基本初等函数知识点及常见题型解析

第二章 基本初等函数知识点1.指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于 ．0的负分数指数幂②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn a a m n N a -+==>∈且1)n >．（3）分数指数幂的运算性质2指数函数及其性质3对数与对数运算（1）对数的定义.①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N的对数，作 ，其中a 叫做 ，N 叫做 ．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x ax N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法： ②减法： ③数乘： ④log a Na N =⑤loglog (0,)bn a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a=>≠且 4对数函数及其性质（5）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于 对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．AB C5幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象，性质6〖补充知识〗二次函数图像及性质第二章 基本初等函数练习题log 1a ------= log a a ------= 12log 2------= 32log 2-------= 3log 27-------= 2log 52------=221log log 612------+= lg 25lg 4------+=2ln e -------=1. 函数y =的定义域是 （ ）A ．[1,)+∞B ．2(,)3+∞C ．2[,1]3D ．2(,1]32．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( )A ．(1,2)B ．(2,2)C ．(2,3)D ．2(,2)33．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f 的值为 （ ）A ．1B ． 2C ．12D ．84. 已知f (x )=(m -1)x 2-2mx +3是偶函数，则在(-∞, 3)内此函数 （ ） A.是增函数 B.不是单调函数 C.是减函数 D.不能确定5. 下列图形表示具有奇偶性的函数可能是 （ ）6(2)log (5)x y x -=-的定义域是 （ ） A ．(3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5) D ．(,2)(5,)-∞+∞7. 若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(1,0)-和(0,1)，则 （ ）A ．2,2a b == B．2a b = C ．2,1a b == D．a b ==8. 函数22log (1)y x x =+≥的值域为 （ ）A 、()2,+∞B 、(),2-∞C 、[)2,+∞D 、[)3,+∞9. 若21025x=，则10x -等于 （ ）A 、15B 、15-C 、150D 、162510. 与函数()2xf x =的图像关于直线y x =对称的曲线C 对应的函数为()g x ，则1()2g 的值为 （ ）AB ．1；C ．12； D ．1-11. 已知13x x -+=，则22x x -+值为 （ ）A 5B 6 C. 7 D. 812. 三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为 （ ）A. 60.70.70.7log 66<<B. 60.70.70.76log 6<< C ．0.760.7log 660.7<<D. 60.70.7log 60.76<<13. 在统一平面直角坐标系中，函数ax x f =)(与x a x g =)(的图像可能是 （ ）14. 已知偶函数f (x )在区间(－∞，0]上为增函数，下列不等式一定成立的是( )A ．f (－3)>f (2) B ．f (－π)>f (3)C ．f (1)>f (a 2＋2a ＋3)D ．f (a 2＋2)>f (a 2＋1)15. 函数log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小顺序是 ( )．A ．1＜d ＜c ＜a ＜bB ．c ＜d ＜1＜a ＜bC ．c ＜d ＜1＜b ＜aD ．d ＜c ＜1＜a ＜b二、填空题16，已知函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧，≤ ，，＞，020log 3x x x x 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛91f f 的值为___ __17，不论a 为何正实数,函数12x y a +=-的图象一定通过一定点,则该定点的坐标是_____ 18，函数log (1)a y x =-恒过 点19．计算：459log 27log 8log 625⨯⨯= ．20．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，a = ．21，已知函数f (x )＝a －121+x ，若f (x )为奇函数，则a ＝___ _____三、解答题22. 计算（1）4160.253216(24()849-+-⨯．（2）125552log 2log log 34e ++21log32-⨯23，函数()(0,1)x f x a a a =>≠在区间[1,2]上的最大值比最小值大2a，求a 的值为25， 设函数421()log 1x x f x x x -⎧<=⎨≥⎩．（Ⅰ）求方程1()4f x =的解． （Ⅱ）求不等式()2f x ≤的解集．26．解不等式2121()x x a a--> (01)a a >≠且．27.设集合2{|log (2)2}S x x =+≤，集合1{|()1,2}2xT y y x ==-≥-求S T ，S T ．。

专题02基本初等函数(知识梳理)第一节 指数与指数函数1．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂： am n＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②负分数指数幂： a －m n＝1am n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q)； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q)； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q)． 2．指数函数的图象与性质R1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.[谨记通法]指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 考点二 指数函数的图象及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2018·嘉兴能力测试)若函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，则( )A ．a >1，b >1B ．a >1,0<b <1C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <1解析：选D 由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1，又函数f (x )＝a x －b 的图象是在y ＝a x 的基础上向下平移b 个单位长度得到的，所以0<b <1.2．已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．解析：①当0<a <1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象，如图a.若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(0<a <1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23.②当a >1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象，如图b ，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(a >1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，此时无解．所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23. 答案：⎝⎛⎭⎫0，23[由题悟法]指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．[即时应用]1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A 将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2若函数y ＝|3x －1|在(－∞，k ]上单调递减，求k 的取值范围．解：函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k 的取值范围是(－∞，0]． 考点三 指数函数的性质及应用题点多变型考点——多角探明[锁定考向]高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题． 常见的命题角度有： (1)比较指数式的大小；(2)简单指数方程或不等式的应用； (3)探究指数型函数的性质．[通法在握]应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略题型 求解策略比较幂值的大小(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致[提醒]在研究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．第二节对数与对数函数1．对数概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log a N 叫做对数式性质对数式与指数式的互化：a x＝N⇔x＝log a N log a1＝0，log a a＝1，a log a N＝N运算法则log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)换底公式换底公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)2.对数函数的图象与性质y＝log a x a>10<a<1图象性质定义域为(0，＋∞)值域为R过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在区间(0，＋∞)上是增函数在区间(0，＋∞)上是减函数3．反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．1．在运算性质log a Mα＝αlog a M中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为log a Mα＝αlog a|M|(α∈N*，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．[谨记通法]对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．如“题组练透”第1题易错．考点二对数函数的图象及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·杭州模拟)设f(x)＝|ln(x＋1)|，已知f(a)＝f(b)(a<b)，则()A．a＋b>0B．a＋b>1C．2a＋b>0 D．2a＋b>1解析：选A 作出函数f (x )＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由f (a )＝f (b )，得－ln(a ＋1)＝ln(b ＋1)，即ab ＋a ＋b ＝0.所以0＝ab ＋a ＋b <a ＋b 24＋a ＋b ，即(a ＋b )(a ＋b ＋4)>0，显然－1<a <0，b >0，∴a ＋b ＋4>0.∴a ＋b >0.故选A.[由题悟法]应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[即时应用]1．函数f (x )＝ln|x －1|的图象大致是( )解析：选B 当x >1时，f (x )＝ln(x －1)，又f (x )的图象关于x ＝1对称，故选B.2．(2018·温州适应性训练)若x 1满足2x ＋2x ＝5，x 2满足2x ＋2log 2(x －1)＝5，则x 1＋x 2＝( ) A.52 B ．3 C.72D ．4解析：选C 2x ＝5－2x,2log 2(x －1)＝5－2x ，即2x －1＝52－x ，log 2(x －1)＝52－x ，作出y ＝2x －1，y ＝52－x ，y ＝log 2(x －1)的图象(如图)． 由图知y ＝2x－1与y ＝log 2(x －1)的图象关于y ＝x －1对称，它们与y ＝52－x 的交点A ，B 的中点为y ＝52－x 与y ＝x －1的交点C ，x C ＝x 1＋x 22＝74，∴x 1＋x 2＝72，故选C.[通法在握]1．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤2．比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．第三节幂函数1．五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．[小题纠偏]1．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是________． 答案：⎝⎛⎭⎫120，＋∞ 2．给出下列命题： ①函数y ＝2x 是幂函数；②如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点； ③当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数； ④二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[m ，n ]的最值一定是4ac －b 24a. 其中正确的是________(填序号)． 答案：②考点一 幂函数的图象与性质基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选C 令f (x )＝x α，则4α＝2， ∴α＝12，∴f (x )＝x 12.2．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，则m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．1或2D ．3解析：选A ∵幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件．当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．故选A.3．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________． 解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23 [谨记通法]幂函数的指数与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)若幂函数y ＝x α(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0. 考点二 求二次函数的解析式重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解：法一：(利用二次函数的一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用二次函数的顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n .∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋－12＝12. ∴m ＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：(利用两根式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值y max＝8，即4a－2a－1－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)，故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.[由题悟法]求二次函数解析式的方法[通法在握]1．二次函数最值问题的3种类型及解题思路(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)思路：抓“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．2．由不等式恒成立求参数取值范围的2大思路及1个关键(1)思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)关键：两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否可分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.。

