沪教版(上海)数学九年级第一学期课件：25.1锐角三角比的意义-(1)优质课件PPT

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯25.1（1）锐角三角比的意义教学目标：通过探究使学生理解在直角三角形中，当一个锐角的大小确定后，对边与邻边的比值都不变；能根据正切、余切概念正确进行计算；通过“阅读”、探究等教学活动，发展形象思维，初步形成由特殊到一般的演绎推理能力。

教学重点：理解认识在直角三角形中，锐角正切、余切的概念并会利用。

教学难点：理解直角三角形中，锐角的大小与两边的长度的比值的关系。

教学过程：情景引入操场里有一旗杆，老师让小明去测量旗杆的高度.小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为35度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了.你想知道小明怎样算出的吗？ 1.尝试：(1)在Rt △ABC 中，∠C=90o，∠A=30o，BC=3m,求CA.如果BC 长为10m ，那么AC 长呢？(2)在Rt △ABC 中，∠C=90o，∠A=45o，计算∠A 的对边与邻边比值. 2.思考：通过上面的计算，你能得到什么结论？要求：读懂引入题目中的图形，完成基本分析； 完成“尝试”练习，读出题目深层含义，猜测结论。

新知探究 1.探究1：如图：Rt △ABC 与Rt △ADC ’，∠C=∠B ＇C ＇A =90°，∠A=α，那么CA BC 与AC C '''B 有什么关系?结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边的比是一个固定值. 探究2：教学设计意图：通过具体实例引入本节课研究内容，初步引入直角三角形中锐角与其对边、邻边间的关系问题。

引导学生由特殊角的计算猜测直角三角形中一般锐角与其对边、邻边间关系。

利用已学知识解决现有问题。

在直角三角形中，当锐角A 的度数大小变化时，它的对边邻边的长度比值变化吗？ 结论：在直角三角形中，锐角∠A 的对边与邻边的比值会随着锐角A 的度数变化而发生改变。

