锐角的三角比

【知识点总结与归纳】1、 锐角的三角比（1） 定义：在直角三角形ABC 中，A ∠为一锐角，则∠A 的正弦=A a sin A=c∠的对边，即斜边∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tanA=A b∠的对边，即∠的邻边∠A 的余切=A a =A b∠的邻边，即cotA ∠的对边注：三角函数值是一个比值．定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角。

若A ∠为一锐角，则sinA,cosA,tanA,cotA 的取值范分别是：0sinA<1,0<cosA<1,tanA>0,cotA>0<。

同一个锐角的正切和余切值互为倒数，即：1tanA cotA=1tanA=cot A或2、 特殊锐角的三角比的值（1） 特殊锐角（30°，45°，60°）的三角比的值锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）已知锐角，求三角比已知锐角的一个三角比，求锐角 直角三角形中的边角关系（三边之间、两锐角之间、一锐角与两边之间） 解直角三角形已知一边和一锐角已知两边解直角三角形的应用（2） 同角，互余的两角多的三角比之间的关系： 倒数关系：1tanA=cot A平方关系：22sin A+cos A=1 积商关系：sin cos tanA=,cot cos sin A AA A A= 余角和余函数的关系：如果090A B ∠+∠=，那么sinA=cosB, tanA=cotB （正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系）。

注意：求锐角三角比的值问题（1） 在直角三角形中，给定两边求锐角的三角比，关键是搞清某锐角的“对边”“邻边”，掌握三角比的定义。

（2） 给出锐角的度数，求这个锐角的三角比特殊锐角，一般情况下，使用精确值；在实际应用中，根据问题要求处理。

求非特殊锐角的三角比的值，使用计算器或查表求值。

《求锐角的三角比的值》讲义一、锐角三角比的定义在直角三角形中，锐角的三角比包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）。

正弦（sin）等于锐角的对边与斜边的比值；余弦（cos）等于锐角的邻边与斜边的比值；正切（tan）等于锐角的对边与邻边的比值。

例如，在一个直角三角形 ABC 中，∠C 为直角，∠A 为锐角，其对边为 a，邻边为 b，斜边为 c。

那么，sin A ＝ a ／ c，cos A ＝ b ／ c，tan A ＝ a ／ b。

二、特殊锐角的三角比值我们先来了解一些特殊锐角（30°、45°、60°）的三角比值，这些是需要大家牢记的。

1、 30°角对于 30°角的直角三角形，假设斜边为 2，对边为 1，根据勾股定理可得邻边为√3。

所以，sin 30°＝ 1 ／ 2，cos 30°＝√3 ／ 2，tan 30°＝√3 ／ 3。

2、 45°角在等腰直角三角形中，两个直角边相等，假设直角边为 1，斜边为√2。

则 sin 45°＝ cos 45°＝√2 ／ 2，tan 45°＝ 1。

3、 60°角与30°角相对应，60°角的直角三角形中，假设斜边为2，邻边为1，对边为√3。

所以，sin 60°＝√3 ／ 2，cos 60°＝ 1 ／ 2，tan 60°＝√3。

三、利用三角函数定义求三角比值当已知直角三角形的边长时，我们可以直接根据三角比的定义来求出相应锐角的三角比值。

例如，在直角三角形中，∠C 为直角，∠A 为锐角，已知∠A 的对边为 4，邻边为 3，斜边为 5。

则 sin A ＝ 4 ／ 5，cos A ＝ 3 ／ 5，tanA ＝ 4 ／ 3。

再比如，一个直角三角形的斜边为 10，一个锐角的对边为 6，那么这个锐角的正弦值就是 6 ／ 10 ＝ 3 ／ 5。

第一节锐角的三角比§25.2求锐角的三角比的值教学目标(1)经历用几何方法探求特殊锐角的三角比的值的过程，掌握特殊锐角的三角比的值。

(2)会利用计算器求锐角的三角比的值，也能根据锐角的三角比的值求锐角的大小。

教学重点让学生经历用几何方法探求特殊锐角的三角比值的过程，掌握特殊锐角的三角比的值。

让学生学会利用计算器求锐角的三角比的值以及根据锐角的三角比的值求锐角的大小。

知识概要1.求特殊锐角的三角比的值，一般步骤是：(1)将直角三角形的某边长设为a，用a的代数式表示其他两边的长；(2)根据三角比的定义求值。

2.3.①如果两角互余，那么其中一个角的正切值(正弦值)与另一个角的余切值(余弦值)相等；②以030角、045角、060角为序，正切值和正弦值从小到大，余切值和余弦值则从大到小；③1=；④2为分母构成的数。

4.利用计算器求三角比的值时，先要选定“角度模式”(DEG)。

如果按MODE键一次屏幕未显示出“Deg Rad Gra”画面，那么反复按MODE键，直到显示为止。

然后按1键，计算器即进入了DEG 模式。

计算器的型号较多，应该参阅其使用说明书进行具体操作。

5.在DEG模式下，根据三角比函数名计算。

如：计算0sin25，按sin 2 5 =屏幕会显示结果。

如要计算余切，利用1cottanαα=求cotα。

如：计算0cot75，依次按1 ÷ tan 7 5 =即可；也可以依次按tan 7 5 =1x-=。

6.当角的大小涉及到“分”和(或)“秒”时，输入“度”“分”和“秒”后，必须按0’”键。

在求0sin2718''时，7.如果一个锐角的三角比的值，这个锐角就是确定的。

如果这个三角比的值不是特殊角的三角比的值，可以利用计算器计算锐角度数的近似值。

如：已知cot 1.3025α=，求锐角α。

可以依次按键： SHIFT tan -1 ( 1 ÷ 1.3025 ) = SHIFT 0’”经典题型解析(一)特殊锐角三角比例1.(1)计算：200020sin 45cos60tan 60cos 30-+⋅。

第六讲 锐角的三角比知识要点：（一）锐角的三角比的定义：在Rt △ABC 中，若∠C =90o ，AB 称作斜边，AC 、BC 称作直角边.其中与∠A 相对的直角边称为∠A 的对边，与∠A 相邻的直角边称为∠A 的邻边. ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c .邻边b对边aA①我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ）.记作tan A .tan A ＝ba=∠∠的邻边的对边A A②我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切(cotangent).记作cot A .cot A ＝的邻边的对边∠∠A A =ba③我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine ）.记作A sin .caA A A =∠∠=斜边的对边sin④我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）.记作A cos .cA A A bcos =∠∠=斜边的邻边（二）特殊角三角比的值：22sin cos 1,tan cot 1αααα+==（三）解直角三角形的定义：由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形. 1.已知Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A=45o ，设BC=a ,根据含45°角的直角三角形三边长之间的关系，求45°角的正切、余切、正弦、余弦值. 解：1, 1,22,222.在直角坐标平面中有一点P （3，4）.求OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切、正弦、和余弦的值.解：作PQ ⊥x 轴于点Q ，则∠OQP =900.由点P 的坐标为（3，4）得OQ =3,QP =4.则OP =5.∴tan α=43=PQ OQ ,sin α=45=PQ OP ,cos α=35=OQ OP . 3.计算：222sin 60cos60tan 604cos45--o oo o解：原式()2231222342⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=-⨯3122322322-==--322=+ 4.在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，3sin 4=A .求：（1）AB 的长 ；（2）sin B 的值.解：（1）在Rt △ABC 中，∠C =90°，∵sin =BC A AB ∴sin =BC AB A 又36,sin ,4==BC A ∴6834==AB(2)由勾股定理，得27=AC ∴277sin ===AC B AB 5. 如图，已知在∆ABC 中，点D 是BC 边上一点，⊥DA AB ，12=AC ， 7=BD ，9=CD . （1）求证：∆ACD ∽∆BCA ；（2）求tan ∠CAD 的值．解：（1）证明：∵7BD =，9CD =，∴16BC =，∵12AC =，∴34CD AC =，34AC BC =，∴CD ACAC BC=，∵C C ∠=∠，∴ACD ∆∽BCA ∆.（2）∵ACD ∆∽BCA ∆，∴CAD B ∠=∠，34AD CD AB AC ==， ∵DA AB ⊥，∴3tan 4AD B AB ==，∴3tan 4CAD ∠=.6.已知：ABC ∆中，090=∠C ，030=∠A ，求015tan 的值。

