数列极限的定义

数列的极限1．数列的极限【知识点的知识】1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n}的项a n 无限趋近于某个常数a（即|a n﹣a|无限地接近于 0），那么就说数列{a n}以a 为极限，记作푙푖푚a n＝a．（注：a 不一定是{a n}中的项）푛→∞2、几个重要极限：3、数列极限的运算法则：4、无穷等比数列的各项和：（1）公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S =푙푖푚S n．푛→∞（2）1/ 3【典型例题分析】典例 1：已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有4푆푛=(푎푛+1)2，其中S n 表示数列{a n}的前n 项푛和．则푙푖푚푎푛=（）푛→∞1A．0 B．1 C．2D．2解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2，∴a1＝1．当n≥2 时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，∴2（a n+a n﹣1）＝a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1＝2．数列{a n}是等差数列，∴a n＝2n﹣1．푛푛1∴푙푖푚2푛―1=푙푖푚2―1푎푛=푙푖푚푛→∞푛→∞푛→∞푛=12．故选：C．典例 2：已知点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设 c n =1푛|푃1푃푛|(푛≥2)，求푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)的值；푛→∞（3）若d n＝2d n﹣1+a n﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{d n+n}为等比数列，并求{d n}的通项公式．解：（1）∵点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，∴b n＝2a n+1，a1＝0，∵等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*），∴a n＝0+（n﹣1）＝n﹣1．b n＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1．（2）解：由（1）可得a n﹣a1＝n﹣1，b n﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，∴|P1P n| =(푎푛―푎1)2+(푏푛―푏1)2=(푛―1)2+4(푛―1)2=5(푛―1)（n≥2）．2/ 3∴c n =1푛|푃1푃푛|=15푛⋅(푛―1)=115(푛―1―1푛)，∴c2+c3+…+c n =15[(1―112)+(2―113)+⋯+(푛―1―1푛)]=15(1―1푛)，∴푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)=푙푖푚푛→∞푛→∞15(1―1푛)=5；5（3）证明：n≥2，d n＝2d n﹣1+a n﹣1，＝2d n﹣1+n﹣2，∴d n+n＝2（d n﹣1+n﹣1），∴数列{d n+n}为等比数列，首项为d1+1＝2，公比为 2，∴푑푛+푛=2푛，∴푑푛=2푛―푛．【解题方法点拨】（1）只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限．（2）运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件．（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）1（3）求数列极限最后往往转化为푛푚（m∈N）或qn（|q|＜1）型的极限．（4）求极限的常用方法：①分子、分母同时除以n m 或a n．②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限．③利用已知数列极限（如等）．④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限．∞⑤∞﹣∞，∞，0﹣0，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限．3/ 3。