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯§25.1(1) 锐角三角比的意义(1)教学目标：知道直角三角形的两条直角边的比值是一个定值，由此理解锐角的正切和余切的几何意义；会根据直角三角形的两条直角边的长度求锐角的正切、余切值；经历锐角三角比的概念的形成过程，获得从实际问题中抽象出数学概念的体会，体会数学与生活的联系. 教学重点：理解直角三角形中锐角的正切、余切的意义，会建立直角三角形这一模型. 教学难点：体会锐角与边的比值的联系. 教学设计：教学过程设计意图一、情景引入问题1 (1) 学校的操场有一个旗杆垂直于地面，现有一根皮尺，你能设计一个方案，测量旗杆的高度AB 吗？ (学生言之有理即可)(2)一名学生这样测量：某日的下午，让同伴测量他的身高和影长，当他的影长等于身高时，马上让同伴测出旗杆的影长，此时的影长就是旗杆的高度，你认为他的方法确切吗？为什么？(3) 思考：我们能不能在任意时刻用上述方法测出旗杆的高度？为什么？如图，阳光AC 与DF 可以看成AC //DF ，则∠C =∠F . ∴△ABC ∠△DEF ，得EFBC DEAB，只要测得DE 、EF 、BC 的长，就可以求出AB 的长.(4) 从固定时刻到任意时刻，哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化？ (5) 古希腊著名数学家泰勒斯曾用这个方法测得了埃及金字塔的高度. 二、探索新知小组合作探究1：（1）在学习单上取定一个锐角∠MAN（2）在射线AM 上取一点B ，过点B 向射线AN 引垂线，垂足为C ，（3）问：ACBC的值是确定的吗？为什么？ 要求：1、小组合作探究；2、汇报数据，交流、展示；3、师生共同简述理由.利用实际问题引入一个直角三角形的两条边的比值与锐角之间的联系，体验数学与生活的联系.通过小组探究活动，获得直角三角形的两条直角边之比是一个定值这一事实.ABCDEFB 3 B 1B 2C 3C 1AC 2MN4、∠A 不变，虽然两条直角边长发生了变化，但它们的比值不变 探究2：如果改变∠A 的大小，这个角的 对边与邻边的比会改变吗？为什么？ 要求：1、运用几何画板直观感受； 2、举反例说明； 3、归纳：在Rt △ABC 中，∠C =90°一个定值的邻边锐角的对边锐角=A A .规定∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c定义：(1) 直角三角形中，锐角A 的对边与邻边的比叫做锐角A 的正切，记为tan A..tan baAC BC A A A ===的邻边锐角的对边锐角说明：tan A 的值与∠A 的度数或直角边的比值有关. 思考：当∠A 确定时，的对边锐角的邻边锐角A A 是否是定值？为什么？(2) 直角三角形中，锐角A 的邻边与对边的比叫做锐角A 的余切，记为cot A ..cot abBC AC A A A ===的对边锐角的邻边锐角(AA cot 1tan =或1cot tan =⋅A A ) 三、课堂练习例1 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =2，求tan A 、tan B 、cot A 、cot B 的值.要求：1、要求学生画草图，教师规范格式求tan A ； 2、学生独立完成tan B 、cot A 、cot B ；3、归纳、小结：当∠A+∠B =90°时，tan A =cot B .例2 在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =4，AB =5，求tan A 、cot A 的值. 要求：1、学生独立完成；2、归纳、小结：求锐角的三角比时， 常会用到勾股定理. 书本P63—练习25.1(1) 四、课堂小结(1) 通过今天的学习，你有什么收获和体会？(2) 一个锐角的正切或余切的值与这个锐角的大小有确定的依赖关系；理解直角三角形的两条直角边的比值是一个定值，并引入正切、余切的概念.同一个锐角的正切值与余切值是一对倒数，让学生掌握.让学生知道互余的两个角，一个角的正切值等于另一个角的余切值.课堂小结，对本节课内容作简要回顾.a CA B c bACBCED AMNP(3) 初中阶段锐角的三角比是在直角三角形里研究的，如果没有适当的直角三角形，可以构造直角三角形解决. 五、作业必做题 练习册 习题25.1(1)选做题 已知：如图，在△ABC 中， tan B =1，cot C =2，BC =6，求△ABC 的 面积.作业分层，满足不同层次的学生；并渗透构造直角三角形的方法.教学设计说明：《锐角的三角比》是初三第一学期的几何教学内容，它在解决实际问题中有着重要的作用。

沪教版（上海）九年级上学期25.1 第1课时锐角的三角比的意义（1）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 在平面直角坐标系中，按如图方式放置（直角顶点为A），已知A（2，0），B（0，4），点C在双曲线（x＞0）上，且AC=，将沿x轴正方向向右平移，当点B落在该双曲线上时，点A的横坐标变成（）A．3B．4C．5D．62 . 如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴，y轴上，连OB，将纸片OABC 沿OB折叠，使点A落在A′的位置，若OB=，tan∠BOC=，则点A′的坐标（）A．（，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）3 . 如图，在中，，，，于D，设，则的值为（）A．B．C．D．4 . 如图，在矩形中，，是上的一点，将沿直线折得，若平分，则折痕的长为（）A．6B．C．D．3二、填空题5 . 如图，已知中，，是边的中点，，垂足为点，若，则________．6 . 如果m≤0，那么一元二次方程3x2﹣2x+m＝0的根的情况应该是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个正的实数根7 . 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝3，∠EAF＝45°，则DF的长是_____．8 . 如图，边长为1的正方形网格中，AB__3．（填“＞”，“＝”或“＜”）9 . 某建筑物的走廊墙壁上搭了-个长4m的梯子，梯子底端正好与地面成45°角，影响了人们的正常行走．为了拓宽行路通道，将梯子挪动位置，使其与地面的倾斜角恰为60°，则行路通道被拓宽了________m(结果保留根号)．10 . 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E，如果AC＝2，BC＝4，那么cot∠CAE＝_____．11 . 如图所示的网格是正方形网格，点E在线段BC 上，_____. (填“＞”，“＝”或“＜”)12 . （2018•南长区一模）如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为__________．三、解答题13 . 如图，在一个坡角为20°的斜坡上有一棵树，高为AB，当太阳光线与水平线成52°角时，测得该树斜坡上的树影BC的长为10m，求树高AB(精确到0.1m) (已知：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364，sin52°≈0.788，cos52°≈0.616，tan52°≈1.280．供选用)14 . 如图，请在三个6×6的网格中各画一个有一个内角的正切值等于3的直角三角形．（要求：所画的这三个直角三角形大小不等）15 . 轮船沿着正北方向航行，在处看到某目标岛屿在北偏西方向，继续向南航行海里到处测得这个岛屿方向变成了北偏西，若轮船保持航行的方向，则它与目标岛屿最近距离是多少？（结果精确到海里，参考数据：）16 . 在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件，求出点的坐标。

