§25.1锐角的三角比的意义

25.1 (1)锐角三角比的意义一、教学内容分析通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变.二、教学目标设计1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变2、能根据正切、余切概念正确进行计算.3、发展形象思维，初步形成由特殊到一般的演绎推理能力.三、教学重点及点理解认识正吩概念;引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与邻边的比值是不变的.四、教学用具准备课件.ppt五、教学流程设计引入新课A新课讲授巩固练习》课堂小结》回家作业六、教学过程设计操场里有一旗杆，老师让小明去测量旗杆的高度.(演示学校操场上的国旗图片小明站在离旗杆底部10米远处，冃测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米.然后他很快就算出旗杆的高度了•你想知道小明怎样算出的吗？1 •观察(1)在RtZSABC 中,ZC=90°, 求CB・(2) RtAABC,使ZC=90°,的对边与邻边比.2 •思考通过上面的计算，你能得到什么结论?［说明］在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30役那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比值都等于3 ；在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45。

，那么不管三角形的大小如何, 这个角的对边与邻边的比值都等于3.讨论一般地，当ZA取其他一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个定值？1.概念辨析如图:RtAABC 与RtZSA' L L , ZC=ZDC?A =90° , ZA 二ci,那么竺CA与竽有什么关系？0 /I结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，ZA的对边与邻边的比是一个固定值. »如图，在RtAABC 中，ZA、ZB、ZC 所<对的边分别记为b、c "过劄边在RtAABC中，ZC=90°,我们把锐角人(的对边与邻边的比叫做ZA的正切•记作' ”' tanA.板书：tanA= 在RtAABC中,ZC=90°,我们把锐角A的邻边与对边的比叫做ZA的余切•记作cotA.板书：2躺2.例题分析例题 1.在RtZlABC 中，ZC=90°, AC二3, BC二2,求tanA 和tanB 的值.解：在Rt/ABC屮，R1.如图，在直角ZSABC 中，ZC=90°,TAC 二3, BC 二2 ・・・tanA 二竺 ACAC 3 tanB= -----=— BC 2例题 2•在 RtZABC 中，ZC=90°, BC 二4, AB=5,求 cotA 和 cotB 的值. 解：在RtzlABC 中，由勾股定理得AB 2=AC 2+BC 2VBC=4, AB=5, AC=7A B 2-BC 2= 752 -42 = 3 ・ •I cotA=—=- BC 4m BC 4cotB=——二一・ AC 33. 问题拓展在上题中，在同一个直角三角形中，ZA 的止切和余切有怎样的 数量关系？ 是ZA 的余角，那么它们的正切、余切值之间有怎样 的数量关系？［说明］在 RtZlABC 中，ZA+ZB 二90。

第一节 锐角的三角比§25.1锐角的三角比的意义教学目标(1)经历锐角三角比的概念的形成过程，获得从实际的数学问题中抽象出数学概念的体验。

(2)掌握锐角的三角比的定义，会根据直角三角形中两边的长求锐角的三角比的值。

(3)了解锐角的三角比的范围。

教学重点让学生经历锐角的正切概念的形成过程，掌握正切、余切的定义。

引进锐角的正弦和余弦，帮助学生掌握正弦和余弦的定义，了解三角比的含义和符号表示。

知识概要1.直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的长度的比值随着这个锐角大小的变化而变化。

锐角的大小确定，则对边与邻边的比值唯一确定。

2.我们把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切。

锐角A 的正切记作tan A ， tan =A BC a A A AC b==锐角的对边锐角的邻边。

注：在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠的对边通常分别用,,a b c 表示。

在Rt ABC ∆中，090C ∠=，直角边BC 和AC 分别叫做A ∠的对边和邻边。

3.我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切。

锐角A 的余切记作cot A ， cot =A AC b A A BC a ==锐角的邻边锐角的对边。

根据正切与余切的意义，可以得到 1tan cot A A =。

在Rt ABC ∆中，090C ∠=，可知090A B ∠+∠=，cot tan B A =。

4.如果直角三角形的一个锐角是确定的，那么它的对边或邻边与斜边的比也是确定的。

我们定义： 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦。

直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦。

在Rt ABC ∆中，090C ∠=，锐角A 的正弦记作sin A ，这时 sin =A BC a A A AB c ==锐角的对边锐角的邻边； 锐角A 的余弦记作cos A ，这时 cos =A AC b A A AB c ==锐角的邻边锐角的邻边。