数列的极限定义是描述数列中随着项数无限增加，数列值逐渐接近某个确定的值的概念。

数列 {a_n} 的极限定义如下：
假设有一个实数L。

对于任意给定的正实数ε（ε> 0），存在一个正整数N，使得当 n > N 时，对于数列的每一项 a_n，都满足 |a_n - L| < ε。

换句话说，对于给定的任意小的正数ε，总存在某个正整数N，使得当数列的项数大于 N 时，数列中的每一项和极限 L 的差的绝对值都小于ε。

以上定义可以解释为：当数列中的项数无限增加时，数列中的元素逐渐趋向于极限值 L，并且可以通过控制允许的误差ε来确定逼近的程度。

需要注意的是，数列的极限并不一定存在或唯一。

如果存在一个实数L 满足上述定义，我们称该数列收敛，并将L 称为该数列的极限。

如果不存在这样的L，则该数列发散。

数列的极限【知识概要】1. 数列极限的定义1）数列的极限，在n 无限增大的变化过程中，如果数列{}n a 中的项n a 无限趋向于某个常数A ，那么称A 为数列{}n a 的极限，记作lim n n a A →∞=. 换句话说，即：对于数列{}n a ，如果存在一个常数A ，对于任意给定的0ε>，总存在自然数N ，当n N >时，不等式n a A ε-<恒成立，把A 叫做数列{}n a 的极限，记为lim n n a A →∞=.注：① 理解数列极限的关键在于弄清什么是无限增大，什么是无限趋近； ② 有限项的数列不存在极限问题，只有无穷项数列才存在极限问题； ③ 这里的常数A 是唯一的，每个无穷数列不一定都有极限，例如：{(1)}n-；④ 研究一个数列的极限，关注的是数列后面无限项的问题，改变该数列前面任何有限多个项，都不能改变这个数列的极限；⑤ “无限趋近于A ”是指数列{}n a 后面的项与A 的“距离”可以无限小到“零”.例1 判断下列结论的正误（1）若lim 0n n a →∞=，则n a 越来越小；（2）若lim n n a A →∞=，且{}n a 不是常数数列，则n a 无限接近A ，但总不能达到A ；（3）在数列{}n a 中，如果对一切n N ∈总有1n n a a +>，则{}n a 没有极限； （4）若lim n n a A →∞=，则lim 0n n a A →∞-=.解：（1）不正确，例如：1n a n=-，1n n a a +> （2）不正确，例如：2)21n n a n n n ⎧⎪=⎨⎪+⎩，（为偶数，（为奇数），lim 2n n a →∞=.（3）不正确，例如：11n a n=-，1n n a a +>，但lim 1n n a →∞=.（4）正确2. 数列极限的运算性质1）数列极限的运算性质如果lim n n a A →∞=，lim n n b B →∞=，那么① lim()lim lim n n n n n n n a b a b A B →∞→∞→∞±=±=±；② lim()lim lim n n n n n n n a b a b A B →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅；③ lim lim (0)lim n n n n n nn a a A B b b B →∞→∞→∞==≠. 特别地，如果C 是常数，那么lim()lim lim .n n n n n C a C a C A →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅2）四种常见的重要极限（1）lim n C C →∞= （2）1lim0n n →∞= （3）lim 0(11)nn q q →∞=-<< （4）1lim(1)n n e n→∞+=例2 下列命题中正确的命题是（ ） （A ）若lim n n a A →∞=，lim n n b B →∞=，则limn n na Ab B →∞=（B ）若lim 0n n a →∞=，则lim()0n n n a b →∞=（C ）若22lim n n a A →∞=，则lim n n a A →∞=（D ）若lim n n a A →∞=，则22lim n n a A →∞=解：选（D ）例3 已知lim[(21)]2n n n a →∞-=，求lim n n na →∞.解：1lim lim(21)lim21212n n n n n n na n a n →∞→∞→∞=-⋅=⨯=-例4 求下列数列的极限（1）若*621,16()1,72n n n n a n N n --≤≤⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩，则lim 0n n a →∞= ， lim 37n n S →∞=. （2）22211lim 232n n n n n →∞+-=-+；（3）1n =；（4）211lim 21nn n n e→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭； （5）1111lim(1)(1)(1)(1)0;234n n →∞----=（6）21231lim 2n n n →∞++++=.3.数列极限常见的解题技巧现阶段求数列的极限，总是把被求极限的数列变形四个常见的基本极限，再依据极限的四则运算法则求解。

数列的极限
一，数列极限定义
简单来讲就是：一个数列随着序数的增加最终会趋于或等于一个数，这个数就是数列的极限。

证明题要结合书上的公式
二，收敛数列的性质
1唯一性：收敛数列只有一个极限
2有界性：收敛数列一定有界。

(收敛数列最终都会趋于或等于一个数，所以有界)但有界数列不一定就是收敛数列，如-1，1，-1，1……,这个数列就是发散的，因为它同时趋于-1和1。

（有界是因为它的绝对值小于等于1，可参考上节所讲如何判定数列有界）这个数列同时说明了发散数列不一定无界。

3保号性：就是有一个数列，当其中一个数从它开始大于零，那么它之后的数都大于零。

推论：当一个数列存在某一个数大于零，那么这个数列的极限也大于零
4收敛数列与其子数列间的关系：如果一个数列收敛于A，那么它的任意子数列也收敛于A，但子数列收敛，原数列不一定收敛；子数列收敛于A，原数列不一定收敛于A，有可能原数列不收敛，可参考我在有界性中提到的例子，同时这个例子也说明一个发散的数列也可能有收敛的子数列。

