高等数学二重积分概念及性质

第九章 重积分第一节 二重积分的概念及性质一．二重积分的概念 1．引例引例1 曲顶柱体的体积设有一立体的底是xy 面上的有界闭区域D ，侧面是以D 的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，顶是有二元非负连续函数),(y x f z =所表示的曲面，如图9—1所示，这个立体称为D 上的曲顶柱体，试求该曲顶柱体的体积。

图9—1 图9—2 图9—3解 对于平柱体的体积底面积高⨯=V ，然而，曲顶柱体不是平顶柱体，那么具体作法如下(1)分割把区域D 任意划分成n 个小闭区域nσσσ∆∆∆,,,21Λ，其中iσ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积。

在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，如图9—2所示。

这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成n 个小曲顶柱体。

(2)近似在每一个小闭区域iσ∆上任取一点),(i i ηξ，以),(i i f ηξ为高，iσ∆为底的平顶柱体的体积i i i f σηξ∆),(近似代替第i 个小曲顶柱体的体积。

i i i f V σηξ∆≈∆),((3)求和这n 个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值∑=∆≈∆=ni i i i f V V 1),(σηξ(4)取极限将区域D 无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲顶柱体的体积。

即∑=→∆=ni i i i f V 10),(lim σηξλ其中λ表示这n 个小闭区域iσ∆直径中最大值的直径（有界闭区域的直径是指区域中任意两点间的距离）。

引例2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有xy 面上的有界闭区域D ，它的密度为D 上的连续函数),(y x z ρ=，试求平面薄片的质量。

解 对于均匀平面薄片的质量薄片面积密度⨯=m ，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下(1)分割将薄片（即区域D ）任意划分成n 个小薄片nσσσ∆∆∆,,,21Λ，其中iσ∆表示第i 个小小薄片，也表示它的面积，如图9—3所示。

