因式分解(公式法之完全平方公式与平方差公式)

因式分解之四大基本解法知识锦囊经典例题【必会考点1】提取公因式1．因式分解：2281012x y xy --【解答】解：原式222(456)x y xy =--2(43)(2)xy xy =+-．2．因式分解：324824m m m -+-．【解答】解：32248244(26)m m m m m m -+-=--+．3．因式分解：325()10()x y y x -+-．【解答】解：325()10()x y y x -+-325()10()x y x y =-+-25()[()2]x y x y =--+25()(2)x y x y =--+．4．因式分解：3()3()a x y b y x ---．【解答】解：3()3()a x y b y x ---3()3()a x y b x y =-+-3()()x y a b =-+．【必会考点2】公式法1．因式分解：（1）22169x y - （2）22222()4x y x y +-． 【解答】解：（1）原式22(4)(3)(43)(43)x y x y x y =-=+-；（2）原式222222(2)(2)()()x y xy x y xy x y x y =+++-=+-．2．分解因式：22(23)m m -+．【解答】解：原式(23)(23)m m m m =++--(33)(3)m m =+--3(1)(3)m m =-++．3．因式分解：2()6()9x y y x -+-+【解答】解：2()6()9x y y x -+-+2()6()9x y x y =---+2(3)x y =--．【必会考点3】提取公因式与公式法综合1．因式分解：（1）2x xy -； （2）329189x x x -+； 【解答】解：（1）22(1)(1)(1)x xy x y x y y -=-=+-；（2）322291899(21)9(1)x x x x x x x x -+=-+=-；2．因式分解：（1）244am am a -+； （2）22()()a x y b y x -+-． 【解答】解：（1）22242(44)(2)am am a a m m a m -+=-+=-；（2）2222()()()()()()()a x y b y x x y a b x y a b a b -+-=--=-+-．【必会考点3】分组分解法1．因式分解：2m my mx yx -+- 【解答】解：（3）2m my mx yx -+-2()()m my mx yx =-+-()()m m y x m y =-+-()()m y m x =-+.2．因式分解：2221b bc c -+-【解答】解：2221b bc c -+-2()1b c =--(1)(1)b c b c =-+--．【必会考点4】十字相乘法1．因式分解：（1）256x x +- （2）2234a ab b -- 【解答】解：（1）256(1)(6)x x x x +-=-+（2）2234a ab b --(4)()a b a b =-+．2．分解因式：2231x x -+【解答】解：2231(1)(21)x x x x -+=--.巩固练习1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---； （2）2282()x x y --．2．分解因式：（1）()()x x a y a x -+- （2）321025x y x y xy -+3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +-4．分解因式：222(4)16m m +-．5．分解因式（1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--．6．因式分解：22436x xy x y -+-7．因式分解：22144a ab b -+-8．分解因式（1）2249x y - （2）2221x y y -+-9．分解因式：22221x y x y -+-．10．分解因式①226x x -- ②332x x -+11．分解因式：2228x xy y --．12．十字相乘法因式分解：（1）256x x ++ （2）256x x --（3）2231x x -+ （4）2656x x +-．13．因式分解：（1）23a b b -； （2）1n m mn -+-；（3）2221x x y -+-； （4）2()()()x y x y x y -++-14．把下列各式分解因式：（1）225x -； （2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+； （4）3222a a b ab -+-．15．因式分解：（1）236x xy x -+； （2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．