第一节 锐角的三角比§25.1锐角的三角比的意义教学目标(1)经历锐角三角比的概念的形成过程，获得从实际的数学问题中抽象出数学概念的体验。

(2)掌握锐角的三角比的定义，会根据直角三角形中两边的长求锐角的三角比的值。

(3)了解锐角的三角比的范围。

教学重点让学生经历锐角的正切概念的形成过程，掌握正切、余切的定义。

引进锐角的正弦和余弦，帮助学生掌握正弦和余弦的定义，了解三角比的含义和符号表示。

知识概要1.直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的长度的比值随着这个锐角大小的变化而变化。

锐角的大小确定，则对边与邻边的比值唯一确定。

2.我们把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切。

锐角A 的正切记作tan A ， tan =A BC a A A AC b==锐角的对边锐角的邻边。

注：在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠的对边通常分别用,,a b c 表示。

在Rt ABC ∆中，090C ∠=，直角边BC 和AC 分别叫做A ∠的对边和邻边。

3.我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切。

锐角A 的余切记作cot A ， cot =A AC b A A BC a ==锐角的邻边锐角的对边。

根据正切与余切的意义，可以得到 1tan cot A A =。

在Rt ABC ∆中，090C ∠=，可知090A B ∠+∠=，cot tan B A =。

4.如果直角三角形的一个锐角是确定的，那么它的对边或邻边与斜边的比也是确定的。

我们定义： 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦。

直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦。

在Rt ABC ∆中，090C ∠=，锐角A 的正弦记作sin A ，这时 sin =A BC a A A AB c ==锐角的对边锐角的邻边； 锐角A 的余弦记作cos A ，这时 cos =A AC b A A AB c ==锐角的邻边锐角的邻边。

锐角三角比复习1.定义：①正弦（sin）等于对边比斜边；②余弦（cos）等于邻边比斜边；③正切（tan）等于对边比邻边；④余切（cot）等于邻边比对边。

•注意：若角的大小不变，无论角所对的边如何变化，角的三角比恒不变。

2.关系：①锐角三角比中，tanA＞0，cotA＞0，0＜sinA＜1，0＜cosA＜1②在同一个三角形中，∠C=90°，∠A+∠B=90°,tanA=cotB，sinA=cosB③tanA×cotA=1，sinA²+cosA²=1，tanA= sinA／cosA，cotA= cosA／sinA④tanA＞sinA，cotA＞cosA，（锐角）∠A=∠B→sinA=sinB⑤sin(90°-α)=cosα，cos(90°-α)=sinα；tan(90°-α)=cotα，cot(90°-α)=tanα3.特殊锐角三角比的值：4.锐角三角函数值的变化情况：①锐角三角函数值都是正值②当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

③当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0。

当角度在0°<∠A<90°间变化时，tanA＞0, cotA＞0。

5.解直角三角形：①直角三角形中六个元素：三角三边。

②直角三角形可解条件：⑴已知：一角一边（除直角以外）⑵已知：两边（除直角以外）③直角三角形中边的关系：a²+b²=c²·注意：若已知的一个三角形不是直角三角形，则通常由已知元素来构造直角三角形，把它划归为解直角三角形。

【知识点总结与归纳】1、锐角的三角比（1）定义：在直角三角形ABC中，A∠为一锐角，则∠A的正弦=A asin A=c∠的对边，即斜边∠A的余弦=A bcos A=c∠的邻边，即斜边,∠A的正切=A atanA=A b∠的对边，即∠的邻边∠A的余切=A a=A b∠的邻边，即cotA∠的对边注：三角函数值是一个比值．定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角。

若A∠为一锐角，则sinA,cosA,tanA,cotA的取值范分别是：0sinA<1,0<cosA<1,tanA>0,cotA>0<。

同一个锐角的正切和余切值互为倒数，即：1tanA cotA=1tanA=cot A或2、特殊锐角的三角比的值（1）特殊锐角（30°，45°，60°）的三角比的值锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）已知锐角，求三角比已知锐角的一个三角比，求锐角直角三角形中的边角关系（三边之间、两锐角之间、一锐角与两边之间）解直角三角形已知一边和一锐角已知两边解直角三角形的应用（2） 同角，互余的两角多的三角比之间的关系： 倒数关系：1tanA=cot A平方关系：22sin A+cos A=1 积商关系：sin cos tanA=,cot cos sin A AA A A=余角和余函数的关系：如果090A B ∠+∠=，那么sinA=cosB, tanA=cotB （正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系）。

注意：求锐角三角比的值问题（1） 在直角三角形中，给定两边求锐角的三角比，关键是搞清某锐角的“对边”“邻边”，掌握三角比的定义。

（2） 给出锐角的度数，求这个锐角的三角比特殊锐角，一般情况下，使用精确值；在实际应用中，根据问题要求处理。

求非特殊锐角的三角比的值，使用计算器或查表求值。

（3） 当锐角不是直角三角形的内角，首先观察有否相等的锐角可代换，而且可代换的锐角含在某直角三角形中，如果没有可代换的相等的锐角，可作适当的垂线构建含有这个锐角的直角三角形。

锐角三角比公式锐角三角比1. 什么是锐角三角比锐角三角比是三角函数中的一个概念，用于描述一个锐角的正弦、余弦和正切值。

在数学中，锐角是指小于90度的角。

锐角三角比可以帮助我们计算和描述锐角的各种属性。

2. 锐角三角比的相关公式下面是锐角三角比的几个常用公式：正弦（Sine）正弦值表示一个角度的对边与斜边的比值：sin(A) = 对边 / 斜边余弦（Cosine）余弦值表示一个角度的邻边与斜边的比值：cos(A) = 邻边 / 斜边正切（Tangent）正切值表示一个角度的对边与邻边的比值：tan(A) = 对边 / 邻边3. 示例解释为了更好地理解锐角三角比的概念和应用，我们来看几个示例。

