工程力学4-平面任意力系-1

∑F
ix
=0
∑F
iy
=0
∑M
O
=0
x 和 y 是直角坐标系的坐标轴，而点 O 是力 是直角坐标系的坐标轴， 系作用平面内的任意一点 任意一点。 系作用平面内的任意一点。 工程力学
二、平面任意力系平衡方程二力矩和三力矩形式 二力矩： 二力矩：
∑F = 0 ∑ M ( F ) = 0 ( A，B连线不垂直Ox轴) M ( F ) = 0 ∑
平衡方程：
F3
x
∑
∑
Fy = 0 M o (F ) = 0
思考：如果平行力系都与x轴有一个夹角呢 轴有一个夹角呢？ ？思考：如果平行力系都与 轴有一个夹角呢？
工程力学
平行力系平衡方程的二力矩形式： 平行力系平衡方程的二力矩形式：
∑ M ( F ) = 0 ( A，B连线不与诸力平行) ∑ M ( F ) = 0
M O = ∑mO ( Fi )
方向规定 + —
简化中心： 与简化中心有关 与简化中心有关) 简化中心 (与简化中心有关 [因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和] 工程力学
2.固定端约束（插入端约束） 固定端约束（插入端约束） 固定端约束
工程力学
FA
W
与固定铰支座的约束性质相比， 与固定铰支座的约束性质相比，固定端除了限 制物体在水平方向和铅直方向移动外， 制物体在水平方向和铅直方向移动外，还能限 制物体在平面内转动。 制物体在平面内转动。
plane of A and F
F
F
F
Couple
A
A
F
A
F
M
A B
D) Equivalent force-couple system
F
d F
F
B
B
A) original force
B
B) Introduce equal and opposite forces at point A. C) Identify the couple
主讲教师： 主讲教师：门玉涛
第四章
平面任意力系
问题： 问题： 怎样对平面任意力系进行简化？ 1、怎样对平面任意力系进行简化？ 2、平面任意力系的平衡条件是什么？ 平面任意力系的平衡条件是什么？
§4-1 力的平移
如何将一个力的作用线平移确又不影响力对刚体的作用 外效应？ 外效应？ 注意以下步骤: 注意以下步骤:
−FB ⋅ 5 −1.5⋅ P −3.5⋅ P = 0 1 2
FB = −31kN
FAy = 50kN
工程力学
[例] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？ 例 解：①选AB梁研究 ②画受力图（以后注明 解除约束，可把支反 力直接画在整体结构 的原图上） 解除约束
由∑ m A ( Fi ) = 0 2P − P ⋅ 2 a + N B ⋅3a = 0 , ∴ N B = 3
∑X =0
XA =0
力的平移定理： 力的平移定理：作用于刚体上任一点的力可平移 到刚体上任一点而不改变对刚体的作用效应，但 到刚体上任一点而不改变对刚体的作用效应， 需增加一附加力偶， 需增加一附加力偶，附加力偶的力偶矩矢等于原 工程力学 力对新的作用点之矩矢。 力对新的作用点之矩矢。
F
F
Couple
A
M = F ⋅d
工程力学
被固定端约束的 刚体的受力分析图
F A FAx FAy MA A F
≠
=
工程力学
3.平面任意力系的简化结果分析 平面任意力系的简化结果分析
=
将原力系用新的仅包含主矢和主矩的力系来等效替代：
FRx ' = ∑ Fx
FRy ' = ∑ Fy
M O = ∑ M O ( Fi )
平面力系向作用面内一点简化的结果，可能有四种情况: 工程力学
l/2
A D
F
l/2
C
l/2
B
l/2
l/2
C
Why?