25.1（1）锐角三角比的意义一、教学内容分析通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变.二、教学目标设计1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值，对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值都不变.2、发展形象思维，初步形成由特殊到一般的演绎推理能力.三、教学重点及难点引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与邻边的比值，对边（或邻边）与斜边的比值都是不变的.四、教学过程设计一、 情景引入将一把梯子的下端放在地面上，它的上端靠着墙面，把墙面和地面所成的角画成一个直角，梯子画成线段AB ，得到一个直角三角形AOB 。

问题1：如果将梯子AB 的两端分别沿着墙面和地面滑动，思考要体现梯子的倾斜程度与哪些量有关？1)梯子与地面的夹角越大，则梯子越陡直。

2）梯子与墙面的夹角越大，则梯子越平缓。

问题2：如果没有度量角的工具，怎么来判断梯子与地面的夹角或梯子与墙面的夹角的大小呢？（观察发现梯子滑动过程中变化的量和不变的量）（1）两条直角边的比值2211OB OA OB OA <，O B A O B A 2211∠<∠ （2）斜边不变，可用直角边(对边)与斜边的比值来刻画梯子与地面夹角的大小。

结论：由此可见，直角三角形的锐角的大小，与两直角边长度的比值有关二、新课学习问题3：对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的两条直角边的比值是否是一个确定的值？任意画一个锐角A ，在∠A 的一边上任意取点B 1、B 2、B 3，再分别过这三个点向另一边作垂线，垂足依次为点C 1、C 2、C 3，得到三个直角三角形。

（这也是一般在用线段比值刻画角的大小时，常用的构造直角三角形的方法。

） （由学生给出证明，得到333222111AC C B AC C B AC C B ==） 由此可见，如果给定直角三角形的一个锐角，那么这个锐角的对边与邻边的长度的比值就是一个确定的数。

25．1（1）锐角三角比的意义一．教学目标：理解锐角的正切、余切的定义；经历锐角的三角比的概念的形成过程，获得从实际问题中抽象出数学概念的过程体验，培养观察、归纳、总结数学问题的能力；能正确使用锐角的正切、余切的符号语言，会利用定义求锐角的三角比的值。

二．教学重点：锐角的正切和余切的意义。

三．教学难点：理解一个锐角确定的直角三角形的两边的比是一个确定的值。

四、教学过程教学环节教学内容设计意图一、创铺设垫情导境入1．用中国2010年上海世界博览会的介绍引入。

2．阅读：为了测量中国馆的高度，老师设计了以下的方案：在某一时刻，测量出阳光照射下的中国馆B在地面上投下的一个清晰的阴影的长度，馆顶A的影子落在地面上的点C处。

与此同时，再测量出直立地面上一根标杆DO长和留下的影子OE长。

3．思考：为什么这样测量是可靠的？4．小组讨论，（把实际问题转化成数学问题。

）结合当前生活背景，让学生体会数学服务于生活。

二、问题1：对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的两条直角边的比值是不是一个确定的值？以问题为出发点，培养学生的直觉思维及数教案设计说明这是一节概念课，根据概念教学的规律和学生的认知特点，我设计了以下6个教学环节：1.创设情景,铺垫导入；2.层层深入,探究新知；3.师生互动,研究新知；4.练习反馈,巩固新知；5.展示交流,总结新知；6.布置作业,分层落实。

