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时域分析(1)

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时域分析实例

时域分析实例
时域分析用于控制系统 的分析和优化，如系统 稳定性、响应速度等。
02
时域分析的基本原理
信号的分类
01
02
03
04
确定信号
在所有时间上都确定的信号， 如正弦波和方波。
随机信号
具有随机性的信号，如噪声信 号。
瞬态信号
只在某一时刻存在的信号，如 脉冲信号。
周期信号
重复出现且有固定周期的信号 ，如正弦波和余弦波。
拉普拉斯变换
将时域信号转换为复平面上的函数，用于分析信 号的稳定性。
Z变换
将离散时域信号转换为复平面上的函数，用于分 析离散时间系统的动态特性。
03
时域分析实例
实例一：正弦波信号的时域分析
总结词
正弦波信号是时域分析中最简单的信号之一，其波形呈正弦 曲线形状。
详细描述
正弦波信号的时域分析主要关注信号的幅度、频率和相位。 通过观察信号的波形，可以确定信号的基本参数，如幅度、 频率和相位。这些参数对于理解信号的特性和应用具有重要 意义。
实例三：随机信号的时域分析
总结词
随机信号是一种无法预测的信号，其波形和参数在每次测量时都会有所不同。
详细描述
随机信号的时域分析主要关注信号的统计特性，如均值、方差和概率密度函数。通过测量这些统计特性，可以了 解信号的基本特征和变化规律。在通信、雷达、声呐等领域中，随机信号的时域分析具有重要的应用价值。
04
时域分析的优缺点
优点
实时性
时域分析能够提供实时的信号处理和分析，对于 需要快速响应的应用场景非常有利。
简单性
相对于频域分析，时域分析的算法通常更简单， 计算量更小，更适合实时处理。
ABCD
直观性

第三章(1) 时域分析(计算)

第三章(1) 时域分析(计算)
h(t)
Mp超 调 量 允 许 误 差 1 0.9
h() h() h() h()
0
td
0.02 或 0.05
0.5
0.1
tr tp ts
t
图 3-2 表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts 的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
四、典型时间响应
系统响应之间有什么关系?
1、 单位脉冲函数 对单位脉冲输入信号（函数）的响应。
系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信
号的响应特性之间，存在着一定的关系. 所以采用试验 信号来评价系统性能是合理的。
怎样建立系统性能评判依据?
一.典型试验信号
选择典型试验信号的原则 (1) 反映实际情况; (2) 数学形式简单; (3) 实验室容易得到. 典型试验信号: 1、（单位）阶跃函数: 2、（单位）斜坡(速度)函数:
例如，切削机床的自动控制的例子。那么如何来规定衡
量系统性能的输入信号呢?
3.2.1 典型输入信号
在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有 评判、比较的依据。 这个依据也许可以通过对这些系统 加上各种输入信号， 比较它们对特定的输入信号的响应 来建立。 许多设计准则就建立在典型试验信号的基础上. 因为
1
1 t e(t ) r (t ) c(t ) Tt T 2 (1 e T )
t 1 c(t ) t 2 Tt T 2 (1 e T ) 2
(t 0)
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
表3-1一阶系统对典型输入信号的响应
+
r(t)
R
+

第2章 连续系统的时域分析(1)

第2章 连续系统的时域分析(1)

