2.4 矩阵运算的转置、方阵行列式性质

矩阵的转置运算法则是指将一个矩阵的行和列互换，再对新的行和列按照原来的行进行加减运算法则进行运算的过程。

矩阵转置后，矩阵中的元素和原来的元素之间存在一定的关系。

具体来说，对于一个m×n 矩阵A，其转置运算后的结果为n×m 矩阵B，其中 B 的第i 行第j 列元素为原来的第j 列第i 行元素。

因此，矩阵转置后，原来的加法运算变为对应元素的加法运算，原来的乘法运算变为对应位置上的数相乘。

另外，矩阵的转置运算还满足一些性质，如对称性、可加性和可乘性等。

对称性是指矩阵A 与其转置矩阵B 满足AB=BA，即转置运算不会改变矩阵的乘法运算。

可加性是指一个矩阵与它的转置矩阵相加得到的和仍然是一个矩阵。

可乘性是指一个矩阵可以与另一个矩阵相乘，而这个性质也适用于转置矩阵与原矩阵相乘的情况。

在实际应用中，矩阵转置运算法则具有广泛的应用场景。

例如，在数值计算中，矩阵转置运算法则常常用于求解线性方程组、求解特征值和特征向量等问题。

在信号处理和图像处理中，矩阵转置运算法则也经常被用来对信号和图像进行变换和压缩等操作。

需要注意的是，在进行矩阵转置运算时，需要保证原矩阵是方阵或具有合适维度的矩阵，否则会出现数值不稳定或计算错误等问题。

此外，在进行矩阵加减运算时，需要保证参与运算的两个矩阵具有相同的维度和对应的元素值，否则也会导致数值不稳定或计算错误等问题。

因此，在进行矩阵运算时，需要注意运算规则和数据类型的正确性，以保证计算结果的准确性和可靠性。

矩阵基本运算及应用201700060牛晨晖在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的或集合。

矩阵是高等代中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵于电路学、、光学和中都有应用；中，制作也需要用到矩阵。

矩阵的运算是领域的重要问题。

将为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。

1矩阵的运算及其运算规则1.1矩阵的加法与减法1.1.1运算规则设矩阵，，则简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．1.1.2运算性质满足交换律和结合律交换律；结合律．1.2矩阵与数的乘法1.2.1运算规则数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．1.2.2运算性质满足结合律和分配律结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．分配律：λ(A+B)=λA+λB．1.2.3典型举例已知两个矩阵满足矩阵方程，求未知矩阵．解由已知条件知1.3矩阵与矩阵的乘法1.3.1运算规则设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．1.3.2典型例题设矩阵计算解是的矩阵．设它为可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）(1) 结合律．(2) 分配律（左分配律）；（右分配律）．(3) ．1.3.4方阵的幂定义：设A是方阵，是一个正整数，规定，显然，记号表示个A的连乘积．1.4矩阵的转置1.4.1定义定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．例如，矩阵的转置矩阵为．1.4.2运算性质（假设运算都是可行的）(1)(2)(3)(4) ，是常数．1.4.3典型例题利用矩阵验证运算性质：解；而所以．定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．1.5方阵的行列式1.5.1定义定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或．1.5.2运算性质(1) （行列式的性质）(2) ，特别地：(3) （是常数，A的阶数为n）思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是，而是？不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．例如，则．于是，而2光伏逆变器的建模光伏并网逆变器是将光伏组件输出的直流电转化为符合电网要求的交流点再输入电网的关键设备，是光伏系统并网环节中能量转换与控制的核心。

矩阵运算法则及性质
1、方形矩阵A对应的行列式|A|用于判断矩阵是否为奇异矩阵，若|A|非0，则矩阵为非奇异矩阵，若|A|=0，则A为奇异矩阵。

2、|AB| = |A||B|
3、A的伴随矩阵AdjA的求法：
4、A的逆矩阵的求法：
5、系数矩阵加一列右端项的矩阵叫增广矩阵，英文叫做augmented matrix，记作：(A|B)
6、矩阵转置相关运算：
7、矩阵乘以常数的运算
8、矩阵分块后满足矩阵乘法规则
9、三种矩阵初等行（列）变换：对调两行（列）；以不为0的数字k乘以某行（列）；不为0的k乘以某行（列）再加到另一行（列）上。

