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运用完全平方公式进行因式分解一ppt课件

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4.3.2 完全平方公式 北师大版八年级数学下册授课课件

4.3.2 完全平方公式 北师大版八年级数学下册授课课件

知2－练
2 下列各式能用完全平方公式进行因式分解的 是( D )
A．x2＋1
B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1
D．x2＋4x＋4
知2－练
3 (中考·长春)把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正
确的是( A )
A．(x－3)2
B．(x－9)2
C．(x＋3)(x－3)
D．(x＋9)(x－9)
4 把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( C )
(2)原式＝(a2－2)2－2a2(a2－2)＋(a2)2 ＝(a2－2－a2)2 ＝(－2)2＝4.
知2－讲
总结
知2－讲
利用完全平方公式分解因式在计算或化简中应 用广泛且巧妙，要注意灵活运用，往往能获得意想 不到的解题效果．
1 把下列各式因式分解： (1)x2－12xy＋36y2； (2)16a4＋24a2b2＋9b4； (3)－2xy－x2－y2； (4)4－12(x－y)＋9(x－y)2.
( A) A．64 C．32
B．48 D．16
知1－练
4 已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值
为( D )
A．8
B．±8
C．24
D．±24
知1－练
5 给多项式x8＋4加上一个单项式，使其成为一个 完全平方式，则加上的单项式是 __4_x_4(_答__案__不__唯__一__)__(写出一个即可)．
错解解析： 错在只注意到中间项的符号是正，而忽视中间 项的符号是负的情况，产生漏解．
正确解法： 因为x2＋(m－3)x＋4＝x2＋(m－3)x＋22， x2＋(m－3)x＋4是完全平方式， 所以(m－3)x＝±2x·2. 所以(m－3)x＝±4x. 因此m－3＝±4. 所以m＝7或m＝－1.

因式分解(完全平方公式)精选教学PPT课件

因式分解(完全平方公式)精选教学PPT课件
ab2 a2 2ab b2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这个公式 来分解因式了，我们把它称为“完全 平方公式”
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平方式
我开始虚伪，听着谎言却装做一无所知；我学会窥探，四处打听如蛇之祟行，而十分看轻自己； 我的故事越编越好，好莱坞金牌编剧也没这般丰富多采，只为让他多留一分钟。
最后，我打他一巴掌。干脆痛快，出手的瞬间，像那位绝望的母亲，远远掷出她的高跟鞋。掷中没有？并不重要。 有多爱，就有多不舍；有多温柔，就有多暴烈，爱得唇边有血，眼中有泪，胸口有纠缠的爱与恨，爱到如连体婴般骨肉相连。割爱，就一定不可能如拈去一片花叶般轻松微笑。 明知留不住，收不下，却不能自控我颠倒狂乱的脚步。那一遭，我是夜深街上，追逐汽车的女子。而我无声的哭泣，他没有听见。快乐是人类社会众望所归的最高境界。所谓君子之交谈如水。一个把名缰利锁看得太重的人。注定是不快乐的。快乐就是看淡尘世的物欲、烦恼，不慕荣利。假如你喜欢武侠小说，你没有必要愧对红楼梦； 假如你喜欢的人突然销声匿迹，你没有必要寻死觅活地断言他一定洒脱地离去；假如你的朋友不幸，你没有必要怨天尤人；假如你认为张曼玉艳美绝俗，你没有必要眼馋肚饱虐待老婆；假如你已经身心交病，那就去教堂忏悔，没有必要仇视别人的平庸；坦然面对心融神会，快乐就在你心里。我怜悯一个有点荣誉的人，就旁若无人而因此失 去快乐的人。能把名利得失置之度外，而凡事都能以诚相待的人一生将是快乐的。我们应从平谈的生活中去提炼体会，如：赤城待人的那种快乐。低待遇下一如既往工作的快乐，助人为乐一介不取的快乐，一片至诚去感化恶人的快乐，热心被人误解依然如故的快乐，信实可靠的服务态度为目的的快乐，尽责任吃苦耐劳的快乐，因为这些 “快乐”能保持住人内心的快乐，使人的容貌永远那么牵挂，一句亲切的问候。甚至一个关切的眼神，快乐无处不有，唯有胸襟开阔的人，才能体会到。形单影只的人仍然可以享受着闲情逸致的快乐。乐山乐水各不相同。爱静的人可以看书、听音乐、上网、写作、画画、搜集各种收藏品。爱动的人则不妨练习舞蹈、慢跑、爬山、游泳。看 电影、上健身房。做编织、陶艺。练瑜枷、潜心发明、闭门创作，摄影、观鸟，我们仍然兴复不浅，乐不可支。人生苦短，岁月如流，乐天知命，为什么不乐乐陶陶的。为什么要疾首蹙额，为眼前一时的顿挫心胆俱碎？为什么要对那些你看不惯的人和事心烦率乱？岂不知我们都是尘世间相映成趣的战友。人世一切冤天屈地，无妄之灾，荣 华富贵，香娇玉嫩……都将随身亡命殒。而人生长着百年，短则数十寒暑，又有何值得耀武扬威的，不过是烟云过眼矣？人生如月，月满则亏，凡事岂能尽人意，但求于心无愧。无愧我心，则恩同再造，那些得失又算不了甚么。世界上没有完美无缺得事物。奉劝多愁善感的朋友。饮醇自醉，快乐起来吧！芸芸众生，绿水青山，名胜古迹，

