2.3傅里叶全息图

k 1 1 2 k 2 2 2 x y exp j 2 z z x y (12) exp j 2 z0 0 c
与原始像对称的（-b，0）处可得共轭像，是倒立实像。 其放大率与原始像的规律相同，取决于 zC 与z0 的关系
分析式（5）可知，第三项包含着物的频谱，第四项是共轭 频谱，由于该两项的附加位相 exp [- j 2π fx b] 和exp [ j 2π fx b] 只在指数上差一个符号，所以他们必然对称分布于零级两 侧，倾角分别为 θx =±sin-1( b / f )
• 为获得物的再现像，必须将全息图置于透镜前 焦面上，后焦面得到它的傅里叶变换。当取反 射坐标时，得到的是逆变换： Uf = F –1{UH’} （6） 将式（5）代入式（6），得到四项： 第一项：Uf1 = F –1{| O （fx，fy）|2} = F –1{ O （fx，fy）· *（fx，fy）} O = O ( xo ', yo ' ) * O* ( -xo ', -yo ') = O ( xo ', yo ') ★ O ( xo ', yo ') （7） 这一项是物函数的自相关(★)，因频率较低，故 分布于原点附近。
2.3 傅里叶变换全息图
• 物体的信息由物光波所携带，全息记录了 物光波，也就记录下了物体所包含的信息。 物体信号可以在空域中表示，也可以在频 域中表示，也就是说，物体或图像的光信 息既表现在它的物体光波中，也蕴含在它 的空间频谱内。因此，用全息方法既可以 在空域中记录物光波，也可以在频域中记 录物频谱。物体或图像频谱的全息记录， 称为傅里叶变换全息图。
• z0 和zC的关系决定了再现像的大小： • （1）当zC = z0 ，附加位相为零，可重现物 光波，在（b，0）处得到一个原始像，是 正立虚像； • （2）当| zC | > | z0 | 时，可得到放大虚像； • （3）当| zC | < | z0 | 时，可得到缩小虚像。
• 与共轭像有关的第四项为： * R0O * f x , f y exp j 2f xb U4 C
• 全息图用球面波照明，设点源在轴上，与 全息图距离zC处。与原始像有关的第三项为：
k 1 k 2 1 2 2 2 x y exp j 2 z z x y (11) exp j 2 z0 0 C
与式（9）相比较可知，这就是产生原始像的项， 所不同的只是增加了两个因子。
• 经透镜变换后到达干板处的光振动是它们的傅里 叶频谱之和： U H F O F R O f x , f y R f x , f y •




O ( xo , yo ) exp [ - j 2 ( f x xo f y yo ) ] d xo d yo Ro exp [ j 2 f x b]
• 经线性处理后，全息图的透射率正比于I 。将 式（2）、（3）代入并作整理，省略常系数， 得到全息图透射率：
t H f x ,f y |O f x ,f y |2 Ro 2 2 Ro

•
cos2 f x xo b


f y y o - o d x o d y o （4）
• 一是（- j 2πfx b），它代表倾斜因子，表示 再现物波的倾斜角为θ = sin-1(b /z0) • 二是式中最后一项，它代表一个附加的位 相因子，与薄透镜的透射率公式exp[ -jk / 2f (x2+y2)]相比较，这一附加位相相当于一个 焦距为 f -1 = 1/z0 - 1/zC 的薄透镜的作用



