第二章 数列极限引言:在第一章中我们已经指出，数学分析课程研究的对象是定义在实数集上的函数，那么数学分析用什么方法研究实数集上的函数呢？从本质上来说，这个方法就是极限。
极限思想和方法贯穿于数学分析课程的始终，几乎所有的概念都离不开极限，是我们数学分析课程的基础。
§１ 数列极限的概念教学内容：数列极限的概念，应用定义证明简单数列的极限，无穷小数列。
教学要求：使学生逐步建立起数列极限的N ε-定义的清晰概念。
深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念。
会应用数列极限的N ε-定义证明数列的有关命题，并能运用N ε-语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点：数列极限的概念。
教学难点：数列极限的N ε-定义及其应用。
教学方法：讲授为主。
教学学时：2学时。
一、数列概念：１．数列的定义：简单的说，数列就是“一列数”，是有一定的规律，有一定次序性的“一列数”。
若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→或+∈N n n f ),(为数列。
若记()n f n a =，则数列n n n f ,2,1),(=就可写作为：12,,,,n a a a ，简记为{}n a ，其中n a 称为该数列的通项。
２．数列的例子：（1）(1)111:1,,,,234n n ⎧⎫---⎨⎬⎩⎭； （2）11111:2,1,1,1,435n ⎧⎫++++⎨⎬⎩⎭（3）{}2:1,4,9,16,25,n ； （4）{}11(1):2,0,2,0,2,n ++-二、数列极限的概念：１．引言：对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）：第１天截下12，第２天截下2111222⋅=，第３天截下23111222⋅=，…，第n 天截下1111222n n -⋅=，… 得到一个数列：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n21： 231111,,,,,2222n不难看出，数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项12n随着n 的无限增大而无限地接近于零。
一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限。
不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。
据此可以说，数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是收敛数列，０是它的极限。
数列{}{}21,1(1)n n ++-都是发散的数列。
需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来。
还有待进一步分析。
以11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为例，可观察出该数列具以下特性： 随着n 的无限增大，11n a n =+无限地接近于1→随着n 的无限增大，11n+与１的距离无限减少→随着n 的无限增大，1|11|n +-无限减少→1|11|n +-会任意小，只要n 充分大。
如：要使1|11|0.1n +-<，只要10n >即可；要使1|11|0.01n+-<，只要100n >即可；任给无论多么小的正数ε，都会存在数列的一项N a ，从该项之后()n N >，1|11|n ε⎛⎫+-< ⎪⎝⎭。
即0,N ε∀>∃，当n N >时，1|11|n ε⎛⎫+-< ⎪⎝⎭。
如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得：1n ε>，取1[]1N ε=+即可。
这样0,ε∀>当n N >时，111|11|n n N ε⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭。
综上所述，数列11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的通项11n +随n 的无限增大，11n+无限接近于１，即是对任意给定正数ε，总存在正整数Ｎ，当n N >时，有1|11|n ε⎛⎫+-< ⎪⎝⎭。
此即11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭以１为极限的精确定义。
2．数列极限的定义：定义1 设{}n a 为数列,a 为实数,若对任给的正数ε,总存在正整数N,使得当n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a,实数a 称为数列{}n a 的极限,并记作lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞.读作：当n 趋于无穷大时,n a 的极限等于a 或n a 趋于a 。
由于n 限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n →+∞写成n →∞,即lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞.若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列。
３．举例说明如何用N ε-定义来验证数列极限： 例１．证明 为正数。
这里αα,01lim=∞→n n 证明：0>∀ε，∃111+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=αεN ，则当N n >时，便有εααα<<=-Nn n 1101，所以.01lim =∞→αn n（注：这里取整保证N 为非负整数；1+保证N 为正整数。
