运用完全平方公式因式分解 公开课课件

首2 ±2×首 +尾2 ×尾
=(a ± b)² (首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的2倍，等于这 两个数的和(或差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( )²+2x·( )·( )+x( )²=2( 2 )² x + 2 2.m²-6m+9=( )²-m2·( ) ·( m)+( )²=3( 3)² m - 3 3.a²+4ab+4b²=( )²+2a·( ) ·( )a+( 2)b²=( 2b)² a + 2b
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式 等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
B
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
B
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．

ab2 a2 2ab b2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这个公式 来分解因式了，我们把它称为“完全 平方公式”
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平方式
我开始虚伪，听着谎言却装做一无所知；我学会窥探，四处打听如蛇之祟行，而十分看轻自己； 我的故事越编越好，好莱坞金牌编剧也没这般丰富多采，只为让他多留一分钟。
最后，我打他一巴掌。干脆痛快，出手的瞬间，像那位绝望的母亲，远远掷出她的高跟鞋。掷中没有？并不重要。 有多爱，就有多不舍；有多温柔，就有多暴烈，爱得唇边有血，眼中有泪，胸口有纠缠的爱与恨，爱到如连体婴般骨肉相连。割爱，就一定不可能如拈去一片花叶般轻松微笑。 明知留不住，收不下，却不能自控我颠倒狂乱的脚步。那一遭，我是夜深街上，追逐汽车的女子。而我无声的哭泣，他没有听见。快乐是人类社会众望所归的最高境界。所谓君子之交谈如水。一个把名缰利锁看得太重的人。注定是不快乐的。快乐就是看淡尘世的物欲、烦恼，不慕荣利。假如你喜欢武侠小说，你没有必要愧对红楼梦； 假如你喜欢的人突然销声匿迹，你没有必要寻死觅活地断言他一定洒脱地离去；假如你的朋友不幸，你没有必要怨天尤人；假如你认为张曼玉艳美绝俗，你没有必要眼馋肚饱虐待老婆；假如你已经身心交病，那就去教堂忏悔，没有必要仇视别人的平庸；坦然面对心融神会，快乐就在你心里。我怜悯一个有点荣誉的人，就旁若无人而因此失 去快乐的人。能把名利得失置之度外，而凡事都能以诚相待的人一生将是快乐的。我们应从平谈的生活中去提炼体会，如：赤城待人的那种快乐。低待遇下一如既往工作的快乐，助人为乐一介不取的快乐，一片至诚去感化恶人的快乐，热心被人误解依然如故的快乐，信实可靠的服务态度为目的的快乐，尽责任吃苦耐劳的快乐，因为这些 “快乐”能保持住人内心的快乐，使人的容貌永远那么牵挂，一句亲切的问候。甚至一个关切的眼神，快乐无处不有，唯有胸襟开阔的人，才能体会到。形单影只的人仍然可以享受着闲情逸致的快乐。乐山乐水各不相同。爱静的人可以看书、听音乐、上网、写作、画画、搜集各种收藏品。爱动的人则不妨练习舞蹈、慢跑、爬山、游泳。看 电影、上健身房。做编织、陶艺。练瑜枷、潜心发明、闭门创作，摄影、观鸟，我们仍然兴复不浅，乐不可支。人生苦短，岁月如流，乐天知命，为什么不乐乐陶陶的。为什么要疾首蹙额，为眼前一时的顿挫心胆俱碎？为什么要对那些你看不惯的人和事心烦率乱？岂不知我们都是尘世间相映成趣的战友。人世一切冤天屈地，无妄之灾，荣 华富贵，香娇玉嫩……都将随身亡命殒。而人生长着百年，短则数十寒暑，又有何值得耀武扬威的，不过是烟云过眼矣？人生如月，月满则亏，凡事岂能尽人意，但求于心无愧。无愧我心，则恩同再造，那些得失又算不了甚么。世界上没有完美无缺得事物。奉劝多愁善感的朋友。饮醇自醉，快乐起来吧！芸芸众生，绿水青山，名胜古迹，

(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2= a2-2ab+b2 .
将完全平方公式从右到左地使用，就可以把形
如这样的多项式进行因式分解.
例如， x2+4x+4 = x2+2·x·2+22 = (x+2)2 .
a2+2·a·b+b2 = (a+b)2
知识讲授
因式分解的完全平方公式
a 2 2ab b 2 a b
2
a 2ab b a b
2
2
2
注意：公式中
的, 既可以
是单项式，也
可以是多项式.
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个
数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
知识讲授
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
(x2-1)2
[(x+1)(x-1)]2
(x+1)2(x-1)2.
知识讲授
例5 因式分解：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；
(2)( + )－（ + ） + .
解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）
有公因式，先
提公因式
=3a（x+y）2.
(2)原式 = （ + ）－ × （ + ） × +
法公式，我们得到了因式分解的两种方法：提取公因
式法、平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些
乘法公式可以用来分解因式呢？
完全平方公式