第一部分基本初等函数知识点整理第二章 基本初等函数一、指数函数 （一）指数1、 指数与指数幂的运算：复习初中整数指数幂的运算性质： a m *a n =a m+n(a m )n=a mn(a*b)n =a n b n2、根式的概念：一般地，若a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。

此时，a 的n 次方根用符号 表示。

当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数。

此时正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 的次方根用符号 表示。

正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成 （a>0）。

注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n。

当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。

3、 分数指数幂正数的分数指数幂的)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm ，)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义4、 有理数指数米的运算性质（1）r a ·s r ra a+=),,0(R s r a ∈>； （2）rss r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>．5、无理数指数幂一般的，无理数指数幂a a（a>0,a 是无理数）是一个确定的实数。

有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。

（二）、指数函数的性质及其特点1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？（1）在[a ，b]上，值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当a>1时，若X 1<X 2 ,则有f(X 1)<f(X 2)。

考点01 基本初等函数综合题型（基础）1.（2020•肥城市模拟）对数函数y＝log a x（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x在同一坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由对数函数y＝log a x（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x可知，①当0＜a＜1时，此时a﹣1＜0，对数函数y＝log a x为减函数，而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向下，且其对称轴为x＝，故排除C与D；②当a＞1时，此时a﹣1＞0，对数函数y＝log a x为增函数，而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向上，且其对称轴为x＝，故B错误，而A符合题意．故选：A．【知识点】二次函数的性质与图象、对数函数的图象与性质2.（2020•肇庆三模）已知a＝2log2，c＝5log5，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【解答】解：∵a＝2log2，c＝5log5，∴a＝，，，∵，，，且310＞215＞56，∴，∴c＞a＞b，故选：D．【知识点】对数值大小的比较3.（2020•郑州三模）已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【解答】解：∵a6＝＝，b6＝＝，∴a6＞b6，a，b＞0．∴1＞a＞b，c＝log23＞1．∴b＜a＜c．故选：C．【知识点】对数值大小的比较4.（2020•延庆区一模）某企业生产A，B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A，B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取lg2＝0.3010）（）A．6年B．7年C．8年D．9年【解答】解：设至少经过n年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量，则10×（1+50%）n＞40×（1+20%）n，化为：＞4，取对数可得：n＞＝＝6．∴至少经过7年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量．故选：B．【知识点】等比数列的通项公式、对数的运算性质5.（2020•山东模拟）已知集合A＝{y|y＝2﹣x，x＜0}，B＝{x|y＝x}，则A∩B＝（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．[0，+∞）【解答】解：A＝{y|y＝2﹣x，x＜0}＝{y|y＞1}，∴A∩B＝（1，+∞）故选：B．【知识点】交集及其运算、指数函数的定义、解析式、定义域和值域6.（2020•衡阳二模）设，，，则（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：因为﹣a＝ln2，，﹣c＝log32，又，，所以﹣b＜﹣c＜﹣a，即a＜c＜b，故选：B．【知识点】对数值大小的比较7.（2020•安徽模拟）已知a＝log3，b＝ln3，c＝2﹣0.99，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：因为a＝log3∈（0，），b＝ln3＞1，c＝2﹣0.99＞2﹣1＝，故b＞c＞a．故选：A．【知识点】对数值大小的比较8.（2020•滨州二模）设26，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a【解答】解：∵0＜0.30.1＜0.30＝1，∴0＜a＜1，∵b＝log＝log35，而log33＜log35＜log39，∴1＜b＜2，∵c＝log526＞log525＝2，∴c＞2，∴c＞b＞a，故选：D．【知识点】对数值大小的比较9.（2020春•沙坪坝区校级期中）已知a＝1.20.3，b＝log0.31.2，c＝log1.23，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c【解答】解：∵0＜1.20.3＜1.21＝1.2，∴1＜a＜1.2，∵log0.31.2＜log0.31＝0，∴b＜0，∵log1.23＞log1.21.44＝2，∴c＞2，∴b＜a＜c，故选：D．【知识点】对数值大小的比较10.（2020•武清区校级模拟）已知函数，设a＝f（log30.1），b＝f（3﹣0.2），c＝f（31.1），则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：根据题意，，其定义域为R，又由＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，当x＞0时，易得为增函数，故f（x）在R上单调递增，又由log30.1＜0，0＜3﹣0.2＜1，31.1＞3，则有f（31.1）＞f（3﹣0.2）＞f（log30.1），即c＞b＞a，故选：D．【知识点】对数值大小的比较、函数奇偶性的性质与判断11.（2020•宁河区校级模拟）设a＝log23，b＝log46，c＝5﹣0.1，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：因为a＝log23∈（1，2），b＝log46＝∈（1，2），且a＞b，c＝5﹣0.1＝∈（0，1），所以c＜b＜a．故选：A．【知识点】对数值大小的比较12.（2020•山西模拟）设a＝log30.2，b＝0.23，c＝30.2，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【解答】解：∵a＝log30.2＜0，0＜b＝0.23＜1，c＝30.2＞1，∴c＞b＞a，【知识点】对数值大小的比较13.（2020•福田区校级模拟）已知幂函数g（x）＝（2a﹣1）x a+1的图象过函数f（x）＝m x﹣b﹣（m＞0，且m≠1）的图象所经过的定点，则b的值等于（）A．±B．±C．2D．±2【解答】解：函数g（x）＝（2a﹣1）x a+1是幂函数，∴2a﹣1＝1，解得a＝1，∴g（x）＝x2；令x﹣b＝0，解得x＝b，∴函数f（x）＝m x﹣b﹣的图象经过定点（b，），∴b2＝，解得b＝±．故选：B．【知识点】幂函数的图象14.（2020•石家庄一模）若，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【解答】解：由可得a＝，c＝log46＝log2，则可知，b＞c＞1＞a，故选：B．【知识点】对数值大小的比较15.