二重积分概念与性质课程思政教学设计邓明香㊀冯永平(广东省广州大学数学与信息科学学院㊀５１０００６)摘㊀要:专业课课程思政要实现 门门课程有思政 ꎬ大学数学公共基础课课程思政的重点在于提高大学生综合素质.本文以数学类公共课程二重积分课堂教学为例ꎬ分析了该课程蕴含的数学思政教育元素ꎬ从教学方法㊁案例设计思路㊁改革目标和实施方案等方面提出了课程思政融入方案ꎬ以潜移默化地提高学生的文化自信ꎬ树立社会主义核心价值观.关键词:二重积分ꎻ课程思政ꎻ案例设计ꎻ教学改革中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０３－００４７－０３收稿日期:２０２２－１０－２５作者简介:邓明香(１９７４－)ꎬ女ꎬ甘肃省秦安人ꎬ硕士ꎬ讲师ꎬ从事微分方程数值解的研究.冯永平(１９７５－)ꎬ男ꎬ甘肃省甘谷人ꎬ博士ꎬ教授ꎬ从事微分方程数值解的研究.基金项目:线性代数 课程思政 教学的探索与实践(２０２０年教育部产学合作协同育人项目２０２００２１４００１０)ꎻ高等数学Ⅱ 课程思政 教学的探索与实践(２０２０广东省本科高校教学质量与教学改革工程项目ꎬ粤教高函ʌ２０２０ɔ２０号)ꎻ经管类微积分课程翻转课堂教学模式研究(高等学校大学数学教学研究与发展中心教学改革项目ＣＭＣ２０２００２１６)ꎻ新时代大学数学课程群教研室(２０２１广东省本科高校教学质量与教学改革工程项目ꎬ粤教高函ʌ２０２１ɔ２９号).㊀㊀二重积分是多元函数微积分学应用的一个主要内容ꎬ是在解决实际问题的实践中不断抽象出来的ꎬ是一元函数定积分㊁多元函数曲线积分的推广.结合课程思政相关元素ꎬ本文主要从学情分析㊁教学目标㊁教学方法㊁教学策略㊁教学设计几方面探讨了二重积分的概念教学中如何隐性地融入课程思政元素ꎬ达到教书育人的目的.１学情分析及教学目标分析本节课程选自理工类专业必修课«高等数学Ⅱ２»ꎬ为一节新授课程ꎬ第８章«二重积分»第１节 二重积分的概念与性质 ꎬ教材选用林伟初ꎬ郭安学ꎬ高等数学(经管类下册ꎬ第１版)ꎬ北京大学出版社ꎬ２０１８.０７ꎬ面向我校一流专业地理科学专业２１１㊁２１２㊁２１３班开设.本节课程学习前ꎬ学生已掌握了一些规则立体图形的体积求法ꎬ如长方体㊁圆柱体㊁锥体等ꎻ已学完一元微积分学㊁空间解析几何及多元函数的微分学等高等数学内容ꎻ掌握了定积分概念及相关数学思想ꎬ能熟练使用分割㊁近似㊁求和㊁取极限四个步骤求解曲边梯形面积问题.在学习中ꎬ学生对推广后的求解曲顶柱体体积问题能给出粗略方案ꎬ但精确化比较困难ꎬ特别是对最后如何从近似转向精确的极限手法难以理解ꎻ学生对概念中涉及的积分区域和重积分符号的抽象性和复杂性有畏惧感ꎬ容易排斥抽象的概念课.本节课程的教学目标为以下几个方面.知识与能力方面:掌握二重积分的概念㊁性质ꎻ学会用极限思想分析具体问题ꎬ能灵活使用 分割ꎬ近似ꎬ求和ꎬ取极限 处理二元函数的相关７４问题ꎻ掌握从实例形成概念定义的重要方法.过程与方法方面:通过类比定积分ꎬ引导学生回顾 以直代曲 在解决定积分问题中起到的关键作用ꎬ为整节课架设一个基本思维框架ꎬ让学生明确学习内容ꎻ借助熟悉的 顶面为平面的体积计算问题 密度均匀分布平面薄片质量计算问题 ꎬ引导学生学会从特殊到一般ꎬ从具体到抽象的数学方法ꎬ实现能力目标的培养.情感方面:借助引例直观体会 以直代曲 和 逼近 的思想ꎬ学习归纳㊁类比的推理方式ꎬ体验从特殊到一般㊁从具体到抽象㊁化归与转化的数学思想ꎻ从实践中创设情境ꎬ渗透 化整为零㊁积零为整 的辨证唯物观ꎬ培养学生的创新意识和科技服务于生活的人文精神.本课程用 问题驱动 教学理念的统领指导实施课程教学ꎬ力求在课程教学中实现培养学生具备 用数学的眼光观察世界ꎬ用数学的思维分析世界ꎬ用数学的语言表达实现世界 的最终能力素养目标.㊀２教学过程教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图及思政融入Ⅰ.问题引入及问题分析(１０分钟)图１１.