(t)有关的问题有待进一步解决—— h(t)；
卷积积分法: 任意激励下的零状态响应可通过 冲激响应来求。(新方法)
2020/7/30
4
本章主要内容
•LTI系统完全响应的求解；
•冲激响应h(t)的求解；
•卷积的图解说明；
•卷积的性质yzs；t f t ht
•零状态响应：
。
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5
,
dn1 y(0 ) d t n1
t=0-时，激励未接入，y(0-)、y’(0-)…， 反映系统的历史情况。
初始条件的确定是要解决的问题。
求解微分方程时，要先从y(j)(0-)
y(j)(0+)
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23
实例
例2.1-3 描述某LTI系统的微分方程为
y'' (t) 2 y' (t) y(t) f '' (t) 2 f (t)
特 解： 根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数
定出特解。注意常数情况
全 解：
齐次解+特解，由初始条件定出齐次解系数Ack i。
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18
系统响应划分
自由响应＋强迫响应 (Natural+forced)
暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state)
已知y(0) 1, y'(0) 1, f (t) (t),求y 0 和y'(0)
1、将激励代入微分方程
y'' (t) 2 y' (t) y(t) '' (t) 2 (t)
根据微分方程奇异函数对等原理

第三章 时域分析1

第三章 时域分析1
存在一对离虚轴最近的共轭极点；
附近无零点；
其他极点距虚轴的距离是它的5倍以上。
高阶系统传递函数的一般形式为
m
(s) C(s) R(s)
n1
K (s zi )
i 1 n2
(s s j ) (s2 2ll s l 2 )
j 1
l 1
单位阶跃响应为
C(t) L1[1 . (s)]
s
1
四、具有零点的二阶系统分析
具有零点的二阶系统比典型的二阶系统多一个零点，
其闭环传递函数为： (s)
s2
n2 (1s) 2ns n2
，零点为： z 1
具有零点的二阶系统 (0 1) 的单位
阶跃响应为：
p1
jn 1 2
l
C(s)
(s)R(s)
s2
n2 (1s) 2 ns n2
1 s
z n
列劳斯表
s3 126
258
s2 219
85
s1 209.1
0
s0 85
可见，3个根全在S=0的左面。令S=S'－1代入特征方程整理后
有 126s' 3 159s' 2 198s' 80 0
列劳斯表
s3 126 s2 159 s1 134.6 s0 80
198 80
0
可见第一列元素变号3次，3个根全部位于S＝－1的右面。因 此得结论：3个根的实部全部位于开区间（－1，0）之内。
劳斯行列表为：
s3
1
40
s2
14
K
s1 40 K
0
14
s0
K
为使系统稳定，劳斯阵列中第一列元素须全为正。因此有

