行列式的定义及性质
（张俊敏）
● 教学目标与要求
通过学习，使学生理解n 阶行列式的定义，熟练掌握二、三阶行列式性质，能运用性质求行列式的值。
● 教学重点与难点
教学重点：n 阶行列式的定义及性质。 教学难点：n 阶行列式定义的理解。
● 教学方法与建议
通过复习高中时所学过的二阶与三阶行列式，了解行列式及其应用，在此基础上引出一般意义上的n 阶行列式定义。要特别指出：行列式是一种运算，其结果是一个数；其意义在于在由数组成的形式（方阵）与数域之间建立了一种联系，使得我们可以通过数来研究形式的东西，同时可以通过形式的东西来研究与数有关的问题。
● 教学过程设计
1.问题的提出
求解二、三元线性方程组
（二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221
211
212111b x a x a b x a x a ，当021122211≠-a a a a 时，可用消元法求得解为：
22
21
1211
222121*********
122211a a a a a b a b a a a a b a a b x =
--=
二阶、三阶行列式
22
212
1122
211112112221121
12112a b a a a a b a a a a a a b b a x =
--=
）二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式：（回顾高中时的二阶与三阶行列式）
1112112212212122
det()a a A a a a a a a ==-，其中A 为方程组的系数矩阵。
2. 三阶行列式：
32
3122
21
1333312321
1233322322
11
33
32
31
232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-= 注：（1）这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行列式进行的计算。三阶行列式算出来也是一个数。
(2)三阶行列式 也是方形矩阵上定义的一种运算。
2. n 阶行列式的定义：
1112122
23
221
23
22122211
12
23
1
3
1
221
22
2,1
111
2
,1
(1)n n
n
n n n nn
n n nn
n n nn
n n n
n n n n a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-=
=-+
+- n 阶行列式中去掉元素ij a 所在行所在列的元素后，得到的1n -阶行列式叫做ij
a 的余子式，记作ij M ，即11
1,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1
,1
,1
j j n i i j i j n n ij
i i j i j i n n n j n j nn
a a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+=
并称(1)i j ij ij D M +=-为ij a 的代数余子式。引入这两个记号则可将(2.4)式简记为
111111*********
det (1)(1)k
n
n n n k k k A a M a M a M a M ++==-+
+-=-∑ （2.5）
或1111121211111
det n
n n k k k A a D a D a D a D ==++
+=∑ （2.6）
式（2.4）（2.5）和（2.6）统称为n 阶行列式按第一行的展开式。 注：1 记一阶行列式a a =，但注意不要将其与绝对值概念混淆。
2一些特殊的行列式（下三角行列式，上三角行列式，对角型行列式） nn n n a a a a a a
2
1
222111000
nn
n n
a a a a a a 0
0222112
11
n λλλ 21 n λλλ
2
1
其中一类很好求值的行列式——上三角行列式。 例1
（1）
11
22
2122
11
1122
2
12
000nn n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a a ==
=
（2）
1
2
12
n n
λλλλλλ=
3.行列式的性质
行列式运算从本质上讲，是由数组成的一种形式上定义的运算，但随着形式的改变，行列式的值有那些变化呢？下面性质就解决了这些问题。
性质1 行列式与它的转置行列式相等。
注 性质1表明行列式中行与列具有同等的地位，也就是说：行列式对行成立的性质，对列也同样成立，反之亦然。
性质2 互换行列式的两行(列)，行列式变号。
推论 若行列式中有两行元素完全相同，则行列式为零。
性质3 用数 k 乘行列式某一行中所有元素，等于用数 k 乘此行列式。 换句话叙述此性质即是
推论 某一行所有元素的公因子可提到行列式符号的外面。 性质4 若行列式中有两行元素对应成比例，则行列式为零。
性质5 若行列式某行的元素是两数之和，则行列式可拆成两个行列式的和。
