=A (2)反射法 )(12121右右左左θθθθ-+-=A其中须考虑实际转过的角度。

(3) 顶角A 的不确定度的计算公式 自准法: θθθ∆==⨯=)()()21(4)(22u u A u反射法：11()()22u A u θθ===∆2． 最小偏向角的计算及最小偏向角的不确定度 （1） 最小偏向角min δ的计算公式：)(12121min 右右左左θθθθδ-+-=（2）最小偏向角min δ的不确定度计算公式：θθθδ∆==⨯=21)(21)()41(4)(22min u u u3． 计算折射率n 以及折射率的不确定度)(n u由折射率的计算公式 A A n 21sin )(21sin min +=δ，对较厚三棱镜，可得: n蓝紫= n 绿 =由折射率的不确定度计算公式：)(2)(222)(min 2min222min δδδu A ctgA u A ctg A ctg n n u ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=)()21sin(2)(21cos )()21(sin 2)21sin(min 22min 222min δδδu A A A u A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= 22min 222min )21()21sin(2)(21cos )()21(sin 2)21sin(θδθδ∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A A A 仪器误差 Δθ = 2′= 5.82×10-4(rad)可得:u (n 蓝紫) = ，u (n 绿) =测得折射率n 蓝紫= ± ，n 绿 = ±数据处理注意事项与角度的不确定度有关的数值的单位应取为弧度。

大物实验不确定度计算公式
大物实验中，确定物理量的值时，需要考虑不确定度。

不确定度是指测量结果与真实值之间的差异，通常用标准偏差来表示。

计算不确定度的公式如下：
不确定度 = 仪器误差 + 随机误差
其中，仪器误差是由仪器自身的精度引起的误差，通常用仪器测量范围的一半来估算。

随机误差是由于实验过程中各种不可避免的因素引起的误差，通常用标准差来估算。

计算不确定度的具体步骤如下：
1. 确定所测量物理量的最小可分辨值和仪器误差。

2. 进行多次测量，根据实验数据计算出平均值和标准差。

3. 计算总不确定度，即仪器误差和随机误差之和。

4. 根据置信度确定扩展不确定度，通常取置信度为95%。

5. 最终确定物理量的值和不确定度。

通过以上公式和步骤，可以有效地计算出物理量的不确定度，提高实验的准确性和可靠性。

- 1 -。

WANG
误差的分类
WANG
系统误差（systematic error）
一． 定义
重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减 被测量的真值
一． 来源
实验原理、方法、仪器不完善，环境条件偏离，实验者的运 动和感觉器官反应、习惯及精神状态。
二． 特点
误差的数值和符号保持恒定，或按一定规律变化。
1. 仪器最大允许误差
检测数据，有关的技术资料，说明书等
如：钢卷尺说明书上给出，在量程1m内其最大误差为0.5mm；
在量程1～2m内其最大误差为1.0mm。
2. 根据实际情况估计的误差极限值
如：电子秒表的仪器误差限2.5×10-5秒。但是，由于实验者在 计时开始和计时结束时都会有0.1～0.2秒左右的误差，所以 估计时间的测量误差限为0.2秒。那么， Δ =0.2s。 WANG
大学物理实验
大学物理实验是理工科大学生进入大学后 最早接受到的对实验方法和实验技能进行系统 训练的课程，重在培养学生观察、分析、发现 和解决问题的能力，提升实验技能、科学思想 和创新精神。 2015年5月6日
大学物理实验绪论
WANG
主要内容
一．绪论
1. 2. 3. 4. 5. 学习物理实验课程的意义 物理实验课的任务 物理实验课的基本程序 实验室规则 本学期内容安排
反映测量随机误差的大小。
O
通常，概率P 称为“置信概率”， 对应的x范围称为“置信区间”。
WANG
随机误差和系统误差的形象表示
子弹着靶点分布图
（a）随机误差小，系统误差大 （b）随机误差大，系统误差小 （c）随机误差和系统误差都小
WANG
能看出图示测量中随机误差和系统误 差的相对大小吗？ （X0为真值）