教学课件：七下湘教公式法第2课时 利用完全平方公式进行因式分解

教学课件：七下湘教公式法第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2= a2-2ab+b2 .
将完全平方公式从右到左地使用，就可以把形
如这样的多项式进行因式分解.
例如， x2+4x+4 = x2+2·x·2+22 = (x+2)2 .
a2+2·a·b+b2 = (a+b)2
知识讲授
因式分解的完全平方公式
a 2 2ab b 2 a b
2
a 2ab b a b
2
2
2
注意：公式中
的, 既可以
是单项式，也
可以是多项式.
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个
数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
知识讲授
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
(x2-1)2
[(x+1)(x-1)]2
(x+1)2(x-1)2.
知识讲授
例5 因式分解：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；
(2)( + )－（ + ） + .
解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）
有公因式，先
提公因式
=3a（x+y）2.
(2)原式 = （ + ）－ × （ + ） × +
法公式，我们得到了因式分解的两种方法：提取公因
式法、平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些
乘法公式可以用来分解因式呢？
完全平方公式

14.2运用完全平方公式分解

14.2运用完全平方公式分解
2
+4m+1
它的边长是什么？
2m+1
一天,小明在纸上写了一个算式 2 为4x +8x+11,
并对小刚说:“无论x取何 值,这个代数式的值都是正 值”,你知道为什么吗?
解4x2+8x+11 =4x2+8x+4+7 =(2x+2) 2 +7 =4(x+2) 2 +7
无论x取何值, 这个代数式的 值都是正值
解：（1）
ax 2 + 2a 2 x+a3；
=a(x2+2ax+a2) =a(x+a) 2
综合运用完全平方式
练习2 将下列多项式分解因式： 2 2 3 （1） ax + 2a x+a ； 2 2 3 x + 6 xy 3 y ． （2）
解：（2）
= -3(x2 - 2xy + y2) = - 3(x - y) 2
判断因式分解正误
-x2-2xy-y2
( x y)
2
不正确
(a+b) 与(-a-b)
2
2
相等吗?
相等
添入适当的式子 使等式成立
a2-10a +（25 ）=
( a - 5 )2
将 4m 2 1 再加上一项，使它成为
(a b) 的形式
2
4m
添入适当的式子 使等式成立
b2+2 2b +（ 4 ）=
(a b) 2(a b) 1
2
这个多项式是完全 平方式么？
是
综合运用完全平方式
例2 分解因式： 2 2 2 3ax +6axy+3ay （a+b） +36 ． （1） ；（2）（a+b）-12