控制系统时域分析

控制系统时域分析

控制系统时域分析控制系统是指由各种元件和装置组成的，用于控制、调节和稳定各种过程的系统。

在控制系统的设计和分析中，时域分析是一种常用的方法。

时域分析可以通过考察系统输出信号在时间上的变化来评估系统的性能和稳定性。

本文将介绍控制系统的时域分析方法及其在工程实践中的应用。

1. 时域分析的基本概念时域分析是指通过观察系统输入和输出信号在时间轴上的波形变化，来分析控制系统的性能和特性。

在时域分析中，常用的指标包括系统的响应时间、稳态误差、超调量、振荡频率等。

2. 系统的单位阶跃响应单位阶跃响应是指将系统输入信号设置为单位阶跃函数，观察系统输出信号的变化。

单位阶跃响应可以反映系统的动态特性，包括系统的稳态响应和暂态响应。

通过观察单位阶跃响应的波形，可以评估系统的超调量、上升时间、峰值时间等性能指标。

3. 系统的单位脉冲响应单位脉冲响应是指将系统输入信号设置为单位脉冲函数，观察系统输出信号的变化。

单位脉冲响应可以用来确定系统的传递函数和冲激响应。

通过观察单位脉冲响应的波形，可以计算系统的阶跃响应和频率响应等特性。

4. 系统的稳态误差分析稳态误差是指系统输出信号与期望输出信号之间的偏差。

稳态误差分析是用来评估系统在稳态下的性能。

根据系统的稳态误差特性，可以对系统进行进一步的补偿和优化。

通常，稳态误差可以通过单位阶跃响应和传递函数来计算。

5. 系统的波形分析波形分析是指通过观察系统输入和输出信号的波形，来分析系统的性能和特性。

波形分析可以帮助工程师判断系统是否存在超调、振荡和阻尼等问题，从而进行相应的调整和改进。

6. 控制系统的频域分析虽然时域分析是评估控制系统性能的常用方法，但有时候需要使用频域分析来更全面地了解系统的特性。

频域分析可以通过考察系统的频率响应函数来评估系统的稳定性和抗干扰性能。

常见的频域分析方法包括傅里叶变换、拉普拉斯变换和频率响应曲线等。

总结：时域分析是控制系统设计和分析中重要的工具之一。

通过观察系统输入和输出信号在时间上的变化，可以评估系统的性能和稳定性。

电路时域分析

电路时域分析

一二阶电路时域分析一、基本概念含有动态元件的电路称为动态电路。

动态电路的特征是电路出现换路时，将出现过渡过程。

一阶电路通常含有一个动态元件，可以列写电压或电流的一阶微分方程来描述。

二阶电路通常含有二个动态元件，可以列写电压或电流的二阶微分方程来描述。

零状态响应：是指换路后电路无外加电源，其响应由储能元件的初始值引起，称暂态电路的零输入响应。

零状态响应：是指储能元件的初始值为零，换路后电路的响应是由外加电源引起的响应，称暂态电路的零状态响应。

全响应：换路后的响应由储能元件初始值和外加电源共同产生的响应，称为暂态电路的全响应。

二、一阶电路的阶跃响应和冲激响应1、 奇异函数奇异函数也叫开关函数，当电路有开关动作时，就会产生开关信号，奇异函数是开关信号最接近的理想模型。

（1）单位阶跃函数00()10t t t ε<⎧=⎨>⎩ （2）单位冲激函数⎪⎩⎪⎨⎧≠==⎰∞∞-)0(0)(1)(t t dt t 当δδ冲激函数有两个非常重要的性质：① 单位冲激函数()t δ对时间t 的积分等于单位阶跃函数()t ε，即 )()(t d tεξξδ=⎰∞-反之，阶跃进函数()t ε对时间的一阶导数等于冲激函数()t δ，即 )()(t dt t d δε=② 单位冲激函数的“筛分”性质设()f t 是一个定义域为(,)t ∈-∞∞，且在0t t =时连续的函数，则)()()(00t f dt t t t f =-⎰∞∞-δ2、一阶电路的阶跃响应和冲激响应电路在单位阶跃函数电源作用下产生的零状态响应称为单位阶跃响应。

常用)(t S 表示。

电路在单位冲激函数电源作用下产生的零状态响应称为单位冲激响应。

常用)(t h 表示。

冲激响应也可这样求得：因冲激函数是阶跃函数的导数，则冲激响应为阶跃响应的导数。

即dt t dS t h )()(=三、二阶动态电路的分析方法经典法：以电容电压或电感电流为电路变量，根据KVL 、KCL 、VCR 对电路列写二阶微分方程，然后求解。

信号与系统的时域分析


∫
t2
t1
φ i2 ( t )dt ← 基能量
， i = 1,2, … , N
6
( 3) 若x( tn )是复信号，则可推得系数为 : 是复信号， ai
∫ = ∫
t2
t1 t2 t1
x( t )φ i* ( t )dt | φ i ( t ) | 2 dt
或 ai =
n= N 1 N2
x( n)φ i* ( n) ∑ | φ i ( n) | 2 ∑
N
2
∫
t2
t1 t2
2 N N 2 x ( t ) − 2 x ( t )∑ a iφ i ( t ) + ∑ a iφ i ( t ) dt i =1 i =1 2 2 i i t2
∫ {− 2 x ( t )a φ ( t ) + a φ
交集中 N个正交基信号 (为了讨论方便，假设基 为实 为了讨论方便， 信号 )的线性组合来近似表示 x ( tn )，即 x ( ) ≈ ∑ a iφ i ( tn )
t n i =1 t n N
则误差信号为
e ( ) = x ( ) − ∑ a iφ i ( tn )
t x n i =1
3
N
2 N t2 ∫ x ( t ) − ∑ a iφ i ( t ) dt t1 i =1 误差信号能量为 ε x = 2 N2 N n∑1 x ( n ) − ∑ a iφ i ( n ) i =1 =N 在误差能量最小前提下 ， 要求取最佳组合系数 a i，必须
t1 i i t1
( t ) dt = 0
t2
}
交换偏导与积分次序有 2a i ∫ φ ( t )dt = 2 ∫ x ( t )φ i ( t )dt