引例１:曲顶柱体的体积问题:回忆柱体与长方体的体积计算ң变平面为曲面ꎬ引出新问题ң回顾微积分数学史及定积分ꎬ启发学生寻找思路ң视频动态演示求解思路ꎬ让学生有直观认识(如图１).２.引例２:平面薄板质量求解问题:回顾均匀密度下平面薄板质量计算公式ң类比引例１过程ꎬ给出一般方法.３.引例分析:比较总结两个引例思想方法㊁过程与结构式ң提炼共性ң形成定义.１.回答问题(基本知识ꎬ学生纷纷举手)ꎻ２.思考新问题(有些疑虑)ꎻ３.参与互动ꎬ积极总结情景－问题教学ꎬ启发学生思考三个问题ꎬ逐层推进ꎬ逐步深入ꎬ使学生充分认识到用小平顶柱体近似代替小曲顶柱体的合理性ꎬ实现由感性认识到理性认识的升华.实例引入ꎬ激发学生兴趣ꎬ调动学生自行探索ꎬ自然发现问题.视频演示求曲顶柱体体积过程ꎬ形象地展示 分割㊁近似替代㊁求和㊁取极限 的经典过程ꎬ让学生直观理解解决问题的基本思想ꎬ明确其正确性和可执行性ꎬ增强学习信心.通过图示ꎬ引导学生对引例进行类比ꎬ有益于快速观察到要点ꎬ有助于形成初步印象.Ⅱ.讲授及探讨概念(１５分钟)１.ｐｐｔ展示二重积分定义ꎬ分步强调关键表述ꎻ２.与定积分进行类比:列表类比ң概念形成数学思想和过程ң二重积分的几何性质和物理意义ң二重积分的发展简史.１.概念讲授时主要以聆听为主ꎻ２.类比中尝试学生自己进行总结ꎬ再对照加深理解.强调这是重点:１.从多个方面进行深入探讨ꎬ加深概念理解.２.积分数学思想ꎻ３.相关的数学发展史简介ꎬ拓展知识视野ꎻⅢ.巩固知识与强化拓展(１５分钟)例１㊀利用二重积分定义计算∬[０ꎬ１ꎻ０ꎬ１]ｘ２ｙｄσꎻ讨论㊁练习板书讲解ꎬ巩固概念及性质ꎬ感知利用概念计算二重积分的困难性.培养学生求真求实㊁踏实认真的做事态度.８４Ⅳ.思想方法与知识总结(３分钟)Ⅴ.课后作业布置及预习(２分钟)１.作业:课后习题１ꎬ６ꎻ２.小组任务:思维导图制作(提示:知识结构㊁与定积分类比㊁思想方法等)３.预习:二重积分的计算.教学评价与反思１.在教学理念方面:课程以学生为中心ꎬ为学生创设学习的情境ꎬ让学生在课堂上成为主角ꎬ教师转变为学习的组织者㊁引导者㊁合作者.２.在知识目标方面:做到教学思路清晰㊁突出重点㊁突破难点.３.在教学过程方面:在课堂上采取小组讨论㊁个别提问㊁学生总结等方法让学生参与到教学过程中ꎬ让学生感悟数学方法ꎬ立德树人ꎬ突出能力培养ꎬ关注学生的终身发展.４.在教学方法与策略方面:能根据教学目标㊁教学内容选择合适的教学方法.板书设计２１.１.二重积分的概念及其存在性一㊁二重积分的引入:(１)曲顶柱体的体积ꎻ(２)平面薄片物体的质量二㊁二重积分的概念:(１)二重积分的概念ꎻ(２)概念包含的数学思想ꎻ(３)概念的几点注解ꎻ(４)二重积分的几何㊁物理意义三㊁二重积分应用例题例１㊀利用二重积分定义计算∬[０ꎬ１ꎻ０ꎬ１]ｘ２ｙｄσꎻ课程资源１.参考资料(１)菲赫金哥尔茨ꎬ微积分学教程ꎬ人民教育出版社ꎬ２００６.０１.(２)朱健民ꎬ李建平ꎬ«高等数学»(第二版)上册ꎬ高等教育出版社ꎬ２０１５年.(３)詹姆斯 斯图尔特ꎬ«微积分»(第六版)ꎬ中国人民大学出版社ꎬ２０１４年.２.课程团队与教学资源(１)２０１９年５月成立了 大学数学 教学团队ꎻ(２)２０１０－至今的课程教学大纲㊁年度教学进度表㊁试题库ꎻ(３)２０２１年团队获评广州大学黄大年式培育教师团队ꎻ参考文献:[１]康瑞妮.问题驱动型二重积分概念的教学设计研究[Ｊ].教师ꎬ２０２１(２９):３１－３２.[２]雍龙泉.直角坐标系下二重积分的计算方法研究[Ｊ].湖北工程学院学报ꎬ２０１９ꎬ３９(０６):１０６－１０８.[３]曹剑成. 以学定教 模式的研究 以 二重积分 为例[Ｊ].理科爱好者(教育教学)ꎬ２０２０(０６):３－４.[４]彭东海ꎬ张留伟.二重积分方法在定积分计算与证明中的应用[Ｊ].高等数学研究ꎬ２０２１ꎬ２４(０２):３５－３７.[５]申爱红ꎬ孙文娟.新时代背景下«高等数学»课程教学的提质与创新[Ｊ].沈阳师范大学学报(自然科学版)ꎬ２０２１ꎬ３９(０１):８０－８４.[６]杨慧卿.积分学教学研究与实践[Ｊ].高等数学研究ꎬ２０２１ꎬ２４(０２):５８－６１.[责任编辑:李㊀璟]９４。