化为非负数的和的形式，然后利用非负数性 质解答问题．
例6 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且 a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形 状，并说明理由． 解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形．
a a² a
ab a ab a b²b
b
b
b
拼出图形为：
b ab b² 大正方形的面积可以怎么求？
（a+b）2 = a2+2ab+b2
a a² ab
上面的等式反过来看，能
a
b 得到：
a2+2ab+b2 = （a+b）2
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫
作完全平方式.
观察这两个式子：
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式， 将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
a2 ±2ab
首2 ±2× 首×尾
+b2
两个数的平方和加 =(a ± b)² 上(或减去)这两个
+尾2 (首±尾)2 数的积的2倍，等 于这两个数的和(或
差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2 C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)

14.4
14.4.2
因式分解
完全平方公 式
人教新课标
因式分解： ①6 xm n 7 y m n ③ 2 x x y 2 y y x ④3 p q 9q p
4 3
②4ab10a 4bc 6ac5a 2bc
把下列各式因式分解：
16x2+24x+9= (4x)2+ 2· 4 x· 3 +32
a· b + b2 a2 + 2 ·
解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2· 4x· 3+32
=(4x+3)2.
三、新知识或新方法运用
例５:
分解因式：(2) –x2+4xy–4y2.
解：(2) –x2+4xy-4y2
= -(x2-4xy+4y2)
2 2
▲ ▲ ▲
（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号， 并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
(2)
公式右边: （是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数 的差的形式。
把下列各式分解因式:
2 1.36-25x 2 2 2.16a -9b
= -[x2-2· x· 2y+(2y)2]
= - (x-2y)2
三、新知识或新方法运用
例６: 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2;
(2) (a+b)2-12(a+b)+ 36 分析：在（1）中有公因式3a，应先 提出公因式，再进一步分解。
解:(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2-12(a+b)+ 36 =(a+b)2-2· (a+b)· 6+62 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2 =(a+b-6)2.

(2x−5y)2可以看成哪两个数的和的平方?
(2x−5y)2可以看成2x与 −5y的和的平方.
2021/02/01
7
学一学
(a+b)2 = a2+2ab+b2 .
(a −b)2 = a2 −2ab+b2 .
例1 利用完全平方公式计算：
(1) (4m+n)2 ； (2) (y-0.5x)2 ; (3) (-a−b)2 ; (4) (b-a)2
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(2) 小颖写出了如下的算式: (a−b)2= [a+(−b)]2
她是怎么想的? 你能继续做下去吗?
推证 (a+b)2 =(a+b)(a+b)=a2+ab+ ab+b2
=a2+2ab+b2;
利用两数和的
(a−b)2= [a+(−b)]2
完全平方公式 推证公式
(2) (4a−1)2=(4a+1)2；
成立
(3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2；
不成立．
(4) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1).
不成立．
2021/02/01
13
2号题：
填空题：
（1）(-3x+4y)2=_9_x_2_-_2_4_x_y_+__1_6_y．2
(4) (b-a)2= b2-2 •b •a+a2 =b2-2ab+a2
(-a−b)2=(a+b)2 (b−a)2=(a-b)2
2021/02/01
8
随随堂堂练练习习

（6） 16x4-8x2＋1 解： 原式 (4x2 )2 2 (4x2 ) 112 (4x2 1)2
(2x)2 12 2
(2x 1)(2x 1)2
(2x 1)2 (2x 1)2
判断因式分解正误。
(1） -x2-2xy-y2= -(x-y)2
错。应为： -x2-2xy-y2
(x y)2
=(x+2)2+(y-1)2=0得
x+2=0,y-1=0
∴x=-2,y=1
∴x-y=(-2)-1= 1 2
分解因式：
1. x2 8x 16 =-(x+4)2
2. 4x2 x y2 4x x y =(3x+y)2
3. ax2 2a2 x a3 =a(x+a)2
把下列各式因式分解
平方式
各表达 2或（a－b）
是
a表什达么x， b表达1/2
(2x 1 )2 2
9a2b2 3ab 1
否
1 m2 3mn 9n2 4
是
a表达1
2
m
，
(
1
m
3n)
2
b表达3n 2
x6 10x3 25
否
填空：
（1）a2+ 2ab +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ b2 =(a-b) 2 （3）m2+2m+ 1 =( m+1 ) 2
（4）n2-2n+ 1 =( n-1) 2
（5）x2-x+0.25=( x-0.5 ) 2 （6）4x2+4xy+( y ) 2=( 2x+y ) 2
（2）a2-2ab+ b2 = (a-b) 2