时域分析方法总结

时域分析方法总结引言时域分析是信号处理领域中常用的一种方法，它的核心思想是对信号在时间上进行观察和分析，从而获取有关信号的时序特征和动态行为。

本文将对时域分析的基本概念和常用方法进行总结和介绍。

时域分析的基本概念时域分析主要依赖于时域信号，即信号在时间轴上的变化。

时域信号是连续的，可以通过采样来离散表示。

常见的时域信号包括周期信号、非周期信号以及随机信号等。

时域分析的目的是通过观察和分析信号在时间上的变化，揭示信号的特征和规律。

常用的时域分析方法1. 时域波形分析时域波形分析是最直观和基本的时域分析方法。

它通过观察信号的波形，分析信号的振幅、频率、周期和相位等特征。

常用的时域波形分析方法包括均方根(RMS) 分析、极值分析和傅里叶级数分析等。

这些方法适用于周期信号和非周期信号的分析。

2. 自相关函数分析自相关函数是用于描述信号与其自身之间的相关性的函数。

自相关函数分析能够揭示信号中的周期性成分和重复模式。

通过计算信号与其延迟后的版本之间的相关性，可以获得自相关函数。

自相关函数分析常用于随机信号的分析和模式识别任务。

3. 相位谱分析相位谱分析是用于分析信号的频率和相位关系的方法。

它通过将信号转换为频域表示，获得信号的频谱信息。

相位谱分析基于信号的频域特性，可以帮助人们理解信号的相位信息、频率成分以及相位偏移等。

常用的相位谱分析方法包括快速傅里叶变换 (FFT) 和功率谱密度分析。

4. 瞬态响应分析瞬态响应分析是用于分析信号对于外部激励的瞬时响应情况。

它通过分析信号在时域上的变化来了解系统的动态行为。

瞬态响应分析常用于分析系统的响应时间、准确性和稳定性等性能指标。

常用的瞬态响应分析方法包括阶跃响应分析和脉冲响应分析。

应用场景时域分析方法在多个领域中都有广泛的应用，包括信号处理、通信、控制系统、生物医学工程等。

时域分析方法可以帮助人们深入了解信号的特性和行为，并根据分析结果进行系统设计、故障诊断、模式识别等工作。

时域分析的概念

时域分析的概念时域分析是一种用来研究信号在时间域内的性质和特征的方法。

在时域分析中，信号被看作是时间的函数，通过对信号的时间变化进行观察和分析，得到信号的幅度、频率、相位等信息，以及信号的时域波形。

时域分析主要关注信号的时域特征，即信号随时间变化的规律。

通过时域分析可以直观地了解信号的时域波形，例如信号的起伏、周期、趋势、振幅等特征。

时域分析常用的方法包括波形图、自相关函数、特征值分析等。

在时域分析中，最常用的是波形图。

波形图是将信号的幅度随时间变化的曲线绘制出来，通过观察波形图可以得到信号的周期、频率、相位等信息。

例如，正弦信号的波形图呈现出来自动的曲线，可以通过波形的周期和振幅来估计信号的频率和相位。

另一个常用的时域分析方法是自相关函数分析。

自相关函数表示信号与其自身在不同时间点的相关性，通过计算信号在不同时间延迟下的自相关值，可以了解信号的周期性和信号与自身的相似性。

自相关函数的峰值对应着信号自身的重复性，可以用来判断信号的周期性特征。

时域分析还可以利用特征值分析来研究信号的幅度变化。

特征值分析通过对信号进行数学处理，提取信号的特征值，例如平均值、方差、最大值、最小值等。