10、行阶梯型矩阵：可以画出一条阶梯线，线的下方全为0，且每个阶梯之后一行，台阶数即为非零行的行数。

如下图，3个行阶梯的下方，全部为0。

11、行最简型矩阵，左上角是单位阵，是行阶梯型矩阵的更简形式：
12、通过增广矩阵求解AX=B问题，通过将矩阵(A,B)化为行最简型(E,X)，可以求解此问题。

13、高斯消元法/高斯-若尔当消元法：我们可以利用类似12的方式求解齐次线性方程组(B=0，将A化为最简形)及非齐次线性方程组(B!=0)。

而对于XA=B的问题，我们需要将(A/B)做初等列变换。

13、通过将矩阵化为行最简形，得到矩阵的秩R(A)，其值等于最简形中非0行的行数。

14、关于方程组：若方程的个数多于未知数的个数，称为“超定方程组”；右侧全为0的方程组（齐次线性方程组）总有解，全零解为平凡解，非零解为非平凡解；
15、由矩阵分块法可知，非满秩矩阵总可以分块为左上角的矩阵块A，右上角矩阵块B，以及左右下角两个矩阵块O，则矩阵对应的行列式，值为0。

方阵的转置运算规律方阵的转置运算是指将方阵的行与列互换的操作。

设A是一个n阶方阵，那么A的转置记作A^T。

转置运算有以下几个基本的运算规律：1. 转置运算的运算顺序：(A^T)^T = A方阵A进行两次转置后仍然得到原来的方阵A，即转置运算具有反运算的性质。

2. 转置运算的分配律：(A + B)^T = A^T + B^T两个方阵A和B进行相加后再进行转置，等于先分别对A 和B进行转置，然后再进行相加。

3. 转置运算的乘法交换律：(AB)^T = B^TA^T两个方阵A和B进行乘法运算后再进行转置，等于先分别对A和B进行转置，然后再进行乘法运算。

4. 转置运算的乘法结合律：(ABC)^T = C^TB^TA^T三个方阵A、B和C进行乘法运算后再进行转置，等于先分别对A、B和C进行转置，然后按照C、B、A的顺序进行乘法运算。

5. 转置运算的幂运算规律：(A^n)^T = (A^T)^n方阵A的n次幂进行转置，等于先对A进行转置，然后再对结果进行n次幂运算。

6. 转置运算的逆运算规律：(A^T)^-1 = (A^-1)^T方阵A的逆矩阵进行转置，等于先对A进行转置，然后再取其逆矩阵。

7. 转置运算的特殊性质：(A + A^T)是对称矩阵，即方阵A和其转置的和矩阵是对称矩阵。

通过以上运算规律，可以简化运算过程，方便在实际计算中应用。

转置运算在线性代数中有着广泛的应用，如矩阵的传送、矩阵的相似变换、矩阵的对称性等。

除了上述运算规律之外，方阵的转置还有一些特殊的性质。

例如，转置运算不改变方阵的对角元素的位置，即对称阵、上三角阵、下三角阵的转置仍然是对称阵、上三角阵、下三角阵。

此外，转置运算还保持方阵的迹（方阵主对角线上元素的和）不变。

总之，方阵的转置运算有着一定的运算规律和特殊性质，熟练掌握和灵活运用这些规律，可以简化方阵的运算过程，提高计算效率。

行列式的性质与运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算中起着至关重要的作用。

行列式的性质和运算法则是我们学习和应用行列式的基础，本文将围绕这一主题展开阐述。

一、行列式的定义和基本性质行列式是一个数，它是一个方阵中元素的一种特殊组合。

对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其中n表示方阵的阶数。

行列式具有以下基本性质：1. 方阵A的行列式等于其转置矩阵A^T的行列式，即det(A) = det(A^T)。

2. 对调方阵A的两行（或两列），其行列式的值不变，即行列式具有行对换性质。

3. 如果方阵A的某一行（或某一列）的元素全为0，则行列式的值为0。

4. 行列式的值与方阵的行列式的值成正比，即如果一个方阵的某一行（或某一列）的元素都乘以一个常数k，那么行列式的值也将乘以k。

二、行列式的运算法则行列式的运算法则包括加法法则、数乘法则、乘法法则和转置法则。

1. 加法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的行列式之和等于行列式分别取和的结果，即det(A + B) = det(A) + det(B)。

