第四章_平面任意力系

第四章 平面任意力系习 题4.1 重W ，半径为r 的均匀圆球，用长为L 的软绳AB 及半径为R 的固定光滑圆柱面支持如图，A 与圆柱面的距离为d 。

求绳子的拉力T F 及固定面对圆球的作用力N F 。

题4.1图F TyxOF N解：软绳AB 的延长线必过球的中心，力N F 在两个圆球圆心线连线上N F 和T F 的关系如图所示：AB 于y 轴夹角为θ 对小球的球心O 进行受力分析：0,sin cos TNX F F θθ==∑ 0,cos sin T NY F F W θθ=+=∑sin R rR d θ+=+ cos L rR dθ+=+ ()()()()22T R d L r F W R r L r ++=+++()()()()22NR d R r F W R r L r ++=+++4.2 吊桥AB 长L ，重1W ，重心在中心。

A 端由铰链支于地面，B 端由绳拉住，绳绕过小滑轮C 挂重物，重量2W 已知。

重力作用线沿铅垂线AC ，AC =AB 。

问吊桥与铅垂线的交角θ为多大方能平衡，并求此时铰链A 对吊桥的约束力A F 。

题4.2图A yF A xF解：对AB 杆件进行受力分析：120,sin cos 022A L M W W L θθ=-=∑ 解得：212arcsinW W θ= 对整体进行受力分析，由:20,cos02Ax X F W θ=-=∑2cos2Ax F W θ=210,sin02Ay Y F W W θ=+-=∑22121Ay W W F W +=4.3 试求图示各梁支座的约束力。

设力的单位为kN ，力偶矩的单位为kN ·m ，长度单位为m ，分布载荷集度为kN ／m 。

(提示：计算非均布载荷的投影和与力矩和时需应用积分。

)题4.3图解：AyF AxF ByAxF AyF ByFBAxF AyF AyF Ax F AM（a ）受力如图所示0,0.8cos300AxX F =-=∑o0,0.110.80.150.20AByM F=⨯+⨯-=∑0,10.8sin300Ay By Y F F =+--=∑o, 1.1,0.3Ax By Ay F F KN F KN ===（b ）受力如图所示0,0.40AxX F =+=∑0,0.820.5 1.60.40.720A ByM F=⨯-⨯-⨯-=∑0,20.50Ay By Y F F =+-+=∑0.4,0.26,0.24Ax By Ay F KN F KN F KN =-==（c ）受力如图所示0,sin300Ax BX F F =-=∑o0,383cos300ABM F =+-=∑o0,cos3040AyBY F F =+-=∑o2.12, 4.23,0.3Ax By Ay F KN F KN F KN ===（d ）受力如图所示()()133q x x =- 0,0AxX F==∑()()33010,3 1.53Ay Y F q x dx x dx KN ===-=∑⎰⎰()30,0A A M M xq x dx =+=∑⎰()3013 1.53A M x x dx KN m =-=-•⎰4.4 露天厂房立柱的底部是杯形基础。

立柱底部用混凝土砂浆与杯形基础固连在一起。

已知吊车梁传来的铅垂载荷为F ＝60 kN ，风压集度q ＝2kN ／m ，又立柱自重G =40kN ，长度a =0.5m ，h =10m ，试求立柱底部的约束力。

题4.4图AyF解：立柱底部A 处的受力如图所示，取截面A 以上的立柱为研究对象0,0AxX F qh =+=∑20Ax F qh KN =-=-0,0AyY FG F =--=∑100Ay F G F KN =+=0,0hA A M M qxdx Fa =--=∑⎰211302A M qh Fa KN m =+=⋅4.5图示三铰拱在左半部分受到均布力q 作用，A ，B ，C 三点都是铰链。

已知每个半拱重300=W kN ，16=a m ，4=e m ，q =10kN ／m 求支座A ，B 的约束力。

题4.5图解：设A ，B 处的受力如图所示， 整体分析，由：()210,2202A ByM aF qa Wa W a e =----=∑415By F KN = 0,20AyBy Y F F W qa =+--=∑1785Ay F KN =取BC 部分为研究对象()0,0CBy Bx MaF F a W a e =+--=∑191Bx F KN =-再以整体为研究对象0,191AxX FKN ==∑4.6 图示汽车台秤简图，BCF 为整体台面，杠杆AB 可绕轴O 转动，B ，C ，D 均为铰链，杠杆处于水平位置。

求平衡时砝码重1W 与汽车重2W 的关系。

题4.6图4.7 图示构架中，物体重W =1200N ，由细绳跨过滑轮E 而水平系于墙上，尺寸如图，求支承A 和B 处的约束力及杆BC 的内力BC F 。

题4.7图解: （1）取系统整体为研究对象，画出受力如图所示。

显然，F W =， 列平衡方程：A()0,M F=∑ B 4 m (1.5 m )(2 m )0yF F r W r ⨯-⨯--⨯+=，B 10.5yF=kN∑=,0x F A 0x F F -=，A 12 kN xF F W ===∑=,0y F A B 0y y F W F -+=，A B 1.5 kN y yF W F =-=（2）为了求得BC 杆受力，以ADB 杆为研究对象，画出受力图所示。