25.1（1）锐角三角比的意义一、教学内容分析通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变. 二、教学目标设计1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变.2、能根据正切、余切概念正确进行计算.3、发展形象思维，初步形成由特殊到一般的演绎推理能力. 三、教学重点及难点理解认识正切概念，引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与邻边的比值是不变的.六、教学过程设计一、 情景引入操场里有一旗杆，老师让小明去测量旗杆的高度.（演示学校操场上的国旗图片） 小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了.你想知道小明怎样算出的吗？1.观察(1)在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o，BC=35m,求CB .(2) Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o，计算∠A 的对边与邻边比.2.思考通过上面的计算，你能得到什么结论？[说明] 在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比值都等于33；在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比值都等于1. 3．讨论一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个定值？ 二、学习新课 1．概念辨析如图：Rt △ABC 与Rt △A’B’C’，∠C=∠D C’A =90°，∠A=α，那么CA BC 与AC DC ''有什么关系?结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值.如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c.在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切.记作tanA.板书：tanA ＝ba=∠∠的邻边的对边A A在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切.记作cotA.板书：cotA ＝A A ∠=∠的的ba2．例题分析例题1. 在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，AC=3,BC=2,求tanA 和tanB 的值. 解：在Rt ⊿ABC 中，∵AC=3,BC=2∴tanA=32=AC BC tanB=23=BC AC .例题2.在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，BC=4，AB=5，求cotA 和cotB 的值. 解：在Rt ⊿ABC 中，由勾股定理得AB 2=AC 2+BC 2∵BC=4,AB=5, ∴AC=3452222=-=-BC AB .∴cotA=43=BC AC cotB=34=AC BC .3．问题拓展在上题中，在同一个直角三角形中，∠A 的正切和余切有怎样的数量关系？∠B 是∠A 的余角，那么它们的正切、余切值之间有怎样的数量关系？ [说明]在Rt ⊿ABC 中，∠A+∠B=90°：则有 tanA ·cotA=1 tanA=B cot 1tanB=Acot 1三、巩固练习1．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o，若AB ＝5，AC ＝4，则cotA ＝（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．432． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，tanA=23，则边AC 的长是( )CBAAB CAB CA ．13B ．3C ．43 D ． 5四、课堂小结在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边（邻边与对边）的比是一个固定值.五、作业布置 练习册25.1（1） 七、教学设计说明通过实际问题的引入，引起学生思考问题.将实际问题抽象为数学的图形，激发学生探讨问题的积极性，用从特殊到一般的方法让学生领会到在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边（邻边与对边）的比是一个固定值.使学生在探究时体会到探究数学结论的过程和乐趣，增加学习数学的积极性.B C C ’ 25.1（2）锐角的三角比的意义一、教学内容分析使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实；逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力. 