巩固练习解析1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---； （2）2282()x x y --．【解答】解：（1）2()3()m a b n b a --- 2()3()m a b n a b =-+- ()(23)a b m n =-+；（2）2282()x x y --222[4()]x x y =-- 2(3)()x y x y =-+．2．（1）分解因式()()x x a y a x -+- （2）分解因式321025x y x y xy -+ 【解答】（1）解：()()x x a y a x -+- (x =x a -)(y -x a -) (=x a -)(x y -)；（2）解：321025x y x y xy -+ (xy =21025)x x -+ (xy =25)x -．3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +- 【解答】解：原式322(57)a bc a b c ab =+-； 4．分解因式：222(4)16m m +-． 【解答】解：222(4)16m m +-22(44)(44)m m m m =+++- 22(2)(2)m m =+-．5．分解因式 （1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--． 【解答】解：（1）222(1)4a a +-22(12)(12)a a a a =+++- 2(1)a =+2(1)a -； （2）229()25()a b a b +--[3()5()][3()5()]a b a b a b a b +=+--+- .4(4)(4)a b b a =--．6．因式分解：22436x xy x y -+- 【解答】解：原式2(2)3(2)x x y x y =-+- (2)(23)x y x =-+．7．22144a ab b -+-【解答】解：22144a ab b -+-221(44)a ab b =--+ 21(2)a b =--(12)(12)a b a b =+--+．8．分解因式 （1）2249x y - （2）2221x y y -+-【解答】解：（1）原式(23)(23)x y x y =-+； （2）原式22(21)x y y =--+22(1)x y =--(1)(1)x y x y =+--+．9．分解因式：22221x y x y -+-．【解答】解：原式222222(1)1(1)(1)(1)(1)(1)x y y y x y y x =-+-=-+=+-+． 10．分解因式 ①226x x -- ②332x x -+【解答】解：①226(23)(2)x x x x --=+-； ②332x x -+ 342x x x =-++ (2)(2)(2)x x x x =+-++2(2)(21)x x x =+-+ 2(2)(1)x x =+-．11．分解因式：2228x xy y --． 【解答】解：2228x xy y -- (4)(2)x y x y =-+．12．十字相乘法因式分解： （1）256x x ++ （2）256x x -- （3）2231x x -+ （4）2656x x +-．【解答】解：（1）原式(2)(3)x x =++； （2）原式(6)(1)x x =-+； （3）原式(21)(1)x x =--； （4）原式(23)(32)x x =+-． 13．因式分解： （1）23a b b -； （2）1n m mn -+-； （3）2221x x y -+-；（4）2()()()x y x y x y -++-【解答】解：（1）原式22()()()b a b b a b a b =-=-+；（2）原式(1)()(1)(1)(1)(1)n m mn n m n m n =-+-=-+-=+-；（3）原式2222(21)(1)(1)(1)x x y x y x y x y =-+-=--=---+；（4）原式()()2()x y x y x y x x y =--++=-．14．把下列各式分解因式：（1）225x -；（2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+；（4）3222a a b ab -+-．【解答】解：（1）原式(5)(5)x x =+-；（2）原式2(4)a =-；（3）原式2()(9)x y x =+-()(3)(3)x y x x =++-；（4）原式22(2)a a ab b =--+2()a a b =--．15．因式分解：（1）236x xy x -+；（2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．【解答】解：（1）236(361)x xy x x x y -+=-+；（2）322416284(47)m m m m m m -+-=--+；（3）23218()12()6()(322)a b b a a b a b ---=-+-．。

