学案导学备课精选2015年高中数学2.6.2求曲线的方程同步练习(含解析)苏教版选修2_1

2．6.2 求曲线的方程双基达标 (限时15分钟)1．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为________．解析 可设动点坐标为(x ，y )，则|4x ＋3y －5|5＝1， 即|4x ＋3y －5|＝5.∴所求轨迹为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.答案 4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝02．过点P (1，1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，则AB 中点M的轨迹方程为________．解析 如图所示，由直角三角形的性质可知PM ＝MO ，即(x－1)2＋(y －1)2＝x 2＋y 2，∴x ＋y －1＝0.答案 x ＋y －1＝03．已知定点A (0，－1)，B (0，1)，动点M 满足条件MA －MB ＝2，则点M 的轨迹方程是______________．解析 由三角形两边之和大于第三边知，当点M 不在直线AB 上时MA －MB <AB ＝2，故 点M 在直线AB 上．答案 x ＝0(y ≥1)4．已知M (－2，0)，N (2，0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程______________．解析 设P (x ，y )，由勾股定理，得PM 2＋PN 2＝MN 2，即(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝42，即x 2＋y 2＝4且y ≠0.答案 x 2＋y 2＝4(x ≠±2)5．已知点A (－2，0)，B (2，0)，C (0，3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是________．解析 直接法求解，注意△ABC 底边AB 的中线是线段，而不是直线．答案 x ＝0(0≤y ≤3)6．如图所示，设点A 、B 的坐标分别为(－5，0)、(5，0)．直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是－49，求点M 的轨迹方程．解 设点M 的坐标为(x ，y )，因为点A 的坐标是(－5，0)．所以直线AM 的斜率k AM ＝y x ＋5(x ≠－5)， 同理，直线BM 的斜率k BM ＝y x －5(x ≠5)． 由已知有y x ＋5·y x －5＝－49(x ≠±5)， 化简，得点M 的轨迹方程为x 225＋y 21009＝1(x ≠±5)． 综合提高 (限时30分钟)7．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，则线段PP ′的中点M 的轨迹方程是____________．解析 设M (x ，y )，则P (x ，2y )，代入x 2＋y 2＝1则有x 2＋4y 2＝1，即x 2＋y 214＝1. 答案 x 2＋y 214＝1 8．直角坐标平面xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是________．解析 由题意，OP →＝(x ，y )，OA →＝(1，2)，则OP →·OA →＝x ＋2y ，由题设可得x ＋2y ＝4，即x ＋2y －4＝0.答案 x ＋2y －4＝09．设动点P 是曲线y ＝2x 2＋1上任意一点，定点A (0，－1)，点M 分P A 所成的比为2∶1，则点M 的轨迹方程是__________．解析 设点M 的坐标为(x 0，y 0)，因为点A (0，－1)，点M 分P A 所成的比为2∶1，所以P 点的坐标为(3x 0，3y 0＋2)，代入曲线y ＝2x 2＋1得y 0＝6x 02－13，即点M 的轨迹方程是y ＝6x 2－13. 答案 y ＝6x 2－1310．把椭圆x 216＋y 29＝1的每个点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标缩短到原来的13，则所得曲线方程为__________．解析 原方程化为(x 4)2＋(y 3)2＝1，所得曲线为x 2＋y 2＝1. 答案 x 2＋y 2＝111．平面上动点P 到定点F (1，0)的距离比P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程．解 由题意，动点P 到定点F (1，0)的距离比到y 轴的距离大1，由于F (1，0)到y 轴的 距离为1，则当x ＜0时，直线y ＝0上的点适合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到F (1，0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 在以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，其轨迹方程为y 2＝4x .综上所述，动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．12．如图，已知点F (1，0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.求动点P 的轨迹C 的方程．解 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP →·QF →＝FP →·FQ →得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得C ：y 2＝4x .所以动点P的轨迹C的方程为y2＝4x.13．(创新拓展)△ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长为2a，边BC上的高长为b，边BC沿一条定直线移动，求△ABC外心的轨迹方程．解如图所示，以BC所在定直线为x轴，过A作x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系，则A点的坐标为(0，b)．设△ABC的外心为M(x，y)，作MN⊥BC于N，则MN是BC的垂直平分线．∵BC＝2a，∴BN＝a，MN＝|y|，又M是△ABC的外心，∴M∈{M|MA＝MB}．而MA＝x2＋（y－b）2，MB＝|BN|2＋|MN|2＝a2＋y2，∴x2＋（y－b）2＝a2＋y2.化简，得所求轨迹方程为x2－2by＋b2－a2＝0.。

求曲线方程一、教学目标1、了解求曲线方程的一般步骤，会求简单的曲线方程；2、探究求曲线方程的集中常见的方法。

二、学情分析1、圆锥曲线的学习的最后阶段，学生对圆锥曲线的概念基本掌握，对求已知圆锥曲线的方法基本了解。

2、在学习直线和圆时，学生已经初步接触的轨迹方程的概念，对曲线方程的概念有了一定的了解。

3、学生对求曲线方程的基本方法已初步触及，但学生没有从求曲线方程的角度去研究求曲线方程的方法。

4、学生的分析问题和解决问题的能力有一定的欠缺，教师讲解中要注意启发和引导。

学生的运算能力普遍不强，教师在教学过程中要留足时间给学生练习的机会，同时教师要对运算的技巧进行必要的点拨。

5、本堂课采用讲练结合，问题导思，教师启发，学生自主完成。

三、重点、难点1、本节课的教学重点：通过例题研究掌握求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、动点轨迹转移法。

2、本节课的教学难点：如何通过题目让学生学会分析条件的能力，如何让学生学会解题中方法的选择。

3、问题导思的形式突破教学重点和难点。

四、教学过程活动一：复习与引入问题1：椭圆、双曲线、抛物线的定义分别是什么？【学生课前完成，课上直接回答】问题2：通过椭圆标准方程的推导，请你总结一下求曲线方程的一般步骤。

【学生课前完成，课上学生回答】 通过上述课前完成的两个问题让学生迅速了解本堂课的学习思维中去。

问题3：如何用规范的步骤求曲线方程？有哪些常见的方法？开门见上，学生迅速进入思维探究模式。

活动二：学生自主完成例1（课本λλ>0(2,4),(2,4)A B -P A B ,PA PB 12,k k 124k k =+P 过定点F （-3,0），且与圆(x −3)2+y 2=4相外切，求圆心M 的轨迹方程。

学生自主完成。

采用师生互动，逐步引导学生在何种情况之下使用定义解题。

采用追问的方式逐步完善结果。

策略：紧紧抓住图形的性质，寻找变量之间的几何关系，进而采用曲线定义解题。

小结：利用几何图形，曲线定义解题，定义法变式：把题目中香外切改成相切，结果如何？【学生自主回答】练习：（1）动圆M 过定点F （2,0），且与直线x =−2相切，求动点M 的轨迹方程。