二、教学目标设计1、知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值都不变；2、了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系，正切与正弦、余弦的关系. 三、教学重点及难点理解余弦、正切的概念；熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算. 六、教学过程设计一、 情景引入 1.观察(1)在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o，BC=35m,求AB .(2) Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o，计算∠A 的对边与斜边的比.2.思考通过上面的计算，你能得到什么结论？[说明] 在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于21；在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于21.3．讨论由上面的观察，我们可以得到什么结论？ 二、学习新课 1．概念辨析如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠DC`A =90o，∠A=α，那么BA BC与AB C B '''有什么关系?结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比是一个固定值.如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、 c.X在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦.记作sinA. 板书：sinA ＝ca=∠∠的斜边的对边A A ；在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余弦.记作cosA. 板书：cosA ＝cb=∠∠的斜边的邻边A A ；2．例题分析例题 1（1）如图, 在中，,,,求sinB ，cosB的值. 解：在中 22BC AB AC -=∵AB=6， BC=3 ∴AC=36-=3sinB=2163==AB AC =22； cosB=222163===AB BC . （2）在Rt △ABC 中, ∠C=90°,BC=6,sinA=53,求cosA 和tanB 的值. 解: ,.又,.例题2. 在直角坐标平面中有一点P （3，4）.求弦、和余弦的值.解：过点P 向x 轴引垂线，垂足为点Q ，则∠OPQ=900.由点P 的坐标为（3，4）得OQ=3,QP=4.在Rt ⊿OPQ 中，OP=.5432222=+=+PQ OQ∴tan α=34=OQ PQ , sin α=54=OP PQ cos α=53=OP OQ .3.问题拓展1.从定义可以看出sin A 与cosA 有什么关系？sin B 与cos A 呢？满足这种关系的A ∠与B ∠又是什么关系呢？利用定义及勾股定理你还能发现sin A 与cos A 的关系吗？再试试看tan A 与sin A 和cos A 存在特殊关系吗？（1）若90A B ∠+∠=,那么sin A =cos B 或sin B =cos A ; （2）22sin cos 1A A +=; （3）sin tan cos AA A=. 三、巩固练习 1.在中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（）A ．B ．C ．D ．2. 在中，∠C ＝90°，如果那么的值为（）A ．B ．C ．D ．3、如图：P 是∠的边OA 上一点，且P点的坐标为（3，4）， 则sin ＝_____________.四、课堂小结1、使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系．2、使学生了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系3、使学生了解正切与正弦、余弦的关系 五、作业布置练习25.1（2）七、教学设计说明通过复习，用类比的方法让学生发现这样一个事实：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边（邻边）与斜边的比是一个固定值.在练习中带领学生主动发现总结规律，得出同一个锐角正弦与余弦之间的关系、正切与正弦、余弦的关系.在巩固练习中，加深对问题的理解.25.2求锐角三角比的值一、教学内容分析能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式二、教学目标设计能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式.三、教学重点及难点熟记30°、45°、60°角的三角比值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式；30°、45°、60°角的三角比值的推导过程.