示例 1假设有一个锐角三角形，其中角A的对边长度为5，邻边长度为12，斜边长度为13。

我们可以利用正弦、余弦和正切公式来计算角A 的锐角三角比值：sin(A) = 5 / 13 ≈cos(A) = 12 / 13 ≈tan(A) = 5 / 12 ≈示例 2现在假设有一个锐角三角形，其中角B的对边长度为7，邻边长度为24，斜边长度为25。

我们可以同样利用锐角三角比公式计算角B 的值：sin(B) = 7 / 25 =cos(B) = 24 / 25 =tan(B) = 7 / 24 ≈通过以上示例，我们可以看到锐角三角比可以帮助我们计算角度的各种属性，如角度的正弦、余弦和正切值。

这些值在许多数学和科学领域中都有广泛的应用，如物理、工程、地理等。

总结本文介绍了锐角三角比的概念和相关公式，并通过示例解释了如何计算锐角的正弦、余弦和正切值。

锐角三角比在数学中具有重要的应用价值，它可以帮助我们计算和描述锐角的各种属性。

在实际问题中，了解锐角三角比可以帮助我们更好地理解和解决各种角度相关的计算和测量问题。

锐角三角比：知识点一：锐角三角比的定义： 一、 锐角三角比定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA=∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角比 2、取值范围 <sinA< cosA< tanA> 】 例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．第1题图①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______；②斜边)(cos =A ＝______，斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=＝______．例2. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．例题：类型一：直角三角形求值1．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．2．如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求AB 及OC 的长．3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．4. 已知A ∠是锐角，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值针对训练：1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为A ．55 B ．255 C ．12D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=53，那么tan A 的值等于（ ）.A ．35B . 45C . 34D . 43类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2．如图，直径为10的⊙A经过点(05)C，和点(00)O，，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（）A．12B．32C．35D．453.如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sinα=．4.如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，3sin5A=，则这个菱形的面积= cm2．5.如图，O⊙是ABC△的外接圆，AD是O⊙的直径，若O⊙的半径为32，2AC=，则sin B的值是（）A．23B．32C．34D．436. 如图6，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知8AB=，10BC=，AB=8,则tan EFC∠的值为 ( )Ａ．34Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．457. 如图7，在等腰直角三角形ABC∆中，90C∠=︒，6AC=，D为AC上一点，若1tan5DBA∠=，则AD 的长为( )A．2 B．2 C．1 D．228. 如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=3316求∠B的度数及边BC、AB的长.DCBAOyx第8题图A DECBFDABC类型三. 化斜三角形为直角三角形例1 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．例2．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABC的值．针对训练1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sin B．3. ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是A.23 cm 2 .43 cm 2 C.63 cm 2 D.12 cm 2类型四：利用网格构造直角三角形例1 如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12 B ．55 C ．1010D ．255对应练习：1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.2．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为 A.41 B. 31 C.21D. 13．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）A ．5 5 B. 2 5 5 C.12D. 2 特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而 例1．求下列各式的值． 1）.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2． 2）计算：︒-︒+︒30cos 245sin60tan 2.锐角α 30° 45° 60° sin α cos α tan αCBAABO3）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°4．计算：30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+．5．计算： tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒；家庭作业：1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．5.如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan 2B =，43AC =．求AB 的长.签字确认 学员 教师 班主任DCBAACB。

初中数学：锐角的三角比知识清单1.锐角的三角比定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比.正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即tan A A A ∠=∠的对边的邻边；余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即cot A A A ∠=∠的邻边的对边；正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即sin A A ∠=的对边斜边；余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即cos A A ∠=的邻边斜边；2.性质①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小；②若90A B ∠+∠=︒，则tan ;cot cos sin B B A A ==；③1tan cot A A ⋅=.3.特殊角的三角比30α=︒60α=︒45α=︒tan α3331cot α3331sin α123222cos α3312224.锐角的三角比.⎧⎨⎩已知锐角，求三角比；已知锐角的三角比，求锐角1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程.2.直角三角形的边角关系（ABC ∆中，90C ∠=︒）222;90;tan ;cot ;sin .a b c A B a b a b A A A A b a c c ⎧⎪+=⎪∠+∠=︒⎨⎪⎪====⎩①三边关系：②锐角关系：③边角关系：3.解直角三角形的应用（1）仰角与俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；（2）坡度：坡面的铅垂高度h和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度，记作i ，即hi l=；坡度表示形式：1:i m =.坡面与水平面的夹角叫坡角，记为α；坡度i 与坡角α的关系：tan hi l==α一、锐角的三角比1．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠= ，直角边BC 和AC 分别叫做A ∠的对边和邻边．2．（1）直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦．===A BC a sinA AB c角的斜锐对边边．（2）直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦．===A AC b cosA AB c角的斜锐邻边边．（3）直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切．===A BC a tanA A AC b角的角的锐对边锐邻边．（4）直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切．===A AC bcotA A BC a角的角的锐邻边锐对边．【记忆技巧】正（正对）弦（斜边）：对边比斜边；余（余邻—“鱼鳞”）弦（斜边）：邻边比斜边．二、特殊角的三角比1．特殊角的锐角三角比：【记忆技巧】1．图形推导法2．表格记忆法α30°45°60°sin α122232cos α322212tan α3313cot α3133α30°45°60°sin α122232cos α322212tan α3313cot α3133三、解直角三角形1．在直角三角形中，由已知元素求未知元的过程叫做解直角三角形．2．在Rt △ABC 中，C ∠=90°，则它的三条边和两个锐角这五个元素间有以下关系：（1）锐角之间的关系：=A B ∠+∠90°；（2）三边之间的关系：222a b c +=；（3）边角之间的关系：A sinA ∠=的斜对边边；A cosA ∠=的斜邻边边；A tanA A ∠=∠的的对边邻边；A cotA A ∠=∠的的邻边对边．3．解直角三角形的类型与解法：类型一︰已知一边一角（角为两锐角之一）类型二︰已知两边（两直角边或一条直角边与斜边）四、解直角三角形的应用1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线.2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线.3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.4．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平宽度(l )的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=.坡度通常写成1:m 的形式，如i =1︰1.5．5．坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i 与坡角α之间的关系:hi tan lα==.1．方向角：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的小于90°的角，通常表达成北（南）偏东（西）*度.若正好为45°，则表示为西（东）南（北）方向.2．方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角.方位角θ的取值范围为0360θ≤< .。