R O f
o
x


将 Oxo , yo exp j 2 f x xo f y yo dxo dyo取代O f x , f y 得




Uf 3= O ( xo' - b, yo' )
• 因此第三项代表物的原始像，中心位置在 (b,0)处，是一倒立实像。 • 第四项：Uf4= F –1{Ro O* (fx , fy) exp(j 2πfx b)} = O* (- xo' - b, - yo' ) , 代表物的共轭像，位置在(-b,0)处，是一正立 实赝像。
2 0
I x, y U x, y R x, y
2
（10）
• 进行线性处理后，透射率 tH ∝ I 。由式(10) 可以看出，物光波和参考光波中的二次位 相因子在曝光光强表达式中相互抵消。这 就是可以省去透镜记录傅里叶变换全息图 的原因。
2．再现原理
U 3 C ' R0O f x , f y exp j 2f xb
3．傅里叶变换全息图的某些性质特 点及应用
• （1）衍射像分离的条件：要使再现时各衍射项能 分离开，则记录时参考点源位置与物的尺寸要选择 合适，一般来说，b必须大于物体尺寸的3/2倍。 • （2）记录介质的分辨率：对记录介质分辨率的要 求不受物体本身精细结构的影响，而取决于全息图 中最精细的光栅结构，因而应该满足 ，其中R为记 录介质分辨率，fx o表示全息图的频谱成分，即全息 图干涉条纹的空间频率。 • （3）再现像的分辨率：再现像的分辨率取决于全 息图的宽度，它所记录的空间频率越丰富（即高频 信息越多），分辨率就越高。因而透镜孔径的限制 将起很大作用，孔径越大，截止频率越高。最理想 的是将物紧靠透镜。
• （7）傅里叶全息图的光能集中在原点附近， 为避免曝光不均匀，在调节光路时可使干 板稍稍离焦，以便得到线性处理的全息图。 • 当物不是处于透镜的前焦面上，后焦面上 得到的不再是物光分布的傅里叶变换而是 其夫琅和费衍射，两者的区别只差一个位 相因子。所以所有记录傅里叶变换全息图 的系统只要改变其参考光的波面曲率，所 记录的全息图就是夫琅和费全息图
(2)
其中O表示O 的傅里叶变换，R表示R 的傅里叶变换，fx = x /λf ，fy = y /λf 为空间频率分量，其中x﹑y为透镜后焦面的空 间坐标，f为透镜焦距。
• 曝光光强为 I（fx，fy）= （O + R ）· （O + R ）* =| O（fx，fy）|2 + Ro2 + Ro O（fx，fy）exp [- j 2π fx b] （3） + Ro O *（fx，fy）exp [ j 2π fx b]
• 如想得到实像，可利用图2.3.5所示的有透 镜光路系统实现
透镜的作用是对衍射波进行一次傅里叶变换， 在后焦面上得到实像，原始像和共轭像对称地位于 焦点两侧，前者倒立，后者正立。若透镜焦距为f’， 则他们的位置坐标分别为（f’/ z0，b ）和（-f’/ z0，b ）
• 图2.3.3所示的无透镜傅里叶变换全息图记 录光路中，如果z0 足够大以至满足夫琅和费 衍射条件，利用平行光参考光，记录的将 是夫琅和费全息图。在傅里叶变换全息图 记录光路中（图2.3.1），当物不是处于透 镜的前焦面上时，后焦面上得到的不再是 物光分布的傅里叶变换而是其夫琅和费衍 射，两者的区别只差一个二次位相因子， 记录的也是夫琅和费全息图。
• 傅里叶变换全息图不是记录物体光波本身， 而是记录物体光波的傅里叶频谱．利用透 镜的傅里叶变换性质，将物体置于透镜的 前焦面，在照明光源的共扼像面位置就得 到物光波的傅里叶频谱，再引人参考光与 之干涉．通过干涉条纹的振幅和相位调制， 在干涉图样中就记录了物光波傅里叶变换 光场的全部信息，包括博里叶变换的振幅 和相位。这种干涉图称为博里叶变换全息 图。
• 将傅里叶全息图置于频谱面，中心在原点上，则 谱面后得到两者的乘积（参阅式（3））
• 第二项：Uf2 = F –1{R02 }，是δ函数，形成焦 点处的亮点，称为零级。 • 第三项：Uf3= F –1{R0 O (fx , fy) exp(-j 2πfx b)}



R O f
o
x
, f y exp - j 2f x bexp j 2 f x x' o f y y ' o df x df y , f y exp j 2 f x ( x' o b) f y y ' o df x df y
（9）
• 参考光波：
k x y exp j f x b R x, y R exp j z
fx x z

• 曝光光强：
U U* R C ' R0O f x , f y exp j 2f xb * R0O* f x , f y exp j 2f xb C
• （4）和菲涅耳全息一样，光源尺寸及再现光 源线宽都会影响再现像的质量。再现时产生的 像的线模糊和色模糊会影响分辨率，因而对记 录时点源的尺寸及再现光源线宽要严格限制。 • （5）傅里叶全息图所记录的干涉条纹的排列 是有序的，所以特别适用于计算全息。 • （6）傅里叶全息图记录的是频谱，而不是物 本身。对于大部分低频物来说，其频谱都非常 集中，直径仅1mm左右，记录时若用细光束作 参考光，可使全息图的面积小于2mm2, 所以特 别适用于高密度全息存储。
-

Oo x o , y o

由式（4）明显看出傅里叶全息图有两大特点， 一是它所记录的确是物的频谱， 二是全息图的条纹结构有序，呈多族余弦光栅按一定规 律线性重叠而成
2．再现原理
• 用平行光垂直入射到全息图上，数学表述 为： C ( x, y) = Co exp (jφc) = 1
• 全息图后的光振幅为 UH’= C· H ≈ tH t =| O |2 + Ro2 + RoO（fx，fy）exp [- j 2π fx b] + Ro O *（fx，fy）exp [ j 2π fx b] （5）