根据解析几何知识判断图线的类型由图线类型判断公式可能的特点确定公式的形式63实验数据处理的基本方法若自变量作等间隔变化时测得另一物理量看做函数一系列对应的值为了从这一组实验数据中合理的求出自变量改变引起的函数值的改变即它们的函数关系通常把测量数据前后对半分成一二两组用第二组的第一项与第一组的第一项相减第二组的第二项与第一
▪ 期末考试占0--30%
实验须知
▪ 学生在规定的时间内进行实验，不得无故旷 课和迟到。无故迟到10分钟者，不得进入实 验室。
▪ 进入实验室，保持室内安静和整洁，不得大 声喧哗。
▪ 对安排的实验要有预习报告，提交教师审阅， 对没有预习报告者，不得进入实验室做实验。
实验须知
▪ 认真完成本组实验，不得擅自搬动和使用其 他组的仪器和物品。
操作读数时的视差影响。
特点：
①小误差出现的概率比大误差出现的概率大；
②多次测量时分布对称，具有抵偿性——因此取多次测量的平 均值有利于消减随机误差。
随机变量的分布
正态分布：大量相对独立因素共同作用下得到的随机变量服
从正态分布。物理实验中多次独立测量得到的数据一般可以近似
看作服从正态分布
p(x)
1
范围内的概率很大， 的取值与一定的概率相联系。）
测量
▪ 测量分为直接测量和间接测量
直接测量指无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的 辅助计算而可直接得到被测量值的测量；
间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系 经过计算从而得到被测量值的测量
1.2.3 等精密度测量 在同等条件下进行的多次重复性测量称为等密精度测
x u
0.683
x u2
0.954
x u3
0.997

四、不确定度的传递公式(间接测 量量的不确定度)
1.多元函数的全微分
设N为待测物理量，X、Y、Z为直接测量量
N f ( x, y,z...)
dN f dx f dy f dz ... x y z
若先取对数再微分，则有: ln N ln f ( x, y, z...)
dN ln f dx ln f dy ln f dz ...
N x
y
z
2.间接测量的不确定度由传递公式计算
dN, dxx, dyy, dzz,...
f x
2
2 x
f y
2
2 y
f z
2
2 z
......
(1)
N
ln f x
2
2 x
ln y
f
2
y
2
ln z
f
2
z
2
......
(2)
其中f为间接测量量N与直接测量量x、y、 z……之间的函数关系。
五、测量结果表达式：
N N (单位) P 0.683 N N 2 (单位) P 0.954
N N 3 (单位) P 0.997
注意事项： 1.不要忘记写单位； 2.不确定度只取1位或2位有效数字； 3. 平均值的最后一位与不确定度最后一位对齐；
根据公式
4M
D2 H
测量铜圆柱体的密度。
EV 0.6% ，问用下列哪种游标卡尺最恰当？
(1)10分度
解 ：V a3
(2)20分度 (3)50分度
EV
lnV a
a
ln a3 a
a
3 a
a
由条件:
EV
3 a
a

150 mm 500 mm 1000 mm
125 mm
1 mm 1 mm 1 mm
0.02 mm 0.05 mm 0.01 mm
±0.10 mm ±0.15 mm ±0.20 mm
±0.02 mm ±0.05mm ±0.004 mm
游标卡尺 螺旋测微器（千分尺）
0～25 mm
七级天平（物理天平）
500g
测量的误差和不确定度
• 测量是物理实验的基础。
• 测量结果应包括数值、单位和对测量结果精确程度的
评价（不确定度）。
以电阻测量为例
R＝910 .3 0.4
测量对象 数值 不确定度 单位
含义： R 的真值有相当大（例如95%）的可能（概率） 位于区间 （909.9，910.7）Ω 之内。
•
测量分为直接测量和间接测量
d (8.345 8.348 8.344 8. 343 8.347 8.344)/6 8.345mm
d 8.345-(-0.003) 8.348mm
(2)计算A类不确定度
d
d
n 1
i
d

2
n(n 1)
0.002mm
(3)计算B类不确定度
测量结果的有效位数越多，其相对不确定度越小，精确度越高
例：0.0123与1.23与123的有效位数都是3位。0.01230有效位数是4位,
最右边的“0”是有效位数，不可以省略不写。
科学记数法
记
例1：
A a 10 , 且1 a 10
n
光速C=30万公里每秒
不正确的写法：C=300000km/s；C=30km/s 正确的写法：C=3.0×105km/s=3.0×108m/s