（2020春•龙华区校级月考）设，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b【解答】解：∵，∴a＜0，∵，∴b＞2，∵，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b，【知识点】对数值大小的比较16.（2020春•漳州月考）若a＝log67，b＝log54，c＝log4，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a＝log67＞log66＝1，∴a＞1，∵log51＜log54＜log55，∴0＜b＜1，∵，∴c＜0，∴c＜b＜a，故选：C．【知识点】对数值大小的比较17.（2020•广州模拟）已知函数y＝f（x）的图象与y＝2x的图象关于直线y＝x对称，则f（4）＝．【解答】解：由题意可知，函数y＝f（x）与函数y＝2x互为反函数，∴f（x）＝log2x，∴f（4）＝log24＝2，故答案为：2．【知识点】反函数18.（2020春•龙凤区校级月考）已知实数α，β满足αeα＝e3，β（lnβ﹣1）＝e4，其中e为自然对数的底数，则αβ＝【解答】解：实数α，β满足αeα＝e3，β（lnβ﹣1）＝e4，所以α+lnα＝3，lnβ+ln（lnβ﹣1）＝4，即α+lnα﹣3＝0，lnβ﹣1+ln（lnβ﹣1）﹣3＝0，所以α和lnβ﹣1是方程x+lnx﹣3＝0的根，由于方程x+lnx﹣3＝0的根唯一．所以α＝lnβ﹣1，3﹣lnα＝lnβ﹣1，整理得lnα+lnβ＝4，所以αβ＝e4．故答案为：e4．【知识点】对数的运算性质19.（2020•攀枝花模拟）已知a＞0，b＞0，若log3a＝log4b＝，则＝．【解答】解：∵log3a＝log4b＝，∴＝2，则＝，故答案为：．【知识点】对数的运算性质20.（2020•上海）已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），若f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数根，则a的取值范围为．【解答】解：因为y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）互为反函数，若y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）有实数根，则y＝f（x+a）与y＝x有交点，所以，即a＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+≥，故答案为：[，+∞）．【知识点】反函数21.（2020•黄浦区一模）已知函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，若f（x）＝x+log2（2x+2），则满足f（x）＞log23＞g（x）的x的取值范围是．【解答】解：∵函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，f（x）＝x+log2（2x+2），设y＝x+，则y﹣x＝，∴2y﹣x＝2x+2，∴2y＝22x+2x+1，∴2x＝＝﹣1，x＝．互换x，y，得g（x）＝，∵f（x）＞log23＞g（x），∴x+log2（2x+2）＞log23＞，解得0＜x＜log215．∴满足f（x）＞log23＞g（x）的x的取值范围是（0，log215）．故答案为：（0，log215）．【知识点】反函数22.（2020•静安区一模）设a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，我们可以证明对数的运算性质如下：我们将⊗式称为证明的“关键步骤“．则证明（其中M＞0，r∈R）的“关键步骤”为．【解答】解：设log a M r＝b，∴a b＝M r，∴r log a M＝b，∴log a M＝，∴a＝a＝（a）r＝（a）r＝a b＝M r，∴关键步骤为：a＝（a）r＝M r．【知识点】对数的运算性质23.（2020•芜湖期末）计算：（log2125+log425+log85）（log52+log254+log1258）【解答】解：（log2125+log425+log85）（log52+log254+log1258）＝（）（）＝（13log85）（9log1252）＝117×＝117×＝13．【知识点】对数的运算性质24.（2020春•金安区校级月考）已知a∈R，函数f（x）＝log2（+a）．（1）当a＝﹣5时，解关于x的不等式f（x）＞0；（2）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差都不超过1，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a＝﹣5时，f（x）＝log2（﹣5），令f（x）＞0，即﹣5＞1，0＜x＜，故不等式的解集是（0，）；（2）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣＝，设1﹣t＝r，则0≤r≤，＝＝，当r＝0时，＝0，当0＜r≤时，＝，∵y＝r+在（0，）上递减，∴r+≥+4＝，∴＝≤＝，∴实数a的取值范围是a≥．【知识点】对数函数的图象与性质25.（2020•咸阳期末）已知函数f（x）＝log a x（a＞0，a≠1）的图象过点．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）计算的值．【解答】解：（I）∵函数f（x）＝log a x（a＞0，a≠1）的图象过点，∴，∴，∴；（II）由（I）知，a＝，∴＝．【知识点】对数函数的单调性与特殊点26.（2020•河西区期末）已知函数f（x）＝log a（x+1），g（x）＝2log a（2x+m），（m∈R），其中x∈[0，15]，a＞0且a≠1．（1）若1是关于方程f（x）﹣g（x）＝0的一个解，求m的值．（2）当0＜a＜1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求m的取值范围．【解答】解：由题意：1是关于方程f（x）﹣g（x）＝0的一个解，可得：log a2＝2log a（2+m），解得或∵2+m＞0∴不符合题意．所以m的值为．（2）f（x）≥g（x）恒成立，等价于恒成立．即：，x∈[0，15]恒成立．令，则当u＝1时，的最大值为1．所以：m≥1即可恒成立．故m的取值范围是[1，+∞）．【知识点】对数函数的图象与性质27.（2020•新洲区期末）计算下列各式的值：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝（﹣）2+10﹣10（）+1＝；（2）原式＝log34﹣log+log38+5＝log+9＝log39+9＝2+9＝11．【知识点】对数的运算性质、有理数指数幂及根式28.（2020•崂山区校级期末）己知25，B＝log2（4B+2A），求A，B的值．【解答】解：A＝1+3﹣3×+log53•＝4﹣12+2＝﹣6．B＝，∴2B＝（2B）2﹣12，化为：（2B﹣4）（2B+3）＝0，∴2B﹣4＝0，解得B＝2．【知识点】对数的运算性质29.（2020•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域并判断函数f（x）的奇偶性；（2）记函数g（x）＝10f（x）+3x，求函数g（x）的值域；（3）若不等式f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x），∴，解得﹣2＜x＜2．∴函数f（x）的定义域为（﹣2，2）．∵f（﹣x）＝lg（2﹣x）+lg（2+x）＝f（x），∴f（x）是偶函数．（2）∵﹣2＜x＜2，∴f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）＝lg（4﹣x2）．∵g（x）＝10f（x）+3x，∴函数g（x）＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，（﹣2＜x＜2），∴g（x）max＝g（）＝，g（x）min→g（﹣2）＝﹣6，∴函数g（x）的值域是（﹣6，]．（3）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max，令t＝4﹣x2，由于﹣2＜x＜2，∴0＜t≤4∴f（x）的最大值为lg4．∴实数m的取值范围为{m|m＜lg4}．【知识点】对数函数的图象与性质30.（2020•聊城期末）（1）计算：；（2）已知集合A＝{x|y＝lg（x﹣3）+}，B＝{x|x2﹣9x+20≤0}，C＝{x|a+1≤x＜2a﹣1}．若C⊆（A ∪B），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）原式＝﹣++＝﹣+6+＝．（2）由，解得3＜x≤．∴集合A＝{x|y＝lg（x﹣3）+}＝（3，]，B＝{x|x2﹣9x+20≤0}＝[4，5]，∴A∪B＝（3，5]，C＝{x|a+1≤x＜2a﹣1}．若C⊆（A∪B），则C⊆（A∪B）．C＝∅时，a+1≥2a﹣1，解得a≤2．C≠∅时，可得：，解得2＜a≤3．综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，3]．【知识点】集合的包含关系判断及应用、对数的运算性质。