(3)-2xy-x2-y2 =-(x+y)2
(4)4-12(x-y)+9(x-y)2 =(2-3x+3y)2
2020年3月20日4时42分
15
总结与反思：
• 1:整式乘法的完全平方公式是：
a b2 a2 2ab b2
• 2:利用完a全2 平2方a公b 式b分2解因a式的b公2式形式是：
• 3:完全平方公式特点：
含有三项； 两平方项的符号同号； 首尾2倍中间项。
2020年3月20日4时42分
16
作业
P67 A组 2 3 B组 4（4） 5 6
2020年3月20日4时42分
17
2020年3月20日4时42分
18
1.已知 4x2+kxy+9y2 是一个完全
平式，则k= ±12
2.已知 a(a+1)-(a2-b)=-2, 求 a2+b2 +ab 2
（4）n2-2n+ 1 =( n-1) 2
（5）x2-x+0.25=( x-0.5 ) 2 （6）4x2+4xy+( y ) 2=( 2x+y ) 2
2020年3月20日4时42分
7
例5
把
9x2-3x+
1 4
因式分解.
解
9x2-3x+
1 4
分析
9x2
=
=(3(x3)x2 )，2 -142=312x，2 312x+=
（6）9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2
解:原式=32-2×3×2(a-b)+[2(a b)]2
= 3 2(a b)2
=(3-2a+2b)2

(m n 3)2
趁热 2、把下列各多项式因式分解
打铁 (1) 3ax2＋6axy＋3ay2
解：原式 3a(x2 2xy y2 )
3a(x y)2
(2) -x2-4y2＋4xy
解：原式 (x2 - 4xy 4y2 )
[x2 2 x (2y) (2y)2 ]
(x 2 y)2
1．有三部分组成． 2．其中有两部分分别是某两个数（或式）的平方，
且这两部分同号．另一部分是上述两数（或式） 的乘积的2倍，符号可正可负．
首2 2 首 尾 尾2
举一 判别下列各式是不是完全平方式：
反三
(1) x2+y2
不是
(2)a2-6a+9
是
(3) △2-2×△×□+□2
是
(4)m2+2mn-n2
完全平方公式法
温故 知新
提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) 平方差公式法： ① a2-b2=(a+b)(a-b)
练习：把下列各式分解因式
① ax4 ax2
解:原式=ax2(x2-1) =ax2(x+1)(x-1)
（有公因式，先提公因式）
② x4-16
解:原式=(x2+4)(x2-4) =(x2 +4)(x+2)(x-2)
趁热 3、把下列各多项式因式分解
打铁
(1)9x2 4 y2 (3x 2y)(3x 2y)
(2) 9x2 4 y2 (2y 3x)(2y 3x)
(3)9x2 12 xy 4 y2 (3x 2 y)2
(4) 9x2 12 xy 4 y2 (因3x式分2 y解)2多项式； 先看有无公因式。 两项三项用公式； 辩明是否标准式。

因式分解-完全平方公式 ppt课件
介绍完全平方公式的概念和应用，以及它在数学中的重要性。让我们深入探 讨这个主题，并学习如何在实际问题中应用完全平方公式。
什么是完全平方公式
完全平方公式是数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。通过了解完全平方公式及其常见形式，我们 可以更好地理解和解决各种数学问题。
探索完全平方公式在工业生产、科学技术等领域的应用。揭示完全平方公式的实际意义，以及它在未来 可能发展的新应用。
总结
归纳完全平方公式的核心概念，总结其在各个领域的应用范围和使用方法。 通过本课件的学习，你将成为完全平方公式的专家。
参考资料
在编制课件过程中使用的参考资料，包括教材、论文、网站等。感谢这些资料对我们课件的供的有价 值的信息和思路。
完全平方公式的应用
完全平方公式不仅可以用于因式分解，还可以用于计算平方根。了解如何利 用完全平方公式解决实际问题，将使我们的数学技能更上一层楼。
完全平方公式的例题解析
通过身临其境的例题演示，我们将深入研究如何使用完全平方公式解决实际 问题。你将会对完全平方公式的应用有更深入的理解。
完全平方公式在实际应用中的体现