市北资优九年级分册 第25章 25.1 锐角的三角比的意义+罗健

25.1锐角三角比的意义（第1课时）教学目标：1、掌握锐角的正切和余切的概念及相互关系。

2、初步应用锐角的正切和余切概念求出锐角的正切和余切的值。

3、学生在探究锐角正切和余切的概念屮，经历“实验一观察一猜想一论证”的白我体验过程，从而感受数学发现、创造的历稈。

4、通过积极参与数学学习和解决问题的活动，发展主体意识、评价意识，初步养成积极探究的态度、独立思考的习惯和团队合作精神。

教学重点和难点：教学重点：锐角的正切和余切的意义。

教学难点：锐角的正切和余切表示法的理解和正确运用。

教学过程：一、复习提问1.脑筋急转弯：世界上有什么东西永远也放大不了也缩小不了呢?2.这道题蕴含了我们前一阶段所学的什么数学知识？师：在放缩变换屮，除了角是不变的量以外，还有没有其他不变的量呢?3.已知，（如图）在RtAABC ZC二90° , ZA二25° , ZB= _________ °为什么？4.已知，（如图）在RtAABC 屮，ZC二90° , BC二3, AC二4, AB= __为什么？师：我们可以看到在直角三角形屮，角与角Z间、边与边之间都存在着相互的联系，那么直角三角形的边与角Z间是占也存在着某种关系呢?5. 已知,（如图）在RtAABC ZC=90° , BC=1, AC』，ZA二6.已知，（如图）在RtAABC 屮，ZC=90° , BC=1, AB=V2 , ZA二___________师：通过以上两小题的解答，你能得出什么结论吗？7.已知，（如图）在RtAABC 屮，ZC二90° , BC=3, AC二4, ZA二 _____ ° ?师：虽然这个问题我们暂时解决不了，但是，只要我们把頁•角三角形屮的锐角与边Z间的关系学好了，这个问题就可以迎刃而解了。

设计童图：木环节是为了了解学生的认知基础，带领学生做好学习新课的知识准备。

师：当直角三角形的一个锐角的大小变化时，这个锐角的对边与邻边的长度的比值是否发生变化？师生共同探究：如图（2）,当锐角MAP变化为锐角得ZDAC的对边_DC的邻边_AC ；ZEAC的对边_ECZEAC的邻边一AC *DC EC显然，DC与E C这两个比值是不同的，说明直角三角形中AC AC一个锐角的对边与邻边的长度的比值随着这个锐角的大小的变化而变化（三）回归学案，巩固新知师板书：我们把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（ta nge nt）.锐角的正切记作tanA,即十越A -锐甬人的对边我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）.锐角A的余切记作cotA,即w s-锐甬A的对边一5C 一莎师：思考（1）同一个角A的正切与余切有什么关系？（2）互余的两个角A与B,一个角的正切与另一个角的余切有什么关系?生:若/ A+ / B=90° , j则tanA=cotB.（四）例题解析，运用新知例题1 在Rt ABC 中，/C=90 ° ,AC=3,BC=2,求tanA、tanB、cotA 和cotB 的值..(1)出示例题；(2)学生完成在课堂练习本上;(3)反馈答案；(4) 规范解题格式。

例题2 在Rt ABC 中，/ C=90 ° ,BC=4,AB=5.求cotA 和cotB 的值.（要求同上）变式训练⑴求CD 的长•⑵求 cotA 、tan / BCD 的值•（五）提升能力，拓展新知 思考题：如图：直线y=kx+b 交x 轴、 试求k 与b 的值六）交流收获，内化新知师：这一节课我们一起学了什么？生:（锐角的三角比）师：（与学生一起总结归纳具体的内容 ）师：你们还有什么疑问?生:意外生成3、•如图，已知 ABC 中，/ ACB=90,CD AB,垂足为D,AD=4,BD=9.。

锐角三角比的意义学习目标：1.知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变;2.能根据正切、余切概念正确进行计算。

学习过程： 复习旧知 1.如图，在Rt△ABC 中，直角边是__________, 斜边是__________。

∠A 的对边是__________，邻边是__________。

2.（1）Rt △ABC 中，∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与邻边比.（2）若∠A=60o 呢？（3）一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个定值？探索新课问题1. 对于一个直角三角形，如果给定了它的一个锐角的大小，那么它的两条直角边的比值是一个确定的值吗？议一议，回答以下问题：如图1：Rt △ABC 与Rt △A ’B ’C’，∠C=∠DC ’A =90°，∠A= ，那么CA BC 与A C DC ''有什么关系?结论：CA BC ____AC DC ''如果给定直角三角形的一个锐角，那么这个锐角的对边与邻边的比值就是一个_________的值。