大学物理实验不确定度引言在进行大学物理实验时，我们经常会遇到一些测量数据需要进行分析和处理的情况。

然而，真实的物理量是由各种各样的测量误差和不确定度组成的。

因此，正确地评估和报告测量的不确定度对于得出准确的结果至关重要。

什么是不确定度不确定度是指测量结果与被测量物理量真值之间的差异度量。

它反映了测量结果的精确程度和可靠性。

测量不确定度由多种因素引起，如测量设备的精确度、实验条件的稳定性、人为误差等。

如何评估不确定度评估不确定度的方法可以分为两种：直接测量法和间接测量法。

直接测量法直接测量法是指直接对被测量物理量进行测量和记录。

在这种情况下，不确定度可以通过测量设备的精确度和重复测量来评估。

重复测量可以帮助我们确定测量结果的可靠性，进而评估不确定度的大小。

间接测量法间接测量法是指通过对几个相关的物理量进行测量，然后使用数学关系式计算所要测量的物理量。

在这种情况下，不确定度的评估需要考虑每个测量值的不确定度以及数学关系式的传递误差。

不确定度的类型不确定度可以分为两种类型：随机不确定度和系统不确定度。

随机不确定度随机不确定度是由于测量条件的变化或测量设备的随机误差引起的。

它可以通过重复测量获得一系列测量结果，并从中计算出平均值和标准偏差来评估。

系统不确定度系统不确定度是由于系统性误差或仪器固有误差引起的。

它通常不会在重复测量时得到纠正。

评估系统不确定度需要考虑实验装置的特性以及操作者的技术能力。

不确定度的表示方法表示不确定度的常见方法有两种：标准不确定度和扩展不确定度。

标准不确定度标准不确定度是测量结果不确定度的一种方法。

它表示为一个具有区间的数字，通常用测量结果的标准差表示。

标准不确定度给出了测量结果的范围，但无法确定具体的上下限。

扩展不确定度扩展不确定度是在标准不确定度的基础上，根据所选的置信度给出测量结果的范围。

它考虑了标准不确定度的不确定性，并通过乘以一系列修正因子来扩展结果。

不确定度的传递规则当使用数学关系式计算一个物理量时，我们需要考虑每个测量值的不确定度如何传递给最终结果。

①.系统误差 特点：确定性
可用特定方法来消除
②.随机误差
替代法 抵消法 交换法 半周期偶数观测法 对称观测法
特点： 随机性 可通过多次测量来减小
一、不确定度的概念 二、不确定度的分类 三、直接测量不确定度的计算 四、不确定度的传递公式
一、不确定度的概念
由于误差的存在而被测量值不能确定 的程度，是被测量真值在某个量值范围 内的评定。
常用数据处理方法
数据处理是一个对数据进行加工的过程。 常用的数据处理方法有以下三类： 1.列表法 2.作图法 3.数学方法（逐差法、最小二乘法等）
▲列表法
各个栏目标明
例：用读书显微镜测量圆环标格题内直：容径说明表名称和附单加位说明：实
测量圆环直径D 仪器原：始读数数据显微镜
Δins=0.004mm
大学物理实验中的重复测量都认为 是在相同条件下的等精度测量。
二. 误差
1. 绝对误差与相对误差 2．误差来源 3．误差的分类
1. 绝对误差与相对误差
①.绝对误差
N (误差） Ni (测量值） N（真值）
②.相对误差 E N 100% N
2. 误差来源
①.仪器 ②.方法 ③.环境 ④.人员
3. 误差的分类
n
2
3
4
5
6
7
t0.683 l.84 1.32 1.20 1.14 1.11 1.09
n
8
9 10 15 20 ∞
t0.683 1.08 1.07 1.06 1.04 1.03 l
今后测量次数大于或等于5 次的t因子均取为1
B2类不确定度的估计:
SB2 / K
K是一个系数，视误差限△的概率分布 而定，可以计算，若△为正态分布K=3， 若为均匀分布， 若K为 三3角分布 。

3.3 10 3 mm
UA (d )
tp
s(d ) n
2.36 3.3103 8
2.7 103 mm
（4）计算B类不确定度：仪器误差取最小分度值的一半， 即Δm ＝0.005mm，因此
UB (d ) m 0.005 mm
（5）合成不确定度：
U(d)
U
2 A
(d
)
U
2 B
(d
)
2.7 103 2 5 103 2 5.7 103 0.006 mm
F
x1
2 u ( x1 )
F
x2
2 u(x2 )
...
F xk
2 u(xk )
注意：
（a） 当F= F(x1,x2,…xk)为乘除或方幂函数关系时， 可以先将求对数，再求导。
（b） 本式只适于各变量互相独立的情形，若不独立 则
例如：f比=较xy复2.杂，求超u(出f)本=?书范围。
ln f ln x 2 ln y
。
2）标准不确定度的 B类评定( uB )
是指用非统计方法评定的不确定度，如用经验或资料以 及假设的概率分布估计出的不确定度与未定系统误差有 关的分量，用估计的标准偏差表示。
uB
(x)
m (x) k
m (x)为仪器的最大允许误差限，而包含因子k由可能的误差概率分布决
定：按正态分布、均匀分布和三角分布，分别取 3、 3 、 6 。
注意：m：仪器误差限, 指测量仪器的示值与真值之差的最大值。
一般实验中, 对于刻度仪器仪表, m常取最小分度值的1/2， 大多数遵循均匀分布，所以K取 3 。
③标准不确定度合成（C类不确定度）（uC ）： 也称合成标准不确定度