高中数学第三章概率3.3.2均匀随机数的产生课件新人教版必修3

[提示] (1)× (2)√ (3)√
课堂互动探究
题型一 用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率 【典例 1】 取一根长度为 3 m 的绳子，拉直后在任意位置 剪断，用随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于 1 m 的概率． [思路导引] 在任意位置剪断绳子，则剪断位置到某一端点 的距离取遍[0,3]内的任意数，并且取到每一个实数都是等可能 的．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,3]上 的均匀随机数，其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪断位置与端 点距离在[1,2]内，也就是剪得两段的长都不小于 1 m．这样取得 的[1,2]内的随机数个数与[0,3]内的随机数个数之比就是事件发生 的频率．
④计算频率 fn(A)＝NN1，即为所求概率的近似值．
[答案] (1)C (2)见解析
引申探究：若本例(2)条件不变，如何利用随机模拟的方法求 该特种兵的成绩为不合格的概率？
[解] 设事件 C 表示“该特种兵跳伞的成绩不合格”． ①利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝ RAND，b1＝RAND. ②经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝14b1－7，得到[－ 8,8]与[－7,7]上的均匀随机数． ③统计满足－8<a<8，－7<b<7 的点(a，b)的个数 N，满足 a2 ＋b2>25 的点(a，b)的个数 N1. ④计算频率 fn(C)＝NN1，即为所求概率的近似值．
用随机模拟方法估计长度型与面积型几 何概型的概率的区别与联系
(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需产生随 机数．
(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所 求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题， 一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的 位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的两个坐标，从 而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比.

3.3.2 均匀随机数的产生（选学）
【课标要求】
1．了解均匀随机数的产生方法与意义． 2．会用模拟试验求几何概型的概率． 3．能利用模拟试验估计不规则图形的面积．
【核心扫描】
1．会利用模拟试验估计概率．(重点) 2．会设计简单的模拟试验的设计方案．(难点)
精品课件
1
自学导引
1．均匀随机数定义：如果试验的结果是区间[a，b]内的任何 一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，则称这些
[0,1]内的多个均匀随机数．
(2)用计算机产生均匀随机数的过程如下：Scilab中用
rand()函数来产生0～1的均匀随机数，每调用一次rand()
函数，就产生一个随机数，如果要产生a～b之间的随机
数，则使用变换rand()*(b精－品a课)件＋a得到．
4
2．整数随机数与均匀随机数的联系与区别：
实数为均匀随机数．
2．均匀随机数的产生 (1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是_R__A_N__D函数． (2)Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为rand()．
3．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法
(1) _试__验__模__拟__的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，
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N N
1
，
即为所求概率的近似值.
提醒:用随机模拟的方法估计事件的概率,首先要确定
所求的几何概型与哪个量有关系,然后产生相应的随机
数,并严格按照试验步骤进行.
【变式训练】在区间[0,3]内任取一个实数,求该实数 大于2的概率.
【解析】(1)利用计算器或计算机产生n个0～1之间 的均匀随机数,x=RAND; (2)作伸缩变换:y=x*(3-0),转化为[0,3]上的均匀 随机数; (3)统计出(2,3]内均匀随机数的个数m; (4)则概率的近似值为 m .
2.下列关于随机数的说法:
①计算器只能产生(0,1)之间的随机数;
②计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数;
③计算器只能产生均匀随机数;
④我们通过命令RAND*(b-a)+a来得到两个整数值之间
的随机数.其中正确的是

.
【解析】
序号
判断
原因分析
①
×
计算器可以产生[0,1]上的均匀随机数和[a,b]上的整数值随机数
(2)应用模拟试验近似计算概率的方法要点分析 用均匀随机数模拟试验时,首先把实际问题转化为
可以用随机数来模拟试验结果的概率模型,也就是怎样 用随机数刻画影响随机事件结果的量.从以下几个方面 考虑:
①由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随 机数组数.如长度型、角度型只用一组,面积型需要两 组; ②由所有基本事件总体对应的区域确定产生随机数的 范围; ③由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式, 求事件A的概率.
【自我检测】 1.用均匀随机数进行随机模拟,可以解决 ( ) A.只能求几何概型的概率,不能解决其他问题 B.不仅能求几何概型的概率,还能计算图形的面积 C.不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积 D.最适合估计古典概型的概率