阅读课本61-62页问题2，回答以下问题：问题2. 在图2中，当直角三角形中一个锐角的大小发生变化时，这个锐角的对边与邻边的长度的比值随着变化吗？结论：ACEC AC DC _____ 直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的长度的比值随着这个锐角的大小的变化而________D B C A （图1） （图2）阅读课本62页图23-4下面四行和最后五行，回答以下问题：如图3，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为_____________在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的____与___的比叫做∠A的正切.记作____tanA＝()()()==∠∠BCAA的邻边的对边在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的____与____的比叫做∠A的余切.记作____.cotA＝()()()()()bAA==∠∠的的想一想，再回答：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的正切和余切的数量关系是________∠B是∠A的余角，那么它们的正切、余切值之间有怎样的数量关系？_____________例题讲解例题1.在Rt⊿A BC中，∠C=900，AC=3,BC=2,求tanA和tanB的值.例题2.在Rt⊿ABC中，∠C=900，BC=4，AB=5，求cotA和cotB的值.练习反馈如果Rt⊿ABC的各边的长都扩大为原来的k倍，那么锐角A的正切、余切值是（）都扩大为原来的k倍 B.都缩小为原来的k倍C.没有变化D.不能确定2.如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则cotA＝（） AABC斜边c对边ab邻边（图3）A ．35B ．45C ．34D ．433.在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，tanA=23，则边AC 的长是( ) A ．13 B ．3 C ．43D ． 5 4.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB,垂足为点D,则 ____________________,,__________===CDAD BC AC BD CD(用正切或余切表示）课堂小结今天这节课你有什么收获？你还有什么疑问吗？拓展训练1.等腰三角形腰长与底边之比是5:6，则底角的正切值等于__________2.如图，已知点P 到x 轴的距离为10，3cot =α，则点P 的坐标为________ α在Rt △ABC 中，∠C=900，tanA=2,AB=4,那么AC=__________设△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a,b,c,且897a c c b b a +=+=+,求∠A 的余切。

《锐角的三角比的意义》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本作业设计，学生将掌握锐角三角比的定义、意义及基本应用，能够根据给定的锐角计算其三角比值，并理解三角比在解决实际问题中的重要性。