六、教学过程设计 一、 情景引入 问题：（1）还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即sin30°=21,sin45°=22.（2）你还能推导出sin60°的值及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？3．讨论画30°、45°、60°的直角三角形,分别求sin 30° 、cos45°、tan60°的值. 归纳结果 30° 45° 60° sinA cosA tanA二、学习新课 1．例题分析 求下列各式的值：（1）(cos60°)2 +(cos45°)2+sin30°sin45°；（2） .解 （1）原式=2211()22++ 1111422=++= （2）原式==3．问题拓展（1）8)30tan 60(cos 2+︒-︒+-（2）2)145(sin 230tan 3121-︒+︒--[说明]本题主要考查特殊角的正弦、余弦值，解题关键是熟悉并牢记特殊角的正弦余弦值.易错点因没有记准特殊角的正弦、余弦值，造成错误.三、巩固练习 求下列各式的值： (1)sin30°+cos30°； (2)sin30°·sin45°；(3)tan60°+2sin45°-2cos30°；(4)︒+︒-︒45tan 30cos 2330sin 2； (5)︒∙︒+︒+︒︒+︒60cot 60tan 30cos 30cot 45sin 30sin 22.四、课堂小结通过本节课的学习，能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式.五、作业布置 练习25.2七、教学设计说明由特殊锐角三角形的性质联系锐角三角比的概念，带领学生主动发现总结30°、45°、60°角的三角比值，在巩固练习中，培养学生熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式.25.3（1）解直角三角形一、教学内容分析本课时的内容是解直角三角形，首先是了解直角三角形中的边角的关系和什么是解直角三角形，以及在解直角三角形时，选择合适的工具解，即优选关系式.从而能提高学生分析问题和解决问题的能力. 二、教学目标设计1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力．3．渗透数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯． 三、教学重点及难点教学重点：直角三角形的解法．教学难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用． 六、教学过程设计一、 情景引入 1．观察引入新课：如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处.问大树在折断之前高多少米?显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度为222410 ＝26 ， 26＋10＝36所以，大树在折断之前的高为36米.2．思考1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ 3．讨论复习师白：Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系分别是什么？总结：直角三角形的边与角之间的关系 (1)两锐角互余∠A ＋∠B ＝90°；(2)三边满足勾股定理a 2＋b 2＝c 2；(3)边与角关系sinA ＝cosB ＝a c ，cosA ＝sinB ＝bc，tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝ba.二、学习新课 1．概念辨析师白：我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．定义：我们把由已知元素求出所有末知元素的过程，叫做解直角三角形. 2．例题分析例题1 在Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=380，a=8，求这个直角三角形的其它边和角.分析：本题已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，那么首先要搞清楚这两个元素的位置关系，再分析怎样用合适的锐角三角比解决问题，在本题中已知边是已知角的邻边，所以可以用的锐角三角比是余弦和正切.解：∵∠A+∠B=900∴∠A=900－∠B=900－380=52∵cosB=ca ∴C=B a cos =15.1038cos 8≈ ∵tanB=ab∴b=atanB=8tan380≈6.250例题2 在Rt △ABC 中，∠C=900，c=7.34，a=5.28，解这个直角三角形.分析：本题已知直角三角形的一条直角边和斜边，当然首先用勾股定理求第三边，怎样求锐角问题，要记住解决问题最好用原始数据求解，避免用间接数据求出误差较大的结论.解：在Rt △ABC 中，∵∠C=900，∴a 2＋b 2＝c2∴b=099.528.534.72222≈-=-a c ∵sinA=7193.034.728.5≈=c a ∴∠A=460∴∠B=900－∠A ≈900－460=440.