5.3 计算傅里叶变换全息

傅里叶变换概念及公式推导傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数从时域（时间域）转换为频域。

傅里叶变换的基本概念是，任何一个周期性函数都可以表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加。

通过傅里叶变换，我们可以将原始信号分解成许多不同频率的正弦和余弦波。

F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(−iωt) dt其中，F(ω)表示频域中的函数，与f(t)相对应。

为了推导傅里叶变换的公式，我们首先将复数e^(−iωt)展开为正弦和余弦函数的形式：e^(−iωt) = cos(ωt) − i sin(ωt)然后将这个展开式代入变换公式中，得到：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) (cos(ωt) − i sin(ωt)) dt为了求解这个积分，我们可以利用欧拉公式，将复数表示为以指数函数的形式：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(t) sin(ωt) dt将第一个积分的积分变量由t替换为−t，得到：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(−t) sin(ωt) dt由于f(t)是一个偶函数（即f(−t)=f(t)）F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^(iωt) dt − i ∫[−∞,+∞] f(t)sin(ωt) dt记F(ω)的实部为Re[F(ω)]，虚部为Im[F(ω)]，我们可以将公式进一步简化为：Re[F(ω)] = ∫[−∞,+∞] f(t) cos(ωt) dtIm[F(ω)] = − ∫[−∞,+∞] f(t) sin(ωt) dt这就是傅里叶变换的实部和虚部的计算公式，也称为余弦分量和正弦分量的公式。

通过计算这两个积分，我们可以得到函数在不同频率上的分量。

这些频率分量相当于原始函数在频域中的表现，有助于我们理解原始函数的频率特征。

要注意的是，以上推导过程是针对连续时间信号的傅里叶变换。

实验注意事项（必读）1．提前预习，没有弄清楚实验内容者，禁止接触实验仪器。

2．注意激光安全。

绝对不可用眼直视激光束，或借助有聚光性的光学组件观察激光束，以免损伤眼睛。

3．注意用电安全。

He-Ne激光器电源有高压输出，严禁接触电源输出和激光头的输入端，避免触电。

4．注意保持卫生。

严禁用手或其他物品接触所有光学元件（透镜、反射镜、分光镜等）的光学表面；特别是在调整光路中，要避免手指碰到光学表面。

5．光学支架上的调整螺丝，只可微量调整。

过度的调整，不仅损坏器材，且使防震功能大减。

6．实验完成后，将实验所用仪器摆放整齐，清理一下卫生。

实验过程中要切记以上注意事项。

如有违犯，将严重影响你的实验成绩！计算全息（二）修正离轴干涉型与相息图编码计算全息是利用计算机设计制作全息图或衍射光学元件的技术。

从原理上，计算全息和光学全息没有什么本质差别，所不同的是产生全息图的方法。

光学全息是直接利用光的干涉特性，通过物波和一束相干参考波的干涉将物波的振幅和位相信息转化成一幅干涉条纹的强度分布图，即全息图。

光学全息记录的物体必须是实际存在的。

而计算全息则是利用计算机程序对被记录物波的数学描述或离散数据进行处理，形成一种可以光学再现的编码图案，即计算全息图。

他不需要被记录物体的实际存在。

由于计算全息图编码的多样性和波面变换的灵活性，以及近年来计算机技术的飞速发展，计算全息技术已经在三维显示、图像识别、干涉计量、激光扫描、激光束整形等研究领域得到应用。

最近计算全息领域的新进展是利用高分辨位相空间光调制器实现了计算全息图的实时再现，这种实时动态计算全息技术已经在原子光学、光学微操纵、微加工、软物质自组织过程的控制等领域得到成功的应用，显示了计算全息技术的巨大应用发展前景。

计算全息除了其在工业和科学研究方面的应用价值，也是一个非常好的教学工具。

要做好一个计算全息图，既要熟悉衍射光学、光全息学等物理知识，还要了解抽样理论、快速傅里叶变换、调制技术和计算机编程方面的知识。

第四章习题4.1 若光波的波长宽度为λΔ，频率宽度为νΔ，试证明：λλννΔΔ=。

设光波波长为nm 8632=.λ，nm 8-10⨯2=λΔ，试计算它的频宽νΔ。

若把光谱分布看成是矩形线型，那么相干长度?=c l证明：参阅苏显渝，李继陶《信息光学》P349，第4.1题答案。

421.510c λνλ∆∆==⨯赫，32010()c c cl ct m ν===⨯∆4.2 设迈克尔逊干涉仪所用的光源为nm 0589=1.λ，nm 6589=.2λ的钠双线，每一谱线的宽度为nm 010.。

