下载文档原格式
§1.5 行列式的性质行列式是矩阵最为基础的性质之一，它具有众多的特性、定理和性质。
行列式在线性代数、微积分、算法设计、物理、统计学等众多学科中都有着广泛的应用。
了解行列式的性质可以帮助我们更好地掌握矩阵的相关知识，在各个领域更为灵活地应用数学知识。
行列式的性质包括：1. 矩阵中任意两行（列）交换，行列式的值变号，即 $det(A) = - det(A^T)$，其中$A^T$ 表示 $A$ 的转置矩阵。
2. 矩阵中某一行（列）加上另一行（列）的若干倍，行列式的值不变。
3. 矩阵中某一行（列）乘以一个非零常数 $k$，行列式的值乘以 $k$。
5. 对于$n$阶矩阵，行列式可以按任意一行（列）展开，展开后的行列式值等于该行列式中所有元素的代数余子式乘以对应元素的余子式。
6. 若矩阵中有两行（列）的对应元素成比例，则该矩阵的行列式为 $0$。
7. 若矩阵 $A$ 是可逆的，则其行列式值不为 $0$，并且$det(A^{-1})=\dfrac{1}{det(A)}$。
8. 对于矩阵 $A$ 和 $B$，$det(AB)=det(A)det(B)$，其中 $A$ 和 $B$ 的阶数应当相同。
9. 对于 $n$ 级单位矩阵 $I_n$，其行列式的值为 $1$。
这些性质并不是行列式的全部，但是是最基本的性质。
它们在计算行列式的各种方法和技巧中发挥了重要的作用。
掌握这些性质可以使我们更加熟练地应用行列式进行矩阵运算和分析问题。
接下来，我们将对一些常用的性质和定理进行详细的讲解。
对于$n$级方阵$A$，若将它的任意两行交换，则其行列式$det(A)$的值变号。
这意味着行列式具有交换性和反对称性。
对于$n$级矩阵$A$，如将它的第$i$行与第$j$行交换，则有：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\... & ... & ... & ... \\a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\... & ... & ... & ... \\a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{jn} \\... & ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{jn} \\... & ... & ... & ... \\a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\... & ... & ... & ... \\a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\... & ... & ... & ... \\a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\end{vmatrix}$$使用这一方法可以将行列式划分成多个简单的子项，方便进行计算。
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