2. 数乘法则对于一个n阶方阵A和一个数k，方阵A的行列式乘以k等于行列式乘以k的结果，即det(kA) = k^n * det(A)。

3. 乘法法则对于两个n阶方阵A和B，它们的乘积的行列式等于行列式分别取乘积的结果，即det(AB) = det(A) * det(B)。

4. 转置法则对于一个n阶方阵A，它的转置矩阵A^T的行列式等于原方阵A的行列式，即det(A^T) = det(A)。

三、行列式的应用行列式的应用广泛，它在线性代数、微积分、几何学等领域都有重要的应用。

1. 判断方阵的可逆性一个n阶方阵A可逆的充要条件是其行列式不等于0，即det(A) ≠ 0。

利用这一性质，我们可以通过计算方阵的行列式来判断其可逆性。

2. 求解线性方程组对于一个n元线性方程组，我们可以将其系数矩阵表示为一个方阵A，并将常数项表示为一个列向量b。

行列式的性质与计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。

它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。

在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。

一、行列式的性质1. 行列式与转置矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。

如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即$\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$2. 行列式的行列互换行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。

行列互换会改变行列式的符号，即$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。

3. 行列式的元素线性组合如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}}& {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} &{a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}& {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|$4. 行列式的行列成比例如果一个行列式的某两行或某两列成比例，那么该行列式的值为$0$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {k a_{i 1}} & {k a_{i 2}} & {\cdots} & {k a_{i n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\{a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=0$其中$\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$和$\left(a_{j 1},a_{j 2}, \cdots, a_{j n}\right)$是比例行列式的两行，$k$是一个非零实数。

第一讲 矩阵运算性质及其应用矩阵是数学中的一个重要内容，它是继数值这个运算对象之后，人们研究的又一个新的运算对象，也是处理线性模型的重要工具.矩阵的运算，到目前为止，人们已经研究了几十上百种.在这一讲中，我们复习学习过的其中10种，包括加法、减法、数乘、乘法、乘方、转置、共轭、行列式、伴随和求逆.学习矩阵运算，重点有两方面：运算的条件和性质.而运算需要的条件和数值运算是大不相同的.一 矩阵的概念及其运算方法首先，我们复习矩阵的概念及其运算方法.定义1 由m n ⨯个数字ij a （1,2,,i m =，1,2,,j n =）排成的m 行n 列的数表，称为一个m 行n 列矩阵，简称为m n ⨯型矩阵.通常用圆括号或方括号括起来表示矩阵数表是一个整体，并用大写字母表示，即111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭位于矩阵A 的第i 行第j 列的数字ij a ，称为A 的(,)i j 元素，简称(,)i j 元.以ij a 为(,)i j 元的矩阵可简记作()ij a .m n ⨯型矩阵A 也记作m n A ⨯或m nA ⨯.m n =时，n n ⨯型矩阵A 也称为n 阶矩阵，记作n A .两个矩阵的行数相等，列数也相同时，称为同型矩阵.两个矩阵A 与B 是同型矩阵，且它们的对应位置上的数字元素都相等，就称这两个矩阵A 与B 相等，记作A B =.有一些矩阵的元素分布比较特殊，我们用专门规定的记号来表示，如 零矩阵O ，它的元素全为0.要注意，不同型的零矩阵是不同的. 单位矩阵E （也记作I ），它是对角线元素都为1，其余元素都为0的方阵.对角矩阵()1212diag ,,,=n n λλλλλλ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭（与行列式中一样，不写出的元素就是0）.下面，我们来复习矩阵的10个运算方法.定义2 设两个矩阵()ij m n A a ⨯=和()ij s t B b ⨯=，①A 与B 能相加、减的条件是：A 与B 同型，即m s =且n t =. ②A 与B 相加的和记作A B +，A 与B 相减的差记作A B -. 运算方法规定为111112121121212222221122+++⎛⎫ ⎪+++ ⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭n n n n m m m m mn mn a b a b a b a ba b a b A B a b a b a b111112121121212222221122---⎛⎫ ⎪--- ⎪-= ⎪⎪---⎝⎭n n n n m m m m mn mn a b a b a b a ba b a b A B a b a b a b根据定义，矩阵的加减就是对应位置上数字的加减.例如23342334575710517067++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1233132(3)2543244234212112211213-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭定义3 数k 与矩阵()ij m n A a ⨯=相乘的积记作()=kA Ak .运算方法规定为()⨯=ij m nkA ka例如23452535410152053105(3)51501550-⨯-⨯-⨯---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪--⨯--⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭定义4 设两个矩阵()ij m n A a ⨯=和()ij s t B b ⨯=，①A 与B 能相乘的条件是：n s =. ②A 与B 相乘的积记作AB . 运算方法规定为AB 的(,)i j 元1122=+++i j i j in nj a b a b a b即A 的第i 行各元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和为AB 的(,)i j 元.例如312322314772⎛⎫-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭233(2)(2)72133(2)(2)134(2)7711437(2)⨯+⨯-+-⨯⨯+⨯+-⨯-⎛⎫= ⎪⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯-⎝⎭1415441-⎛⎫= ⎪-⎝⎭定义5 设矩阵A 为m n ⨯型，①A 能乘方的条件是：m n =即A 为方阵. ②k 为非负整数，A 的k 次幂记作kA . 运算方法规定为1,0,1,2-=⎧⎪==⎨⎪≥⎩k k E k A A k A A k ，例如32232323313131⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭232323()313131⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭1332331031⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭3536361⎛⎫= ⎪-⎝⎭定义6 将矩阵A 的行与列互换，得到的矩阵，称为A 的转置.记作'A 或TA，即111212122212⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭n n m m mn a a a a a a A a a a 时，112111222212⎛⎫⎪ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭m m nnmn a a a a a a A a a a例如345123⎛⎫= ⎪⎝⎭A 时，314253⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭A定义7 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 可取行列式的条件是：m n =即A 为方阵. ②A 的行列式即=ijA a .例如341200111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 时，21341412002(1)611111+==⨯-=--A注：矩阵A 与行列式A 是完全不同的对象.矩阵A 是一张数表，不是数，而行列式A 就是数.记号上，矩阵只能用圆括号或方括号，而行列式一定要用一对平行线.定义8 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 能取伴随的条件是：A 为方阵且2m n =≥. ②A 的伴随记作*A ，并称为A 的伴随矩阵. 运算方法规定为1121112222*12⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭n n nnnn A A A A A A A A A A即在A 中将每个元素换成它的代数余子式后，再转置.例如*-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭a b d b c d c a *123005111264200241-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭222312131213323332332223*111213212311131113212223313331332123313233212211121112313231322122⎛⎫-⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪-⎪⎝⎭a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 定义9 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 可逆的条件是：A 为方阵且0A ≠. ②A 的逆记作1-A ，并称1-A为A 的逆矩阵运算方法规定为2=≥m n 时，1*1-=A A A；1==m n 时，即一阶方阵的逆111111()-=a a .当方阵A 可逆的条件不满足，即0A =时，常说A 不可逆或A 是奇异矩阵。