[说明] 我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情． 3．问题拓展例题3 如图，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东40°的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到l 米).分析：本题中，已知条件是什么?(AB ＝2000米， ∠CAB ＝90°－ ∠CAD ＝50°)，那么求AC 的长是用 “弦”还是用“切”呢?求BC 的长呢?显然，AC 是直角三角形的斜边，应该用余弦，而求BC 的长可以用正切，也可以用余切. 讲解后让学生思考以下问题：(1)在求出后，能否用勾股定理求得BC ； (2)在这题中，是否可用正弦求AC ，是否可以用余切求得BC.[说明] 通过这几道例题的分析和挖掘，使学生明确在求解直角三角形时可以根据题目的具体条件选择不同的“工具”以达到目的.从上面的几道题可以看出，若知道两条边利用勾股定理就可以求出第三边，进而求出两个B C A锐角，若知道一条边和一个锐角，可以.利用边角关系求出其他的边与角.所以，解直角三角形无非以下两种情况：(1)已知两条边，求其他边和角. (2)已知一条边和一个锐角，求其他边角 三、巩固练习 1、课本P73练习1、22、由下列条件解题：在Rt △ABC 中，∠C=90°： （1）已知a=4，b=8，求c ．(c=54)（2）已知b=10，∠B=60°，求a ，c ． （3）已知c=20，∠A=60°，求a ，b ．四、课堂小结本节课我们利用直角三角形的边与边、角与角、边与角的关系，由已知元素求出未知元素，在做题目时，学生们应根据题目的具体条件，正确选择上述的“工具”，求出题目中所要求的边与角.五、作业布置 练习册25.3（1） 七、教学设计说明为了引起学生对教学内容的兴趣，所以在本课时的开头引入了一个实际问题，从而自然过度到直角三角形中，已知两个元素求其他元素的情境中.再通过讨论直角三角形的边与角之间的关系，到解直角三角形过程中，使学生能掌握解直角三角形的知识.3320,3310==c a 10,310==b a25.3（2）解直角三角形一、教学内容分析本课时其实是安排了一个解直角三角形和应用的一节过度课，它起到了承上启下的作用.先从解一般的三角形或梯形的问题，寻找转化为直角三角形的方法，然后，到下一节课的应用，使学生不会有知识过度跳跃的感觉. 二、教学目标设计1．进一步运用勾股定理、锐角三角比解非直角三角形．2． 通过综合运用锐角三角比解三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力． 三、教学重点及难点教学重点：学会把一般三角形转化为直角三角形解决． 教学难点：如何转化为直角三角形的辅助线的做法． 六、教学过程设计一、 情景引入 1．复习1、求下列各直角三角形中字母的值．2、在△ABC 中，∠C 为直角，b=2 ，a=6，解这个三角形．3、在△ABC 中，∠C 为直角，且b=20，B =350，解这个三角形（精确到0.1）． 2．思考在一般的三角形中，如果已知适当的元素能否能求出其余相关的元素呢？ 3．讨论在一般的三角形中，已知几个元素能求出其余相关的元素呢？二、学习新课 1．例题分析例题1 在等腰三角形ABC 中，已知AB=AC, ∠A=45°,BC=6,求它的腰长和底角.分析：根据三角形内角和定理，可求得底角的大小．如图，作底边上的高，由等腰三角形“三线合一”的性质，可知底边被高平分，于是得到两个全等的直角三角形．因此在其中任意一个直角三角形中，知道了一个锐角、一条直角边，可解这个直角三角形，从而得到等腰三角形的腰长．解： 在△ABC 中，∠B= ∠C= 21(1800-∠A) =21（1800-450）=67.50=67030’ 过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点DB∵ AB ＝AC ， ∴BD=21BC=21×6=3 在Rt △ABD 中∵cosB=AB BD∴AB=839.70367cos 3cos 0≈'=B BD所以，这个等腰三角形的腰长约为7．839，底角为67030’. 思考：本题如果作腰上的高，能解△ABC 吗？试一试：在等腰三角形中，已知AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求它的顶角和底角． 例题2 在△ABC 中，AC=9，AB=8.5，∠A=38°,求AC 边上的高及△ABC 的面积． 分析：为了利用∠A 的三角比，所以作出AC 或AB 边上的高，构造直角三角形，可求出一条高，再求出三角形的面积.解：过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D.在Rt △ABD 中，∵sinA=ABBD， ∴ BD ＝AB ·sinA=8.5×sin38°≈5.233 S △ABC =21AC ·BD=21×9×5.233≈23.55 所以，AC 边上的高约为5．233，△ABC 的面积约为23．55.2．问题拓展例题 3 如图，在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=23,AC=23,求AB分析：本题可以过点C 作AB 边的垂线，把∠A 和∠B 作在直角三角形中，再利用锐角三角比解决问题.