数列极限定义数列极限是数学中一个非常重要的概念。

它可以帮助我们理解数列中的模式，并且可以用来计算数列中的值。

数列极限的定义是指在某一序列中，当最大值或最小值不断接近某确定的值，最终在整个序列中被认为是收敛的，那么这个确定的值就叫做此序列的极限值。

首先要解释的是，极限是一种抽象概念，即无限接近某个特定值，而且在数列中不可能达到这个特定值。

即使数字在接近时不断变化，但它也不可能达到这个特定值。

而且，在任何一个具体极限值之前，必须先存在一种极限概念，它必须经过一定的程序才能到达最终的极限值。

不仅如此，在计算极限时，还必须考虑数列中的渐进现象。

渐进现象指的是数列中的值在接近最终值时不断变化，但是最终还是会达到最终值。

而当数列中的值不断变化时，极限值就会出现。

在计算极限时，还需要考虑以下情况：（1）对称性：对称性是指，如果两个数的差距越来越窄，那么它们的差距最终也可以假定为零。

（2）连续性：连续性是指在连续数列中，每一项的和和上一项的和之差也越来越小，最终可以假定为零。

（3）可数性：可数性是指当一个数列重复某一特定值时，它们的差距最终会变为零。

（4）可计算性：可计算性是指在只有有限个值的数列中，当它们的差距越来越小时，最终会变为零。

（5）极限类型的定义：只有当指定的数列重复接近某一定值时，才可以将其定义为极限。

例如，当一个数列的值接近但不等于零时，这个数列可以被定义为极限。

数列极限定义中还包括了一些其他概念，如极小、极大以及极大临界数，它们都是以极限为基础，能够帮助我们更好地了解数列。

极小就是指极限值降低，极大就是指极限值增加，而极大临界数就是极大值到达最大值的点，就像一个可以逆转数列的垂直线一样。

总的来说，数列极限定义是一个重要的概念，它可以帮助我们理解数列中的模式，并且可以用来计算数列中的值。

此外，在计算极限时，还必须考虑的一系列其他概念，如对称性、连续性、可数性和可计算性，这些概念可以帮助我们更深入地理解数列。

数列极限定义
，
数列极限定义是指从一组数的序列出发，当数列中的每一项都趋
向某个特定的数时，这个特定的数就被称为该数列的极限。

例如，设
有一组数据序列 1,2,3...，当我们对其进行求和操作时，求和结果将
不断逼近某个数，这个极限数即定义为该数列的极限。

从几何角度来看，极限有一种共性——它总是出现在两个离散点
连接上边界上，这也是极限的共有定义。

动态地，极限可以被视作一
类特殊函数，可以用来表示不同的数据过程的最终趋势或模式。

有了
极限的定义，我们可以利用它来更好地理解数据的数学规律，有助于
精准地把握数据的变化趋势，从而可以更有效地进行数据分析。

极限也具备一个重要特点—非唯一性，即一个数列可以有多个极限。

I这意味着，当不同的序列求和时，有可能出现完全不同的最终
结果，但它们也可以有相似的极限。

这个特点在一定程度上也决定了
数据分析的具体步骤，同时也提示了我们要注意结果的真实性。

总的来说，极限有很多应用，它的定义不仅有助于理解数据的趋势，而且也提醒我们要时刻关注结果的真实性。

只有精确地分析数据，才可以对数据进行有效的分析。

数列极限的知识点总结一、数列极限的定义1.1 数列首先要了解数列的概念。

数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。

数列通常用符号{an}表示，其中an代表数列的第n个元素。

数列是数学中一种基本的数学概念，它在许多数学问题中都起着重要的作用。

1.2 数列极限接着要了解数列的极限。

数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的元素an的值趋近于一个常数L，即lim(an) = L。

如果这样一个数L存在，那么我们就说数列{an}收敛，并且把L称为数列的极限，记作lim(an) = L。

如果这样一个数L不存在，那么我们就说数列{an}发散。

1.3 数列极限的形式化定义对于给定的数ε，如果存在一个正整数N，使得当n大于N时，|an - L| < ε恒成立，那么称L是数列{an}的极限。

这样的N存在的话，就称这N是数L和ε的函数。

1.4 无穷大数列如果数列{an}中的元素an当n趋向于无穷大时，它的绝对值|an|趋向于无穷大，那么就称数列{an}是无穷大的。

对于无穷大数列，我们通常用符号lim(an) = ±∞来表示。

1.5 注意事项在讨论数列极限的问题时，需要注意以下几点：1) 数列的极限可能是一个有限的常数，也可能是无穷大。

2) 一般来说，数列的极限不一定存在，也可能有多个极限（一般在不同n的取值范围内）。

3) 要特别注意当n趋于无穷大时，数列中的元素an的绝对值的行为，关系到数列是否是无穷大数列。

以上是数列极限的基本概念和定义，下面我们将介绍数列极限的相关性质。

二、数列极限的相关性质2.1 唯一性如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。

换句话说，如果lim(an) = L1和lim(an) = L2，那么L1 = L2。

2.2 有界性如果数列{an}收敛，那么它一定是有界的，即存在一个正实数M，使得|an| < M（n∈N）。

2.3 保号性如果数列{an}收敛到一个有限的极限L，那么当n充分大时，数列{an}的元素和L有相同的正负号。