基本初等函数综合复习一、知识点总结 1. 对数函数的概念一般地，把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 . 2. 对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质定义 y ＝log a x (a >0，且a ≠1)底数a >10<a <1图象定义域 值域 R单调性 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性 图象过定点 ，即x ＝1时，y ＝0函数值特点x ∈(0,1)时，y ∈ ；x ∈[1，＋∞)时，y ∈ x ∈(0,1)时，y ∈ ；x ∈[1，＋∞)时，y ∈ 对称性函数y ＝log a x 与y ＝1log ax 的图象关于 对称【易错题1】 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在 函数y 1＝3log a x ，y 2＝2log a x 和y 3＝log a x （a ＞1）的图象上，则实数a 的值为________。

【题模1】 函数图象（1）底数与图像位置关系：1、指数函数图象恒过（0，1）在第一象限是“底大图高”，2、对数函数图象恒过（1，0）：在直线1x =的右侧，当1a >时，底数越大，图象越靠近x 轴；当01a <<时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”．3、幂函数图象恒过（1，1），在（1，1）右侧：是“指大图高”.2）函数图象变换①y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )．④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)伸缩变换①y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 y ＝f (ax )．②y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变 y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去 y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象 y ＝f (|x |)． 【讲透例题】1．设0,1a a >≠且，函数2log (2)a y x =++的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．(3,2)-D ．(3,2)2、不论a 为何值时,函数图象恒过一定点,这个定点坐标是 .3． 函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ． C ． D ．5、设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( ) A ．y ＝f (|x |) B ．y ＝－|f (x )| C ．y ＝－f (－|x |) D ．y ＝f (－|x |)6．(多选)若函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有( )A ．a >1B ．0<a <1C ．b >0D ．b <07、已知指数函数()x f x a =，将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()g x 的图象，再将()g x 的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()f x 的图象重合，则a 的值是（ ） A ．32B ．23C ．33D ．3【相似题练习】1． 已知函数2(log )y x a b =++的图象不经过第四象限，则实数a b 、满足( ) A ．1,0a b ≥≥ B ．0,1a b >≥ C ． 2log 0b a +≥ D ．20b a +≥ 2．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )3、 已知()g x 图像与x y e =关于y 轴对称，将函数()g x 的图像向左平移1个单位长度，得到()f x ，则()f x =（ ）A. 1x e +B.1x e -C.1x e -+D. 1x e -- 4、（多选题）为了得到函数ln()y ex =的图象，可将函数ln y x =的图象（ ）A ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e 倍B ．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1eC ．向上平移一个单位长度D ．向下平移一个单位长度 5、函数y =a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点（ ， ） 6、函数(其中且的图象一定不经过第 象限。

专题3.2函数的基本性质知识点一：函数的单调性1．增函数、减函数的概念一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数.如果对于D 内的任意两个自变量的值1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说()f x 在区间D 上是减函数.知识点诠释：(1)属于定义域A 内某个区间上；(2)任意两个自变量12,x x 且12x x <；(3)都有1212()()(()())f x f x f x f x <>或；(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.2．单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()f x 在区间D 上具有单调性，D 称为函数f (x )的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质.知识点诠释：①单调区间与定义域的关系：单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；③不能随意合并两个单调区间；④有的函数不具有单调性.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？3.证明函数单调性的步骤(1)取值.设12x x ，是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <；(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；(4)得出结论.4.函数单调性的判断方法(1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断。