2.6 曲线与方程（苏教版选修2-1）建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共40分）1．方程(x －y)2＋(xy －1)2＝0表示的曲线 是__________.2．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM ＝MQ ，则Q 点的轨迹方程是__________.3．已知双曲线C ：x 2－24y ＝1，过点(1,1)作直线l ，使l 与双曲线C 只有一个交点，满足这个条件的直线l 共有__________条.4．过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点F 作一条直线l 交抛物线于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，则1212y y x x =__________. 5．若点P(－3,0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过P 点，则圆心M 的轨迹方程为____________．6．设为双曲线2214x y -=上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是 ．7. 已知点A (-2，0)，B (3，0)，若动点P 满足·＝2，则动点P 的轨迹方程是__________.8. 已知两定点A (-2，0)，B (1，0)，若动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等 于__________. 二、解答题(共60分)9.（10分）如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l 1，l 2.若l 1交x 轴于点A ，l 2交y 轴于点B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程．10.（10分）设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2＋2y2＝4交于A，B两点，P是l上满足PA·PB ＝1的点，求点P的轨迹方程11.（12分）已知定点A(0，－1)，点B 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16上运动，点F 为圆心，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；若曲线Q ：x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1被轨迹E 包围着，求实数a 的最小值.(2)已知M(－2,0)，N(2,0)，动点G 在圆F 内，且满足MG ·NG ＝OG 2(O 为坐标原点)，求MG ·NG 的取值范围．12.（12分）已知，椭圆C 经过点A ⎝⎛⎭⎫1，32，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值13.（16分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于- .(1)求动点P的轨迹方程.(2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△P AB和△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由一、填空题1. 两个点 解析：(x －y)2＋(xy －1)2＝0⇔0,10,x y xy -=⎧⎨-=⎩ 故1,=1,x y =⎧⎨⎩或1,1.x y =-⎧⎨=-⎩因此方程(x －y)2＋(xy －1)2＝0表示两个点.2. 2x －y ＋5＝0 解析：设点Q(x ，y)，则点P 为(－2－x ,4－y)，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.3.4 解析：数形结合可知,当斜率不存在、与两条渐近线平行时所作的直线都符合．除此之外还应考虑设直线方程为y ＝kx ＋(1－k)，并将其与双曲线方程联立消元，利用判别式为0可求得k ＝52，也符合．所以共有4条．4.-4 解析：特殊值法．设直线l 的方程为x ＝p 2，则x 1＝x 2＝p2.∴ y 1＝－y 2＝p.∴2122124y y p p x x -=＝－4.5. 22+1167x y = 解析：已知圆的方程为(x －3)2＋y 2＝64，其圆心为C(3,0)，半径为8，由于动圆M 过P 点，所以MP 等于动圆的半径r ，即MP ＝r.又圆M 与已知圆C 相内切，所以圆心距等于半径之差，即MC ＝8－r ，从而有MC ＝8－MP ，即MC ＋MP ＝8.根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8＞6＝CP ，所以动点M 的轨迹是椭圆，并且2a ＝8，a ＝4；2c ＝6，c ＝3；b 2＝16－9＝7.因此M 点的轨迹方程为22+1167x y =.6. 解析：设,，则00,22x y x y ==，即，.将代入双曲线方程得点的轨迹方程为224414x y -=，即.7.-x -8=0 解析：设P (x ，y )，则＝(-2-x ，-y )，＝(3-x ，-y )，由·＝2可得-x -8=0. 8. 4π 解析：设P (x ，y )为轨迹上任一点，由PA ＝2PB 得=4，即，∴ 所求面积为4π.二、解答题9. 解：设点M 的坐标为(x ，y)，∵ M 是线段AB 的中点，A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y)．∴ PA →＝(2x －2，－4)，PB →＝(－2,2y －4)．由已知PA →·PB →＝0，∴－2(2x －2)－4(2y －4)＝0，即x ＋2y －5＝0. ∴ 线段AB 中点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0. 10.解：设P 点的坐标为(x ，y)，则由方程x 2＋2y 2＝4，得2y 2＝4－x 2，y ＝±242x -，∴ A ，B 两点的坐标分别为(x, 242x -)，(x ，－242x -)，又PA ·PB ＝1，∴ (0, 242x -－y )·(0，－242x -－y)＝1，即y 2－242x -＝1，∴ 22163x y +=， 又直线l 与椭圆交于两点，∴ －2＜x ＜2，∴ 点P 的轨迹方程为22163x y += (－2＜x ＜2)． 11.解：(1)由题意得PA ＝PB.∴ PA ＋PF ＝PB ＋PF ＝4＞AF ＝2，∴ 动点P 的轨迹E 是以A 、F 为焦点的椭圆．设该椭圆的方程为2222+1y x a b= (a ＞b ＞0)，则2a ＝4，2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2－c 2＝3，∴ 动点P 的轨迹E 的方程为22+143y x =. ∵ x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1，即(x －a)2＋y 2＝1，∴ 曲线Q 是圆心为(a,0)，半径为1的圆． 而轨迹E 为焦点在y 轴上的椭圆，其左、右顶点分别为(－3，0)，(3，0)． 若曲线Q 被轨迹E 包围着，则－3＋1≤a ≤3－1，∴ a 的最小值为－3＋1.(2)设G(x ，y)，由22222(2)(2)x y x y ∙++∙-+得MG NG OG ＝＝x 2＋y 2.化简得x 2－y 2＝2，即x 2＝y 2＋2，∴ MG NG ∙＝(x ＋2，y )·(x －2，y)＝x 2＋y 2－4＝2(y 2－1)．∵ 点G 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16内，∴ x 2＋(y －1)2＜16，∴ 0≤(y －1)2＜16⇒－3＜y ＜5⇒0≤y 2＜25，∴ －2≤2(y 2－1) ＜48， ∴MG NG ∙的取值范围为[－2,48)．12.解：(1)由题意，得c ＝1，可设椭圆方程为222211x y b b+=+. 因为点A 在椭圆上，所以2219114b b+=+，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去). 所以椭圆方程为22143x y +=. (2)设直线AE 的方程为y ＝k(x －1)＋32，代入22143x y +=，得(3＋4k 2)x 2＋4k(3－2k)x ＋4⎝⎛⎭⎫32－k 2－12＝0. 设E(x E ，y E )，F(x F ，y F ),因为点A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上，所以x E ＝223412234k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+，y E ＝kx E ＋32－k.又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代k ，可得x F ＝223412234k k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭+，y F ＝－kx F ＋32＋k. 所以直线EF 的斜率k EF ＝()2F E E F F E F Ey y k x x k x x x x --++=--＝12.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.13. (1)解：因为点B 与点A (-1，1)关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(1，-1). 设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得 · =- ，化简得x 2+3y 2=4(x ≠±1). 故动点P 的轨迹方程为x 2+3y 2=4 (x ≠±1).(2)解法一：设点P 的坐标为，，点M ，N 的坐标分别为(3，，(3，，则直线AP 的方程为，直线BP 的方程为. 令x =3得，.于是△PMN 的面积 .又直线AB 的方程为x +y =0，AB ＝2 ，点P 到直线AB 的距离d = . 于是△PAB 的面积= AB ·d =||. 当=时，｜｜= .又｜｜≠0，所以=||，解得= .因为=4，所以=± .故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为( ，± ).解法二：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为，，则PA·PB sin ∠APB＝PM·PN sin∠MPN.因为sin∠APB=sin∠MPN，所以＝ .所以 = ，即=||，解得= .因为=4，所以=± .故存在点P使得△P AB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为( ，± )。