x
x 6.5 rand() y 7 rand()
设随机模拟的试验次数为 ，其中父亲得到报纸 的次数为 （即为满足y x 的试验次数），则由 古典概型的知识可得，可以由频率近似的代替概率，
n
a
n 所以有： p ( A) a
随机模拟
例2：在如右图所示的正方形 盘子中随机的撒一把豆子， 计算落在圆中得豆子数与落 在正方形中的豆子数之比并 依此估计圆周率的值。
例1：假如你家订了一 份报纸，送报人可能在 早上6：30~7：30之间 把报纸送到你家，你父 亲离开家去工作的时间 是在早上7：00~8：00， 问你父亲在离开家前能 得到报纸（称为事件A） 的概率是多少？
想一想：你
能设计一个 随机模拟的 方法来求它 的概率吗？ 分析：我们有两种方法计 算该事件的概率： (1)利用几何概型的公式； (2)用随机模拟的方法．
解：方法一（几何概型法）
设送报人送报纸的时间为 x ， 父亲离家的时间为 y ，由题义可得父 亲要想得到报纸，则 x与 y 应该满足 的条件为：
6.5 x 7.5 7 y 8 yx
画出图像如右图所示，
由题义可得符合几何概 型的条件，所以由几何 概型的知识可得：
y
父 离 时 亲 家 间 y=x
M (a, b) ，求出满足 a 2 b 2 1 的点 (3)构造点
的个数 M (a, b) 的个数
m，则可得：
4m . n
模拟试验
例3：利用随机模拟方法计算 右图中阴影部分（由 y 1 2 和 y x 所围成的部分）的 面积． 想一想：你 能设计一个 随机模拟的 方法来估计 阴影部分的 面积吗？
线 x 1, y 1, y 0 围成的的矩形的面积为2， 利用随机模拟的方法可以得到落在 阴影部分内的点与落在矩形内的点 数之比，再用几何概型公式就可以 估计出阴影部分的面积．

二 用随机模拟法估计面积型几何概型的概率 【例2】 现向如图中正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖
落在阴影部分的概率．
【分析】 我们有两种方法计算该事件的概率：(1)利用 几何概型的概率公式；(2)用随机模拟的方法．
【解】 解法1：由于随机地投掷飞镖，飞镖落在正方形 内每一个点的机会是等可能的，所以符合几何概型的条件．
3．随机数的产生方法 实例法：(1)掷骰子．(2)从一叠纸牌中抽牌． 计算器法：按SHIFT、RAN #键都会产生0～1之间的随机 数． 计算机软件法：几乎所有的高级编程语言都有随机函数， 借助随机函数可以产生一定范围内的随机数．VFP、Scilab中 的RAND( )函数，还有几何画板中的ROUND( )函数等等．
(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P＝S4. ∴NN1＝S4，∴S≈4NN1即为阴影部分面积的近似值．
规律技巧 解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率 公式分别求得概率，然后通过解方程求得阴影部分面积的近似 值.
随堂训练 1.点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随 机取一点B，则劣弧 的长度小于1的概率为________．
解析 把圆周三等分，每份的弧长都等于1.如图所示，当
点B在优弧
上时都满足题意，故所求的概率为P＝23.
答案
2 3
2.一个投针实验的模板如图所示，AB为半圆O的直径，点 C在半圆上，且CA＝CB.现向模板内任投一针，则该针恰好落 在△ABC内(图中阴影区域)的概率是________．
解析
设半圆O的直径AB＝2，则S△ABC＝
自 1.任何一个实数 等可能的 我
2.(1)产生的 校
(2)可能性相等 对
名师讲解 1.[0,1]上均匀随机数的产生 利用计算器的RAND函数可以产生[0,1]上的均匀随机数， 试验的结果是区间[0,1]上的任何一个实数，而且出现任何一个 实数是等可能的，因此，可以用计算器产生的0到1之间的均匀 随机数进行随机模拟．