二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。

二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。

本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。

二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。

若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。

2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。

三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。

4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。

二重积分极限表达式二重积分是高等数学中的一个重要概念。

它在物理、工程、经济学和其他领域中都有着广泛的应用。

当我们谈论二重积分时，我们通常会把它看作是一个求取平面区域上某个量的积分的过程。

因此，掌握一些有关二重积分极限表达式的知识对于我们深入理解二重积分的概念至关重要。

以下是一些关于二重积分极限表达式的基本概念：一、二重积分的定义二重积分的定义是：设D为平面上有界区域，f(x,y)是定义在D上的函数，则在D上的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dσ其中dσ是表示平面微元的面积元素。

二、二重积分的性质二重积分有一系列的性质，这些性质能够帮助我们更好地理解二重积分的概念。

以下是几个重要的性质：1. 线性性质二重积分具有线性性质，即若f和g是D上的二重可积函数，c为常数，则有：∬D(cf+g)dσ = c∬Df(x,y)dσ + ∬Dg(x,y)dσ2. 积分区域的可加性若D可以分为两个互不相交的有界区域D1和D2，则有：∬Df(x,y)dσ = ∬D1f(x,y)dσ + ∬D2f(x,y)dσ3. 积分顺序的可交换性如果f(x,y)在D上连续，那么积分的顺序是可以交换的，即：∬Df(x,y)dσ = ∬a^b∬c^df(x,y)dydx = ∬c^d∬a^bf(x,y)dxdy三、二重积分极限表达式的基本概念在二重积分中，极限表达式是非常重要的一部分。

极限表达式可以帮助我们更好地理解二重积分的概念。

以下是一些基本的极限表达式：1. 上限为无穷大的积分如果D的上界是无穷大，那么二重积分的极限表达式可以表示为：limR→+∞∬Df(x,y)dσ这里R表示D的半径（即D中距离原点最远的点的距离）。