因式分解-完全平方公式

因式分解-完全平方公式

因式分解 $$(x + 5)^2$$ $$(3x - 2)^2$$ $$(2x + 3)^2$$
结论
通过学习和运用完全平方公式，您将能够轻松因式分解二次方程，并更好地 理解和分析数学问题。继续锻炼和实践，您的因式分解技巧将日益提高。
完全平方公式的形式
完全平方公式的形式为：$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$，其中a和b是实数。
解决问题的步骤
1. 将二次方程按照一般形式表示：$$ax^2 + bx + c$$ 2. 识别出平方项的系数a和常数项c 3. 计算平方项系数的一半，即$$\frac{b}{2a}$$ 4. 使用完全平方公式，进行平方项和常数项的加法和乘法操作 5. 将结果写成两个平方项相加的形式
完全平方公式的实例
例子1
假设有一个二次方程：$$x^2 + 6x + 9$$，我们可以使用完全平方公式将其因式分解为：$$(x + 3)^2$$。
例子2
另一个例子是二次方程：$$4x^2 - 12x + 9$$，使用完全平方公式进行因式分解，得到：$$(2x - 3)^2$$。

练习题目和答案
二次方程 $$x^2 + 10x + 25$$ $$9x^2 - 12x + 4$$ $$4x^2 + 12x + 9$$
因式分解-完全平方公式
本演讲将为您介绍因式分解的重要内容——完全平方公式，从定义到实例， 让您轻松学会并享受因式分解的乐趣。
完全平方公式的定义
完全平方公式是一种用于因式分解的数学技巧，适用于一元二次方程。它能够将一个二次方程转化为两个平方 项的乘积，并且是唯一的。

14.3.2因式分解完全平方公式课件八年级数学人教版上册

14.3.2因式分解完全平方公式课件八年级数学人教版上册

a
b
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
利用公式把某些具有特殊 形式(如平方差式，完全平 方式等)的多项式分解因式， 这种分解因式的方法叫做 公式法因式分解.
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
判断下列各式是完全平方式吗？
a2 4a 22 (a 2)2
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
例4 计算：
(1) 1002–2×100×99+99²；
解：(1)原式=(100–99)² =1.
(2) 342＋34×32＋162.
(2)原式＝(34＋16)2 ＝2500.
利用完全平方 公式分解因式， 可以简化计算.
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
2a(x y)2
先纳总结 巩固提升 小结回顾
例2 因式分解
（2） 16a4 8a2b2 b4 解：原式 (4a2 )2 2 4a2 b2 (b2 )2
(4a2 b2 )2 [(2a b)(2a b)]2 (2a b)2 (2a b)2
因式分解 步骤方法
先提公因式→一提 再用公式→二用 继续分解→三查
例2 因式分解
（5） ( p 1)( p 4) p 解：原式 p2 4 p p 4 p
p2 4p 4 ( p 2)2
无提无公式， 展开合并 再观察。
探究新知 理解新知 经典例题 归纳总结 巩固提升 小结回顾
例3 已知: a2+b2+2a–4b+5=0，求 2a2+4b–3的值.
解：∵a2+b2+2a–4b+5=0
∴ 2a2+4b–3

运用完全平方公式因式分解


5 x2 1 x
4
原式
x
1 2
2
6 4a2 12ab 9b2 原式 2a 3b2
练习题：
1、下列各式中，能用完全平方公式
分解的是（ D ）
A、a2+b2+ab B、a2+2ab-b2
C、a2-ab+2b2 D、-2ab+a2+b2
2、下列各式中，不能用完全平方公
式分解的是（ C ）
A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2
A、a b 12 B、a b 12 C、a b 22 D、a b 22
10、计算1002 210099 992 的
结果是（ A ）
A、 1
B、-1
C、 2
D、-2
思考题:
1.3a x2 6axy 3a y2 2.ax2 2 a2 x a3
3.(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公 式分解吗?
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首2 2首尾 尾2 =(首+尾)2
请运用完全平方公式把下列各式分 解因式：
1 x2 4x 4 原式 x 22
2 a2 6a 9 原式 x 32
3 4a2 4a 1 原式 2a 12
4 9m2 6mn n2 原式 3m n2
小结：
1、完全平方式的特征：
是一个二次三项式 首平方尾平方积的2倍在中央
2、利用完全平方式进行因式分 解应注意什么？
作业
P45 习题12.5 1、2、3
ab 2 a2 2abb2
现在我们把这个公式反过来

《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)