锐角三角比第一节 锐角的三角比1．锐角的三角比的定义如图 ，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，锐角A 的四个三角比为： tanA ＝b aAC BC A A ==∠∠的邻边的对边cotA ＝abBC AC A A ==∠∠的对边的邻边sinA ＝c aAB BC A ==∠斜边的对边cosA ＝cbAB AC A ==∠斜边的邻边2．三角比的值（1）特殊角的三角比的值（30°、45°、60°）（2）锐角α三角比的值都是正数，并且有0＜sin α＜1，0＜cos α＜1 （3）同角三角比的关系：AA cot 1tan =（4）互余两角的三角比的关系：tan （90°—A ）= cotA ，sin （90°—A ）= cosA 注意点：1、要熟记30°、45°、60°等特殊角的三角比值；2、会使用计算器求锐角的三角比的值；3、要善于运用锐角三角比的定义求出锐角的三角比或边长，当所给的图形中没有直角三角形，会构造直角三角形；当图形较复杂，求一个角的三角比不方便时，会分析图形、条件，观察图形中是否有与所求角相等的角，然后转化成求另一个角的三角比． 例题精讲[例题1] 如图24—1，在△PQR 中，∠R =90°,tan P =3，RQ =12．求QR 和sin Q 的值．[例题分析]由已知在直角三角形中一个角的正切和一条直角边， 就可直接运用三角比的定义求出另一条直角边，再由勾股定理， 求出斜边，然后求出锐角的正弦或余弦．[解题过程] 在△PQR 中，∠R =90°,tan P =3，∴312==PRPR RQ ，∴4=PR 又∵222RQ PR PQ +=，∴5=PQ ∴53sin ==PQ PR Q [例题2] 如图24—2，在直角坐标平面内有一点),2(b A )0(>b ．OA 与x 轴正半轴的┒R P Q 图24—1CAB夹角为α．（1）用含α的式子表示b ． （2）用含b 的式子表示αcos ．[例题分析]轴的距离有关，所以，只要过点A 作x 轴的垂线，就 可构造直角三角形，再运用三角比求解．[解题过程]（1） 过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则 ∠ACO =90°，∠AOC =α，由点),2(b A )0(>b ，得,,2b AC OC ==∴OCAC=αtan ，∴αtan 2=b ． （2）∵22224b AC OC AO +=+=，∴42+=b AO∴44242cos 222++=+==b b b AO OC α． [例题3] 如图24—3，在△ABC 中，∠C =90°，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点D ，AC =5，BC =12. 求sin ∠ADE 的值．[例题分析]要求sin ∠ADE 的值，由正弦的定义即要求出AD DE的值，由于点D 、E 不确定，无法求DE 、AD 的值， 从题中的信息可以证明△ADE ∽△ABC ，得AB AC AD DE = 并可求ABAC 的值，但比较复杂，由于∠ADE 与∠B 都是∠A 的余角，所以∠ADE =∠B ，那么求sin ∠ADE 的值就转化为求sin ∠B 的值．[解题过程]∵ DE ⊥AB ∴∠AED =90°，又∠C =90°， ∴∠ADE =90°-∠A ==∠B在△ABC 中，∠C =90°， AC =5，BC =12，∴169222=+=BC AC AB ∴13=AB∴135sin ==∠AB AC B ∴sin ∠ADE =135． 锐角三角比的意义练习1．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 5，则tan A = ，cot A = ． 2．在Rt △MNP 中，∠P =90°,MP =10,52cot =N ，那么NP = ，MN = ．3．如图24—4，在△PQR 中，∠R =90°,点M 在边PR 上． 设∠P =β，∠QMR =α，QR =a ．用含a 和α、β的式子表示PM 的长．图24—2┒EC B A 图24—3DβαMRQP图24—44．如图24—5，在△ABC 中，∠ACB =90°,AC =6，AB =10，CD ⊥AB ,垂足为点D . 求(1) tan A ；(2)cot ∠ACD ．5．在Rt △ABC 中，∠C =90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列关系中，正确的是（ ） (A)c b A =sin ； (B)a c B =cos ； (C) b a A =tan ； (D)ab B =cot ． 6．如果Rt △ABC 中，∠C =90°,各边的长都扩大到原来的2倍，那么锐角A 的各三角比的值（ ）(A)都扩大到原来的2倍； (B)都缩小到原来的2倍； (C)没有变化； (D) 不能确定． 7．在Rt △SQR 中，∠R =90°，如果tanS ＝512 ，那么sinQ 的值等于（ ）(A)135； (B) 1312 ； (C) 125 ； (D) 512 ． 8．在直角坐标平面内有一点)4,(a P )0(>a ．OP 与x 轴正半轴的夹角为α． （1）用含α的式子表示a ．（2）用含a 的式子表示αsin ．9．若3tan α=3，则锐角α = 度． 10．求下列各式的值：（1）3cot60°－tan45°＋2sin45°－2cos30°；（2）0060cos 160sin 30tan -+．第二节 解直角三角形解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量．1．明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的．因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础．2．解直角三角形的基本类型和方法事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此时直角三角形┒DC A 图24—5是确定的，所以这样的直角三角形是可解的．解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。

