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当n无限增大时, an无限接近于a . 当n无限增大时, |ana|无限接近于0 . 当n无限增大时, |ana|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |ana|能小于事先给定的任意 小的正数.
因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |ana|能小于事先 给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, an无限接近于常 数a.
7 3(3n 1)
7 9n
1 n
对 0,
取
N
1
,
则当n N时,
总有 2n 1 2 1 ,
3n 1 3 n
lim 2n 1 2 . n 3n 1 3 0, 存在N（），使得，当n N时，
an a 成立
11
用定义证明
lim
n
an=
a，就是证明对
>0，N存在.
证明的步骤：
n
nn
随着n的增加，1/n会越来越小.例如
给定 1,
由 1 1, n
只要 n 1时,
有 an 1 1,
给定 1 , 由 1 1 ,
10
n 10
只要 n 10时,
有
1 an 1 10 ,
给定 给定
1, 1010 1000
由 ,
1 1 , n 100 只要 n
只要 n 1000时,
2
数列的极限
例如
111 1
, , , 248
, 2n
,
;
2, 3 , 4 ,L , n 1 ,L ; 23 n
{
1 2n
}
{n 1} n
2, 1 , 4 , , n (1)n1 , ;
23
n
n (1)n1
{
}
n
观察数列 {an } 当 n 时的变化趋势.
3
当n无限增大时, 如果数列{an}的一般项an无限接近 于常数a, 则数列{an}收敛a.
12
例3 证明 lim qn 0,其中| q | 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则lim qn lim 0 0;
n
n
若0 | q | 1,
| an
0 || q |n ,
nln | q | ln ,
n
ln ,
ln | q |
对1 0, 取N ln , 则当n N时,
引例:截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为a1源自1 2;第二天截下的杖长为a2
1 22
;
第n天截下的杖长为an
1 2n
;
an
1 2n
0
1
2、数列
数列{an }.
注意: 数列对应着数轴上一个点列,可看作一动
点在数轴上依次取 a1,a2 ,L ,an ,L .
a1
an a4 a3 a5 a2
lim 则称数列 an 没有极限，或称数列
an
发散，记作
n
an不
存在.
当 n无限增大时，如果 an 无限增大，则数列没有极限.这时，
习惯上也称数列 a的n极限是无穷大，记作
liman
n
10
例2 证明 lim 2n 1 2 . n 3n 1 3
证
an a
2n 1 2 3n 1 3
4
通过观察:
当
n
无限增大时,
an
1
(1)n1 n
无限接近于
1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
我们可用两个数之间的‘距离’来刻化两个数
的
接近程度. Q an 1
( 1) n1
1
1
n
(1)n1 1 1 nn
随着n的增加，1/n会越来越小.
5
Q an 1
1 (1)n1 1 (1)n1 1 1
引入符号和N来刻化无限靠近和无限增大.
n
an充分接近1
n N 确保 an 1
( 刻画an与1的接近程度)
给定 0,
只要 n N ( [1])时,有
an 1 成立.
7
定义 1( N 定义) 设 an 是一个数列， a 是一
个确定的数，若对任给的正数 ，相应地存在正整数
N，使得当n N 时，总有 an a ，则称数列 an
收敛于 a，
a
称
为
它
的
极
限
，
记
作
lim
n
an
a
或
an a (n )．
如果数列 an 没有极限，则称它是发散的或发
散数列．
注意: N定义的要点.
0, 存在N（），使得，当n N时，
an a 成立
(
)
a a a
8
N定义 :
0, 存在N（），使得，当n N时， an a 成立
ln | q |
恒有| qn 0 | ,
limqn 0. n
13
证明 lim (1)n 不存在. n
只要n无限增大，an 无法与始终和1无限靠近, 也无法和始终和－1无限靠近。
0 | q | 1
lim
qn
n
1
| q | 1 q1
不存在 q 1
14
几何解释:
a 2 a
a2 a1 aN 1 a aN 2 a3
x
当n N时, 所有的点 an都落在 (a , a ) 内,
只有有限个 (至多只有N个) 落在其外. 9
例1 ， 数列 2n 1， (1)n1 都没有极限.
如果当n无限增大时，数列 an 不能接近于一个确定的常数，
100时,
有 an
有 1
an 1 1,
1000
1 100
,
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
an
1
1 10000
,
[x]为取整函数
任意给定
0,
只要
n N ( [ 1 ])时,
有
an
1
成立. 6
Q an 1
1 (1)n1 1 n
(1)n1 1 1 nn
只要n无限增大，an 就会与1无限靠近, 即 an 1 可任意小
(1) 对于任意给定的正数 , 令 |ana|< ; (2) 由上式开始分析倒推, 推出 n > () ; (3)取N=[ ()] , 再用 N语言顺述结论.
注意: (1)由于N 不唯一,不要求最小的N,故可把 |ana|适当放大,得到一个新的不等式,再寻找 N.
(2)从 |ana|< 找 N 与解不等式 |ana|< 意义不同.