行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。

在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。

一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。

1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。

- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。

- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。

- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。

- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。

矩阵运算公式大全一、矩阵基本概念和性质1.矩阵的定义：一个m×n的矩阵A是由m行n列的数排成的一个矩形阵列，其中每个数称为矩阵的一个元素。

2. 矩阵元素的表示：A=[a_ij]_{m×n}，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。

3. 矩阵的加法和减法：给定两个相同阶的矩阵A=[a_ij]_{m×n}和B=[b_ij]_{m×n}，则它们的和A+B=[a_ij+b_ij]_{m×n}和差A-B=[a_ij-b_ij]_{m×n}定义为对应元素相加或相减得到的结果。

4. 矩阵的数乘：给定一个矩阵A=[a_ij]_{m×n}和一个实数k，则kA=[ka_ij]_{m×n}定义为矩阵A的每个元素乘以实数k得到的结果。

5. 矩阵的乘法：给定一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B，它们的乘积AB=[c_ij]_{m×p}定义为矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的对应元素乘积之和。

二、矩阵的转置和逆1. 矩阵的转置：给定一个m×n的矩阵A=[a_ij]_{m×n}，它的转置记作A^T，其中A^T=[a_ji]_{n×m}，即将矩阵A的行变为列，列变为行。

2.矩阵的逆：给定一个n×n的矩阵A，如果存在一个n×n的矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是n阶单位矩阵，则称矩阵A是可逆的，矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^{-1}。

三、矩阵的特殊类型1.零矩阵：所有元素都为0的矩阵，记作0。

2.单位矩阵：对角线上的元素都为1，其余元素都为0的矩阵，记作I。

3.对角矩阵：非对角线上的元素都为0的矩阵。

4.上三角矩阵：下三角元素都为0的矩阵。

5.下三角矩阵：上三角元素都为0的矩阵。

6. 对称矩阵：对于任意元素a_ij，有a_ij=a_ji的矩阵，记作A^T=A。

7. 反对称矩阵：对于任意元素a_ij，有a_ij=-a_ji的矩阵，记作A^T=-A。