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i
i
f ( , )
i 1 i i
n
n
i
i
2) 取近似.
物理 问 题 m ( , )
3) 求和. m
( , )
i 1 i i
n
i n
i
i
i
i
4) 取极限.V lim f ( i , i ) i4) 取极限.m lim ( i , i ) i
0
i 1
0
i 1
不同点： 背景不同
相同点： 方法相同
数学形式相同
lim f ( i , i ) i
0
i 1
n
一、二重积分的概念
（一）引例 （二）定义
一、二重积分的概念
（一）引例 （二）定义
定义 设 f ( x , y ) 是有界闭区域D上的有界函数.将闭区域D 任意分成 n 个小闭区域
o
A
C
x
x y 1
利用对称性简化二重积分的计算
D关于坐标轴对称 关于x轴对称
关于y轴对称类似
D1
f ( x , y )d
D
0
D1
f ( x , y ) f ( x , y )
2 f ( x , y )d f ( x , y ) f ( x , y )
D关于原点对称
Vi f ( i , i ) i 2) 取近似. m i ( i , i ) i
3) 求和. V
f ( , )
i 1 i i
n
n
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4) 取极限.V lim f ( i , i ) i
0
i 1
y
( i , i )
D
μ(x,y)
0
i 1
0
i 1
不同点： 背景不同
相同点： 方法相同
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
2) 取近似.
1 , 2 , , i , , n
3) 求和. m
取近似 2) 取近似. m i ( i , i ) i Vi f ( i , i ) i 和 ) f ( , 求
i 1 i i
n
3) 求和. V
n
i
( , )
i 1 i i
n
n
i
, i ) i4) 取极限.m lim ( i , i ) i 4) 取极限.V lim f ( i 取极限
o
y
( i ,i )
x
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
2) 取近似.
1 , 2 , , i , , n
3) 求和. m
Vi f ( i , i ) i 2) 取近似. m i ( i , i ) i
3) 求和. V
f ( , )
i 1 i i
n
n
i
( , )
i 1 i i
n
n
i
4) 取极限.V lim f ( i , i ) i4) 取极限.m lim ( i , i ) i
D1
f ( x , y )d
D
0
f ( x , y ) f ( x , y )
2 f ( x , y )d f ( x , y ) f ( x , y )
D1
D关于y=x对称
D2 D1
f ( x , y )d f ( y, x )d
D D
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
性质1
(线性)
f ( x , y ) g( x , y )d f ( x , y )d g( x , y )d
D D D
性质2
(区域可加性)
1
f ( x , y )d f ( x , y )d f ( x , y )d D D
D D1 D2
D2
性质3
1d d (σ为区域D的面积)
D D
性质4
(不等式)
如果在D上， f
( x , y ) ( x , y ),
f ( x , y )d ( x , y )d
D D
推论
性质5
f ( x , y )d f ( x , y ) d
D
注 (1) 二重积分仍然是一个数! (2) 二重积分仅与 被积函数
区域分法
无关 有关，与 ξ 的取法 i 积分区域 积分变量记法 (3) 二重积分的存在性:
若f(x,y)在闭区域D上连续，f(x,y)在D上的二重积分存在. (4) 二重积分的几何意义:
f ( x, y) 0
曲顶柱体的体积
f ( x , y )d
当各小闭区域的直径中的最大值 且与闭区域D的分法及点
0 时,这和的极限总存在,
(的取法无关，那么称此极限为 i , i )
记作
函数 f ( x , y )在闭区域D上的二重积分, 即
n
D
f ( x , y )d ,
D
f ( x , y )d lim f ( i , i ) i .
1 , 2 , , n ,其中 i 表示第i个 i 上任取一点 ( i , i ),
n i 1
个小闭区域,也表示它的面积.在每个
作乘积
f ( i , i ) i ( i 1 , 2 , , n ), 并作和 f ( i , i ) i . 如果
D D
(估值定理)
如果在D上， m
f ( x, y) M
(σ为区域D的面积)
m f ( x , y )d M
D
性质6
(中值定理)
若f(x,y)在闭区域D上连续
, D ,
f x , y d f ( , )
D
例2 比较下列积分的大小： (1)
D
f ( x, y) 0
一般情况
曲顶柱体体积的负值
曲顶柱体体积的代数和
例 1
根据二重积分的几何意义，计算下列积分值：
D : x2 y2 R2.
(1)
y
d
D
o
z
x
( 2)
D
R 2 x 2 y 2 d
o
y
x
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
二重积分的概念与性质
0
i 1
i , i ) i . f ( f ( x , y )d lim 0
D i 1
n
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
曲顶柱体的体积:
V f ( x , y )d .
D
平面薄片的质量:
M ( x , y )d .
( x y ) d
2 D
与
( x y ) d
3 D
y
D:
( x 2 ) ( y 1) 2
2 2
o (2)
x
ln( x y )d 与 ln( x y ) d
2
D
x y1
D
y
B
D:顶点为A(1，0),B(1，1) C(2，0)的三角形闭区域.
o
x
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
i
几 何 问 题 2) 取近似. V f ( , )
3) 求和. V
1 , 2 , , i , , n
f ( x , y )d f ( y, x )d
D1
f ( x, y) f ( y, x )
1 f ( x , y )d 2 D
D2
0
i 1
0
i 1
不同点： 背景不同
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 分割 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
2) 取近似.
1 , 2 , , i , , n
第一讲 二重积分的概念与性质
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
一、二重积分的概念
（一）引例 （二）定义
一、二重积分的概念
（一）引例 （二）定义
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域 2.平面薄片的质量
1 , 2 , , i , , n
2) 取近似.
z
z =f (x,y)
Vi f ( i , i ) i
3) 求和. V
f ( , )
i 1 i i
n
n
i
4) 取极限.V lim f ( i , i ) i