2.6曲线与方程（2）一、预习检查1．过双曲线2222=-y x 右焦点的直线l ,交双曲线于点B A ,,若4=AB ,则这样的直线l 有 条.2．不论k 为何值,直线b x k y +-=)2(与双曲线122=-y x 总有公共点,则实数b 的取值范围是 ．３.经过点)4,0(P ，且与抛物线x y 162=只有一个公共点的直线有几条？求出这样的直线方程．４.已知探照灯的轴截面是抛物线x y =2，平行于x 轴的光线照射到抛物线上的点)1,1(-P ，反射光线过抛物线焦点后又照射到抛物线上的点Ｑ，试确定点Ｑ的坐标．二、问题探究探究1． 已知曲线1C ：0),(1=y x f 和曲线2C ：0),(2=y x f ，如何求两曲线1C 与2C 的交点？探究2．一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是)200(22≤≤=y y x ．在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，那么玻璃球的半径r 应满足什么条件？例1．直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是 ．例2．（理科）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回实验，设计方案如下图，航天器运行 （按顺时针方向）的轨迹方程为12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，)764,0(M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D ，观测点)0,6(),0,4(B A 同时跟踪航天器．（１） 求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（２） 试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A ,测得航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？三、思维训练1．已知点)0,1(),0,1(-B A ，动点M 满足2=-MB MA ，则点M 的轨迹方程是 ．2．以双曲线222=-y x 的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是 ．3．若曲线)22(412≤≤--+=x x y 与直线4)2(+-=x k y 有两个交点，则实数k 的取值范围是 ．4．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 任作一条直线交抛物线于Q P ,两点，若线段PF 与FQ 的长分别为q p ,，则qp 11+的值为 ．四、课后巩固 1．设直线l ：022=++y x 关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆1422=+y x 的交点为B A ,，点P 为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积是21的点P 的个数是 ．2．F 是双曲线191622=-y x 的右焦点，M 是双曲线右支上一动点，定点A 的坐标为)1,5(则MA MF 54+的最小值是 ．3．试讨论方程b x x +=-12根的情况．4．直线kx y =与圆0104622=+--+y x y x 交于两个不同点B A ,，求AB 中点的轨迹方程．5．（理科）已知抛物线)0(22>p px y 上横坐标为４的点的焦点的距离是５．（１）求此抛物线方程；（２）若点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆在y 轴上截得的弦长为４，求证：圆C 恒过定点．6．（理科）如图，在平面直角坐标系xoy 中，过y 轴正方向上任一点),0(c C 任作一直线与抛物线2x y =相交于B A ,两点．一条垂直于x 轴的直线分别与线段AB 和直线l ：c y -=交于点Q P ,． （１）若2=⋅，求c 的值；（２）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（３）试问（２）的逆命题是否成立？请说明理由．。