教师引导学生解答.[说明] 通过这几道例题的分析和挖掘，使学生明确可以用解直角三角形的知识解决一般三角形中的计算问题.就是要把握好转化的技巧.三、巩固练习 1、课本25.3（2）2、已知等腰△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，求顶角∠A 的四个三角比值．3、已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34，则底角∠B= ；4、如图所示，已知：在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8.求：△ABC 的面积(结果可保留根号).A CB四、课堂小结本节课我们利用直角三角形的知识将某些一般三角形问题或梯形问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．今后，我们还要善于用数学知识解决实际问题．五、作业布置练习册25.3（2）七、教学设计说明本课时的内容是利用解直角三角形的知识解决一般三角形的计算问题，解决问题的关键是如何转化并综合利用直角三角形的有关知识.所以，先安排了一个等腰三角形的问题，再安排一个不等边三角形的问题，最后一个例题的意图是为了和中考衔接.25.4（1）解直角三角形的应用一、教学内容分析本节列举了解直角三角形的一类典型问题：仰角、俯角问题.让学生感受数学与生活的紧密联系，提高数学问题实际化的能力，领会数学思想.二、教学目标设计1．掌握仰角、俯角概念；2．在用解直角三角形的知识解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学数学、用数学的意识和能力.三、教学重点及难点将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素间关系进行解题. 六、教学过程设计一、 引入让学生从仰视和俯视两种神态亲身体验,再利用投影仪显示一些有关仰角和俯角的实例，从而引出仰角、俯角的定义.[说明]从学生的实际生活背景出发，创设问题情境，这样的情景创设，体现了浓厚的生活气息，充分调动学生思维的积极性.二、学习新课1．概念辨析在测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角. [说明] 在仰角和俯角这两个概念中，必须强调是视线与水平线所夹的角，而不是视线与铅垂线所成的角.2．例题分析例题1 如图，在地面上离旗杆BC 底部10米的A 处，用测角仪测得旗杆顶端C 的仰角为52°，已知测角仪AD 的高为1.5米，求旗杆BC 的高（精确到0.1米）.分析 结合图形已知旗杆与地面是垂直的，从测角仪D 处作DE ∥AB ，可以得到一个Rt △DCE ，利用直角三角形中的已知元素,可以求出CE ，从而求得BC.解 从测角仪D 处作DE ∥AB ，交BC 于点E. 根据题意，可知DE=AB=10（米），BE=AD=1.5（米），∠CDE=52°. 在Rt △DCE 中,tan ∠CDE=DECE，得 水平线视线视线︶仰角︶俯角铅垂线hCE=DE ·tan ∠CDE=10·tan52°≈12.80(米). 则BC=BE+CE ≈1.5+12.80≈14.3(米). 答:旗杆BC 的高约为14.3米.例题2 如图,甲乙两幢楼之间的距离CD 等于40米,现在要测乙楼的高BC(BC ⊥CD),所选观察点A 在甲楼一窗口处,AD ∥BC.从A 处测得乙楼顶端B 的仰角为32°,底部C 的俯角为25°.求乙楼的高度(精确到1米).解 从观察点A 处作AE ∥CD,交BC 于点E. 根据题意,可知AE=CD=40(米), ∠BAE=32°, ∠CAE=25°. 在Rt △ABE 中,tan ∠BAE=AEBE，得 BE=AE ·tan ∠BAE=40·tan32°≈25.0(米). 在Rt △ACE 中,tan ∠CAE=AECE，得 CE=AE ·tan ∠CAE=40·tan25°≈18.7(米). 则BC=BE+CE ≈25.0+18.7=43.7≈44(米). 答:乙楼的高度约为44米.[说明]在实际问题数学化，运用仰角、俯角概念解直角三角形时，要首先找出它们所在的直角三角形，表示时注意“水平线”，再结合图形中的已知元素，解出要求的未知元素.同时在学生审题时，强调注意题后对结果精确度的要求，培养严谨的学习态度. 三、巩固练习1. 在离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5米，那么旗杆的高为 米（用含α的三角比表示）．2.在距地面100米高的平台上，测得地面上一塔顶与塔基的俯角分别为30°和60°，则塔高为__________米;3. 已知：如图，建筑物AB 高为200米，从它的顶部A 看另外一建筑物CD 的顶部C 和底部D ，俯角分别为30°和45°，求建筑物CD 的高．A BC D4．如图,线段AB 、CD 分别表示甲、乙两幢楼,从甲楼顶部A 处测得乙楼顶部C 的仰角α=30°,从乙楼底部D 测得甲楼顶部A 的仰角β=60°.已知甲楼的高AB=24米,则乙楼的高CD 为多少米?5．