列平衡方程D ()0,M F =∑A B 2 m 2 m 2 m 0y y F F -⨯+⨯+=解得 BC 15F =-kN 解得负值，说明二力杆BC 杆受压。

4.8 活动梯子置于光滑水平面上，并在铅垂面内，梯子两部分AC 和AB 各重为Q ，置心在中点，彼次用铰链A 和绳子DE 连接。

一人重为P 立于F 处，试求绳子DE 的拉力和B ，C 两点的约束力。

题4.8图解：先研究整体如（a ）图所示0,cos 2cos 0CNB M Fa F L θθ=-=∑ 再研究AB 部分，受力如（b ）图所示0,cos 0AT NB MF h F L θ=-=∑解得cos ,22NB T Fa Fa F F L hθ==4.9刚架ACB 和刚架CD 凹通过铰链C 连接。

并与地面通过铰链．A ，B ，D 连接．如图所示，载荷如图。

试求刚架的支座约束力(尺寸单位为m ，力的单位为kN ．载荷集度单位为kN /m )。

题4.9图AyF AxF F AxF ByF ByF DyF（a ）显然D 处受力为0对ACB 进行受力分析，受力如图所示：0,1000AxX F =+=∑100Ax F KN =-0,40AyBy Y F F q =+-=∑80Ay F KN =-0,6600120ABy MF q =--=∑120By F KN =（b ）0,50AxX FF KN ===∑取CD 为研究对象210,310302C DyM F =-⨯⨯=∑ 15Dy F KN =取整体为研究对象0,6937.51030ABy Dy MF F F =++-⨯⨯=∑10By F KN =-0,30AyBy Dy Y FF F q =++-=∑25Ay F KN =4.10 由AC 和CD 构成的组合梁通过铰链C 连接，其支座和载荷如图所示。

已知10=q kN/m ，力偶矩40=M k N ·m ，不计梁重。

求支座A 、B 、D 和铰链C 处所受的约束力。

题4.10图qMCxFCyFNDF先研究CD梁，如右图所示0,0CxX F==∑0,20ND CyY F F q=+-=∑0,4230D CyM F qM=-+⋅-=∑解得15,0,5ND Cx CyF KN F F KN===再研究ABC梁，如图（b）'0,0Ax CxX F F=-=∑'0,20Ay NB CyY F F q F=+--=∑'0,22120B Ay CyM F q F=--⋅-=∑解得40,0,15NB Ax AyF KN F F KN===-4.11 承重框架如图4.11所示，A、D、E均为铰链，各杆件和滑轮的重量不计。

试求A、D、E点的约束力。

题4.11图解：去整体为研究对象，受力如图所示ExF EyF AxF AyFDy0,2002500AEx MF F =+=∑250Ex F KN ∴=-0,250AxEx X FF KN ==-=∑取ED 为研究对象，受力如图所示0,0Dx ExX F F F =+-=∑ 0,0EyDy Y F F =+=∑0,200300150DExEy M FF F =+=∑200200,450,33Ey Dx Dy F N F N F N ∴=-== 再去整体为研究对象0,0EyAy YFF =+=∑2003Ay F N =4.12 三角形平板A 点铰链支座，销钉C 固结在杆DE 上，并与滑道光滑接触。

已知100 N F =，各杆件重量略去不计，试求铰链支座A 和D 的约束反力。

题4.12图解：80120140160DyF DxAxF AyFF CAyF AxF取ABC 为研究对象30,05AxC X FF F =-+=∑ 40,05AyC Y F F =-=∑ 0,200140AC MF F ==∑58,56Ax Ay F N F N ∴=-=取整体为研究对象0,0AyDyY F F =+=∑0,20080200160E AxDx Ay M FF F F =++=∑62.8,56Dx Dy F N F N ∴==-4.13 两物块A 和B 重叠地放在粗糙水平面上，物块A 的顶上作用一斜力F ，已知A 重100N ，B 重200N ；A 与B 之间及物块B 与粗糙水平面间的摩擦因数均为f =0.2。

问当F =60N ，是物块A 相对物块B 滑动呢？还是物块A ，B 一起相对地面滑动？题4.13图解：A 与B 一起作为研究对象，则与地面摩擦力为60F N =地 A 与B 之间的摩擦力为20AB F N = F 力在水平与竖直方向分解sin 3030Ax F F N ==ocos30Ay F F ==o由于AB Ax F F F ≤≤地 所以是A 与B 相对滑动4.14 物块Ａ，Ｂ分别重1=A W kN ，50.=B W kN ，Ａ，Ｂ以及Ａ与地面间的摩擦因数均为f s =0.2，Ａ，Ｂ通过滑轮C 用一绳连接，滑轮处摩擦不计。

今在物块Ａ上作用一水平力F ，求能拉动物块Ａ时该力的最小值。

题4.14图解：A 与B 之间的摩擦力为：0.1AB s B F f W KN == A 与地面之间的摩擦力为：()0.3s A B F f W W KN =+=地0.4AB F F F KN =+=地4.15 重量为W 的轮子放在水平面上，并与垂直墙壁接触。