2．6.2求曲线的方程(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能能叙述求曲线方程的一般步骤，并能根据所给条件选择适当的坐标系，求出曲线的方程．2．过程与方法经过求曲线的方程的过程，培养学生发散思维和转化，归纳数形结合等数学思想方法，提高分析问题，解决问题的能力．3．情感、态度与价值观在问题解决过程中，培养学生积极探索和团结协作的科学精神．在民主，和谐的教学气氛中，充分的促进师生间的情感交流，形成学习数学的积极态度．激发学生热爱数学，学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神．●重点难点重点：求曲线方程的基本方法和步骤．难点：由已知条件求曲线方程．教学时，应通过基本例子，总结求曲线方程的基本方法和步骤，强调方程的得法及来源，通过不同的例子，体会求轨迹方程的各种方法：代入法、参数法、定义法等．(教师用书独具)●教学建议求曲线的方程是上节课内容曲线与方程的拓展与深化，也是解析几何两大基本问题之一，同时也是高考重点内容之一．它把高中数学中的解析几何和代数紧紧连在一起，容纳了高中数学教学中很多的数学思想，如函数与方程思想，数形结合思想，等价转换思想及运动变换思想，这正是高考中重点所要考察的数学思想，本节课宜采取启发式的教学方法，积极鼓励学生的行为参与和思维参与，给学生独立的思考空间，让学生经历知识形成的全过程，鼓励学生自主探索，发现解决问题的途径．在教学中，适当的对他们的数学学习过程进行评价，适当的评价他们的学习态度、在回答和思考中表现出来的自信、合作交流的意识，更进一步的激发了学生学习数学的兴趣，让他们体验成功的喜悦．在教学手段方面，利用多媒体辅助教学，可以加大一堂课的信息容量，对于教学中遇到的一些复杂的轨迹问题，几何画板更以形象直观的形式给学生以充分的理解和掌握．改善学生的学习方式是高中数学课程追求的基本理念．让学生主体参与，主题参与，让学生动手，动脑，通过观察，联想，猜测，归纳等合情推理，鼓励学生多向思维，积极活动，勇于探索．在学生的活动中，教师谨慎驾驭，肯定学生的正确，指出学生的错误，引导学生，揭示内涵，不断培养和训练学生的逻辑思维能力．●教学流程回顾曲线与方程的概念，强调两个条件．展示实例：在南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为直角，你能否为军舰巡逻的路线写一个方程？首先通过学生讨论，猜测军舰巡逻的路线，在用电脑演示军舰巡逻的动画效果，导入新课．⇒例谈直接法求动点轨迹方程的五步骤．由于学生已经学习直线与圆一个模块，教师引导学生解决例1并不困难，但重要的是引导学生总结求动点轨迹方程的五步骤，并且对每一步骤要强调注意问题，如坐标系的恰当与否，化简过程是否同解变形，特殊点的检验等．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握代入法求动点轨迹方程的方法．当一点随另一点运动时，求从动点轨迹方程一般利用代入法．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握参数法求动点轨迹方程的方法．当动点坐标满足的方程不易直接求出时，可选择设出参与运动变化的变量即参数，找出动点坐标满足的方程组，然后消去参数，得出方程．⇒通过易错易误辨析，体会曲线与方程定义的严谨性，曲线上的点与方程的解必须一一对应，对方程必须注意是否需要限制范围．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.1．怎样建立坐标系较为适当？【提示】建立适当的坐标系应遵从垂直性和对称性原则，常见的建系方法有：①以已知定点为原点；②以已知定直线为坐标轴(x轴或y轴)；③以已知线段所在的直线为坐标轴(x轴或y轴)，以已知线段的中点为原点；④以已知互相垂直的两定直线为坐标轴；⑤让尽量多的已知点在坐标轴上．2．怎样检验取舍特殊点？【提示】对动点轨迹(方程)的检验，一般都是对特殊点进行检验，如三角形三顶点不共线，利用斜率列方程，动点必须保证斜率存在等．求曲线方程的一般步骤为五步．用流程图表示如下：建立适当的坐标系↓设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)↓列出符合条件p(M)的方程f(x，y)＝0↓化方程f(x，y)＝0为最简形式↓证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上求曲线方程的流程图可以简记为：建系→设点→列式→化简→证明求曲线方程的常用方法有直接法、代入法、参数法、几何法、定义法.已知△ABC 的两个顶点A 、B 的坐标分别是(－3,0)、(3,0)，边AC 、BC 所在直线的斜率之积为－14，求顶点C 的轨迹方程．【思路探究】 设顶点C (x ，y )，把直线AC 、BC 的斜率之积为－14用坐标形式表示出来，化简后，即得到一个关于x ，y 的二元方程，注意形成三角形的条件．【自主解答】 设顶点C 的坐标为(x ，y )，则k CA ＝y x ＋3(x ≠－3)，k BC ＝yx －3(x ≠3)．∵k CA ·k BC ＝－14，∴y x ＋3·y x －3＝－14.化简得x 29＋4y 29＝1(x ≠±3)．当x ＝±3时，A 、B 、C 三点共线，则不能构成三角形，故x ≠±3. ∴所求顶点C 的轨迹方程为：x 29＋4y 29＝1(x ≠±3)．1．由于三角形三顶点，不共线，故应去掉两顶点．2．如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含x、y的等式就得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以称之为直接法．其步骤是：①寻求动点满足的几何条件；②用坐标表示几何条件并化简可得方程；③剔除不合题意的点并下结论．设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a＝(mx，y＋1)，向量b＝(x，y－1)，a⊥b，动点M(x，y)的轨迹为E.求轨迹E的方程，并说明当m＝0,1时该方程所表示的曲线的形状．【解】∵a⊥b，∴a·b＝0，即(mx，y＋1)·(x，y－1)＝0，得mx2＋y2－1＝0，于是，轨迹E 的方程为mx 2＋y 2＝1.当m ＝0时，轨迹方程为y 2－1＝0，即y ＝1或y ＝－1， ∴原方程表示直线y ＝1和直线y ＝－1； 当m ＝1时，轨迹方程为x 2＋y 2＝1， ∴原方程表示圆x 2＋y 2＝1.已知△ABC 的两个顶点坐标分别为A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．【思路探究】 设重心坐标(x ，y )，C (x 0，y 0)，用x ，y 表示x 0，y 0，代入到y 0＝3x 20－1中．【自主解答】 设重心坐标为(x ，y )，顶点C (x 0，y 0)， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋0＋x03，y ＝0－2＋y 03，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋2，y 0＝3y ＋2. ①因为C 在y ＝3x 2－1上移动，所以y 0＝3x 20－1.②将①代入②，得y ＝9x 2＋12x ＋3，即为重心的轨迹方程．1．根据重心坐标公式用重心坐标(x，y)来表示顶点C的坐标(x0，y0)是解答本题的关键．2．利用一个动点是定曲线上的动点，而另一动点依赖于它，那么，可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，得到原动点的轨迹的方法，叫做代入法或相关点法．其用法思路是：当互相联系着的两动点P、Q中的动点Q(x′，y′)在给定曲线上运动，求动点P(x，y)的轨迹方程时，先建立(x，y)与(x′，y′)的关系式，用x、y表示x′，y′，而后将x′、y′代入定曲线方程即得P(x，y)的轨迹方程．已知抛物线y2＝x＋1，定点A(3,1)，B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶P A＝1∶2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．【解】 设P (x ，y )，B (x 1，y 1)，由题设，P 分线段AB 的比λ＝APPB ＝2，∴x ＝3＋2x 11＋2，y＝1＋2y 11＋2. 解得x 1＝32x －32，y 1＝32y －12.又点B 在抛物线y 2＝x ＋1上，其坐标适合抛物线方程， ∴(32y －12)2＝(32x －32)＋1. 整理得点P 的轨迹方程为(y －13)2＝23(x －13)，其轨迹为抛物线.过点A (2,1)的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，求l 被截得的弦的中点的轨迹方程．【思路探究】 思路一：设出直线l 方程y －1＝k (x －2)，运用方程思想，用k 表示中点坐标x ，y ，消去k 得x ，y 满足方程；思路二：设弦端点坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，运用点差法，用x 1，y 1，x 2，y 2表示x ，y ，然后消去x 1，y 1，x 2，y 2.【自主解答】 法一 设直线l 斜率为k ，则l 方程为y －1＝k (x －2)，设弦两端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为M (x ，y )，则把l 方程代入椭圆方程消去y 得： (1＋2k 2)x 2＋4k (1－2k )x ＋2(1－2k )2－2＝0，Δ＝16k 2(1－2k )2－8(1＋2k 2)[(1－2k )2－1]>0得－2k 2＋4k >0， ∴0<k <2，x ＝x 1＋x 22＝－2k (1－2k )1＋2k 2，∴中点满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －2)x ＝2k (2k －1)1＋2k2，消去k 得轨迹方程x 2＋2y 2－2x －2y ＝0，所以，弦的中点的轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0(椭圆内部)． 法二 设弦两端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为M (x ，y )，⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1①x222＋y 22＝1②，由①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，∴y 1－y 2x 2－x 1＝－12×x 1＋x 2y 1＋y 2，又∵k PQ ＝k AM ，∴y －1x －2＝－12×x y ，∴2y (y －1)＝－x (x －2)，即x 2＋2y 2－2x －2y ＝0，所以，弦的中点的轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0(椭圆内部)．1．本例中，法一是引进了动直线的斜率k 作为参数，法二是引进了弦的端点坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)作为参数，目的是为了间接地找到x ，y 满足的等式关系．2．当动点坐标x ，y 满足的等式关系不易直接找出时，可以设出与动点运动有关的变量作为参数，间接地表示出关于x ，y 的方程，然后再消去参数，为了消去参数，应根据题意找出参数满足的等式．设椭圆的方程为x 2＋y 24＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若O 是坐标原点，点P 满足OP →＝12(OA →＋OB →)，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．【解】 当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1，得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k4＋k2，y 1＋y 2＝84＋k 2.设P (x ，y )，则有x ＝－k 4＋k 2，y ＝44＋k 2，消去k 得4x 2＋y 2－y ＝0. 经检验，当直线l 的斜率不存在时，点P 的坐标满足上述方程． 所以P 的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0.忽略变量范围而致错等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边的一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹表示的是什么．【错解】 设另一个端点C 的坐标为(x ，y )， 则点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10.点C 的轨迹是以A (4,2)为圆心，以10为半径的圆．【错因分析】 错误的原因是没有认真考虑题中所给的几何条件． 【防范措施】 根据动点满足的几何条件对动点坐标加以限制． 【正解】 设另一个端点C 的坐标为(x ，y )． 由题意得AC ＝AB ， 再由两点间的距离公式得(x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2，化简得(x －4)2＋(y －2)2＝10. ∵A ，B ，C 为三角形的三个顶点， ∴A ，B ，C 三点不共线，即点B ，C 不能重合，且B ，C 不能为圆A (圆A 是以A 为圆心，10为半径的圆)的一条直径的两个端点．∵点B ，C 不重合， ∴点C 的横坐标x ≠3，∵点B ，C 不能为圆A 的一条直径的两个端点， ∴x ＋32≠4，即点C 的横坐标x ≠5， 故点C 的轨迹方程为(x －4)2＋(y －2)2＝10(x ≠3且x ≠5)．点C 的轨迹是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆除去(3,5)和(5，－1)两点．1．求曲线的方程常用的方法有直接法、代入法、定义法、参数法、几何法等．2．求曲线的方程，其步骤严格来说有五步，即建系，设点，列式，化简，证明．建立坐标系要恰当，证明一般要省略，即使检验也是对特殊点进行检验．3．求动点轨迹方程一定要注意解题的严谨性，当动点的轨迹不是整条曲线时，要去掉某些特殊点，即对变量x，y进行限制.1．到A(2，－2)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是________．【解析】到A、B距离相等的点的轨迹为线段AB的垂直平分线，设其斜率为k，∵k AB ＝－1＋24－2＝12，∴k ＝－2.设AB 中点为(x 1，y 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2＋42＝3，y 1＝－2－12＝－32.∴其方程为y ＋32＝－2(x －3)，即4x ＋2y －9＝0.【答案】 4x ＋2y －9＝02．已知A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是________． 【解析】 ∵AM ⊥MB ，∴M 的轨迹是以AB 为直径的圆x 2＋y 2＝1. 【答案】 x 2＋y 2＝13．设P 为曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 中点，则点M 的轨迹方程是________．【解析】 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则x 0＝2x ，y 0＝2y ， ∵x 204－y 20＝1， ∴x 2－4y 2＝1.【答案】 x 2－4y 2＝14．已知点O (0,0)，A (1,2)，动点P 满足P A ＝3PO ，求点P 的轨迹方程． 【解】 设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x －1)2＋(y －2)2＝3x 2＋y 2，化简得8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0.∴点P 的轨迹方程为8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0.一、填空题1．已知点A (－5,0)，B (5,0)，动点P 到A ，B 距离的平方和为122，则动点P 满足的方程是________．【解析】 依题意，设动点P (x ，y )．由P A 2＋PB 2＝122，得(x ＋5)2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝122，即x 2＋y 2＝36. 故所求动点P 满足的方程为x 2＋y 2＝36. 【答案】 x 2＋y 2＝362．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长CD ＝3，则顶点A 的轨迹方程为________．【解析】 设A (x ，y )，D (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋02，y 0＝y ＋02，即x 0＝x 2，y 0＝y2，又(x 0－5)2＋(y 0－0)2＝9，∴(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)为所求A 点的轨迹方程． 【答案】 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)3．在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称且OP →·MN →＝4，则动点P 的轨迹方程为________．【解析】 由已知M (0，y )，N (x ，－y )，则OP →·MN →＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2＝4， 即x 24－y 22＝1. 【答案】 x 24－y 22＝14．已知A (1,0)，B (－1,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝2，则点M 的轨迹方程为________． 【解析】 由题意知，AB ＝2，则点M 的轨迹方程为射线y ＝0(x ≤－1)． 【答案】 y ＝0(x ≤－1)5．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足条件P A ＝2PB ，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积等于________．【解析】 设P (x ，y )，由P A ＝2PB ，知(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，化简整理，得(x －2)2＋y 2＝4，所以，动点P 的轨迹是圆心为(2,0)，半径为2的圆，此圆的面积为4π.【答案】 4π6．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是________．【解析】 由BP →＝2P A →及A 、B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上，知A (32x,0)，B (0,3y )，所以AB →＝(－32x,3y )．由点Q 与点P 关于y 轴对称，知Q (－x ，y )， 所以OQ →＝(－x ，y )，则由OQ →·AB →＝1，得(－32x,3y )·(－x ，y )＝32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)，即为点P 的轨迹方程．【答案】 32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)7．设点A 1，A 2是椭圆x 29＋y 24＝1长轴的两个端点，点P 1，P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为________．【解析】 由题意，不妨设A 1(－3,0)，A 2(3,0)，P 1(x 0，y 0)，P 2(x 0，－y 0)，直线A 1P 1与A 2P 2的交点P (x ，y )．∵点A 1，P 1，P 共线，∴y －y 0x －x 0＝yx ＋3.①∵点A 2，P 2，P 共线，∴y ＋y 0x －x 0＝yx －3.②由①②得x 0＝9x ，y 0＝3y x ，代入已知椭圆方程得x 29－y 24＝1.【答案】 x 29－y 24＝18．下列四个命题中不正确的是________(填序号)．①若动点P 与定点A (－4,0)，B (4,0)连线P A ，PB 的斜率之积为定值49，则动点P 的轨迹为双曲线的一部分；②设m ，n ∈R ，常数a >0，定义运算“*”：m *n ＝(m ＋n )2－(m －n )2，若x ≥0，则动点P (x ，x *a )的轨迹是抛物线的一部分；③已知圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝1和圆B ：(x －1)2＋y 2＝25，动圆M 与圆A 外切、与圆B 内切，则动圆的圆心M 的轨迹是椭圆；④已知A (7,0)，B (－7,0)，C (2，－12)，椭圆过A ，B 两点且以C 为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线．【解析】 ①正确，轨迹是双曲线去掉两个顶点；②正确，P (x ，x *a )即为P (x ，4ax )，设y ＝4ax ，则此方程表示抛物线的一部分；③正确，设动圆的半径为r ，因为MA ＝r ＋1，MB ＝5－r ，所以MA ＋MB ＝6>2，满足椭圆的定义；④不正确，设另一个焦点为F ，则AC ＋AF ＝BC ＋BF ，即AF －BF ＝BC －AC ＝15－13＝2，又0<2<AB ＝14，故F 点的轨迹为双曲线的一支．【答案】 ④ 二、解答题9．在正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三顶点的距离分别为P A 、PB 、PC ，且满足P A 2＝PB 2＋PC 2，求P 点的轨迹方程．【解】 以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，设点P (x ，y )，B (－a,0)，C (a,0)，A (0，3a )， 用点的坐标表示等式P A 2＝PB 2＋PC 2， 有x 2＋(y －3a )2＝(x ＋a )2＋y 2＋(x －a )2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋3a )2＝(2a )2，即所求的轨迹方程为x 2＋(y ＋3a )2＝4a 2(y >0)．10．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝mOA →＋nOB →，其中m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1，求点C 的轨迹方程．【解】 设C (x ，y )，则(x ，y )＝m (3,1)＋n (－1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －n ，y ＝m ＋3n ，∴x ＋2y ＝5m ＋5n ，又m ＋n ＝1， ∴x ＋2y ＝5，即x ＋2y －5＝0.11．(2013·南京高二检测)将圆x 2＋y 2＝4上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线设为E .(1)求曲线E 的方程；(2)若曲线E 与x 轴、y 轴分别交于点A (a,0)，B (－a,0)，C (0，b )，其中a >0，b >0.过点C 的直线l 与曲线E 交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q .当点P 异于点B 时，求证：OP →·OQ →为定值．【解】 (1)设曲线E 上任一点为M (x ，y )，相应圆上点为N (x 0，y 0)， 由题意⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝xy 0＝2yx 2＋y 20＝4消去x 0，y 0得x 24＋y 2＝1.(2)显然A (2,0)，B (－2,0)，C (0,1)．根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1.可得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0.解得x ＝0或x ＝－8k4k 2＋1，代入直线l 方程得D 点坐标为(－8k4k 2＋1，1－4k 24k 2＋1)．又直线AC 的方程为x 2＋y ＝1，直线BD 的方程为y ＝1＋2k 2－4k(x ＋2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y ＝1，y ＝1＋2k 2－4k(x ＋2). 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k ，y ＝2k ＋1. 因此Q (－4k,2k ＋1)，又P (－1k ，0)， 所以OP →·OQ →＝(－1k，0)·(－4k,2k ＋1)＝4. 故OP →·OQ →为定值．(教师用书独具)已知点B′为圆A：(x－1)2＋y2＝8上任意一点，点B(－1，0)，线段BB′的垂直平分线和线段AB′相交于点M.求点M的轨迹E的方程．【思路探究】利用线段的垂直平分线的性质，得出MA＋MB＝22，从而利用椭圆的定义求出轨迹方程．【自主解答】连结MB，由题意得：MB＝MB′，MA＋MB′＝AB′＝22，故MA＋MB＝22，而AB＝2，故点M的轨迹是以A，B为焦点且长轴长为22的椭圆，＋y2＝1.所以点M的轨迹E的方程为x221．本例中，先分析动点M满足的几何条件，根据椭圆定义得出轨迹的曲线类型是椭圆，从而利用待定系数法求其方程．2．利用圆锥曲线定义求动点轨迹方程的步骤是：(1)找出动点满足的几何条件，由圆锥曲线定义判定曲线类型；(2)利用待定系数法求曲线方程．如图所示，已知抛物线过定点R(1,2)，准线l的方程为x＝－1.(1)求抛物线顶点O′的轨迹方程；(2)求焦点弦RQ的另一端点Q的轨迹方程．【解】(1)设抛物线的顶点O′(x，y)，则由定义知顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离x＋1，∴焦点坐标F (2x ＋1，y )．由题意知R 到焦点的距离与R 到准线的距离相等， ∴(2x ＋1－1)2＋(y －2)2＝1＋1，即x 2＋(y －2)24＝1(x >－1)．故动点O ′的轨迹方程为x 2＋(y －2)24＝1(x >－1)． (2)设点Q 的坐标为(x ′，y ′)，过R 作RR ′⊥l 于R ′，过Q 作QP ⊥l 于P ， 则RQ ＝RF ＋QF ＝RR ′＋QP ， ∴(x ′－1)2＋(y ′－2)2＝x ′＋1＋2，即(y ′－2)2＝8(x ′＋1)(x ′>－1)．故焦点弦RQ 的另一端点Q 的轨迹方程是(y ′－2)2＝8(x ′＋1)(x ′>－1)．。