如图，AB 和CD 是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB 的楼顶A 点测得楼CD 的楼顶C 的仰角为45°，楼底D 的俯角为30°．求楼CD 的高(结果保留根号).四、课堂小结1．知道仰角、俯角的意义，明确概念强调的是视线与水平线的夹角； 2．认真分析题意，在原有的图形中寻找或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题； 3．按照题目中的精确度进行计算， 五、作业布置练习册：习题25.4（1） 七、教学设计说明解直角三角形的应用问题,关键是由实际问题向数学问题的转化过程.课堂教学时可以分为二个阶段：一是依据实际问题中相关的几何图形让学生明确仰角、俯角的概念,二是根据实际问题中的条件要求学生正确的画出相关的几何图形，然后用解直角三角形的知识求解. 学生在运用解直角三角形的有关知识解决某些简单的实际问题的过程中，进一步把数和形结合起来，提高了分析问题和解决问题的能力.AB CD(第5题图)25.4（2）解直角三角形一、教学内容分析本节梳理了在直角三角形中，除直角外五个元素之间的关系，然后分析了满足什么条件的直角三角形是可以求解的.二、教学目标设计进一步学习如何把某些实际问题的数量关系归结为直角三角形各元素之间的关系，将实际问题转化为数学问题的方法，提高分析问题、解决问题的能力，体验数学在实际生活中的应用，增强数学应用的意识. 三、教学重点及难点正确理解题意，利用解直角三角形的知识将实际问题转化为数学问题. 六、教学过程设计一、 情景引入 1．说一说请学生以自己为观察点，尝试运用较为准确的说法说说班级中其他一些同学所处的位置.2．思考如图，以A 为观测中心，分别指出点B 、C 、D 、E 各点所处的方向.[说明]通过创设问题情境激发学生的求知欲望，感悟“数学源于生活又作用于生活”，体验数学的价值.二、学习新课1．概念辨析 回顾方位角 2．例题分析例题1 如图，在港口A 的南偏东52°方向有一小岛B ，一艘船以每小时24千米的速度从港口A 出发，沿正东方向航行，20分钟后，这艘船在C 处且测得小岛B 在船的正南方向.小岛B 与港口A 相距多少千米（精确到0.1千米）？解: 根据题意,可知∠CAB=90°-52°=38°,∠ACB=90°,AC=24×6020=8(千米).在Rt △ABC 中,cos ∠CAB=ABAC，得 10°东南西 A BCE1545° 北D ACB北 南52°30°30°AB=CAB AC ∠cos =o38cos 8≈10.2(千米). 答:小岛B 与港口A 相距约10.2千米.例题2 如图,为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B 、C 两点，对岸岸边有一块石头A.在△ABC 中,测得∠C=62°,∠B=49°,BC=33.5米,求河宽(精确到0.1米).解: 过点A 作AD ⊥BC,垂足为点D,河宽就是AD 的长.在Rt △ABD 中,cotB=ADBD ，得 BD=AD ·cotB=AD ·cot49°.Rt △ACD 中,cotC=ADCD ，得 CD=AD ·cotC=AD ·cot62°,因为BD+CD=BC ，所以AD ·cot49°+ AD ·cot62°=33.5则AD=0062cot 49cot 5.33+≈23.9(米). 答:河宽约为23.9米.3．问题拓展1.某海防哨所发现距离它400海里的北偏西30°A 处有一艘船，该船正向东方向航行，经过3分钟到达哨所东北方向的B 处.求这船的速度是多少？2.某条道路上通行车辆限速为60千米/时,在离道路50米的点P 处建一个监测点,道路的AB 段为监测区.在△ABC 中,已知∠A=45°, ∠B=30°,车辆通过AB 段的时间在多少秒以内时,可认定为超速(精确到0.1秒)?[说明]在例题分析讲解的基础上进行问题的拓展,可以增强对知识点的理解,起到巩固作用.三、巩固练习1．一艘轮船向正东方向航行，上午9时测得它在灯塔P 的南偏西30°方向，距离灯塔120海里的M 处，上午11时到达这座灯塔的正南方向的N 处，则这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是多少？2. 由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭.近日，A 市气象局测得沙尘暴中心在A 市的正西方向300千米的B 处，以 千米/小时的速度向东偏南30°的BF 方向移动，距沙尘暴中心200千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域（如图）.(1)通过计算说明A 市必然会受到这次沙尘暴的影响；(2)计算A 市受沙尘暴影响的时间.四、课堂小结今天学习了什么, 你有什么收获？ 五、作业布置练习册：习题25.4（2）七、教学设计说明本节课教学时要强调根据实际问题中的条件,要求学生正确的画出相关的几何图形，将实际问题转化为数学问题,然后再运用解直角三角形的知识求解.学生在运用解直角三角形的有关知识解决某些简单的实际问题的过程中，进一步体会了数和形的结合，提高了分析问题和解决问题的能力.北 东。