锐角三角比复习【知识点】1. 锐角的三角比的定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比。

在Rt △ABC 中，∠C=90°，1）锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切. tanA ＝ba=∠∠的邻边的对边A A2）锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切. cotA ＝A A ∠=∠的的b a 3）锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦. sinA ＝c a =∠∠的斜边的对边A A ；4）锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余弦. cosA ＝c b =∠∠的斜边的邻边A A ；2. 锐角的三角比的性质1）当锐角A 的度数一定时，不管锐角A 在什么形状的三角形中，∠A 的三角比是一个固定值.2）若90A B ∠+∠= ,则有tanA =cotB ，tanB=cotA ， sin A =cos B ，sin B =cos A ; 3）22sin cos 1A A += tanA ·cotA=1 4）sin tan cos A A A=5）0<sinA<1 0<cosA<14、定义：我们把由已知元素求出所有末知元素的过程，叫做解直角三角形 直角三角形的边与角之间的关系(1)两锐角互余∠A ＋∠B ＝90°；(2)三边满足勾股定理a 2＋b 2＝c 2； (3)边与角关系 sinA ＝cosB ＝a c ，cosA ＝sinB ＝bc，tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝ba.A CD B第4题5. 在测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.6. 坡面的铅垂高度（h ）和水平宽度（L ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即i=Lh .（坡度通常写成1:m 的形式，如i=1∶1.5）坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α. 坡度i 与坡角α之间的关系: i=Lh =tan α.【实战演练】 一、填空题1.如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =30°，∠C =60°，AD =4，AB =，则下底BC 的长为 __________．60°30°D CBA2. 已知α为锐角,且21tan =α,则=αcot 3. 如图，在直角坐标平面内有一点)4,3(P ,那么OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值为_____4．如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，D 为垂足，若5,3==AB AC ，则cot ACD ∠= ．5.在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠B ＝θ，AC ＝b ，则BC ＝ （用b 和θ的表示）斜坡的坡比是1:1，则坡角=_______度 3、斜坡的坡角是60度，则坡比是_______4、斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______5、斜坡的坡度是1:3，斜坡长100米，则斜坡高为_______米水平线视线视线︶仰角︶俯角铅垂线α（=:ihl坡度=t an αhl如图，B A C ∠位于66⨯的方格纸中，则tan B A C ∠＝ .8．（2010江苏宿迁）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°， AM 是BC 边上的中线，53sin =∠CAM ，则B ∠tan 的值为 ▲ ．在7,35,90,==∠=∠∆AB B C ABC Rt 中，则BC 的长为 （ ）（A ） 35sin 7 （B ）35cos 7（C ） 35cos 7（D ）． 35tan 7如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD=CD 54cos =∠DCA ，BC=10，则AB的值是（ ）A ．9B ．8C ．6D ．315．（2010 山东东营）如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于（ ）(A) m ·sin α米 (B) m ·tan α米(C) m ·cos α米 (D)αtan m 米ABCmα(第8题图)第13题图ABC在 90,=∠∆C ABC Rt 中，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A 的正弦值 （ ）A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．扩大4倍D ．不变如图４，已知AD 是等腰△ABC 底边上的高，且tan ∠B=43,AC 上有一点E ，满足AE :CE=2:3则tan ∠ADE 的值是（ ） A ．53 B ．98 C ．54 Ｄ．97三、简答1、求下列各式的值：(1)sin30°+cos30° (2)sin30°·sin45° (3)tan60°+2sin45°-2cos30° (4)︒+︒-︒45tan 30cos 2330sin 2(5)︒∙︒+︒+︒︒+︒60cot 60tan 30cos 30cot 45sin 30sin 22（6）(cos60°)2 +(cos45°)2 +sin30°sin45°（7）（8）8)30tan 60(cos 2+︒-︒+-（9）2)145(sin 230tan 3121-︒+︒--（10）20113015(1)()(cos 68)8sin 602π---+++． 2、在Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=300，a=8，求这个直角三角形的其它边和角3.在Rt △ABC 中，∠C=900，c=43，a=2，解这个直角三角形.4. 在Rt △ABC 中，∠C=90°：（1）已知a=4，b=8，求c ．（2）已知b=10，∠B=60°，求a ，c ．（3）已知c=20，∠A=60°，求a ，b ．.在直角坐标平面中，直线343+=x y 交x 轴于A ，交y 轴于B ，求∠ABO 的正切值.在ABC ∆中，AD 是BC 上的高，︒=∠30C ，21tan =B ,324+=BC ，求AD 的长.如图(图中单位:米),一段铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD,路基顶宽BC 为2.8米,路基高为1.2米,斜坡AB 的坡度i=1:1.6.(1)计算路基的下底宽(精确到0.1米); (2)求坡角的正弦有一段防洪大堤, 其横断面为梯形ABCD,AB ∥CD, 斜坡AD 的坡度i 1=1∶1.2,斜坡BC 的坡度i 2=1∶0.8, 大堤顶宽DC 为6米, 为了增强抗洪能力, 现将大堤加高, 加高部分的横断面为梯形DCFE, EF ∥DC, 点E 、F 分别在AD 、BC 的延长线上（如图）.当新大堤顶宽EF 为3.8米时,大堤加高了几米?ABD1．如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC 等于6米，背水坡AB 的坡度i=1：2，则斜坡AB 的长为_______米（精确到0.1米）．2．如图，小山的顶部是一块平地，•在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度i=1，斜坡BD 的长是50米，•在山坡的坡底处测得铁架顶端A 的仰角为45°，在山坡的坡项D 处测得铁架顶端A 的仰角为60°．（1）求小山的高度；（2）求铁架的高度．1.73，精确到0.1米） 如图,ABC ∆中，BCP AC PC ∠⊥,的正切值为13，P 是AB 的中点，则=A sin ；7、已知ABC ∆中，20=AB ，15=AC ，且=B sin 53，则=BC ；8、在ABC ∆中，AC AB =，AC BD ⊥于D ，=∠DBC sin 72，求AC BC :的值；9、一轮船在海上以每小时30海里的速度向正西方向航行。

学科导学案教师:学生:年级：日期: 星期:时段:学情分析课题锐角的三角比学习目标与考点分析理解在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的长度的比值随着这个锐角的角度的变化而变化；理解直角三角形中锐角的正切、余切；会求直角三角形中锐角的正切、余切值。

经历用几何方法探求特殊锐角的三角比的值的过程,掌握特殊锐角的三角比的值.能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式.学习重点直角三角形中锐角的正切、余切的理解并会求值，特殊锐角的三角比的值的运用，特殊锐角的三角比的规律。

学习方法学习内容与过程DBC C ’ A 锐角的三角比的意义一、 情景引入操场里有一旗杆，老师让小明去测量旗杆的高度.（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了.你想知道小明怎样算出的吗？1.观察(1)在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o，BC=35m,求CB .(2) Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o，计算∠A 的对边与邻边比.2.思考通过上面的计算，你能得到什么结论？[说明] 在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比值都等于33；在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比值都等于1. 3．讨论一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个定值？ 二、学习新课 1．概念辨析如图：Rt △ABC 与Rt △A’B’C’，∠C=∠D C’A =90°，∠A=α，那么CA BC 与AC DC ''有什么关系?结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值.如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切.记作tanA.tanA ＝b a=∠∠的邻边的对边A A在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切.记作cotA.cotA ＝A A ∠=∠的的ba2．例题分析例题1. 在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，AC=3,BC=2,求tanA 和tanB 的值. 解：在Rt ⊿ABC 中，∵AC=3,BC=2B∴tanA=32=AC BC tanB=23=BC AC .例题2.在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，BC=4，AB=5，求cotA 和cotB 的值. 解：在Rt ⊿ABC 中，由勾股定理得AB 2=AC 2+BC 2∵BC=4,AB=5, ∴AC=3452222=-=-BC AB .∴cotA=43=BC AC cotB=34=AC BC .3．问题拓展在上题中，在同一个直角三角形中，∠A 的正切和余切有怎样的数量关系？∠B 是∠A 的余角，那么它们的正切、余切值之间有怎样的数量关系？ [说明]在Rt ⊿ABC 中，∠A+∠B=90°：则有 tanA ·cotA=1 tanA=B cot 1tanB=Acot 14、如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c.在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦.记作sinA. sinA ＝ca=∠∠的斜边的对边A A ；在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余弦.记作cosA.AB C1231 2 3 4 XYPQcosA ＝cb=∠∠的斜边的邻边A A ；5．例题分析例题 1（1）如图, 在中，,,,求sinB ，cosB 的值.解：在中 22BC AB AC -=∵AB=6， BC=3 ∴AC=36-=3sinB=2163==AB AC =22； cosB=222163===AB BC . （2）在Rt △ABC 中, ∠C=90°,BC=6,sinA=53,求cosA 和tanB 的值. 解: ,.又,.例题2. 在直角坐标平面中有一点P （3，4）.求OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切、正弦、和余弦的值. 解：过点P 向x 轴引垂线，垂足为点Q ，则∠OPQ=900.由点P 的坐标为（3，4）得OQ=3,QP=4.在Rt ⊿OPQ 中，OP=.5432222=+=+PQ OQ∴tan α=34=OQ PQ , sin α=54=OP PQ cos α=53=OP OQ .课内练习与训练一、选择题1．在ABC Rt ∆中，∠090=C ，2=AB ，1=AC ，则B sin 的值是（ ）（A ）21； （B ）22； （C ）23； （D ）2. 2．如果ABC Rt ∆中各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角∠A 的三角比的值（ ） （A ） 都扩大到原来的2倍； （B ） 都缩小到原来的一半； （C ） 没有变化； （D ） 不能确定.3．等腰三角形的底边长10cm ，周长36cm ，则底角的余弦值为……（ ）(A )125； (B )512； (C )135； (D )1312. 4．在ABC Rt ∆中，∠︒=90C ，31sin =B ，则A tan 的值为……（ ）（A ）113； （B ）33； （C ）22； （D ）31010. 5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 的对边为a ，已知∠A 和边a ，求边c ，则下列关系中正确的是…………………………………………………………………( ) （A ）A a c sin =； （B ）A a c sin =； （C ）a=b ⋅tan A ； （D ）Aac cos =． 6．在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B ，则这个三角形一定是……（ ）（A ）锐角三角形; （B ） 直角三角形; （C ）钝角三角形; （C ）等腰三角形.二、填空题7．在Rt ΔABC 中，∠︒=90C , 若AB =5,BC =3,，则A sin = ，=A cos ，=A tan ，8．在ABC Rt ∆中，∠︒=90C ，∠A =30°，AC =3,则BC = .9. 在△ABC 中，∠C =90°，52sin =A ，则sinB 的值是________. 10．有一个坡角，坡度3:1=i ，则坡角=α 11．在ABC Rt ∆中，∠090=C ,21cos =A ,则∠=B . 12．已知P （2，3），OP 与x 轴所夹锐角为α，则tan α=_______ .13．如图，∆ABC 中，∠ACB =90︒，CD 是斜边上的高，若AC =8，AB =10，tan ∠BCD =___________. 14．如图，若人在离塔BC 塔底B 的200米远的A 地测得塔顶B 的仰角是30︒， 则塔高BC =___ ___（米精确到1.0,732.13≈）6m 15m 18题图CABD15．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：3的坡面向上前进了10m ，此时小球距离地面的高度为_________m .16．一个楼梯的面与地面所成的坡角是30︒，两层楼之间的层高3米，若在楼梯上铺地毯，地毯的长度是 米（3=1.732，精确到0.1米）.17．如图，已知正方形ABCD 的边长为1．如果将对角线BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D '点处，联结D A '，那么cot ∠BAD /__________．18．矩形一边长为5，两对角线夹角为60°，则对角线长为 .三、解答题19．计算： ︒-︒︒+︒60tan 45cot 30cot 45tan .20．已知直线443y x =+交x 轴于A ，交y 轴于B ，求∠ABO 的正弦值．21．如图，将正方形ABCD 的边BC 延长到点E ，使CE=AC ，AE 与CD 相交于点F . 求∠E 的余切值._ C_ A14题图B15题图13题图_D ' A D C B 17题图FD A四、解答题22．某人要测河对岸的树高，在河边A 处测得树顶仰角是60︒，然后沿与河垂直的方向后退10米到Ｂ处，再测仰角是30︒，求河对岸的树高。