§2.6 曲线与方程第2课时 求曲线的方程 主备人：陆永健学习目标：通过具体实例的研究，掌握求曲线方程的一般步骤.学习重点：直接法求曲线方程的一般步骤.学习难点：如何选用合适的方法求曲线方程.【温故知新、导引自学】求曲线的方程的一般步骤:（1）建立适当的 ；（2）设曲线上任意一点M 的坐标为 ；（3）列出符合条件)(M p 的 ；（4）化 为最简形式.【交流质疑、精讲点拨】例1.长为a 2（a 是正常数）的线段AB 的两端点B A 、分别在互相垂直的两条直线上滑动，求线段AB 中点M 的轨迹.变式1.已知△ABC 的两个顶点坐标分别是A （-2，0），B （0，-2），第三个顶点C 在曲线132-=x y 上移动，求△ABC 重心轨迹方程.例2.求平面内到两个定点B A 、的距离之比等于2的动点M 的轨迹方程.变式2.已知ABC ∆的顶点是定点，边BC 在定直线l 上滑动，BC BC ,4=边上的高为3，求ABC∆的外心M 的轨迹方程.例3.已知B 为线段MN 上一点，2,6==BN MN ，过点B 作圆C 与MN 相切，分别过点N M 、作圆C 的切线交于点P ，则点P 的轨迹是什么?并求它的标准方程.变式3.已知圆4)5(:221=+-y x O ，圆16)5(:222=++y x O ，求和这两个圆都外切的动圆圆心的轨迹方程.【当堂反馈、效果评价】1.过抛物线)0(22>=p px y 的顶点O 作两条互相垂直的弦OB OA 、，再以OB OA 、 为邻边作矩形AOBM ，求点M 的轨迹方程.2.在椭圆191622=+y x 内，有一内接ABC ∆，它的一边BC 与长轴重合，点A 在椭圆那个运动，试求ABC ∆的重心P 的轨迹.【作业巩固、拓展迁移】1.已知两定点B A ,的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，则点M 的轨迹方程为 .2.已知椭圆的焦点是P F F ,,21是椭圆的一个动点，如果M 是线段P F 1的中点，则动点M 的轨迹是 .3.已知动点M 到)0,2(A 的距离等于它到直线1-=x 的距离的2倍，则点M 的轨迹方程为 .4.设P 为双曲线1422=-y x 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 中点，则点M 的轨迹方程是 .5.在边长为a 2的正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三顶点的距离分别为PC PB PA ,,，且满足222PC PB PA +=,则点P 的轨迹方程为 .6.已知点),(b a P 是单位圆上的动点，则点),(ab b a Q +的轨迹方程是 .7.已知直角坐标平面上点)0,2(Q 和圆1:22=+y x C ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.8.已知点)4,0(),2,0(B A -，动点),(y x P 满足82-=⋅y .（1）求动点P 的轨迹方程；（2）若（1）中所求轨迹方程与直线2+=x y 交于D C 、两点，求证:OD OC ⊥(其中O 为原点).。