C25.1锐角的三角比的意义2012.10.11教学目标： 1、 经历锐角三角比的概念的形成过程，获得从实际的数学问题中抽象出数学概 念的体验。

2、 掌握锐角三角比的定义，会根据直角三角形中的两边长求锐角的三角比的值。

3、 了解锐角的三角比的值的范围。

教学课时：2课时 第一课时：锐角的正切和余切本节课教学重点：学生经历锐角的正切概念的形成过程, 教学内容：一、知识回顾：直角三角形的锐角关系、边的关系。

1、在直角三角形 ABC 中，/ C=90° (1) 角的关系：/ A + Z B=90° (2) 边的关系：a 2，b 2=c 22、在 Rt △ ABC 中, Z C=90° (1) 当Z A=30。

贝U a:b:c= _______ (2) 当 Z A=45。

贝U a:b:c= ______结论：对于一个直角三角形，当其中一个锐角为 30°(或45°)时，那么这个三角形的三边的关系就是确定的。

二、问题探索： 问题1、对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的两条直角边的比值是否是一个确定的值？如图，任意一个锐角A ，在ZA 的一边上任意取点。

例如取点B 1> B 2、B 3三点，再分别过这三点作另一边的垂线,垂足分别为点G 、C 2、C 3，从而得到三个直角三角形, 即Rt △AC 1B 1、RWAC 2B 2、Rt AC 3B 3。

因为这三个三角形有公共锐角Z A ，所 以 Rt △ AC 1B 1 s Rt AC 2B 2 S Rt AC 3B 3,于是得到 旦21 二旦仝 二 BC 3AC 1 AC 2 AC 3由此可见，如果给定直角三角形的一个锐角，那么这个锐角的对边于邻边的 比值是一个确定的数。

问题2、当直角三角形中的一个锐角的大小变化时，这个锐角的对边与邻边 的长度的比值是否也随之变化？如图，当锐角Z MAF 变化为锐角Z NAP 时，在AP 上任取一点 EC,过点C 作CE ! AP,垂足为点C, CE 分别交AM AN 于点D E /D 得到△ ACD^n ^ ACE 这时掌握正切、余切的定义 AZDAC 的对边 DC ZEAC 的对边 EC .DAC 的邻边 _ AC'. EAC 的邻边 -AC由图可得DC 与EC 这两个比值是不同的，这说明直角三角形中，一个锐角的 AC AC 对边与邻边的长度的比值随着这个锐角的大小的变化而变化。

沪教版数学九年级上册25.1《锐角三角比的意义》教学设计一. 教材分析《锐角三角比的意义》是沪教版数学九年级上册第25.1节的内容。

本节主要介绍锐角三角比的定义和性质，以及它的应用。

通过学习本节内容，学生能够理解锐角三角比的概念，掌握锐角三角比的计算方法，并能运用锐角三角比解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本概念和性质，对三角函数有一定的理解。

但是，对于锐角三角比的概念和性质，学生可能还不够熟悉。

因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际问题，帮助学生理解和掌握锐角三角比的概念和性质。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解锐角三角比的概念，掌握锐角三角比的计算方法，能够运用锐角三角比解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角比的定义和性质。

2.难点：锐角三角比的计算方法和应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过提出问题，引导学生思考和探索；通过具体的案例，让学生理解和掌握锐角三角比的性质；通过小组合作学习，培养学生的团队合作意识和交流能力。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔。

2.学具准备：笔记本、尺子、三角板。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些实际问题，如测量 flag 的倾斜角度，引导学生思考如何解决这个问题。

通过这个问题，引入锐角三角比的概念。

2.呈现（15分钟）通过具体的案例，介绍锐角三角比的定义和性质。

例如，通过测量三角板上的角度，引导学生发现锐角三角比的规律。

3.操练（15分钟）让学生利用三角板和尺子，自己动手测量锐角三角比。

学生可以分组进行，互相交流和讨论，培养团队合作意识。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固锐角三角比的计算方法。