这些特征值可以用来描述信号的整体情况和变化趋势，例如平均值可以用来表示信号的直流分量，方差可以用来表示信号的离散程度。

时域分析在信号处理、通信系统、控制系统等领域有着广泛的应用。

例如，在信号处理中，时域分析可以用来检测和分析信号中的噪声、干扰和变化趋势，从而为信号的处理和改进提供依据。

在通信系统中，时域分析可以用来研究信号的传输损耗、时延和串扰等问题，从而提高系统的可靠性和性能。

在控制系统中，时域分析可以用来分析和预测系统的稳定性和动态响应，从而设计和调节控制器的参数。

总之，时域分析是一种研究信号在时间域内的性质和特征的方法，通过观察信号的时域波形、自相关函数和特征值来了解信号的周期性、幅度变化和整体情况。

时域分析在信号处理、通信系统、控制系统等领域有着广泛的应用，并为相关领域的研究和应用提供了重要的理论基础。

线性系统的时域分析法(1)

第三章线性系统的时域分析法●时域分析法在经典控制理论中的地位和作用时域分析法是三大分析方法之一，在时域中研究问题，重点讨论过渡过程的响应形式。

时域分析法的特点：1).直观、精确。

2).比较烦琐。

§3.1 系统时间响应的性能指标1. 典型输入2. 性能指标•稳→基本要求 •准→稳态要求↓ss e ：•快→过渡过程要求⎪⎩⎪⎨⎧↓↓⨯∞∞-=sp t h h t h %)()()(%σ§3.2 一阶系统的时域分析设系统结构图如右所示 开环传递函数sK s G =)( 闭环传递函数)1(11111)(T Ts Ts T K s K s K s K s -=+=+=+=+=Φλ :)(1)(时t t r =Ts sTs s T s R s s C 111)1(1)()()(+-=+=Φ=1)(,0)0( 1)(1=∞=-=∴-c c e t c t TTc e T t c t T 1)0( 1)(1='='-依)(t h 特点及s t 定义有：95.01)(1=-=-s t Ts et h05.095.011=-=-s t Te305.0ln 1-==-s t TT t s 3=∴一阶系统特征根1s T=-分布与时域响应的关系：21110 ()().(). ()s C s s R s h t t s s s •==Φ===时11() ()1()at a s a C s h t e s s a s s a•===-+=-+--时例1已知系统结构图如右其中：12.010)(+=s s G 加上H K K ,0环节，使s t 减小为原来的0.1倍，且总放大倍数不变，求H K K ,0解：依题意，要使闭环系统02.00.21.0*=⨯=s t ，且闭环增益=10。

11012.0)101(10 1012.01012.010112.010.)(1)(.(s)0000+++=++=+++=+=Φs K K K K s K s K s K s G K s G K HH H H H令 101011002.01012.00⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=H H K K K K T 联立解出⎩⎨⎧==109.00K K H 例2已知某单位反馈系统的单位阶跃响应为at e t h --=1)(求(1).闭环传递函数)(s Φ；(2).单位脉冲响应；(3).开环传递函数。