2.6.1 曲线与方程学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点曲线与方程的概念思考到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答案y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．梳理如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解(条件①，即纯粹性)，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上(条件②，即完备性)，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．1．过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝3.(√)2．到y轴距离为2的点的直线方程x＝－2.(×)3．方程xy－2＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线．(×)类型一 曲线与方程的概念例1 命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是________．(填序号) ①方程f (x ，y )＝0的曲线是C ； ②方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是C ； ③f (x ，y )＝0是曲线C 的方程；④以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上． 答案 ②解析 不论方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程，还是曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以①，③，④错误．反思与感悟 解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．跟踪训练1 设方程f (x ，y )＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，给出下列命题： ①坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上； ②曲线C 上的点的坐标都不满足方程f (x ，y )＝0；③坐标满足方程f (x ，y )＝0的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上； ④一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足f (x ，y )＝0. 其中判断正确的是________．(填序号) 答案 ④解析 “坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”不正确，即“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点不都在曲线C 上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故①③错，②显然错． 类型二 点与曲线的位置关系例2 方程(x －4y －12)[(－3)＋log 2(x ＋2y )]＝0表示的曲线经过点A (0，－3)，B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－74，D (8,0)中的________个．答案 2解析 由对数的真数大于0，得x ＋2y ＞0，∴A (0，－3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－74不符合要求；将B (0,4)代入方程检验，符合要求；将D (8,0)代入方程检验，符合要求．反思与感悟 点与实数解建立了如下关系：C 上的点(x 0，y 0)??f (x ，y )＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可． 跟踪训练2 证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x 2＋y 2＝25，并判断点M 1(3，－4)，M 2(－25，2)是否在这个圆上．解 (1)设M (x 0，y 0)是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于5，所以x 20＋y 20＝5，也就是x 20＋y 20＝25，即(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解．(2)设(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解，那么x 20＋y 20＝25，两边开方取算术平方根，得x 20＋y 20＝5，即点M (x 0，y 0)到原点的距离等于5，点M (x 0，y 0)是这个圆上的点． 由(1)，(2)可知，x 2＋y 2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M 1(3，－4)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M 1在这个圆上；把点M 2(－25，2)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边不等，(－25，2)不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上． 类型三 曲线与方程关系的应用例3 判断下列结论的正误，并说明理由． (1)到x 轴距离为4的点的直线方程为y ＝－4；(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1；(3)△ABC 的顶点A (0，－3)，B (1,0)，C (－1,0)，D 为BC 的中点，则中线AD 的方程为x ＝0.解 (1)因到x 轴距离为4的点的直线方程还有一个y ＝4，即不具备完备性．所以结论错误． (2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为|x |·|y |＝1，即xy ＝±1.所以所给问题不具备完备性．所以结论错误．(3)中线AD 是一条线段，而不是直线，应为x ＝0(－3≤y ≤0)，所以所给问题不具备纯粹性．所以结论错误．反思与感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围． 解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋12.∴k ≤12，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.1．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么下列说法正确的是________．(填序号)①曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0； ②凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上； ③不在曲线C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0；④不在曲线C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0. 答案 ③2．已知方程9(x －1)2＋y24＝1，下列所给的点在此方程表示的曲线上的为________．(填序号)①(－2,0) ②(1,2) ③(4,0) ④(3,1) 答案 ①③解析 将点(－2,0)和(4,0)代入方程后成立，而②，④代入后方程不成立，故只有①③符合题意．3．若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10所表示的曲线上，则实数m ＝________.答案 －185或2解析 依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185.所以m 的值为2或－185.4．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形为________． 答案 两条相交直线解析 原方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0， 即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0，∴原方程表示直线2x －y ＝0和直线2x ＋y ＋3＝0. 5．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．答案 4个点解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2，∴方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是4个点．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．一、填空题1．方程y ＝3x －2 (x ≥1)表示的曲线为________．(填序号) ①一条直线 ②一条射线 ③一条线段 ④不能确定答案 ②解析 方程y ＝3x －2表示的曲线是一条直线，当x ≥1时，它表示一条射线．2．曲线C 的方程为y ＝2x －1(1<x <5)，则下列四个点中在曲线C 上的是________．(填序号) ① (0,0) ②(7,15) ③(2,3) ④(4,4) 答案 ③解析 由y ＝2x －1(1<x <5)得①，②的横坐标不满足题意，④中坐标代入后不满足方程，故只有③符合题意．3．方程|x |＋|y |＝1表示的曲线所围成的平面图形的面积为________． 答案 2解析 由题得该曲线所围成平面图形如下图所示，故其面积为2.4．下列方程对应的曲线是同一条曲线的是________．(填序号)①y ＝a log a x ；②y ＝x 2；③y ＝log a a x；④y ＝3x 3. 答案 ③④解析 由y ＝log a a x＝x ，y ＝3x 3＝x ，得③④表示同一条曲线． 5．方程(x －1)2＋y －2＝0表示的是____________． 答案 点(1,2)解析 由(x －1)2＋y －2＝0，知(x －1)2＝0，且y －2＝0，即x ＝1且y ＝2，所以(x －1)2＋y －2＝0表示的是点(1,2)．6．若点M 到两坐标轴的距离的积为2016，则点M 的轨迹方程是________． 答案 xy ＝±2016解析 设M (x ，y )，则由题意得|x |·|y |＝2016， 所以xy ＝±2016.7．直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，则“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 必要不充分解析 由(kx ＋1)2＝4x ，得k 2x 2＋2(k －2)x ＋1＝0， 则当k ≠0时，Δ＝[2(k －2)]2－4k 2＝16(1－k )>0， 得k <1且k ≠0，故“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的必要不充分条件． 8．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 24＝1有一个公共点，则k 的值为________．答案 ±54解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 216＋y24＝1，消去y 并整理，得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0，当Δ＝16(16k 2－5)＝0， 即k ＝±54时，直线与椭圆有一个公共点． 9．如果曲线C 上的点满足方程F (x ，y )＝0，有以下说法： ①曲线C 的方程是F (x ，y )＝0； ②方程F (x ，y )＝0的曲线是C ；③坐标满足方程F (x ，y )＝0的点在曲线C 上； ④坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点不在曲线C 上．其中正确的是________．(填序号) 答案 ④10．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，若动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹所围的面积为________． 答案 4π解析 设P (x ，y )，∵PA ＝2PB ， ∴(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2， ∴(x －2)2＋y 2＝4.∴点P 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆， ∴所围成的面积S ＝π·22＝4π.11．下列命题正确的是________．(填序号)①△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0； ②到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；③曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0. 答案 ③解析 对照曲线和方程的概念，①中“中线AO 的方程是x ＝0 (0≤y ≤3)”；而②中，动点的轨迹方程为|y |＝5.从而只有③是正确的． 二、解答题12．已知曲线C 的方程为x ＝4－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．解 由x ＝4－y 2，得x 2＋y 2＝4.又x ≥0，∴方程x ＝4－y 2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C 与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π·4＝2π.所以所求图形的面积为2π.13．已知两曲线f (x ，y )＝0与g (x ，y )＝0的一个交点为P (x 0，y 0)．求证：点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上．证明 因为P (x 0，y 0)是两曲线的交点，所以点P 的坐标既满足方程f (x ，y )＝0，又满足方程g (x ，y )＝0，即f (x 0，y 0)＝0且g (x 0，y 0)＝0，故f (x 0，y 0)＋λg (x 0，y 0)＝0，所以P (x 0，y 0)的坐标是方程f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0的解， 故点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上． 三、探究与拓展14．已知方程①x －y ＝0；②x －y ＝0；③x 2－y 2＝0；④xy＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是________． 答案 ①解析 ①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程x －y ＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x 2－y 2＝0，但它不在曲线C 上；④不正确．如点(0,0)在曲线C 上，但其坐标不满足方程x y＝1. 15．方程(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0表示的曲线是什么？ 解 因为(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x －3≥0，或者x －3－1＝0，即2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.。