环节1中，以当前学生最熟悉的中国馆引出，阅读材料，让学生解释老师设计测量中国馆高度的可靠性。

从相似三角形的性质得出直角三角形的两条直角边的比值是个确定的值。

为下一环节的教学做好铺垫。

环节2则通过两个问题的提出让学生进行思考，得出结论：在一个直角三角形中，给定一个锐角的大小，那么它的两条直角边的比值是一个确定的值。

当角度变化，比值也发生变化。

并加以严格的理论证明，同时渗透函数的思想，也为后面学习“已知一个锐角的一个三角比的值求这个锐角的大小”提供依据。

25．1锐角三角比的意义（1）教材分析：本章我们主要从定量方面研究直角三角形，直角三角形中的边角间的数量关系主要通过三角形内角和定理、勾股定理和锐角的三角比来表述。

因此锐角的三角比是本章后续学习解直角三角形的重要基础，同时锐角的三角比的概念是三角函数概念的准备。

经过第24章《相似三角形》的学习，本节课可以通过探究使学生知道当直角三角形的锐角确定时，它的对边与邻边的比值都不变，从而明确锐角的正切和余切的定义，经历锐角的三角比的概念的形成过程。

教学目标设计1、通过探究知道当直角三角形的锐角确定时，它的对边与邻边的比值都不变；2、掌握锐角的正切和余切的定义，并能正确的描述和表示；3、能根据正切、余切概念正确进行计算。

教学重点及难点理解认识正切和余切概念，引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与邻边的比值是不变的。

教学过程设计一、复习引入1、直角三角形中的边与边、角与角的关系？2、学习单预习部分交流。

二、探究新知1、探究：（1）当∠A取确定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个定值？（2）当锐角∠A的度数发生变化时，它的对边与邻边的比值是否也发生变化？2、概念形成如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c.在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA.在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA.3、巩固新知例题1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2，求、、和的值.练习：学习单课堂练习部分ABCABC4、概念引申根据定义，在同一个直角三角形中，∠A 的正切和余切有怎样的数量关系？如果∠B 是∠A 的余角，那么它们的正切、余切值之间有怎样的数量关系？三、拓展提高练习：学习单拓展练习部分（第4、5题机动） 四、课堂小结（1）锐角A 的正切和余切的定义； （2）求锐角A 的正切和余切的方法； 五、作业布置练习册：P34 习题25.1（1）附：25．1锐角三角比的意义（1）学习单25．1锐角三角比的意义（1）学习单一、课前预习1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，用式子表示直角三角形中的边与边、角与角的关系：ABC2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45° （1）若BC=2，则AC= ，；（2）若AC=，则BC= ， ；3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30° （1）若BC=2，则AC= ，；（2）若AC=，则BC= ， ；4．由第2、第3题你有什么发现？二、课堂练习1．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则，2．如图，在Rt △PQR 中，∠R=90°，PQ=13，PR=12，则，ABC75RP 12 13三、拓展练习1．若为锐角，且，则=2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若各边长都增加一倍，则锐角B 的正切值………（ ） （A ）都增加一倍 （B ） 都减少一半 （C ）没有变化 （D ） 不能确定3．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点D 在AC 上，AD=5，过点D 作DE ⊥AB ，求的值．4．已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果，AC=6，那么BC= 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，下列各式正确的是……（ ）（A ）（B ）ABCD EACBD（C）（D）四、课外练习如图，在中，∠C=90°，点D在BC上，DA=DB，，求的值．ABCD。