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1．直流分量与交流分量
f (t ) E t t
fA (t )
E
fD(t )
O
O
O
t
f (t ) = fA(t ) + fD(t )
信号的直流分量， fD (t) 信号的直流分量，即平均值
1 t0 +T fD (t) = ∫ f (t)d t T t0
1 t0 +T 2 1 t0 +T 1 t0 +T 2 2 2 P= ∫ f (t)d t = ∫ [ fD (t) + fA (t)] dt = fD (t) + ∫ fA (t)d t t0 t0 t0 T T T
二、系统响应的分解模式
经典法对于复杂的输入信号或较高阶系统，计算繁琐，不易求 出响应。（没有物理意义） 在近代时域分析中，采用系统法给分析和计算带来了一定的方 便。 （物理意义明确） 按照系统法，全响应可按以下三种方式分解： (1)全响应=自由响应十强迫响应 (2)全响应=瞬态响应十稳态响应 (3)全响应=零输入响应十零状态响应
(
)
当特征根为共轭复根： λ 1 , 2 ：
= α ± jβ
αt
r (t ) = e
(c 1 sin β t
+ c 2 cos β t ) +
∑
n
j=3
c je
λ jt
求解系统零输入响应的一般步骤： 求解系统零输入响应的一般步骤：
1）求系统的自然频率； ）求系统的自然频率； 2）写出零输入响应yx(t)的通解表达式； ）写出零输入响应 的通解表达式； 的通解表达式 3）根据换路定理、电荷守恒定理、磁链守恒定理 ）根据换路定理、电荷守恒定理、 求出系统的初始值 ：
f (t ) ≈ fα (t ) = f (0) P∆t (t ) ⋅ ∆t + f (∆t ) ⋅ ∆tP∆t (t − ∆t ) + .... + f (k∆t ) ⋅ ∆tP∆t (t − k∆t ) + ...... = ∑ f (k∆t ) ⋅ ∆tP∆t (t − k∆t )
k =0
∆t →0
令H ( p ) = r( t ) N ( p ) = − − − − − 转移算子 e ( t ) D( p )
r ( t ) = H ( p )e( t )
若H（P）为常数， 如：50
二、算子符号的一般运算规则。
d2x dx 1.( p + a )( p + b ) x = [ p + ( a + b ) p + ab ] x = 2 + ( a + b ) + abx dt dt
第二章
连续时间系统的时域分析
本章重点： 本章重点：
1、系统模型的建立； 2、求系统的零输入响应； 3、求系统的冲激响应和阶跃响应； 4、用卷积积分法求零状态响应。
§２-１ 引言
一、线性时不变系统的“时域分析”方法 线性时不变系统的“时域分析” 第一步：建立数学模型 第二步：运用数学工具去处理（t自变量） 第三步：对所得的数学解给出物理解 释，赋予物理意义。
−3t
系统时域响应为
t > 0
2.4
信号的脉冲分解
为了便于研究信号的传输和处理问题， 为了便于研究信号的传输和处理问题 ， 往往将信 号分解为一些简单(基本)的信号之和，分解角度不同， 号分解为一些简单( 基本 )的信号之和， 分解角度不同 ， 可以分解为不同分量。 可以分解为不同分量。
直流分量与交流分量 偶分量与奇分量 脉冲分量 实部分量与虚部分量 正交函数分量
( y x ( 0 + ), y ′ ( 0 + ), ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ y x n − 1 ) ( 0 + ) x
4） 将初值带入 x(t)的通解表达式，求出待定系数； ） 将初值带入y 的通解表达式 求出待定系数； 的通解表达式， 5）画出yx(t)的波形。 ）画出 的波形。 的波形
例1：已知某系统激励为零，初始值y(0 )=2， y’(0 )=1，y”(0 )=0，描述系统 已知某系统激励为零， 的传输算子为
2
1 d 2.P ⋅ x = p dt
∫
t
−∞
xdτ = x
t 1 dx 3. ⋅ Px = ∫ [ ] t =τ dτ = x( t ) − x( −∞ ) − ∞ dt p
1 若x( −∞ ) = 0 , 则 ⋅ Px＝x p
4.Px = Py , 其中P不能消去 dx dy ∵ ＝ 两边积分得 ∴ x = y + C dt dt