完全平方公式和平方差公式有哪些完全平方公式和平方差公式是数学中常用的公式，它们在解决一些与平方数相关的问题时发挥着重要的作用。

下面将详细介绍完全平方公式和平方差公式的定义和应用。

一、完全平方公式完全平方公式是指将一个二次多项式转化为一个完全平方式表示的公式。

二次多项式可以写成\[a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\]其中，a和b可以是任意实数。

完全平方公式通过将二次多项式写成一个完全平方式的形式，可以方便地进行运算和化简。

完全平方公式的应用十分广泛，特别是在因式分解与整式运算、解二次方程、求函数的最值等方面，其作用不可忽视。

二、平方差公式平方差公式是指将两个数的平方差表示为一个因式的形式的公式。

平方差公式有两种常见形式：1. \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)其中，a和b可以是任意实数。

平方差公式可以应用于因式分解、整式运算等问题的解答。

2. \(a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi)\)其中，a和b表示实数，i为虚数单位。

当b不为0时，该公式可以应用于复数运算，如复数的乘法和除法。

当b为0时，该公式可以用于判定一个实数是否为一个复数的平方。

平方差公式的广泛应用使得解决与平方数相关的问题变得更加简便。

总结：完全平方公式和平方差公式是数学中常用的公式，它们在解决与平方数相关的问题时发挥着重要作用。

完全平方公式将二次多项式转化为完全平方式，便于运算和化简；平方差公式通过将平方差表示为因式的形式，方便因式分解、整式运算和复数运算等问题的解答。

这些公式的应用广泛，对于学习和应用数学都至关重要。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的公式来解决与平方数相关的问题。

熟练掌握完全平方公式和平方差公式的定义、应用和证明，将会极大地提高我们在数学领域的能力和解题技巧。

通过不断的练习和实践，我们可以更好地理解和运用这些公式，为解决更复杂的数学问题打下坚实的基础。

平方差公式和完全平方公式因式分解
平方差公式和完全平方公式因式分解
平方差公式和完全平方公式是数学中常用的公式，在因式分解中起到了重要作用。

以下是这两个公式的介绍和因式分解方法：
1. 平方差公式：
平方差公式用于因式分解具有平方项的差的平方。

其公式为：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。

利用此公式，我们可以将一个差的平方写成两个因数的乘积。

2. 完全平方公式：
完全平方公式用于因式分解一个二次多项式。

其公式为：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。

利用完全平方公式，我们可以将一个二次多项式写成一个完全平方的形式。

因式分解示范：
1. 平方差公式因式分解：
假设我们要因式分解x^2 - 9。

根据平方差公式，我们有：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)。

2. 完全平方公式因式分解：
假设我们要因式分解x^2 + 6x + 9。

根据完全平方公式，我们有：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2。

通过使用平方差公式和完全平方公式，我们可以将一个多项式因式分解为乘积的形式。

这两个公式在代数中的应用非常广泛，帮助我们简化表达式，解决方程和证明数学性质等问题。

需要注意的是，因式分解可能会涉及到更复杂的多项式和多步操作。

理解和熟练运用这些公式，可以在数学问题求解中提高效率和准确性。

平方差公式和完全平方公式
一、方差公式
方差（Variance）是衡量集中趋势的数学描述，在统计学中，方差是衡量数据集偏离数据平均值的程度。

它的定义是：一组随机变量（x1,
x2,…, xn）的方差是它们的联合分布的第二阶水平的中心，它表示这些变量的变异程度。

用数学公式表示为：
s^2=〖1/(n-1)〗Σ〖(x_i-x)^2〗
其中：〖x_i〗
表示第i个数据；x
表示数据的平均值；n表示数据的个数；s
表示样本标准差；Σ
表示所有数据的和。

完全平方公式（Quadratic Formula）是一种求解多项式方程的技巧,它避免了用二元因式去求多项式的因式分解。

它是一个多项式方程的解，可以用来求解2次项的方程（ax²+bx+c = 0）。

完全平方公式可以将多项式的二次幂公式解写成一般的对应形式，即“x=（-b±√b²-4ac）
/2a”。

其中：a、b和c分别是方程中的常数，x表示方程的未知变量。

这里使用公式推导：
假设ax²+bx+c=0，换句话说就是求ax²+bx+c=0的根。

令：X1和X2分别表示ax2+bx+c=0的两个根。

前两项a和b的系数可以用完全平方公式求出。

首先，将X1和X2带入方程ax²+bx+c=0，可以得到：
aX1²+bX1+c=0
aX2²+bX2+c=0
相减可以得到：
a（X1²-X2²）=b（X2-X1）
进一步计算可以得到：
X1+X2=-b/a
X1X2=c/a。