§2.6 曲线与方程2.6.1 曲线与方程 课时目标 结合学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，会求两条曲线的交点的坐标，表示经过两曲线的交点的曲线．1．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立如下关系：(1)__________________________都是方程f(x ，y)＝0的解；(2)以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，方程f(x ，y)＝0叫做________________，曲线C 叫做__________________．2．如果曲线C 的方程是f(x ，y)＝0，点P 的坐标是(x 0，y 0)，则①点P 在曲线C 上⇔______________；②点P 不在曲线C 上⇔________________.一、填空题1．已知直线l 的方程是f(x ，y)＝0，点M(x 0，y 0)不在l 上，则方程f(x ，y)－f(x 0，y 0)＝0表示的曲线是__________________．2．已知圆C 的方程f(x ，y)＝0，点A(x 0，y 0)在圆外，点B(x′，y′)在圆上，则f(x ，y)－f(x 0，y 0)＋f(x′，y′)＝0表示的曲线是________________．3．下列各组方程中表示相同曲线的是________．①y＝x ，y x＝1； ②y＝x ，y ＝x 2；③|y|＝|x|，y ＝x ；④|y|＝|x|，y ＝x 2.4．“以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f(x ，y)＝0”的____________条件．5．求方程|x|＋|y|＝1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为________．6．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为_____________________．7．若方程ax 2＋by ＝4的曲线经过点A(0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则a ＝________，b ＝________. 8．如果曲线C 上的点的坐标满足方程F(x ，y)＝0，则下列说法正确的是________．(写出所有正确的序号)①曲线C 的方程是F(x ，y)＝0；②方程F(x ，y)＝0的曲线是C ；③坐标不满足方程F(x ，y)＝0的点都不在曲线C 上；④坐标满足方程F(x ，y)＝0的点都在曲线C 上．二、解答题9．(1)过P(0，－1)且平行于x 轴的直线l 的方程是|y|＝1吗？为什么？(2)设A(2,0)，B(0,2)，能否说线段AB 的方程是x ＋y －2＝0？为什么？10.画出方程y＝||x|－1|的曲线．能力提升11．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________．12．证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.1．判断方程是否是曲线的方程要验证两个方面．2．判断方程表示的曲线，可以对方程适当变形，但要注意与原方程的等价性．3．方程与曲线是从两个不同的方面反映曲线上点的坐标(x，y)的关系．§2.6曲线与方程2．6.1 曲线与方程知识梳理1．(1)曲线C上点的坐标(x，y) (2)曲线C的方程方程f(x，y)＝0的曲线2．①f(x0，y0)＝0 ②f(x0，y0)≠0作业设计1．与l平行的一条直线解析方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示过点M(x0，y0)且和直线l平行的一条直线．2．过A点与圆C同心的圆解析由点B(x′，y′)在圆上知f(x′，y′)＝0.由A (x 0，y 0)在圆外知f (x 0，y 0)为不为0的常数，点A (x 0，y 0)代入方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0成立．所以f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示的曲线过A 点．3．④解析 ①中y ＝x 表示一条直线，而y x＝1表示直线y ＝x 除去(0,0)点；②中y ＝x 表示一条直线，而y ＝x 2表示一条折线；③中|y |＝|x |表示两条直线，而y ＝x 表示一条射线；④中|y |＝|x |和y 2＝x 2均表示两条相交直线．4．必要不充分解析 f (x ，y )＝0是曲线C 的方程必须同时满足以下两个条件：①以f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上；②曲线C 上的点的坐标都符合方程f (x ，y )＝0.5．2解析 方程|x |＋|y |＝1所表示的图形是正方形ABCD (如图)，其边长为 2. ∴方程|x |＋|y |＝1所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为2.6．4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0解析 可设动点坐标为(x ，y )，则|4x ＋3y －5|5＝1，即|4x ＋3y －5|＝5. ∴所求轨迹为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.7．16－8 3 28．③解析 直接法：原说法写成命题形式即“若点M (x ，y )是曲线C 上的点，则M 点的坐标适合方程F (x ，y )＝0”，其逆否命题是“若M 点的坐标不适合方程F (x ，y )＝0，则M 点不在曲线C 上”，此即说法③.特值方法：作如图所示的曲线C ，考查C 与方程F (x ，y )＝x 2－1＝0的关系，显然①、②、④中的说法都不正确．9．解 (1)如图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为y ＝－1，因而在直线l 上的点的坐标都满足|y |＝1，但是以|y |＝1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上．所以|y |＝1不是直线l 的方程，直线l 只是方程|y |＝1所表示曲线的一部分．(2)由方程x ＋y －2＝0知，当x ＝4时，y ＝－2.故点(4，－2)的坐标是方程x ＋y －2＝0的一个解，但点(4，－2)不在线段AB 上． ∴x ＋y －2＝0不是线段AB 的方程．10．解①x∈R，y≥0，②令x＝0，得y＝1，令y＝0，得x＝±1，∴曲线与坐标轴的交点为(0,1)，(1,0)，(－1,0)．③用－x代入x，得||－x|－1|＝||x|－1|＝y.∴曲线关于y轴对称．④当x≥0时，有y＝|x－1|，此时，若x≥1，则y＝x－1，若0≤x<1，则y＝1－x.先画出图象在y轴右侧的部分，再根据图象关于y轴对称，便可得到方程的曲线，如图所示．11．4π12．证明(1)如图所示，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由(1)(2)可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．。