C25.1锐角的三角比的意义2012.10.11教学目标： 1、 经历锐角三角比的概念的形成过程，获得从实际的数学问题中抽象出数学概 念的体验。

2、 掌握锐角三角比的定义，会根据直角三角形中的两边长求锐角的三角比的值。

3、 了解锐角的三角比的值的范围。

教学课时：2课时 第一课时：锐角的正切和余切本节课教学重点：学生经历锐角的正切概念的形成过程, 教学内容：一、知识回顾：直角三角形的锐角关系、边的关系。

1、在直角三角形 ABC 中，/ C=90° (1) 角的关系：/ A + Z B=90° (2) 边的关系：a 2，b 2=c 22、在 Rt △ ABC 中, Z C=90° (1) 当Z A=30。

贝U a:b:c= _______ (2) 当 Z A=45。

贝U a:b:c= ______结论：对于一个直角三角形，当其中一个锐角为 30°(或45°)时，那么这个三角形的三边的关系就是确定的。

二、问题探索： 问题1、对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的两条直角边的比值是否是一个确定的值？如图，任意一个锐角A ，在ZA 的一边上任意取点。

例如取点B 1> B 2、B 3三点，再分别过这三点作另一边的垂线,垂足分别为点G 、C 2、C 3，从而得到三个直角三角形, 即Rt △AC 1B 1、RWAC 2B 2、Rt AC 3B 3。

因为这三个三角形有公共锐角Z A ，所 以 Rt △ AC 1B 1 s Rt AC 2B 2 S Rt AC 3B 3,于是得到 旦21 二旦仝 二 BC 3AC 1 AC 2 AC 3由此可见，如果给定直角三角形的一个锐角，那么这个锐角的对边于邻边的 比值是一个确定的数。

问题2、当直角三角形中的一个锐角的大小变化时，这个锐角的对边与邻边 的长度的比值是否也随之变化？如图，当锐角Z MAF 变化为锐角Z NAP 时，在AP 上任取一点 EC,过点C 作CE ! AP,垂足为点C, CE 分别交AM AN 于点D E /D 得到△ ACD^n ^ ACE 这时掌握正切、余切的定义 AZDAC 的对边 DC ZEAC 的对边 EC .DAC 的邻边 _ AC'. EAC 的邻边 -AC由图可得DC 与EC 这两个比值是不同的，这说明直角三角形中，一个锐角的 AC AC 对边与邻边的长度的比值随着这个锐角的大小的变化而变化。

25.1（2）锐角三角比的意义教学目标：类比正切、余切概念的形成过程得到一个锐角的正弦与余弦的定义以及锐角三角比的定义。

能熟练运用锐角三角比的概念进行有关计算。

掌握直角三角形锐角三角比及其值的取值范围；在学习过程中培养学生分析问题解决问题的能力及学习数学的兴趣。

教学重点：理解余弦、正弦的概念；熟练运用锐角三角比的概念进行有关计算。

教学难点：灵活应用锐角三角比解决问题教学过程：3、引出概念（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦.记作sinA.sinA ＝ca==∠∠AC BC A A 的斜边的对边（2）在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余弦.记作cosA.cosA ＝cb==∠∠AB AC A A 的斜边的邻边； （3）一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角三角比。

并培养学生团结协作的精神。

三、 应 用 新 知例题1、如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=17，BC=8，求sinA 、cosA 、sinB 和cosB 的值。

思考：（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，则cosB 与sinA 有什么关系？（cosB= sinA=ca ）（互余的两个角，一个角的正弦与另一个角的余弦相等。

） （2）任何一个锐角的三角比的值都是正实数，其中正弦和余弦的值小于1，为什么？（0﹤sinA ﹤1，0﹤cosA ﹤1） （3）在直角三角形中，如何求一个锐角的三角比？巩固正弦余弦概念，会用已知边来求正弦余弦。