(2)图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性。

【指数与指数函数】一、指数（一）整数指数幂 1．整数指数幂概念：n aa =个)(*∈N n ；n a -= ),0(*∈≠N n a ．规定：0a= )0(≠a ．2．整数指数幂的运算性质：（1）mn aa ⋅= ，（2）mn a a ÷= ),(Z n m ∈；（3）()nma = ),(Z n m ∈；（4）()nab = )(Z n ∈．（二）根式1．根式的概念（a 的n 次方根的概念）：一般地，如果一个数的n 次方等于a()1,n n N *>∈，那么这个数叫做a 的n 次方根．即： 若 ，则x 叫做a 的n 次方根．()1,n n N *>∈例如：27的3次方根 ，27-的3次方根 ，32的5次方根 ，32-的5次方根 ．说明：（1）若n 是奇数，则a 的n0a >，若0a <；（2）若n 是偶数，且0a>，则a 的正的n，a 的负的n次方根，记作：-例如：8的平方根 ；16的4次方根 ． （3）若n 是偶数，且0a <则na 没意义，即负数没有偶次方根；（4）()001,n n n N *=>∈，0∴=；（5n 叫 ，a 叫 ．2．a 的n 次方根的性质（1）一般地，若n= ；若n= ．（2）n= （注意a 必须使n a 有意义）．（二）分数指数幂 1．分数指数幂：规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是mna= ()0,,1a m n N n *>∈>、；（2）正数的负分数指数幂的意义是m na-= ()0,,1a m n N n *>∈>、；（3）0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用()()10,,r s a a a r s Q =>∈；()()()20,,sr a a r s Q =>∈；()()()30,0,rab a b r Q =>>∈．说明：当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；()0a ==>()0a ==>【练习巩固】1．求下列各式的值： （1 （2 （3 （4)a b >2．已知0a b <<，1,n n N *>∈，3 45． 用分数指数幂的形式表示下列各式()0a >：（1）2a ；（2）3a ；（3．6．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．（1）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）83184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭；7．计算下列各式：（1）÷；（2()20a >．二、指数函数1．指数函数定义：一般地，函数 叫做指数函数，其中 是自变量，函数定义域是 ． 2．指数函数x y a =在底数1a >及01a <<的图象特征及函数性质：图象特征函数性质图象的伸展： 图象的对称性： 图象的位置： 图象过定点：自左向右看，图象逐渐 自左向右看，图象逐渐在第一象限内的图象纵坐标都在第一象限内的图象纵坐标都在第二象限内的图象纵坐标都在第二象限内的图象纵坐标都图象上升趋势是越来越 图象下降趋势是越来越函数值开始增长 ，到了某一值后增长速度函数值开始减小 ，到了某一值后减小速度总结：指数函数x y a =在底数1a >及01a <<这两种情况下的图象和性质：1a > 01a <<图象性质（1）定义域： ． （2）值 域： ． （3）过点 ，即0x =时，=y ．（4）在R 上是 函数， 当0>x 时，；当0<x 时， ． （4）在R 上是 函数， 当0>x 时，；当0<x 时， ． 当1>a时，a x a y =的图象向上越接近y 轴，向下越接近x 轴． 当10<<a 时，a x a y =的图象向上越接近y 轴，向下越接近x 轴．【练习巩固】一、指数函数的定义问题例：若21(5)2x f x -=-，则(125)f =______________．练1．已知指数函数图像经过点(1,3)P -，则(3)f =______________．练2．设函数xax f -=)(（0>a且1≠a ），4)2(=f ，则（ ） A ．)2()1(->-f f B ．)2()1(f f > C ．)2()2(-<f f D ．)2()3(->-f f 练3．已知)(x f 是指数函数，且255)23(=-f ，则(3)f = ． 二、指数函数的图像问题 例1：若函数(1)(0,1)x y a b a a =-+>≠的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ）A ．10a b >>且B ．010a b <<<且C ．010a b <<>且D ．11a b >>且 例2：画函数(1)xy aa =>的图像．练1．方程22=+x x的实根的个数为_______．练2．直线a y 3=与函数)10(1≠>-=a a a y x 且的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________ ．练3．若01<<-x ，则下列不等式中成立的是（ ）1.552xxx A -⎛⎫<< ⎪⎝⎭1.552x x x B -⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 1.552xx xC -⎛⎫<< ⎪⎝⎭1.552xx xD -⎛⎫<< ⎪⎝⎭练4．函数)10(33≠>+=-a a a y x 且的图象恒过定点____________．练5．函数21(01)x y a a a -=+>≠且的图像必经过点____________．练6．设,,,ab c d 都是不等于1的正数，,,,x x x xy a y b y c y d====在同一坐标系中的图像如图所示，则d c b a ,,,的大小顺序是（ ）A ．d c b a<<< B ．c d b a <<<C ．c da b <<< D ．d c a b <<<三、求解有关指数不等式、方程 例：已知2321(25)(25)xx a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．练1．设01a <<，解关于x 的不等式22232223xx xx aa -++->． 练2．解方程803322=--+x x ．练3．若方程0)21()41(=++a x x 有正数解，则实数a 的取值范围是 ．练4．设01a <<，使不等式222135x x x x a a-+-+>成立的x 的集合是 ．四、定义域与值域问题例：求下列函数的定义域、值域．（1）1218x y -=； （2）y = （3）3xy -=； （4）1(0,1)1x xa y a a a -=>≠+．练1．当[]1,1-∈x 时，23)(-=x x f 的值域为________．练2．已知函数)(x f y =的定义域为()2,1，则函数)2(x f y =的定义域为________．练3．设集合2{|3,},{|1,}x Sy y x R T y y x x R ==∈==-∈，则ST 是（ ）A 、∅B 、TC 、SD 、有限集练4．求下列函数的定义域与值域（1） 132x y -=；（2）1421x x y +=++；（3）222)31(-=x y ．练5．已知3412-⎪⎭⎫ ⎝⎛≤x x，求函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的值域．五、最值问题 例：函数221(01)xx y aa a a =+->≠且在区间[]11-，上有最大值14，则a 的值是_______． 练1．已知[]3,2x ∈-，求11()142x xf x =-+的最小值与最大值．练2．已知21≤≤-x ，求函数x x x f 9323)(1-⋅+=+的最大值和最小值．练3．设20≤≤x ，求函数523421+⋅-=-x x y 的最大值和最小值．六、比较大小问题例：设1313131<⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<ab ，则（ ）A ．a b ab a a<< B ．b a a a b a << C ．a a b b a a << D ．a a b a b a <<练1．若aa 23122121-+⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()∞+,1 B ．⎪⎭⎫⎝⎛∞+,21 C ．()1,∞- D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,练2．下列三个实数的大小关系正确的是（ ）A ．1201112201112<<⎪⎭⎫ ⎝⎛ B ．2011121201112<<⎪⎭⎫⎝⎛ C ．2011122011112<⎪⎭⎫ ⎝⎛< D ．2201112011121⎪⎭⎫⎝⎛<<练3．比较下列各组数的大小：（1）若1>>>c b a ，比较ba ⎪⎭⎫⎝⎛1与ca ⎪⎭⎫ ⎝⎛1； （2）若0>>b a ，0>c，比较c a 与c b ；（3）若0>>b a ，0<c ，比较c a 与c b ； （4）若()∞+∈,1,b a ，0>>y x ，且y x b a =，比较a 与b ；（5）若()1,0,∈b a ，0<<y x ，且y x b a =，比较a 与b ．