B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考


（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4

的值为


解析：由 +
得
+






= − − ，
− + + = ，


即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解

111111完全平方公式进行因式分解一ppt课件

2
2 2
2
(2) 49b a 14ab (3) a 10a 25
2 3 2 2 3
(4) 4 x y 4 x y xy
例2：因式分解
(1) x 18 x 81
4 2
(2)
(2 x y ) 6(2 x y ) 9
2
（３）
1 2 2 x 3xy 9 y 4
2 2
(x 7)
2
(2)
(m n) 6(m n) 9
2
原式 (m n) 2 2 (m n) 3 32 解：
(m n 3) 2
请运用完全平方公式把下 列各式分解因式： 2 2 1 x 4 x 4 原式 x 2 2 2 2 a 6a 9 原式 x 3 2 2 3 4a 4a 1 原式 2a 1 2 2 2 4 9m 6mn n 原式 3m n
2
a表示：2x+y b表示：3
(2 x y) 2 2 (2 x y) 3 32
( 2 x y 3) 2
填一填
多项式
x2 6x 9
是否是完全 平方式
是
是
4 y 4 y 1
2
a、b各表 表示（a+b）2 示什么 或（a－b）2 a表示x， ( x 3) 2 b表示3 a表示2y， ( 2 y 1) 2 b表示1
9a b 3ab 1
2 2
是否是完全 平方式
a、b各表 示什么
表示（a+b）2 或（a－b）2
是 否
a表示x， b表示1/2
1 2 (x ) 2

因式分解ppt(共22张PPT)

3．（随堂练习p3１、２）
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
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2
2
错。应为： -x -2xy-y
( x y ) 2
(a b) 2
=-（ x +2xy+y ） =-（x+y)
( x y ) 2
2
2
2+2ab-b2 (a b) 2 （2）a
错。此多项式不是完全平方式
练一练 因式分解：
（1）25x2＋10x＋1
解:原式=（5x) +2×5x×1+1 =(5x+1)
1 4a 2
1 1 x x 2 4
2
否
否
x 4x 4 y
2
2
2
2
否
是
a表示2y， (2 y 3x) 2 b表示3x a表示(a+b)， ( a b 1) 2 b表示1
4 y 12 xy 9 x
2
(a b) 2(a b) 1
是
填一填
多项式 1 2 x x 4
课前复习：1、分解因式学了哪些方法
提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
运用公式法： ① a2-b2=(a+b)(a-b)
练习
①
4
把下列各式分解因式
2
ax ax
2 2
② x4-16 解:原式=(x2+4)(x2-4)
=(x2 +4)(x+2)(x-2)
解:原式=ax (x2-1)
=ax (x+1)(x-1)
解：由x +4x+y -2y+5=(x +4x+4)+(y -2y+1) =(x+2) +(y-1) =0得 x+2=0,y-1=0 ∴x=-2,y=1
2 2 2 2 2 2
1 ∴x =(-2) = 2
-y -1
分解因式：
1. x 8x 16
2
=-(x+4)
2
2. 4 x 2 x y 2 4 x x y =(3x+y)2
a b
2
2
a 2ab b
2
2
• 2:利用完全平方公式分解因式的公式形式是：
a 2ab b a b
2
2
• 3:完全平方公式特点： 含有三项；两平方项的符号同号；首尾2倍中间项
作业
习题2.5
1.已知 4x2+kxy+9y2 是一个完全
平式，则k=
2.已知 的值。
解： 原式 (4x ) 2 (4x ) 1 1
2 2 2 2
(4 x 1)
2
2
2 2
(2 x) 1 2 (2 x 1)( 2 x 1) (2 x 1) 2 (2 x 1) 2
2