第10讲锐角的三角比的意义知识框架锐角的三角比的意义是九年级数学上学期第二章第一节的内容．锐角三角比的概念是以相似三角形为基础建立起来的，本讲主要讲解锐角的正切和余切、正弦和余弦的概念，重点是会根据直角三角形中两边的长求相应的锐角的三角比的值，难点是在几何图形和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，为解直角三角形做好准备．10.1 正切和余切1.正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A．tanA BC aAA AC b===锐角的对边锐角的邻边．2.余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A 的余切记作cot A．cotA AC bAA BC a===锐角的邻边锐角的对边．例1. 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，A ∠的对边是______，A ∠的邻边是______，B ∠的对边是______，B ∠的邻边是______．例1题图 例2题图 例2. 如图，在Rt MNP ∆中，90MPN ∠=︒，PQ MN ⊥，垂足为点Q ．（1）在Rt MNP ∆中，M ∠的对边是______，M ∠的邻边是______； （2）在Rt MPQ ∆中，M ∠的对边是______，M ∠的邻边是______．（3）在Rt ∆____中，N ∠的对边是MP ；在Rt ∆____中，N ∠的邻边是NQ ． （4）MPQ ∠的邻边是______，NPQ ∠的对边是______． （5）()()tan NPM MQ==． （6）PQ QN =______，=MPPN______．（用正切或余切表示） 例3. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 4，BC = 5，求tan A 、cot A 、tan B 、cot B 的值．例4. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 4，AB = 5，求tan A 、cot A 、tan B 、cot B 的值．例5.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知OA = 2，AB = 3，求tan OAD∠和cot ODC∠的值．例6.如图，已知正比例函数y=的图像上有一动点A，x轴上有一动点B，求tan AOB∠和cot AOB∠的值．例7.已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，BC = 9，tan A = 34．求：（1）AB的长；（2）tan B的值．10.2 正弦和余弦1.正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A．sinA BC aAAB c===锐角的对边斜边．2.余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A．cosA AC bAAB c===锐角的邻边斜边．例1.如图，在Rt MNP∆中，90MPN∠=︒，PQ MN⊥，垂足为点Q．（1）()() sinNPMMP==．（2）PQPN=______，=MQMP______．（用正弦或余弦表示）例2.在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AC = 4，AB = 5，求sin A，cos A，sin B，cos B的值．例3.在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AC = 4，BC = 5，求sin A，cos A，sin B，cos B的值．例4.如图，在直角坐标平面内有一点P（2，3）．求OP与x轴正半轴的夹角α的正弦和余弦的值．例5.已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，BC = 9，sin A =34．求：（1）AB的长；（2）sin B的值．例6.已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，sin A =23，求sin B的值．10.3 锐角的三角比1.锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比．例1.如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AB = 5，BC = 4，求A∠的四个三角比的值．例2.在Rt ABC∆中，90C∠=︒，BC = 3，tan A =34，求B∠的四个三角比的值．例3.在Rt ABC∆中，90C∠=︒，sin B =34，求sin A、cos A、tan A和cot A．例4.在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AB = 13，BC = 12，AC = 5，求sin A、cos A、tan A和cot A．例5.已知等腰ABC∆中，底边BC = 20 cm，面积为40 cm2，求sin B和tan C．例6.如图，在Rt ABC∆中，90ABC∠=︒，BD⊥AC，若AB = 9，BC = 12，求sin A、cosα、tanβ、cot C的值．例7. 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在边BC 上，AD = BD = 5，4sin 5ADC ∠=， 求cos ABC ∠和tan ABC ∠的值．例8. 在直角坐标平面内有一点A （3，1），点A 与原点O 的连线与x 轴正半轴的夹角为α，求sin α、cos α、tan α和cot α．例9. 已知一次函数y = 2x -1与x 轴所夹的锐角为α，求tan α和sin α的值．xx例10. 如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 的坐标为（10，0），点B 在第一象限内，BO = 5，3sin 5BOA ∠=．求：（1）点B 的坐标；（2）cos BAO ∠的值．例11. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将ABC ∆如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE ，求sin CBE ∠的值．例12. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB = 10，B ∠为锐角，sin B =45，1tan 2ACB ∠=，求AD 、AC 的长．x例13. 如图，在ABC ∆中，AB = 20，BC = 21，AC = 13，求ACB ∠的四个三角比的值．\例14. 已知ABC ∆中，sin A = 513，tan B = 2，且AB = 29．求ABC ∆的面积．例15. 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥AD ，对角线AC 、BD 相交于点E ，BD ⊥CD ，AB = 12，4cot 3ADB ∠=，求：（1）DBC ∠的余弦值；（2）DE 的长．例16. 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，DCB α∠=，若AD : BC = 16 : 15，求sin α、cot α的值．例17. 如图，在ABC ∆中，45ABC ∠=︒，3sin 5A =，AB = 14，BD 是AC 边上的中线．求： （1）ABC ∆的面积；（2）ABD ∠的余切值．例18. 如图，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，已知A （1，0），B （0，3），M 为BC 中点，求tan MOA ∠．x10.4 课堂检测1.已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AB = 5，AC = 4．则：（1）sin A = ______，cos A = ______，tan A = ______，cot A = ______；（2）sin B = ______，cos B = ______，tan B= ______，cot B = ______．2.在Rt ABC∆中，90C∠=︒，BC = 3，cos A =25，则AB = ______．3.已知90A B∠+∠=︒，则sin A – cos B的值为______．4.如图，在ABC∆中，AB = BC = 20，AC=sin A和tan A的值．5.如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，CD⊥AB于D．已知AC = 8，BC = 15．求DCA∠的三角比．6.如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，sin A = 23，点D、E分别在边AB、AC上，DE⊥AC，DE = 2，DB = 9，求DC的长．7.已知，锐角α的顶点在坐标原点，一边与x轴正半轴重合，另一边经过点P（1）．求α的三角比．8.已知一次函数y = 43x – 4的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点，P是线段AB的中点，求sin POB∠的值．9.ABC∆中，90ACB∠=︒，CD⊥AB于点D，DCAα∠=，AD : BC = 7 : 12，求sinα、tanα的值．10. 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AD = AB = CD = 4，1cos 4C ∠=． （1）求BC 的长； （2）求tan ADB ∠的值．10.5 课后作业1. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠的对边是a 、b ，则ba（ ）（A ）A ∠的正弦值； （B ）B ∠的余弦值； （C ）A ∠的余切值； （D ）B ∠的余切值．2. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = c ，AC = b ，BC = a ，则下列关系不成立的是（）（A ）b = c ·cos A ； （B ）a = b ·tan B ； （C ）c =cos aB；（D ）tan A ·tan B = 1．3.已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AB = 16，cos A =34．求：（1）AC的长；（2）tan B的值．4.已知ABC∆的三边a、b、c满足a : b : c = 5 : 12 : 13，则sin A + cos A =______．5.若α是锐角，且1cot3α=，则()cos90α︒-=______．6.已知ABC∆中，BC = 10，cos C =18，AC = 8．求AB的长和B∠的正切值．7.如图，在ABC∆中，AB = BC = 10，AC=sin B和tan B的值．8.如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AC = 8，BC = 6，CD是斜边AB上的高．若点E在线段DB上，联结CE，24sin25AEC∠=．求CE的长．9. 已知ABC ∆中，C ∠是锐角，BC = a ，AC = b ．求证：1sin 2ABC S ab C ∆=．10. 已知，在平面直角坐标系内有A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（2，1），点B 的坐标为（1，4），点C 的坐标为（8，3），求sin ACB ∠和tan ABC ∠的值．。