七、单调性问题例：讨论函数xx x f 2231)(-⎪⎭⎫⎝⎛=的单调性．练1．函数xx y 2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=的单调增区间为___________．练2．函数x x y -=22的单调递增区间为．练3．函数1)1(222)(+--=x a xx f 在区间),5[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)∞+,6 B ．()∞+,6 C ．(]6,∞- D ．()6,∞-练4．函数xy -⎪⎭⎫⎝⎛=121的单调增区间为（ ）A ．()∞+∞-, B ．()∞+,0 C ．()∞+,1 D ．()1,0练5．函数121)(+=xx f 在()∞+∞-,上（ ） A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值练6．求函数2222++-=x xy 的定义域，值域和单调区间． 练7．求函数23231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的单调区间．八、函数的奇偶性问题例：当1a >时，证明函数11x x a y a +=- 是奇函数．练1．如果函数()f x 在区间]24,2[a a --上是偶函数，则=a _________．练2．若函数1()41x f x a =+-是奇函数，则=a _________．练3．若函数2()()x u f x e --=的最大值为m ，且)(x f 是偶函数，则=+u m ________．练4．设a 是实数，2()()21xf x a x R =-∈+，（1）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数；（2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数及此时()f x 的值域．练5．已知x x f x)21121()(+-=．（1）求函数的定义域；（2）判断函数)(x f 的奇偶性；（3）求证：0)(>x f ．【对数与对数函数】一、对数1．对数的概念：一般地，如果xaN =(0,1)a a >≠，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：log a x N=（其中：a 是 ，N 是 ，log aN 是 ）两个重要对数： （1）常用对数：以10为底的对数lg N ；常用对数：10lglog N N =（2）自然对数：以无理数 2.71828e =为底的对数的对数ln N ．自然对数：ln log e NN=（其中 2.71828e =）；对数式与指数式的互化： log x a a NN x =−−−→=转化2．对数的性质：（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：log 1a =_______； （3）底数的对数是1：log a a =_______；（4）对数恒等式：log a Na =_______； （5）log n a a =_______．3．对数的运算法则：()log a MN =()M N R +∈，； logaM N =()M N R +∈，；()log n a N =()N R +∈；loga=()N R +∈4．对数换底公式：log b N =______________；5．由换底公式推出一些常用的结论：（1）log log a b b a =·，log ab =； （2）lognm ab =；（3）log nn ab =； （4）lognm aa =．二、对数函数1．对数函数的概念：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞2．对数函数log a y x =在底数1a >及01a <<的图象特征及函数性质：总结：指数函数log a y x =在底数1a >及01a <<这两种情况下的图象和性质：1a >01a <<图象性质（1）定义域： ． （2）值 域： ．（3）过点 ，即1x =时，=y ．（4）在R 上是 函数，当1x >时， ；当01x <<时， ．（4）在R 上是 函数，当1x >时， ；当01x <<时， ．注：对数函数log a y x =与1log ay x =（0a >且1a ≠）的图像关于x 轴对称．例：如图中曲线分别表示log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象，,,,a b c d 的关系是（ ）A ．01a b d c <<<<<B ．01b a c d <<<<<C ．01dc a b <<<<< D ．01cd a b <<<<<三、反函数 1．定义：设式子()y f x =表示y 是x 的函数，定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得到式子()x y ϕ=，如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=就表示x 是y 的函数（y 是自变量），这样的函数，叫做()y f x =的反函数 ，记作1()x f y -=，即()1()x y f y ϕ-==，一般习惯上对调1()x f y -=中的字母,x y ，把它改写成1()y f x -=．（1）反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；即函数()y f x =要有反函数由它必须为单调函数．（2）原函数()y f x =的定义域、值域分别是反函数1()y f x -=的 、 ．（3）()y f x =与1()y f x -=的图象关于 对称．（4）若(),P a b 在原函数()y f x =的图像上，则'P 在其反函数1()y f x -=的图像上．即：1()()f a b f-=⇔=2．求反函数的一般步骤（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域； （2）由()y f x =的解析式求出()x y ϕ=；（3）将,x y 对换，得反函数的一般表达式1()y f x -=，标上反函数的定义域（反函数的定义域不能由反函数的解析式求得）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成． 4．掌握下列一些结论（1）单调函数⇒一一对应⇔有反函数（2）周期函数不存在反函数．（3）若一个奇函数有反函数，则反函数也必为奇函数 （4）证明()y f x =的图象关于直线y x =对称，只需证()y f x =的反函数和()y f x =相同．【练习巩固】 一、对数运算 1．已知14log 7a =，14log 5b =，求35log 28(用,a b 表示)．2．6log =3．计算：（1； （2）222lg 5lg 8lg 5120(lg 2)3g +++；（3）21lg 5lg 8000(lg lg lg 0.066⋅+++； （4）483912(log 3log 3)(log 2log 2)log ++-二、大小比较1．比较同底数对数值的大小：利用函数的单调性；当底数是同一参数时，要对对参数进行分类讨论；2．比较同真数对数值的大小：可利用函数图像进行比较，对数函数在同一坐标系中的图像与底数的关系有如下规律：即无论在x 轴上面还是下面，底数按顺时针由小变大．3．比较底数和真数都不相同的对数值的大小：可选取中间量如：“1”、“0”等进行比较． 1．三个数0.76，60.7，0.7log 6的大小顺序是（ ）2．比较下列三数的大小：（1）0.3log 0.7，0.4log 0.3；（2）0.6log 0.8， 3.4log 0.7，()1213-；（3）0.3log 0.1，0.2log 0.1．三、对数函数的定义域、值域． 1．函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是 ．2．函数()f x 的定义域是[]1,2-，则函数2(log )f x 的定义域是 ．3．函数23()log ()f x x ax a =+-的定义域是R ，则实数a 的取值范围是 ．4．求下列函数的定义域、值域：(1)y =； (2)22log (25)y x x =++； (3)213log (45)y x x =-++； (4)y =四、对数函数的性质 1．12()log f x x =，当2,x a a ⎡⎤∈⎣⎦时，函数的最大值比最小值大3，则实数a = ．2．函数()2lg11y x =-+的图像关于（ ）A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称 D ．直线y x =对称3．函数()114422log log5y xx =-+在24x ≤≤时的值域为 ．4．设()f x 为奇函数，且当0x >时，12()log f x x =．(1)求当0x <时，()f x 的解析式；(2)解不等式()2f x ≤．5．根据函数单调性的定义，证明函数2()log 1x f x x=-在()0,1上是增函数．6．函数22log (2)1y x =++恒过定点_________________．五、反函数1．