二重积分的概念与性质

二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。

二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。

本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。

二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。

若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。

2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。

三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。

4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。

第九章 重积分Chapter 9 Multiple Integrals9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and ItsProperties)一、二重积分的概念 (Double Integrals)定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。

将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用(1,2,)ii n σ∆=L 表示。

在每个(1,2,)i i n σ=L 上任取一点(,)i i ξη，并作和1(,)n i i i i f ξησ=∆∑。

假设存在一个确定的数I 满足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑ 不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。

这样就称f 在D 上可积，I 称为f 在D 上的二重积分，记作(,)D f x y d I σ=⎰⎰或01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰n i i i i D f x y d f Definition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧 1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregions i σ，whose area is denoted by(1,2,)i i n σ∆=L Choose arbitrarily a point (,)i i ξη in (1,2,)i i n σ=L and then form the sum 1(,)n i i i i f ξησ=∆∑。

Supposethat there exists a fixed number I such that for any 0ε>, thereexists a 0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregions i σ in a partition of D is less than δ, then 1(,)n i i i i f I ξησε=∆-<∑，no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from (1,2,)i i n σ=L Then f is said to be integrable over D and I is the double integral of f over D ,written (,)D f x y d I σ=⎰⎰,or 01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰n i i i i D f x y d f 二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals)性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰,若k 为常数。

第九章 重积分Chapter 9 Multiple Integrals9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and Its Properties) 一、二重积分的概念 (Double Integrals)定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。

将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用(1,2,)i i n σ∆= 表示。

在每个(1,2,)i i n σ=上任取一点(,)i i ξη，并作和1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。

假设存在一个确定的数I 满足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑ 不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。

这样就称f 在D 上可积，I 称为f 在D上的二重积分，记作(,)Df x y d I σ=⎰⎰或01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ni i i i Df x y d fDefinition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregionsi σ，whose area is denoted by (1,2,)i i n σ∆= Choose arbitrarily a point (,)i i ξηin (1,2,)i i n σ= and then form the sum 1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。

Supposethat there exists a fixed number I such that for any 0ε>, there exists a0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregionsi σ in a partition of D is less than δ, then 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑，no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from (1,2,)i i n σ= Then f is said to be integrable over Dand I is the double integral of f over D ,written (,)Df x y d I σ=⎰⎰,or1(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ni i i i Df x y d f 二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals)性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即((,)(,))(,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即 (,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰,若k 为常数。

二重积分变换次序（原创实用版）目录一、二重积分的概念与性质二、二重积分的积分次序三、交换积分次序的依据四、实际应用案例正文一、二重积分的概念与性质二重积分是多元函数积分中的一种，它是对一个函数在空间中曲面上的取值进行积分。

假设函数 f(x,y) 在区域 D 上有界，D 的边界是由曲线 C1 和 C2 围成的，那么我们可以对 f(x,y) 在 D 上进行二重积分。

二重积分的定义为：∫∫_D f(x,y) dxdy根据积分区域的不同，二重积分可以分为两类：第一类是区域 D 由两个相交的曲线围成；第二类是区域 D 由两个平行的曲线围成。

二重积分具有以下性质：1.线性性质：如果 F(x,y) 是由两个函数相加或相乘得到，那么对F(x,y) 进行二重积分，结果等于各个函数二重积分的线性组合。

2.保号性：如果 f(x,y) 在区域 D 上非负，那么∫∫_D f(x,y) dxdy ≥ 0。

二、二重积分的积分次序在计算二重积分时，我们需要按照一定的次序进行积分。

通常的做法是先对 x 进行积分，再对 y 进行积分，即：∫∫_D f(x,y) dxdy = ∫[∫_C f(x,y) dy] dx这里，我们首先对曲线 C1 上的 y 进行积分，然后再对曲线 C2 上的 x 进行积分。

三、交换积分次序的依据在实际计算过程中，我们可以根据需要交换积分次序。

依据是积分的可交换性，即：∫∫_D f(x,y) dxdy = ∫[∫_C f(x,y) dy] dx = ∫[∫_C f(y,x) dx] dy这里，我们对 x 和 y 的积分次序进行了交换。

交换积分次序可以简化计算过程，但需要保证积分区域和被积函数的连续性。

四、实际应用案例二重积分在实际问题中有广泛应用，例如求解几何体的表面积、物体的重心、质心等。

例如，求解一个圆柱体的表面积，我们可以通过计算其侧面积和两个底面积的和得到。

圆柱体的侧面积计算公式为：∫∫_D y dxdy，其中 D 为 [0,2π]×[0,h]。