=
7 16
.
6
0
y=x+6 y=x-6
6 12 24 x
练习2： 解：以 x , y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是 0≤x≤5,0≤y≤5. 试验的全部结果构成的区域为正方形，面积为25. 二人会面的条件是|x-y|≤1,
记“二人会面”为事件A.
y
5
阴影（红色）部分的面积
P( A)
正方形的面积
2
AB
A. 1
B. 1
C. 3
D. 7
2
4
2
4
解：选D.如图，在矩形ABCD中，分别以A，B为圆
心，AB为半径作圆交CD分别于F,E,当点P在线段EF
上运动时满足题设要求，由对称性可知E、F为CD的
四等分点，设 AB ，4则 DF 3, A，F AB 4
在直角三角形ADF中，AD AF 2 DF，2 7
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法三（几何法） 解：设送报人到达的时间为x，父亲离开家的时间为 y. (x,y)可以看成平面中的点.试验的全部结果所构成 的区域面积为SΩ=1×1=1.
事件A构成的区域为 A={(x,y)|y≥x,6.5≤x≤7.5,7≤y≤8} 即图中的阴影部分，面积为
111 7 SA 1 2 2 2 8 .
作业:复习参考A、B组题
【提升总结】
利用随机模拟方法可求概率问题，其实质是 先求频率，用频率近似代替概率.其关键是设计好“程 序”或者说“步骤”，并找到各数据需满足的条件.
例3 在正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟
的方法估计圆周率的值．
解：豆子落在圆内的概率=
圆的面积 正方形的面积
落在圆中的豆子数

第三章 3.3
3.3.2
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规律总结：用随机模拟方法估计几何概型的步骤：① 确定需要产生随机数的组数，如长度、角度型只用一组，面 积型需要两组；②由基本事件空间对应的区域确定产生随机 数的范围；③由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系 式；④统计事件A对应的随机数并计算A的频率来估计A的概 率．
第三章 3.3 3.3.2
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利用随机模拟方法计算图中阴影部分(y＝x3和x＝2以及x 轴所围成的部分)的面积．
第三章 3.3
3.3.2
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[分析]
解答本题可先计算与之相应的规则图形的面
积，然后利用随机模拟的方法求出几何概率，并对阴影部分 的面积进行估算．
第三章 3.3
3.3.2
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自主预习 阅读教材P137－140，回答下列问题： 1．均匀随机数 (1)定义 如果试验的结果是区间[a，b]上的任何一个实数，而且 出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机 数．
第三章 3.3
3.3.2
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求出阴影部分与正方形的面积之比，从而求得阴影部分面积 的近似值．
第三章 3.3
3.3.2
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[解析]
步骤：(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随
机数，a1＝RAND，b1＝RAND. (2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，b＝2b1，得到 一组[－1,1]内的均匀随机数和一组[0,2]内的均匀随机数． (3)统计试验总数N和落在阴影内的点数N1[满足条件b<2a 的点(a，b)的个数]．

用随机模拟法估计长度型几何概率
取一根长度为 3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段 的长都不小于 1 m 的概率有多大？
【精彩点拨】 用模拟方法并进行相应转化求概率．
【尝试解答】 法一：(1)利用计算器或计算机产生一组(共 N 个)0 到 1 区间 的均匀随机数，a1＝RAND； (2)经过伸缩变换，a＝a1*3；
一般地，若一个随机事件需要用两个连续变量如本例中的 x，y来描述，用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件， 利用坐标平面能顺利地建立与面积有关的几何概型.
[ 再练一题] 2.如图 3310，在墙上挂着一块边长为 16 cm 的正方形木板， 上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为 2 cm，4 cm,6 cm， 某人站在 3 m 之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板 时不算，可重投，问：投中大圆内的概率是多少？投中小圆与中
4．在边长为 2 的正方形当中，有一个封闭曲线围成的阴影 区域，向该正方形中随机撒入 100 粒豆子，恰有 60 粒豆子落入 阴影区域内，那么阴影区域的面积近似为____________.
12 S 60 【解析】 设阴影区域的面积为 S，则4≈100，S≈ 5 . 12 【答案】 5
图 338
[ 小组合作型]
图 3310 圆形成的圆环内的概率是多少？投中大圆之外的概率是多少？ 【解】 记事件 A＝{投中大圆内}，事件 B＝{投中小圆与中圆形成的圆环
内}，事件 C＝{投中大圆之外}． (1)用计算机产生两组[0,1] 上的均匀随机数 a1＝RAND，b1＝RAND；
(2)经过伸缩平移变换，a＝16a1－8，b＝16b1－8，得到两组[ －8,8] 的均匀随 机数； (3)统计投中大圆内的次数 N1(即满足 a2＋b2＜36 的点(a，b)的个数)，投中小 圆与中圆形成的圆环的次数 N2(即满足 4＜a2＋b2＜16 的点(a，b)的个数)，投中 木板的总次数 N(即满足－8＜a＜8，－8＜b＜8 的点(a，b)的个数)； N－N1 N1 N2 (4)计算频率 fn(A)＝ N ，fn(B)＝ N ，fn(C)＝ N ，即分别为概率 P(A)，P(B)， P(C)的近似值．