2. 重心与积分中平均值的关系对于D上的二重积分，假设M(x1,y1)是D的重心。

如果f(x,y)在D上可积，那么有：f(M) = (1/|D|)∬Df(x,y)dσ其中|D|表示D的面积。

3. 积分区域的划分对于任何一个平面区域D，我们都可以通过划分D的方法，将D划分为若干个小的平面区域。

重积分知识点总结(一)前言重积分是高等数学中的重要知识点，是对多重积分进行研究的内容。

它在物理学、工程学和计算机科学等领域都有广泛的应用。

本文将针对重积分的知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和掌握这部分知识。

正文一、重积分的定义与性质1.重积分的定义：对于二重积分来说，可以将其理解为将被积函数在某个有界闭区域上的“总体积”。

而对于三重积分来说，则是将被积函数在某个有界闭区域上的“总体积”。

2.交换积分次序：在某些情况下，交换积分次序可以简化重积分计算的复杂程度。

3.重积分的性质：包括线性性质、保号性质、次可加性质等。

这些性质在进行重积分计算时非常重要。

二、二重积分的计算方法1.二重积分的计算方法主要有面积法、直角坐标法和极坐标法。

在具体的计算过程中，可以根据题目要求和被积函数的形式选择合适的计算方法。

2.面积法：将被积函数看做是一片平面上每一点的贡献，通过对整个区域的累加求和来计算二重积分。

3.直角坐标法：根据被积函数在直角坐标系内的表达式，利用基本积分计算公式进行计算。

4.极坐标法：将被积函数用极坐标系表示，通过变量代换进行计算。

对于具有旋转对称性的问题，极坐标法可以简化计算过程。

三、三重积分的计算方法1.三重积分的计算方法主要有体积法、直角坐标法和柱坐标法。

在具体的计算过程中，同样需要根据题目要求和被积函数的形式选择合适的计算方法。

2.体积法：将被积函数看做是空间内每一点的贡献，通过对整个区域的累加求和来计算三重积分。

3.直角坐标法：根据被积函数在直角坐标系内的表达式，利用基本积分计算公式进行计算。

4.柱坐标法：将被积函数用柱坐标系表示，通过变量代换进行计算。

对于具有旋转对称性的问题，柱坐标法可以简化计算过程。

结尾重积分是数学中重要而复杂的知识点，在实际应用中具有广泛的价值。

通过本文的总结，希望读者们能够对重积分的定义、性质和计算方法有更深入的理解，从而更好地应对相关问题的解决和应用。

前言重积分是高等数学中的重要知识点，是对多重积分进行研究的内容。

高数考研题库二重积分高数考研题库二重积分二重积分是高等数学中的重要概念之一，也是考研数学中的重要知识点。

在考研数学中，二重积分的应用非常广泛，涉及到面积、质量、质心等诸多问题。

本文将从二重积分的基本概念、性质以及应用等方面进行探讨。

一、二重积分的基本概念二重积分是对二元函数在某个有界闭区域上的积分。

设有二元函数f(x,y)，定义在闭区域D上，D的边界为C。

则二重积分的计算公式为：∬D f(x,y)dxdy其中，dxdy表示对x和y的积分变量，D表示积分区域。

二重积分的计算需要先确定积分区域D，并将其分解为若干个小区域，然后对每个小区域进行积分，最后将各个小区域的积分结果相加即可得到最终的二重积分值。

二、二重积分的性质1. 线性性质：即对于任意常数a和b，有∬D (af(x,y) + bf(x,y))dxdy = a∬Df(x,y)dxdy + b∬D f(x,y)dxdy。

2. 区域可加性：即对于两个不相交的区域D1和D2，有∬(D1∪D2) f(x,y)dxdy = ∬D1 f(x,y)dxdy + ∬D2 f(x,y)dxdy。