（1）试求光场的复自相干度的模。

（2）当移动一臂时，可见到的条纹总数大约为多少？（3）可见度有几个变化周期？每个周期有多少条纹？ 答：参阅苏显渝，李继陶《信息光学》P349，第4.2题答案。

假设每一根谱线的线型为矩形，光源的归一化功率谱为 ()^1212rect rect νννννδνδνδν⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦G (1)光场的复相干度为^1()()exp(2)1sin ()exp(2)[1exp(2)]2r j d c j j τνπντνδντπντπντ∞==+∆⎰G式中12ννν-=∆，复相干度的模为ντπδνττ∆=cos )(sin )(c r 由于νδν∆，故第一个因子是τ的慢变化非周期函数，第二个因子是τ的快变化周期函数。

相干时间由第一个因子决定，它的第一个零点出现在δντ1=c 的地方，c τ为相干时间，故相干长度δλλδλλδντ22≈===cc l c c 。

（2）可见到的条纹总数589301.05893====δλλλcl N （3）复相干度的模中第二个因子的变化周期ντ∆=1，故可见度的变化周期数601.06==∆=∆==δλλδννττc n 每个周期内的条纹数9826058930===n N4.3假定气体激光器以N 个等强度的纵模振荡，其归一化功率谱密度可表示为()()()()∑21-21--=+-1=N N n n NνννδνΔgˆ 式中，νΔ是纵模间隔，ν为中心频率并假定N 为奇数。

计算全息图的基本理论与制作覃芳【摘要】Compared with traditional optical holography,CGH has been widely used due to its high flexibility, simple realization and the capability to record inexistent object. More and more experts and scholars have dedicated themselves to the research of CGH. After a brief introduction of the basic theory of CGH a fourth-order detour phase encoding method is used to obtain Fourier binary CGH and Fresnel binary CGH based on MatLab. The reconstruction images are explicit and clear in the reconstruction experiment. It s a good reference for research and development of extensive applications of CGH.%与传统光学全息相比,计算全息图因具有极高灵活性,制作简单并且能够记录实际不存在物体的特点而被广泛应用.越来越多的专家和学者致力于研究计算全息图.在介绍计算全息基本理论后,采用四阶迂回相位编码方法,基于MatLab平台分别制作了傅里叶二元计算全息图和菲涅耳二元计算全息图.再现实验中得到的再现像直观明显,对研究和开拓计算全息图更广泛的应用具有参考价值.【期刊名称】《光学仪器》【年(卷),期】2012(034)001【总页数】6页(P16-21)【关键词】计算全息图;傅里叶变换;菲涅耳全息图;再现;MatLab【作者】覃芳【作者单位】上海理工大学光电信息与计算机工程学院,上海200093【正文语种】中文【中图分类】TP336引言随着数字计算机与计算机技术的迅速发展，人们广泛地使用计算机去模拟、运算、处理各种光学过程。

计算傅里叶变化全息原图（秦时明月-卫庄）离散图（512*512）计算全息图再现图实现程序%用imread () 函数读入物波函数抽样数据并保存到矩阵A中,这样原始物体就以离散数据形式保存在一个二值矩阵中(矩阵中每个元素非0即1) Image=imread('');N=512;A=zeros(N,N);B=zeros(N,N);for I=1:1:256for J=1:1:256ImageNum=double(Image(I,J,1));A(I,J)=ImageNum/255;B(I,J)=0;endendfigure;imshow(A);%为降低全息图的动态范围，通过乘随机相位因子的办法来平滑物函数的傅里叶变换谱(起到光学全息中毛玻璃漫射光的作用) PI=;for I=1:1:Nfor J=1:1:NR=rand(1,1);B(I,J)=A(I,J)*sin(R*2*PI);A(I,J)=A(I,J)*cos(R*2*PI);F(I,J)=A(I,J)+j*B(I,J);endend%对物函数做二维快速傅里叶变换（FFT）变换% F=fft2(F);Max=max(max(abs(F)));F=F/Max;A=real(F);B=imag(F);%定义载波参数alpha=;for I=1:1:Nfor J=1:1:NXcos=(J-1)/127;A1(I,J)=cos(2*PI*alpha*Xcos);B1(I,J)=sin(2*PI*alpha*Xcos);endend%全息图数据区for I=1:1:Nfor J=1:1:NHolodata(I,J)=+*(A(I,J)*A1(I,J)+B(I,J)*B1(I,J)); endend%绘制全息图，制作灰阶全息图像，灰度等级256M=512;%定义全息图的大小，Hologram=zeros(M,M);S=M/N;%定义每个抽样单元大小为S,Sfor I=1:1:Nfor J=1:1:NXa=(J-1)*S+1;Xb=J*S;Ya=(I-1)*S+1;Yb=I*S;for Ix=Xa:1:Xbfor Iy=Ya:1:YbHologram(Iy,Ix)=Holodata(I,J);endendendendMax=max(max(Hologram));Hologram=Hologram/Max;figure;imshow(Hologram);%计算傅里叶变换全息的再现Object=fft2(Hologram);Object=fftshift(Object);Object=abs(Object);Object=1000*Object/max(max(Object)); figure;imshow(Object);。