求下列函数的反函数：（1）351()212x y x x -=≠-+；（2）223y x x =-+，(,0]x ∈-∞；（3）21(0)1y x x =≤+； （4）,(10),(01)x y x -≤≤=-<≤⎪⎩．2．求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．（1）1y =；（2）232(0)y x x =--≤．3．已知函数10110xxy =+，求其的反函数，以及反函数的定义域和值域．4．已知函数311()(,)3x f x x a x x a +=≠-≠+，（1）求它的反函数；（2）求使1()()f x f x -=的实数a 的值．5．设点()1,2M 既在函数2()(0)f x ax b x =+≥的图像上，又在它的反函数图像上，（1）求1()f x -；（2）证明：1()fx -在其定义域内是减函数．【幂函数】1．幂函数的定义： ． 2．幂函数的图象3．幂函数的性质（1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)； 是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．（2）过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．（3）单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．（4）奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qp y x =是奇函数；若p 为奇数q 为偶数时，则q p y x=是偶函数；若p 为偶数q 为奇数时，则q py x=是非奇非偶函数．（5）图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方；当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．【练习巩固】 一、幂函数定义： 1．在函数22031,3,,y y x y x x y x x===-=中，幂函数的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ） A ．3y x =- B ．3y x -= C ．32y x = D ．31y x =-二、幂函数的图像性质：1．幂函数的图象都经过点（ ） A ．()1,1 B ．()0,1 C ．()0,0 D ．()1,02．若幂函数()a f x x =在()0,+∞上是增函数，则（ ） A ．0a > B ．0a < C ．0a = D ．不能确定3．幂函数52y x-=的定义域为（ ） A ．()0,+∞ B ．[)0,+∞ C ．R D ．()(),00,-∞+∞4．下列函数中既是偶函数又是(),0-∞上是增函数的是（ ） A ．43y x= B ．32y x= C ．2y x-= D ．14y x-=5．函数2y x -=在区间1[,2]2上的最大值是（ ） A ．14B ．1-C ．4D ．4-6．函数43y x=的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．下列命题中正确的是（ ）A ．当0α=时函数y x α=的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过()0,0和()1,1点C ．若幂函数y x α=是奇函数，则y x α=是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限8．若11221.1,0.9ab -==，那么下列不等式成立的是（ ）A ．1a b <<B ．1a b <<C ．1b a <<D ．1b a <<9．若幂函数1()m f x x -=在()0,+∞上是减函数，则（ ） A ．1m > B ．1m < C ．1m = D ．不能确定10．若点(),A a b 在幂函数()n y x n Q =∈的图象上，那么下列结论中不能成立的是（ ） A ．00a b >⎧⎨>⎩ B ．00a b >⎧⎨<⎩ Ｃ．00a b <⎧⎨<⎩ D ．0a b <⎧⎨>⎩11．使23x x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．1x <且0x ≠ B ．01x << C ．1x > D ．1x <12．当()1,x ∈+∞时，函数a y x =的图象恒在直线y x =的下方，则a 的取值范围是（ ）A ．1a <B ．01a <<C ．0a >D ．0a <13．若四个幂函数a y x =，b y x =，c y x =，d y x =在同一坐标系中的图象如右图，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）A ．d c b a >>>B ．a b c d >>>C ．d c a b >>>D ．a b d c >>>14．函数()1,2ny xn N n =∈>的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．13题15．函数3y x=和13y x=图象满足（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y x =对称16．函数||,y x x x R =∈，满足（ ）A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数 17．函数2224y x x =+-的单调递减区间是（ ）A ．(],6-∞- B ．[)6,-+∞ C ．(],1-∞- D ．[)1,-+∞18．如图1—9所示，幂函数y x α=在第一象限的图象，比较12340,,,,,1αααα的大小（ ）A ．134201αααα<<<<<B ．123401αααα<<<<<C ．243101αααα<<<<<D ．324101αααα<<<<<19．对于幂函数45()f x x=，若120x x <<，则12()2x x f +，12()()2f x f x + 大小关系是（ ） A ．1212()()()22x x f x f x f ++> B ．1212()()()22x x f x f x f ++<C ．1212()()()22x x f x f x f ++= D ．无法确定 20．函数32y x-=的定义域为__________________．21．幂函数()f x 的图象过点()43,27，则()f x 的解析式是____________，1()fx -的解析式是______________．22．249aa y x --=是偶函数，且在()0,+∞是减函数，则整数a 的值是 ．23．若1122(1)(32)a a --+<-，则a 的取值范围是________________．24．设()1()2m f x m x +=-，如果()f x 是正比例函数，则m =__________，如果()f x 是反比例函数，则m =_________，如果()f x 是幂函数，则m =_____________．25．若幂函数2221(1)mm y m m x --=--在()0,+∞上是增函数，m =___________．26．函数2()3x f x x +=+的对称中心是______________，在区间上是_______函数（填“增”或“减”）．27．比较下列各组中两个值大小．（1）6110.6与6110.7；（2）53(0.88)-与53(0.89)-1α3α 4α2α28．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系．（1）32y x=；（2）13y x=；（3）23y x=；（4）2y x-=；（5）3y x-=；（6）12y x-=．（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ）29．已知函数221()(2)mm f x m m x +-=+，求m 为何值时，()f x 是（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数．30．已知幂函数13222()p p f x x-++=（p Z∈）在()0,+∞上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p 的值，并写出相应的函数()f x ．31．已知幂函数223()()mm f x x m Z --=∈的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，试确()f x 的解析式．32．求证：函数3y x =在R 上为奇函数且为增函数．33．利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）．（1）222221x x y x x ++=++；（2）53(2)1y x -=--．【综合练习一】 1．已知集合{}4Mx N x N =∈-∈，则集合M 中元素个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．如图所示，I 是全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P SB ．()M P SC ．()()I MP C S D ．