判断因式分解正误。
(1）
-x2-2xy-y2=
2 2
-(x-y)
2 2 2
完全平方式
熟知公式特征！ 用公式法正确分解因式关键是什么？ 完全平方式 2 a a2 ± b + b2 = （ a ± b ）2 从项数看： 都是有 3 项
(一数) 2 ± 2(一数)(另一数)+(另一数)2=(一数±另一数)2
从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)
的平方,另一项为这两个数(或整式 )的乘积的2倍.
2 2
2
(4) 9 x 12 xy 4 y (3x 2 y ) 2
2 2
把下列各式因式分解
(5)9a 4b(3a b) 9a 12ab 4b (3a 2b)
2
2 2
2
(6)3ax 6axy 3ay 3a( x 2 2 xy y 2 ) 3a( x y) 2
9a b 3ab 1
2 2
是否是完全 平方式
a、b各表 示什么
表示（a+b）2 或（a－b）2
是 否
a表示x， b表示1/2
1 2 (x ) 2
1 2 m 3mn 9n 2 4
是
a表示1 m ， 1 2 b表示3n
( m 3n) 2
2
x 10 x 25
6 3
否
填空：
2
2
2 2 2
(2)9a 6ab b
=(3a-b)
2
2
2
解:原式=（3a) -2×3a×b+b
练一练 因式分解：
解:原式=（7a) +2×7a×b+b
=(7a+b)
2
(3)49a b 14ab
2 2
2
2
（4）-a2-10a -25
解:原式=-（a +2×a×5+5 ) =-(a+5)
（1）a2+
2ab
+b2=(a+b)2 b2 =(a-b) 2 =( m+1 ) 2 =( n-1 ) 2
（2）a2-2ab+ （3）m2+2m+ （4）n2-2n+
1
1
（5）x2-x+0.25=( x-0.5 ) 2
（6）4x2+4xy+( y ) 2=( 2x+y ) 2
例题 (1 x2＋14x＋49 ) 2 2 解：原式 x 2 x 7 7
从符号看： 平方项符号相同 （即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项）
填一填
多项式
x2 6x 9
是否是完全 平方式
是
是
4 y 4 y 1
2
a、b各表 表示（a+b）2 示什么 或（a－b）2 a表示x， ( x 3) 2 b表示3 a表示2y， ( 2 y 1) 2 b表示1
2 2 2
练一练 因式分解：
（5）-a3b3+2a2b3-ab3 3 2 2 解：原式=-ab (a -2a×1+1 ) 3 2 =-ab (a-1) （6）9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2 2 解:原式=3 -2×3×2(a-b)+[2(a b)]2
=
3 2(a b)
(4 -x2-4y2＋4xy ) 原式 ( x 2 - 4xy 4y 2 ) 解：
[ x 2 2 x (2y ) (2y ) 2 ]
( x 2 y) 2
例题
(5 4a 2 12 ab 9b 2 ) 2 2 解： 原式 (2a) 2 (2a ) (3b) (3b) (2a 3b) 2 （6） 16x4-8x2＋1
2 2 2 2
±12
a2+b2 +ab 求 2
a(a+1)-(a2-b)=-2,
解: 由a(a+1)-(a2-b)=a2+a-a2+b=a+b=-2得
a b a b 2ab (a b) (2) ab 2 2 2 2 2
2 2
3.已知x2+4x+y2-2y+5=0,求 x-y 的值。
2 2 2 2
=(y+x) (y-x) 简便计算：
2
2
2
56 68 56 34
2
2
解：原式=（56+34） =90 =8100
2
（有公因式，先提公因式。） （因式分解要彻底。）
课前复习：
2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？
(a b) a 2ab b
2
2
2
(a b) a 2ab b
2
2
2
a 2ab b a b 2 2 2 a 2ab b a b
(x 7)
2
2
(m n) 6(m n) 9 (2 ) 原式 (m n) 2 2 (m n) 3 32 解：
(m n 3) 2
例题 (3 3ax2＋6axy＋3ay2 ) 原式 3a( x 2 2xy y 2 ) 解：
3a(x y)2
2
2
=(3-2a+2b)
分解因式：
（1）x -12xy+36y
4 2 2 2 2
=(x-6y)
42Leabharlann (2)16a +24a b +9b =(4a +3b ) (3)-2xy-x -y =-(x+y)2
2 2
2
2 2
(4)4-12(x-y)+9(x-y) =(2-3x+3y)
2
2
总结与反思：
• 1:整式乘法的完全平方公式是：
2 2
(7)(a+1)2-2(a2-1) ＋(a-1)2=(a+1-a+1)2=4
(8)9(a b) 12(a b ) 4(a b) 2 3(a b) 2(a b)
2 2 2 2
(5a b) 2
因式分解：
(y2 + x2 )2 - 4x2y2
解 : 原式 ( y x 2 xy)( y x 2 xy)
3.
ax 2a x a
2 2
3
=a(x+a)
2
把下列各式因式分解
(1)9 x 4 y (3x 2 y)(3x 2 y)
2 2
(2) 9 x 4 y (2 y 3x)(2 y 3x)
2 2
(3)9 x 12 xy 4 y (3x 2 y )