一、知识点回顾1、 锐角的三角比（1） 定义：在直角三角形ABC 中，A ∠为一锐角，则sin cos tan cot A A A A ====2、 特殊锐角的三角比的值（1） 特殊锐角（30°，45°，60°）的三角比的值（2） 同角，互余的两角多的三角比之间的关系：倒数关系： 平方关系： 积商关系：余角和余函数的关系： 3、 解直角三角形（1） 在直角三角形中，除直角外，还有5个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知两个元素（其中至少含有一条边），求出其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

（2） 解直角三角形常用到的关系：锐角关系：090A B ∠+∠=，三边关系：勾股定理：222a b c +=边角关系：sinA=,cos ,tan ,cot sinB=,cos ,tan ,cot a b a b A A A c c b ab a b a B B Bc c a b ⎧===⎪⎪⎨⎪===⎪⎩直角三角形的面积：111sin 222S ch ab ab C ∆=== 4、 解直角三角形的应用（1） 仰角和俯角 （2） 坡角和坡度 （3） 方向角二、例题分析与练习 例1、计算：022)60tan (945sin 230cot )45(cos 60sin )31(︒--︒⋅︒-︒⋅︒+--π练习：1、求值：222cos 30sin 304cot 45cos 45tan 604sin 45︒-︒-︒⋅︒︒-︒2、求值：︒︒-︒⋅︒+︒30cot )45cot 21(60cos 30tan 360sin例2、如图，矩形ABCD 中，AB=3 , 53sin =∠ACB ，E 为 BC 边上一点，将△ABE 沿AE 翻折，使点B 恰好落在对角线AC 上，记作B′. （1）求BE 的长；（2）连接DB′，求co t ∠B ’DC 的值.A DB′B E C练习：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°， A AC=BC ，P 是△ABC 内一点，且∠APB=∠APC=135°.（1） 求证：△CPA ∽△APB ； P （2） 试求tan ∠PCB 的值.C B例3、如图，在△ABC 中，AB=AC , BD 、CE 分别为两腰上的中线，且BD ⊥CE ，则A B C∠t an =__________.练习：如图，在梯形ABCD 中，86012AD BC AB DC B BC ==∠==∥，，°，，联结AC ．（1）求tan ACB ∠的值；（2）若M N 、分别是AB DC 、的中点，联结MN ，求线段MN 的长．例4、“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图7所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．AB CDEGADCB图7图8（1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整；i=是坡面CE的坡度），求r的值．述信息（图纸中1:0.75练习：如图，沙泾河的一段两岸a、b互相平行，C、D是河岸a上间隔60米的两个电线杆.小明在河岸b上的点A处测得∠DAB=35°，然后沿河岸b走了120米到达B处，测得∠CBF=70°，求该段河流的宽度CF的值.（结果精确到0.1米,计算中可能用到的数据如下表）a D Cb A B F例5、（1）某飞机的飞行高度为m，从飞机上测得地面控制点的俯角为α，那么飞机到控制点的距离是________________.（用m与含α的三角比表示）4，若沿此山路向上前进90米，则升高了_______米.（2）某山路的路面坡度为1:5（3）一个小球由地面沿着坡度1:2的坡面向上前进了10米，此时小球距离地面的高度为______米.（4）修筑一坡度为3:4的大坝，如果设大坝斜坡的坡角为α，那么∠α的正切值是______.三、课后练习1、1，且较大的锐角为θ，则sin θ等于________； 2、已知楼房AB 高50m ，如图，铁塔塔基距楼房房基间水平距离BD 为50m ，•塔高CD 为m ．则（）A ．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°C ．由楼顶望塔顶仰角为30°D ．由楼顶望塔基俯角为30°3、如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点，•若tan•∠DBA=，则AD 的长为_____；4、横断面为等腰梯形的河坝，若下底，上底CD=7.5，高为4，那么斜坡CB 的坡度为_______；5、如图，某建筑物BC 直立于水平地面上，AC=9米，要建造阶梯AB ，使每阶高不超过20厘米，则此阶梯最少要建________阶（最后一阶不足20厘米时，按1 1.732）．1505033+15。