3. 积分次序可交换：即对于可积的函数f(x,y)，有∬D f(x,y)dxdy = ∬D f(x,y)dydx。

4. 积分区域的变换：若将积分区域D通过某种变换映射到D'上，则有∬D'f(x',y')dxdy = ∬D f(x,y)dxdy。

三、二重积分的应用1. 计算面积：二重积分可以用来计算平面区域的面积。

设有闭区域D，其边界为C，函数f(x,y)在D上恒等于1，则二重积分∬D f(x,y)dxdy即为D的面积。

2. 计算质量：二重积分可以用来计算平面区域上均匀分布的物体的质量。

设有密度函数ρ(x,y)，表示在平面区域D上的每个点(x,y)处的质量密度，则平面区域D上的物体的总质量为∬D ρ(x,y)dxdy。

3. 计算质心：二重积分可以用来计算平面区域上均匀分布的物体的质心坐标。

第十二讲 二重积分【考试要求】1.了解二重积分的概念与基本性质.2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）.考点：二重积分的几何意义及性质 1.二重积分的几何意义()()(),0,,,Df x y f x y d z f x y D σ≥=⎰⎰若则表示以曲面为顶,以区域为底,侧面是柱面的曲顶柱体的体积.2.二重积分的性质()()()()()()()()()()()()()()121212121211,,,,,,,,,,,,,,,,,5,,,D DDDDDD D DDDDD d A k f x y k g x y d k f x y d k g x y d f x y d f x y d f x y d D D D D D D f x y g x y f x y d g x y d f x y d f x y d D m f x y M m A f σσσσσσσσσσσ=±=±⎡⎤⎣⎦=+==Φ≤≤≤≤≤⋅≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（）；（2）；（3）；（4）在上若则；特殊地；（）在上若则()()()()(),6,,,,,,.D DD Dx y d M A f x y D D f x y d f A σξησξη≤⋅∈=⋅⎰⎰⎰⎰；（）设在上连续则存在一点使()()()()()()22222123223211232133121,cos ,cos ,:1,____.DDDI I x y d I x y d D x y A I I I B I I I C I I I D I I I σσσ==+=+⎡⎤⎣⎦+≤>>>>>>>>⎰⎰⎰⎰⎰⎰例设其中则()()()()22232:212,____.""DDD x y x y d x y d σσ-+-≤++≥≤⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰例设则（填或）()()()()()1223123312231213320161,2,3:01,01,:01,0:01,1,____.ii D J i D x y D x y D x x y A J J J B J J J C J J J D J J J ==≤≤≤≤⎡⎤⎣⎦≤≤≤≤≤≤≤≤<<<<<<<<例（数三）设,其中则()()2222014,:,lim ,____.tt t D f x y D x y t f x y d tσπ+→+≤=⎡⎤⎣⎦⎰⎰例设在上连续则考点：直角坐标计算二重积分 1.先y 后x 或先x 或y()()()()()()()()()()()()212112121:,,,,.2:,,,,.bx a x Dd y c y DD a x b x y x f x y d dx f x y dy D c y d y x y f x y d dy f x y dx ϕϕφφϕϕσφφσ≤≤≤≤=≤≤≤≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（）若则（）若则12,12y x x y D D y D y x D D x D x y ≥公式（）和（）都是将二重积分化为累次积分,不同的是前者是先对积分后对积分后者是先对积分后对积分.公式（）中区域的特点是:穿过内与轴平行的直线交的边界不多于两点,是适宜先对积分后对积分的区域；公式（）中区域的特点是:穿过内与轴平行的直线交的边界不多于两点,是适宜先对积分后对积分的区域.每个单积分总是上限下限,后积分的积公式的特点:区域的特点:积分限的特点:分限总是常数,先积分的积分限至少有一个是后积分变量的函数.222,10,1.Dx yd D x y y y σ-===⎡⎤⎣⎦⎰⎰例1计算其中是由双曲线及直线围成的闭区域2,2.DD y x x y x σ=-=⎡⎤⎣⎦⎰⎰例2计算其中是由抛物线及直线所围成的闭区域33sin ,,2.Dx d D y x y x y y σ===⎡⎤⎣⎦⎰⎰例计算其中是由直线及曲线围成的闭区域2.对称性（1）普通对称性()()()()()()()()1111,0,2,,,,0,,,0,2,,,,.0,,D D D DD y D D x f x y d f x y x f x y d f x y x D x D D y f x y d f x y y f x y d f x y y σσσσ≥⎧⎪=⎨⎪⎩≥⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰设关于轴对称是在的部分则对是偶函数；对是奇函数设关于轴对称是在的部分则对是偶函数对是奇函数()()()()()()1111:,,:0,,cos sin ____.2cos sin 24cos sin 0DD D D D a x a x y a D x a x y a xy x y dxdy A x ydxdy B xydxdy C xy x y dxdy D -≤≤≤≤≤≤≤≤⎡⎤⎣⎦+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例4设有平面闭区域则()35,00.Dx y d D x x x σ+=+==⎡⎤⎣⎦⎰⎰例计算其中是由曲线及围成（2）轮换对称性()(),,,.DDD y x f x y d f y x d σσ==⎰⎰⎰⎰若关于直线对称则()()()()()()226:4,0,0,,,,____.22DD x y x y f x a b aba bA abBC a bD σππππ+≤≥≥⎡⎤⎣⎦=++例设是正值连续为常数则3.平移()227,:.Dx y d D x y x y σ++≤+⎡⎤⎣⎦⎰⎰例计算其中考点：极坐标计算二重积分()()()()()()()211222:,,,cos ,sin .,r r Dm n m n m n D D r r r f x y d d f r r rdr y x x y f x y x y f x y f x y βθαθαθβθθσθθθ≤≤≤≤=⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰若是适合极坐标表示,即则被积函数形如或或且积分区域为圆域、环域、扇形时使用极坐标比较方便.注:221:,.DD x y x +≤⎡⎤⎣⎦例设求2,1cos 0Dxyd D r σθθπ=+≤≤⎡⎤⎣⎦⎰⎰例计算其中由曲线（）与极轴围成.222213:1,0,.1Dxy D x y x I dxdy x y ++≤≥=⎡⎤⎣⎦++⎰⎰例设计算二重积分(22sin 4:14,0,0,.Dx D x y x y dxdy x y≤+≤≥≥⎡⎤⎣⎦+⎰⎰例设计算考点：换序及换系()()ln 111011,2,.ex dx f x y dy dx f x y dy ⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰例交换下列二次积分的次序：（）；（）()011222001,____.ydy f x y dx --=⎡⎤⎣⎦⎰⎰例（年数一）变换下列二次积分的积分次序:()()11101031,;2,.xdx f x y dy dx f x y dy -⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰例化下列二次积分为极坐标下的二次积分：（）（）()()()()()()()()()cos 20011000011100004cos ,sin ____.,,,,d f r r rdr A dy f x y dxB dy f x y dxC dx f x y dyD dx f x y dyπθθθθ=⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例120151____;2____.dy dx ⎡⎤⎣⎦==⎰⎰⎰例计算下列二次积分:（）（）32sin 2446sin cos ____.d r dr πθπθθ⎡+=⎡⎤⎣⎦⎣⎰⎰例累次积分考点：需分区域计算的几种情况()()(),0,01,,,.0,,,00.x y D ex y f x y d f x y D x y a x y b y y b a a b σ-+⎧>>⎪=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩+=+===+<<⎰⎰例计算其中其他是由和（）围成的区域2221,:01,0 1.Dx y dxdy D x y +-≤≤≤≤⎡⎤⎣⎦⎰⎰例计算二重积分其中{}3max ,1,:02,0 2.Dxy dxdy D x y ≤≤≤≤⎡⎤⎣⎦⎰⎰例计算其中[][]4,:02,02,Dx y d D x y x y x y σ+≤≤≤≤++⎡⎤⎣⎦⎰⎰例计算其中表示不超过的最大整数.。