()()I M P C S3．函数2y x bx c =++((,1))x ∈-∞是单调函数时，b 的取值范围（ ）A ．2b ≥-B ．2b ≤-C ．2b >-D ． 2b <-4．如果偶函数在[,]a b 具有最大值，那么该函数在[,]b a --有（ ）A ．最大值B ．最小值C ．没有最大值D ． 没有最小值 5．函数()f x 在区间[2,3]-是增函数，则(5)y f x =+的递增区间是（ ）A ．[3,8]B ． [7,2]--C ．[0,5]D ．[2,3]-6．函数(21)y k x b =++在实数集上是增函数，则（ ）A ．12k >-B ．12k <- C ．0b > D ．0b > 7．定义在R 上的偶函数()f x ，满足(1)()f x f x +=-，且在区间[2,0]-上为递增，则（ ）A．(3)(2)f f f << B．(2)(3)f f f << C．(3)(2)f f f << D．(2)(3)f f f <<8．三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ）A ．60.70.70.7log 66<< B ．60.70.70.76log 6<< C ．0.760.7log 660.7<< D ．60.70.7log 60.76<<9．函数y =的定义域是（ ）A ．()3,+∞ B ．[)3,+∞ C ．()4,+∞ D ．[)4,+∞10．与方程221(0)x x y e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为（ ）A．ln(1y =+ B．ln(1y =- C．ln(1y =-+D．ln(1y =--11．已知(3)4,1()log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞ B ．(),3-∞ C ．3,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,3 12．设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+≠>的图象过点()2,1，其反函数的图像过点()2,8，则a b +=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 13．函数1218x y -=的定义域是_________________；值域是____________________．14．已知全集{}6|5M a N a Z a=∈∈-且，则M =___________________．15．函数()f x 在R上为奇函数，且()1(0)f x x =>，则当0x <，()f x = ．16．函数()lg(32)2f x x =-+恒过定点 ．17．若log 2,log 3a a m n ==，则32m n a-= ．18．已知函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则 1()9f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值为 ． 19．若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是_____________．20．函数2()23f x x mx =-+，当[)2,x ∈-+∞时是增函数，当(],2x ∈-∞-时是减函数，则(1)f =_________．21．（1）求函数21()log x f x -=（2）求函数[)241(),0,53x xy x -=∈的值域． 22．已知[]()9234,1,2x x f x x =-⨯+∈-，（1）设[]3,1,2x t x =∈-，求t 的最大值与最小值；（2）求()f x 的最大值与最小值；23．已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递减，求满足22(23)(45)f x x f x x ++>---的x 的集合．【综合练习二】 1．设集合{}04x x P≤≤=，{}02y y Q ≤≤=，由以下列对应f中不能．．构成A 到B 的映射的是（ ） A ．12y x =B ．13y x =C ．23y x =D ．18y x = 2．下列四个函数:（1）1y x =+；（2）1y x =-；（3）21y x =-；（4）1y x=，其中定义域与值域相同的是（ ） A ．（1）（2） B ．（1）（2）（3） C ．（2）（3） D ．（2）（3）（4） 3．已知函数7()2cf x ax bx x=++-，若(2006)10f =，则(2006)f -的值为（ ） A ．10 B ．— 10 C ．— 14 D ．无法确定 4．设函数1(0)()1(0)x f x x ->=<⎧⎨⎩，则()()()()2a b a b f a b a b ++-⋅-≠的值为（ ）A ．aB ．bC ．a 、b 中较小的数D ．a 、b 中较大的数 5．已知矩形的周长为1，它的面积S 与矩形的长x 之间的函数关系中，定义域为（ ）A ．{}104x x <<B ．{}102x x <<C ．{}1142xx << D ．{}114xx <<6．已知函数y=x 2-2x+3在[0，a](a>0)上最大值是3，最小值是2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0<a<1 B ．0<a ≤2 C ．≤a ≤2 D ． 0≤a ≤27．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在（-∞，0]上是减函数，若()(2)f a f ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤2 B ．a ≤-2或a ≥2 C ．a ≥-2 D ．-2≤a ≤28．已知奇函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞，且对任意正实数1212,()x x x x ≠，恒有1212()()0f x f x x x ->-，则一定有（ ）A ．(3)(5)f f >-B ．(3)(5)f f -<-C ．(5)(3)f f ->D ．(3)(5)f f ->- 9．已知函数1()1x f x x+=-的定义域为A ，函数y=f(f(x))的定义域为B ，则（ ）A ．AB B ⋃= B ． A B A ⋃=C ．A B ⋂=ΦD ．A B A ⋂= 10．已知函数y=f(x)在R 上为奇函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2-2x ，则f(x)在0x ≤时的解析式是（ ） A ． f(x)=x 2-2x B ． f(x)=x 2+2x C ． f(x)= -x 2+2x D ． f(x)= -x 2-2x11．已知二次函数y=f(x)的图象对称轴是0x x =，它在[a ，b]上的值域是 [f(b)，f(a)]，则 （ ）A ． 0x b ≥ B ．0x a ≤ C ．0[,]x a b ∈ D ．0[,]x a b ∉12．如果奇函数y=f(x)在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，则在区间[-7，-3]上（ ）A ．增函数且有最小值-5B ． 增函数且有最大值-5C ．减函数且有最小值-5D ．减函数且有最大值-5 13．已知函数22()1xf x x=+，则11(1)(2)(3)()()23f f f f f ++++= ．14． 设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，则g(x)= ． 15．定义域为2[32,4]a a --上的函数f(x)是奇函数，则a= ． 16．设32()3,()2f x x x g x x =-=-，则(())g f x = ．17．作出函数223y x x =-++的图象，并利用图象回答下列问题： (1)函数在R 上的单调区间； (2)函数在[0，4]上的值域．18．定义在R 上的函数f (x )满足：如果对任意x 1，x 2∈R ，都有f (122x x +)≤12［f (x 1)+f (x 2)］，则称函数f (x )是R 上的凹函数．已知函数f (x )＝ax 2+x (a ∈R 且a ≠0)，求证：当a ＞0时，函数f (x )是凹函数；19．定义在(－1，1)上的函数f (x )满足：对任意x 、y ∈(－1，1)都有f (x )+f (y )=f (1x y xy++)．(1)求证：函数f (x )是奇函数；(2)如果当x ∈(－1，0)时，有f (x )＞0，求证：f (x )在(－1，1)上是单调递减函数；20．记函数f (x )的定义域为D ，若存在x 0∈D ，使f (x 0)=x 0成立，则称以(x 0，y 0)为坐标的点是函数f (x )的图象上的“稳定点”． (1)若函数f (x )=31x x a-+的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求实数a 的取值范围；(2)已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )存在有限个“稳定点”，求证：f (x )必有奇数个“稳定点”．。