数学分析-数列极限
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第二章
数列极限
§1 数列极限概念
教学目的与要求:
使同学们理解数列极限存在的定义,数列发散的定义,某一实数不是数列极限的定义;掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点,难点:
数列极限存在和数列发散定义的理解;切实掌握数列收敛发散的定义,利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容: 一、课题引入
1°预备知识:数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。
2°实例:战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰,
日取其半,万古不竭。”将其“数学化”即得,每天截后剩余部分长度为(单位尺)
21,221,321,……,n 21
,…… 或简记作数列:⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n 21
分析:1°、⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n 21随n 增大而减小,且无限接近于常数0;
2
二、数列极限定义
1°将上述实例一般化可得:
对数列{}n
a ,若存在某常数a ,当n 无限增大时,a n 能无限接近常数a ,则称
该数为收敛数列,a 为它的极限。
例如:⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n 1, a=0;
⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧-+n n )1(3, a=3; {}2
n , a 不存在,数列不收敛;
{}n
)1(-, a 不存在,数列不收敛;
2°将“n 无限增大时”,数学“符号化”为:“存在N ,当n >N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧-+n n
)1(()3以3为极限,对ε=
10
1
3)1(3--+
=-n
a a n
n =10
11π
n
只需取N=10,即可
3°“抽象化”得“数列极限”的定义
定义:设{}n
a 是一个数列,a 是一个确定的常数,若对任给的正数ε,总存在
某一自然数N ,使得当n >N 时,都有
a
a n -<ε
则称数列{}n
a 收敛于a ,a 为它的极限。记作
a a n n =∞
→lim {(或a n →a,(n →∞)) 说明
(1)若数列{}n
a 没有极限,则称该数列为发散数列。
(2)数列极限定义的“符号化”记法:a a n n =∞
→lim ⇔
ε
∀>0,∃N ,当n (3)上述定义中ε的双重性:ε>0是任意..
的,由“任意性”可知,不等式a
a
n
-<ε,可用a
a
n
-<2ε,a
a
n
-<ε2
……来代
替 “<”号也可用“≤”号来代替(为什么)(4)上述定义中N 的双重性:N 是仅依赖..于ε的自然数,有时记作N=N (ε)(这并非说明N 是ε的函数,是即:N 是对应确定....的!但N 又不是唯一....的,只要存在一个N ,就会存在无穷多个N
(5)如何用肯定的语气叙述a a n n ≠∞
→lim : 0ε∃>0,∀N ,∃n 。尽管n 。>N ,但a
a
o
n
-(6)如何用肯定的语气叙述,数列{}n
a 发散:
R
a ∈∀ ,)(a O O
εε
=∃>0,∀N ,∃n o,尽管
n o >N ,但a
a
o
n -≥εo 。
(7)a n n ∞
→lim
即a 的任给ε邻城,都存在一个足够大的确定的自然数N ,使数列{}n a 中,所有下标大于N 的a n ,都落在a 的ε邻城内。
.的例题 例1.证明01
lim =∞
→k
n n (K 为正实数)
证:由于
k
k n n 1
01=- 所以∀ε>0,取N=⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢
⎣⎡k 11ε,当n >N 时,便有
ε〈-01
k n
注:或写作:∀ε>0,取N=⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢
⎣⎡k
11ε,当n >N 时,有
ε〈=-K K n
n 101,∴01lim =∞
→k
n n
例2. 证明34
3lim
22
=-∞
→n n n 分析,要使ε〈≤-=--n n n n 12
412343222(为简化,限定n 3≥
只要n ε
12
〉
证.⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=〉∀3,12max ,0εεN 取,当n N 〉,有
ε〈≤-=--n
n n n 12
41234322
2
由定义34
3lim 22=-∞
→n n n 适当予先限定n >n 。是允许的!但最后取N 时要保证n >n 。 例3.证明n
n q ∞
→lim =0,这里q <1
证.若q=0,结果显然成立 若0<q <1,令q =h h
(11
+>0) 由于由贝努利不等式n n
n h q q )1(1+=
=≤nh +11<nh
1
所以,ε∀>0,取N=n h 当,1⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡ε>N ,有0-n q <ε
注:1°特别地写当q=
2
1
时,此即为上述实例中的0)
21(lim =∞
→n
n
2°贝努利不等式(1+h )n ≥1+nh.
3°由例2、例3看出,在由a a n -<ε中求N 时,适当的 “放大”不等式,可以简化运算。而“放大”的技巧应引起同学们注意体验、总结。如:用已知不等式,用限定“n >n 。”等方法。 例4.证明1lim
=∞
→n
n a ,其中a >1