二重积分的概念和计算
一、二重积分的概念
二重积分也叫做双重积分，是一类高等数学中的一种重要的概念，它
是指将函数关于两个变量进行积分运算，而且是先计算外层的积分，再计
算内层的积分，也可以称之为“先积分后积分”。

所以，二重积分是指把一个二元函数关于x先积分，再把f（x，y）
关于y积分的过程，最后能够得到B（x，y）函数，通常我们可以采用它
来对双变量函数进行积分运算。

二、二重积分的计算
1、在坐标系上绘制图像，判断积分的界限，即a和b的值，以及R
的值；
2、根据及题目要求，写出积分表达式；
3、根据外层和内层的分界，写出外层的积分表达式；
4、根据内层的分界，写出内层的积分表达式；
5、外层积分根据公式进行求解，把外层积分结果代入到内层积分中，计算内层积分的值；
6、把外层积分的值和内层积分的值相乘，得到最终的二重积分的结果。

此外，在积分运算中，我们还可以通过Green-Haddam公式来把二重
积分转化为一次积分，计算更加快捷方便。

Green-Haddam公式：∫ab∫f(x,y)dxdy=∫(R∫f(x,y)dxdy)dR
三、示例说明
下面通过举例来详细讲解一下二重积分的计算：求解：∫0,3∫0,2x2dy dx。

第九章二重积分【本章逻辑框架】【本章学习目标】⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。

⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。

熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。

⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。

9.1 二重积分的概念与性质【学习方法导引】1．二重积分定义为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。

从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。

在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆的分法要任意，二是在每个小区域i σ∆上的点(,)i i i ξησ∈∆的取法也要任意。

有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。

2．明确二重积分的几何意义。

(1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以(,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。

特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d Df x y σ⎰⎰表示平面区域D 的面积。

(2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积(3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积).3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。