）例２．证明 lim 0(||1)nn q q →∞=<.证明：0>∀ε（不妨设1<ε），∃qN lg lg ε=，则当N n >时，便有ε<=-n n q q 0，所以lim 0(||1)n n q q →∞=<.(注：这里限制1<ε保证N 为正数，但这并不影响证明过程；N 并不一定是整数。
) 例３．证明 321lim097n n n →∞-=+.证明：0>∀ε，12+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃εN ，则当N n >时，便有ε<=≤+-=-+-233322791207912n n n n n n n ，所以321lim097n n n →∞-=+.例４．证明 223lim 33n n n →∞=-. 证明: 由于)3(939333222≥≤-=--n n n n n ，因此，0>∀ε，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∃ε9,3max N ，则当N n >时，便有ε<--33322n n ，所以223lim 33n n n →∞=-. 例５．证明1n =，其中0a >.证明：当1=a 时，结论显然成立.现设1>a ，记11-=na α，则0>α.由 )1(11)1(1-+=+≥+=nna n n a αα得na a n111-≤-于是， 0>∀ε，ε1-=∃a N ，则当N n >时，便有ε<-1na，所以1n =.对于10<<a 的情形，留作练习。
４．关于数列的极限的N ε-定义的几点说明：（１） 关于ε：① ε的任意性。
定义１中的正数ε的作用在于衡量数列通项n a 与常数a 的接近程度，ε越小，表示接近得越好；而正数ε可以任意小，说明n a 与常数a 可以接近到任何程度；②ε的暂时固定性。
尽管ε有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出Ｎ；③ε的多值性。
ε既是任意小的正数，那么2,3,2εεε等等，同样也是任意小的正数，因此定义１中的不等式||n a a ε-<中的ε可用2,3,2εεε等来代替。
从而“||n a a ε-<”可用“||n a a ε-≤”代替；④正由于ε是任意小正数，我们可以限定ε小于一个确定的正数。
（２） 关于Ｎ：① 相应性，一般地，Ｎ随ε的变小而变大，因此常把Ｎ定作()N ε，来强调Ｎ是依赖于ε的；ε一经给定，就可以找到一个Ｎ；②Ｎ多值性。
Ｎ的相应性并不意味着Ｎ是由ε唯一确定的，因为对给定的ε，若100N =时能使得当n N >时,有||n a a ε-<,则101N =或更大的数时此不等式自然成立。
所以Ｎ不是唯一的。
事实上，在许多场合下，最重要的是Ｎ的存在性，而不是它的值有多大。
基于此，在实际使用中的Ｎ也不必限于自然数，只要Ｎ是正数即可；而且把“n N >”改为“n N ≥”也无妨。
③N 的取值也不一定必须是正整数，可以为为正数，因为满足条件的正数N 如果存在，比N 大的任何正整数必能使条件成立。
（３）数列极限的几何理解：在定义１中，“当n N >时有||n a a ε-<”⇔“当n N >时有n a a a εε-<<+” ⇔“当n N >时有(),(;)n a a a U a εεε∈-+=” ⇔所有下标大于Ｎ的项n a 都落在邻域(;)U a ε内；而在(;)U a ε之外，数列{}n a 中的项至多只有Ｎ个（有限个）。
反之，任给0ε>，若在(;)U a ε之外数列{}n a 中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为Ｎ，则当n N >时有(;)n a U a ε∈，即当n N >时有||n a a ε-<，由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）：定义1' 任给0ε>，若在(;)U a ε之外数列{}n a 中的项只有有限个，则称数列{}n a 收敛于极限a.由此可见：１）若存在某个00ε>，使得数列{}n a 中有无穷多个项落在0(;)U a ε之外，则{}n a 一定不以a 为极限；２）应该注意，任给0ε>，若在(;)U a ε内数列{}n a 中的项有无限多个，并不能说明数列{}n a 收敛于极限a 。
例6. 证明{}2n 和{}(1)n -都是发散数列。
分析：即证数列不以任何R a ∈为极限，利用定义'1。
证明：R a ∈∀，取10=ε，则数列{}2n 中所有满足1+>a n 的项（有无穷多个）显然都在);(0εa U之外，故{}2n 不以任何R a ∈为极限，即数列{}2n 是发散数列。
取1=a ，10=ε，则在);(0εa U 之外有{}(1)n -中所有奇数项（无穷多项），故{}(1)n -不以1为极限；对1≠∀a ，取1210-=a ε，则在);(0εa U 之外有{}(1)n -中所有偶数项（无穷多项），故{}(1)n -不以1≠∀a 为极限。
从而{}(1)n -不以任何R a ∈为极限，即{}(1)n -是发散数列。
例7. 设lim lim n n n n x y a →∞→∞==，作数列如下：{}1122:,,,,,,,n n n z x y x y x y . 证明 lim n n z a →∞=.证明：因lim lim n n n n x y a →∞→∞==，故0>∀ε，数列{}n x 和{}n y 在);(εa U 之外的项都至多只有有限个，所以数列{}n z 中落在);(εa U 之外的项至多只有有限个，从而lim n n z a →∞=。
例8. 设{}n a 为给定的数列，{}n b 为对{}n a 增加、减少或改变有限项之后得到的数列。