写 程 据 件 束 络 扑 束 列 方 : 根 元 约 ,网 拓 约 典 经 法 系统法 输 响 和 状 响 零 入 应 零 态 应 方 输 利 经 法 解 零 入: 可 用 典 求 解 程 状 用 积 分 求 零 态: 利 卷 积 法 解 变 域 换 法
+
+
+
2 p2 +8p + 3 H( p) = ( p +1)( p + 3)2
求系统的响应 y(t)。
解：
D(p) = (p +1)(p + 3)2 = 0 p 1 = −1 p 2 = p 3 = −3
y 0 ( t ) = K 1 e − t + K 2 e − 3 t + K 3 te
−3 t
1 fo (t) = [ f (t) − f (−t)] 2
fo (t) = − fo (−t) o: odd
信号的平均功率 = 偶分量功率 + 奇分量功率
3. 任意函数表示为冲激函数的积分.
f (t )
f a (t )
f a (t )
f (0)
0
∆t
( k − 1) ∆ t k∆ t
t
0
∆t
k∆ t t
y0 (0+ ) = K1 + K2 =2 y′ (0+ ) = −K1 − 3K2 + K3 =1 0 ′ y′ (0+ ) = K1 + 9K2 − 6K3=0 0
零输入响应
∴
K1 6, K2 = −4, K3 = −5
y 0 ( t ) = 6 e − t − 4 e − 3 t − 5 te
n
lim fα ( t ) = f ( t ) = ∫ f (τ )δ ( t − τ )dτ = f ( t ) ∗ δ ( t )
di di 1 1 df L2 22 + R2 2 − i1 + i2 = − 2 dt dt C C dt
2
i1(t)
i2(t)
d =p dt
dn = pn dt n
1 • ∫−∞ dτ = p
t
L 1 p 2 i1 + R 1 pi 1 +
算子方程
2
1 1 i1 − i 2 = pf 1 C C
将（3）代入（1）得
d 2 r ( t ) L dr ( t ) LC 2 + + r ( t ) = e( t ) 2 dt R dt
二阶常系数线性微分方程
§ 2.2 系统方程的算子表示法
为方便求解微分方程，引入以下算子符号。
dn = pn dt n t 1 ∫−∞ (~)dτ = p (~) d = p, dt
三、零输入响应（zero—input response） 零输入响应（zero— response） 零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态所引起 的响应，用 yzi (t) 表示. 零输入响应满足齐次方程及起始条件
D(p)y(t)=N(p)e(t) D(p)y(t)=0
d d n−1 [ y(0− )、 y(0− )、 n−1 y(0− )] ...、 dt dt
pf (t) x1 = 2 p + 3p + 2
1 1 y(t) = x2 + x3 = p2 x1 + p x1
y(t) p +1 H( p) = = 2 f (t) p + 3p + 2
§ 2.3 系统的零输入响应分析
一、系统分析方法 分析系统的方法：列写方程，求解方程。 分析系统的方法：列写方程，求解方程。
1 1 L 2 p i2 + R 2 pi 2 − i1 + i2 = pf 2 C C
由模拟框图→ 由模拟框图→H(p)
1 x2 = ∫ x1dτ = x1 p −∞ 1 1 x3 = ∫ x2dτ = x2 = 2 x1 p p −∞
t
t
x1 = f (t) − 2x3 −3x2
2 3 = f (t) − 2 x1 − x1 p p
e(t )
+
C2
−
R
r (t )
−
解：由图列方程 KVL: KCL:
L di ( t ) + r ( t ) = e( t )...........( 1 ) dt
dr ( t ) r ( t ) + = i ( t )......... ..( 2 ) dt R
C2
将（2）式两边微分，得
d 2 r ( t ) 1 dr ( t ) di ( t ) C2 + = ...........( 3 ) 2 dt R dt dt
一阶系统：
电源：
u s (t )
VAR
电容电压： uc (t ) 电阻电压：
du (t) Ri = RC c dt
KVL 一阶常系数线性微分方程
du c (t ) RC + u c (t ) = u s (t ) dt