一、 锐角三角比的意义 1、正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent ）．锐角A 的正切记作tan A ．tan A BC aA A AC b ===锐角的对边锐角的邻边． 2、余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent ）．锐角A的余切记作cot A ．cot A AC bA A BC a ===锐角的邻边锐角的对边． 3、正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine ）．锐角A 的正弦记作sin A ．sin A BC aA AB c ===锐角的对边斜边． 4、余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）．锐角A 的余弦记作cos A ．cos A AC bA AB c===锐角的邻边斜边．5、锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比．锐角的三角比一：锐角的三角比ACBD二、 特殊锐角的三角比的值αtan αcot αsin αcos α30°33312 32 45° 1 1 22 2260° 3333212【例1】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，那么ba是角A 的（ ） A ．正弦B ．余弦C ．正切D ．余切【例2】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 3，BC = 4，那么sin A =______．【例3】 已知α为锐角，且5sin 13α=，求α的余弦值．【例4】 求值：sin60tan30cot30︒-︒+︒=_______．【例5】 已知锐角ABC ∆中，3sin A ，tan 1B =，那么C ∠=______°．【例6】 将锐角α所在的三角形的三边同时扩大三倍，这时角α的正弦值（ ） A ．变大B ．变小C ．不变D ．无法确定【例7】 （2014学年·松江区二模·第6题）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ，垂足为D ，AB = c ，A α∠=，则CD 长为（ ）A ．2sin c αB ．2cos c αC ．sin tan c ααD ．sin cos c αα仰角 视线水平线视线俯角铅垂线北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30° 70° 45° 50°【例8】 （2015学年·徐汇区二模·第19题）计算：20(3)cot 30tan 4531ππ--︒-︒+．【例9】 （2015学年·普陀区二模·第19题）计算：22123323tan 601-⎛⎫-+- ⎪︒-⎝⎭．一、 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在t R ABC ∆中，如果=90C ∠︒，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系：222a b c +=（2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos sin bA B c ==tan cot a A B b ==，cot tan b A B a== 二、 仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线 所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．三、 方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．二：解直角三角形ABC D A B9米传送带AB Chl四、 坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=． 坡度通常写成1 : m 的形式，如1:1.5i =． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．坡度i 与坡角α之间的关系：tan hi l α==．【例10】 （2015学年·崇明县二模·第15题）已知一斜坡的坡比为1 : 2，坡角为α，那么sin α=______．【例11】 （2014学年·长宁区二模·第15题）已知在离地面30米的高楼窗台A 处测得地面花坛中心标志物C 的俯角为60°，那么这一标志物C 离此栋楼房的地面距离BC 为______米．【例12】 （2015学年·浦东新区二模·第13题）如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为39米高的地方，则物体从A 到B 所经过的路程为______米．【例13】 （2015学年·宝山区、嘉定区二模·第16题）如图，如果在大厦AB 所在的平地上选择一点C ，测得大厦顶端A 的仰角为30°，然后向大厦方向前进40米，到达点D 处（C 、D 、B 三点在同一直线上），此时测得大厦顶端A 的仰角为45°．那么大厦AB 的高度为______米．（保留根号）ABCE ABCDABCDEABCD EFAB C北【例14】 （2014学年·浦东新区二模·第16题）如图，已知小岛B 在基地A 的南偏东30°方向上，与基地A 相距10海里，货轮C 在基地A 的南偏西60°方向、小岛B 的北偏西75°方向上，那么货轮C 与小岛B 的距离是______海里．【例15】 （2014学年·徐汇区二模·第22题）如图，在Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，3sin 5C =，AC = 6，BD 平分CBA ∠交AC 边于点D ．求：（1）线段AB 的长；（2）tan DBA ∠的值．【例16】 （2014学年·闸北区二模·第21题）已知：如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，BE = AD ，AE = 8，现有甲乙二人同时从E 点出发，分别沿EC 、ED 方向前进，10C 点的同时乙恰巧到达终点D 处．（1）求tan ECD ∠的值； （2）求线段AB 及BC 的长度．【例17】 （2014学年·闵行区二模·第21题）如图，已知在ABC ∆中，25AB AC ==25sin B ∠=D 为边BC 的中点．E 为边BC 延长线上一点，且CE = BC ．联结AE ，F 为线段AE 的中点．求：（1）线段DF 的长；（2）CAE ∠的正切值．【例18】 （2015学年·闸北区二模·第21题）已知：如图，在ABC ∆中，45ABC ∠=︒，AD是BC 边上的中线，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，且3sin 5DAB ∠=，32DB =求：（1）AB 的长；（2）CAB ∠的余切值．ABCDPABCD【例19】 （2015学年·松江区二模·第22题）如图，在ABC ∆中，AB = AC = 10，BC = 12，AD ⊥BC 于D ，O 为AD 上一点，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于G ，交BC 于E 、F ，且AG = AD ．（1）求EF 的长； （2）求tan BDG ∠的值．【例20】 （2015学年·普陀区二模·第21题）已知：如图，在ABC ∆中，AB = AC = 13，BC = 24，点P 、D 分别在边BC 、AC 上，2AP AD AB =，求APD ∠的正弦值．【例21】 （2015学年·虹口区二模·第21题）如图，在ABC ∆中，CD 是边AB 上的中线，B∠是锐角，且2sin 2B =，1tan 2A =，BC =22，求边AB 的长和cos CDB ∠的值．【例22】 （2014学年·崇明县二模·第21题）在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点E 是BC 的中点，AD ⊥BC ，垂足为点D ．已知AC = 9，3cos 5C =．（1）求线段AE 的长；（2）求sin DAE ∠的值．【例23】 （2015学年·崇明县二模·第22题）如图，在某海滨城市O 附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东20°方向200千米的海面P 处，并以20千米/时的速度向P 处的北偏西65°PQ 的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/时速度不断扩张．（1）当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；O CBADF EG CA BEDOPQ北当台风中心移动t 小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；（2）当台风中心移动到与城市O 距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由．（参考数据2 1.41=，3 1.73=）．【例24】 （2015学年·闵行区二模·第22题）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC 平行于地面AD ，斜坡AB 的坡比为51:12i =，且AB = 26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE 的长；（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB 改造成AF （如图所示），那么BF 至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan53 1.33︒≈，cot530.75︒≈）【例25】 （2014学年·普陀区二模·第22题）本市为了给市容营造温馨和谐的夜间景观，准备在一条宽7.4米的道路上空利用轻轨桥墩，安装呈大中小三个同心圆的景观灯ABDCEF带（如图1所示）．如图2，已知EF 表示路面宽度，轻轨桥墩的下方为等腰梯形ABCD ，且AD // EF ，AB = DC ，37ABC ∠=︒．在轻轨桥墩上设有两处限高标志，分别表示等腰梯形的下底边到路面的距离为 2.9米和等腰梯形的上底边到路面的距离为 3.8米．大圆直径等于AD ，三圆半径的比等于1 : 2 : 3．试求这三个圆形灯带的总长为多少米？（结果保留π）（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈）2.92.93.8ABCDFO图1图2。