2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.6.2 求曲线的方程学案苏教版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.6.2 求曲线的方程学案苏教版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.6.2 求曲线的方程学案苏教版选修2-1的全部内容。

2.6。

2 求曲线的方程1．了解求曲线方程的步骤，会求一些简单曲线的方程．（重点）2．掌握求动点轨迹方程的常用方法．（难点）3．对动点轨迹方程的限制与检验．(易错点)［基础·初探］教材整理求曲线的方程阅读教材P63例1以上的部分，完成下列问题．1．求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步骤为五步．用流程图表示如下：建立适当的坐标系↓错误!↓错误!↓错误!↓错误!求曲线方程的流程图可以简记为：错误!→错误!→错误!→错误!→错误!2．求曲线方程的常用方法求曲线方程的常用方法有直接法、代入法、参数法、几何法、定义法．1．判断(正确的打“√"，错误的打“×”）(1）在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得到的曲线方程也不一样．( )（2）化简方程“|x|＝|y|”为“y＝x”是恒等变形．( ）(3）按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验．( )(4)在求曲线方程时，如果点有了坐标或曲线有了方程，则说明已经建立了平面直角坐标系．（)【答案】（1）√（2)×（3)×(4)√2．在平面直角坐标系内，到原点距离为2的点M的轨迹方程是________．【解析】由圆的定义知，点M的轨迹是以（0，0)为圆心，以2为半径的圆，则其方程为x2＋y2＝4.【答案】x2＋y2＝43．设P为曲线错误!＋y2＝1上一动点，O为坐标原点,M为线段OP的中点，则动点M的轨迹方程是________．【解析】设M(x，y)，P（x0，y0）,则x0＝2x，y0＝2y,∵x24＋y20＝1，∴x2＋4y2＝1.【答案】x2＋4y2＝14．到A（－3,0），B(5，－1)的距离相等的点的轨迹方程是________.【导学号:09390058】【解析】设P（x,y)，PA＝PB，即x＋32＋y2＝x－52＋y＋12，即(x＋3)2＋y2＝（x－5)2＋(y＋1)2，化简得16x－2y－17＝0.【答案】16x－2y－17＝0［质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2:解惑：疑问3：解惑：[小组合作型］直接法求轨迹方程在△ABC中,a，c，b成等差数列,AB ＝2，求顶点C的轨迹方程．【精彩点拨】由a,c，b成等差数列可得a＋b＝2c；由a>c>b可知所求轨迹方程是整个轨迹方程的一部分；由AB＝2可建立适当的坐标系．于是可按求曲线方程的一般步骤求解．【自主解答】以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系,则A（－1，0),B（1,0)，设C点坐标为(x，y），由已知得AC＋BC＝2AB。