D
二力杆 工程力学
[解 ]
2) 建立平衡方程组:
l/2
A
F
l/2
C
l/2
B
l/2
l/2
D
∑F = 0 ∑F = 0 ∑M = 0
x y
FAx + FC cos 45° = 0
FAy + FC sin 45° − F = 0 l l − FAy − F = 0 C 2 2 FAy = − F FAc = −2 F FC = 2 2 F
FR '
MO
FR
d = M O / FR
工程力学
§4-3 平面任意力系的平衡条件
一、平面任意力系平衡方程的基本形式
FR′ = ′ ′ ( FRx ) + ( FRy )
2 2
′ ′ FRx = ∑ Fix FRy = ∑ Fiy
∑F = 0 ∑M
i
O
=0
由此可以通过以下方程式写出平面一 般力系平衡的充分必要条件: 般力系平衡的充分必要条件:
∑Y = 0
YB + N B − P = 0,
P ∴Y A = 3
工程力学
[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 例 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁
由∑ X = 0, X A = 0
∑mA(F )=0 ;
a RB ⋅a+q⋅a⋅ +m−P⋅2a=0 2 ∑ Y = 0 ∴Y A + RB − qa − P = 0
解： 取AB梁，画受力图。 梁 画受力图。
∑Fx = 0
FAx + Fc cos450 = 0
FAy + F sin40
MA = 0 F cos450 ⋅ l − F ⋅ 2l = 0 ∑ c
解得 FC = 28.28kN, FAx = −20kN, FAy = −10kN
M 1 = M O (F1 )
F1 M1
Mn Fn Fn Mi Fi Fi
将其他力也平移至点 O.
M i = M O (Fi )
工程力学
F'R F1 M2 F2 M1 Mn Fn Mi Fi
FR ' = F + F2 +...... + Fn = ∑Fi 1
由于作用于 O的力构成平面汇交力 的力构成平面汇交力 可以将这些力计算出合力F’ 系,可以将这些力计算出合力 R, : 可以将这些力计算出合力
l
M A ( Fi ) 1 ql 2 1 d= = = l R′ 2 ql 工程力学 2
思考：三角形分布载荷处理？ 思考：三角形分布载荷处理？
y
v R′ m A
x
x q ⋅ dx l
v R
x d l
简化中心：A 简化中心 A点 1 l x 主矢 R′ = ∫0 qdx = ql l 2 x 1 l L = m A = ∫0 x qdx = ql 2 主矩 l 3 1 R′ = ql 简化最终结果 R= 2 1 2 ql L 3 2 d= = = l 1 R′ ql 3 2
F1 M2 F2 M1 Mn Fn Mi Fi
2)我们把各力对于任选的简化中心 我们把各力对于任选的简化中心 O 的矩的代数和称为主矩 的矩的代数和称为主矩 (Principle Moment )—MO
工程力学
平面任意力系向一点简化
平面任意力系向作用面内任意一点简化， 平面任意力系向作用面内任意一点简化，一般 可得一力和一力偶。这个力的作用线通过简化中心， 可得一力和一力偶。这个力的作用线通过简化中心， 其力矢称为力系的主矢，它等于力系诸力的矢量和； 其力矢称为力系的主矢，它等于力系诸力的矢量和； 这个力偶作用于原平面， 这个力偶作用于原平面，其力偶矩称为力系对简化 中心的主矩， 中心的主矩，它等于力系诸力对简化中心之矩的代 数和。 数和。
A B
工程力学
单个刚体的平衡问题
基本步骤： 基本步骤：
1 画出刚体的受力分析图 2 选用合理的平衡方程组 3 运用数学知识进行未知量求解
工程力学
例题
杆受到的力。 求下图中铰 A的约束反力和 CD杆受到的力。 的约束反力和 杆受到的力
F
l/2
A C
l/2
B
l/2
D
工程力学
[解-方法 1]
1) 选择ACB 作为研究对象，画出受力分析图
工程力学
F
l/2 l/2
C B
l/2
l/2
l/2
A
D
FAy = − F FAc = −2 F
“－” 号表示实际的力的 方向和受力分析图上力的 方向相反。
FC = 2 2 F
= ( FAx ) 2 + ( FAy ) 2 FA
FA = 5 F
工程力学
[解-方法 2]
1)选择ACB 作为研究对象，画出受力分析图
工程力学
R' = R'x +R' y = (∑ X )2 + (∑ Y )2 大小： 大小
2 2
主矢 R ′ （移动效应 移动效应） 移动效应 方向： 方向 α =tg−1
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
与简化中心位置无关) 与简化中心位置无关 简化中心 (与简化中心位置无关 [因主矢等于各力的矢量和] 大小： 大小 主矩M 主矩 O 方向： 方向
所有的附加力偶形成平面力 偶系，同样可以得到合力偶: 偶系，同样可以得到合力偶:
MO = MO (F ) + MO (F2 ) +...... + MO (Fn ) 1 = ∑MO (F ) = M1 + M2 +... + Mn = ∑Mi i