通过观察由学生自己总结出锐角三角比的值中正弦和余弦的值的范围，养成良好的学习习惯。

归纳：解这个题目的关键是构造直角三角形。

DAoB教学设计说明：在直角三角形中，一个锐角的三角比有4个，正切和余切是上节课的内容，本节课主要讲正弦和余弦。

本节课的重点是理解余弦、正弦的概念；熟练运用锐角三角比的概念进行有关计算。

沪教版(上海)九年级上册数学-25.1-25.2-锐角的三角比的意义-求锐角的三角比的值-教学案(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--锐角的三角比的意义 求锐角的三角比的值 教案【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边；锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cot A bA A a∠==∠的邻边的对边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边； cot B a B B b∠==∠的邻边的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA ，cosA ，tanA ，cotA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，cot A •不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A ，cot 与∠A 的乘积．书写时习惯B Ca b c上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、、2cot A（）常写成、、、2cot A．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，，，tanA＞0 cotA＞0.要点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角cotα30°45°1160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦、余切值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；tanA=cot(90°-∠A)=cotB , tanB=cot(90°-∠B)=cotA.(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商的关系：sin cos tan,cotcos sinA AA AA A==要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略例题1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B ．C ．D ．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．举一反三：【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】c= 5 ，sinA=35，cosA=45，sinB=45，cosB=35．Cabc类型二、特殊角的三角函数值的计算例题2．求下列各式的值：(1)6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)sin60°﹣4cos230°+sin45°?tan60°；(3)+cot30°﹣．【答案与解析】解：（1）原式==﹣．(2) 原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=；(3) 原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=+2．举一反三：【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=2，cosA=2，sinB=2，cosB=2．类型三、锐角三角函数之间的关系例题3．已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足（1﹣tanA ）2+|sinB ﹣|=0（1）试判断△ABC 的形状． （2）求（1+sinA ）2﹣2﹣（3+tanC ）0的值．【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA ）2+|sinB ﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°， ∴△ABC 是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用例题4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ACP ＝90°，又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ， ∴ △PCD ∽△PAB ，∴ PC CDPA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．例题5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1；(2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ， ∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=， ∴ 10sadA BD AD ==． 【总结】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA ＝1；(2)在图①中设想AB ＝AC 的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。

沪教版数学九年级上册25.1《锐角三角比的意义》教学设计一. 教材分析《锐角三角比的意义》是沪教版数学九年级上册第25.1节的内容。

本节主要介绍锐角三角比的定义和性质，以及它的应用。

通过学习本节内容，学生能够理解锐角三角比的概念，掌握锐角三角比的计算方法，并能运用锐角三角比解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本概念和性质，对三角函数有一定的理解。

但是，对于锐角三角比的概念和性质，学生可能还不够熟悉。

因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际问题，帮助学生理解和掌握锐角三角比的概念和性质。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解锐角三角比的概念，掌握锐角三角比的计算方法，能够运用锐角三角比解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角比的定义和性质。

2.难点：锐角三角比的计算方法和应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过提出问题，引导学生思考和探索；通过具体的案例，让学生理解和掌握锐角三角比的性质；通过小组合作学习，培养学生的团队合作意识和交流能力。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔。

2.学具准备：笔记本、尺子、三角板。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些实际问题，如测量 flag 的倾斜角度，引导学生思考如何解决这个问题。

通过这个问题，引入锐角三角比的概念。

2.呈现（15分钟）通过具体的案例，介绍锐角三角比的定义和性质。

例如，通过测量三角板上的角度，引导学生发现锐角三角比的规律。

3.操练（15分钟）让学生利用三角板和尺子，自己动手测量锐角三角比。

学生可以分组进行，互相交流和讨论，培养团队合作意识。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固锐角三角比的计算方法。