二、作业内容1. 基础知识巩固- 复习锐角的概念及三角比（正弦、余弦、正切）的定义。

- 完成课后习题，包括计算给定锐角的三角比值。

2. 理解三角比的意义- 通过实例讲解三角比在几何、物理及日常生活中的应用。

- 分析不同情境下三角比的作用及计算方法。

3. 实践操作活动- 利用直角三角板和量角器，实际测量并计算锐角的三角比值。

- 小组讨论，分享测量和计算的过程及结果。

三、作业要求1. 独立完成- 学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案。

- 对于遇到的问题，应独立思考或请教老师。

2. 准确计算- 计算过程中应保持精确度，避免粗心导致的错误。

- 掌握计算方法，熟悉三角比值的近似值。

3. 规范书写- 作业书写应工整，步骤清晰，逻辑严谨。

- 使用数学符号和公式时，应遵循规范格式。

四、作业评价1. 正确性评价- 评价学生答案的正确性，包括计算过程和结果是否准确。

- 对于错误的地方进行标记，并指导学生改正。

2. 理解深度评价- 评价学生对三角比概念的理解程度及在实践中的应用能力。

- 通过学生的实践操作活动及小组讨论情况进行评价。

3. 学习态度评价- 评价学生的作业态度，包括是否独立完成、是否认真思考等。

- 对于学习态度积极的学生给予表扬和鼓励。

五、作业反馈1. 个性化指导- 根据学生的作业情况，进行个性化的指导和辅导。

- 对于普遍存在的问题，进行集体讲解和纠正。

2. 家长沟通- 与家长沟通学生的作业情况，让家长了解孩子的学习进度和问题。

- 鼓励家长在家中继续辅导孩子，巩固课堂知识。

3. 作业优化建议- 根据学生的作业情况，调整后续的教学计划和作业设计。

- 对于难懂或易错的知识点，加强讲解和练习的力度。

通过以上的作业设计方案，学生不仅能够掌握锐角三角比的定义和计算方法，还能通过实践操作活动加深对三角比意义的理解，并培养其独立思考和解决问题的能力。

锐角的三角比的意义本章教学目标1.经历锐角的三角比概念的形成过程，获得从实际问题中抽象出数学概念的过程体验.理解锐角的三角比的定义，会利用定义求锐角的三角比的值.2.经历用几何方法探求特殊锐角的三角比的值的过程；掌握特殊锐角的三角比的值.3.会利用计算器求锐角的三角比的值；能根据锐角的三角比值求锐角的大小.4.在对满足什么条件可解直角三角形的问题分析过程中，体会从一般到特殊的思考方法；会解直角三角形.了解确定一个直角三角形所需条件与解直角三角形所需条件的一致性.5.理解仰角、俯角、坡度、坡角等概念；会运用解直角三角形的知识解决简单的实际问题；在解决实际问题的过程中，感受数学与现实的联系，增强学数学、用数学的意识和能力.（下面的课时教学目标及重难点是根据一些优秀教案收集整理的，每个班级的学情不一样，各位老师在具体设计时应作调整。

故仅供参考）25.1（1）锐角的三角比的意义教学目标1. 理解在直角三角形中，当一个锐角的大小确定后,那么这个角的对边与邻边的比值也确定了；2. 掌握直角三角形中锐角的正切、余切的定义及符号表示；3. 已知直角三角形的两边,会求锐角的正切、余切值, 掌握规范的解题书写格式；4. 掌握同一个角的正切与余切值互为倒数,知道互为余角的两个角的正切、余切的关系；5. 经历直角三角形中锐角的正切、余切的概念形成过程,获得从实际数学问题中抽象出数学概念的体验.教学重点直角三角形中锐角的正切、余切的定义,会求正切、余切的值.教学难点理解直角三角形中,锐角的大小与两边的长度的比值的关系.25.1（2）锐角的三角比的意义教学目标1.理解当直角三角形的一个锐角的大小确定后,那么它的任意两边的比值都是确定的；2. 理解直角三角形锐角的正弦和余弦的定义,掌握符号表示;知道互余的两个角正弦和余弦的关系；3. 掌握已知直角三角形的两边,会求锐角的正弦和余弦的值;已知锐角的正弦或余弦值,能求边长；4. 掌握在直角坐标平面的背景下求锐角的三角比的值；5. 了解直角三角形锐角三角比值的取值范围；培养分析问题解决问题的能力.教学重点理解直角三角形锐角的正弦和余弦的定义;求锐角的正弦和余弦的值.教学难点了解直角三角形锐角三角比的值的取值范围.25.2（1）求锐角的三角比的值（特殊锐角的三角比的值）教学目标1. 经历用几何方法探求特殊角的三角比值的过程, 掌握特殊角的三角比值; 知道随着锐角的增大, 三角比值的增减规律；2. 掌握已知含有某特殊锐角的三角比的式子,能写出值;已知值,能写出含有某特殊锐角的三角比的式子；3. 会运用特殊角的三角比值进行计算,求锐角的大小；领悟数形结合思想；提高应用数学方法解决问题的能力.教学重点 30°、45°、60°角的三角比值,利用比值进行计算.教学难点三角比的值的记忆.25.2（2）求锐角的三角比的值（使用计算器求锐角的三角比的值）教学目标1. 会使用计算器由已知锐角求它的三角比的值, 由已知三角比的值求它所对应的锐角；2. 培养学数学,用数学的意识,提高用所学数学知识解决实际问题的能力.教学重点使用计算器求三角比的值.教学难点已知一个角的三角比的值，使用计算器求这个角的度数.25.3（1）解直角三角形教学目标1.掌握在直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系；2.了解解直角三角形的概念,掌握两类基本解直角三角形(已知两边或一边和一锐角)的方法；3.掌握选择合理的关系式和算法（包括用计算器计算时，过程比较简单，误差较小等）解直角三角形；4.经历对满足什么条件的直角三角形可以求解的问题的分析过程，体验从一般到特殊的思维方法.教学重点掌握两类基本解直角三角形的方法.教学难点选择合理的算法解直角三角形.25.3（2）解直角三角形教学目标掌握根据条件，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系解决问题的方法,领会化归的数学思想教学重点构造直角三角形,利用直角三角形的边角关系解决问题.教学难点根据条件, 设法构造直角三角形.25.4（1）解直角三角形的应用教学目标1. 掌握仰角、俯角的概念；2. 掌握利用解直角三角形的知识解决测高, 测距的问题；3. 在解决生活实际中的问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学数学、用数学的意识和能力.教学重点仰角、俯角的概念, 利用解直角三角形的知识解决测高, 测距的问题.教学难点根据题目条件，设计测高、测距方案, 正确画出相关几何图形.25.4（２）解直角三角形的应用教学目标1. 掌握利用解直角三角形的知识, 解决有关方向角的测距问题；2. 利用方程解有一条公共边的两个直角三角形实际问题, 领会化归和方程的数学思想；3. 经历设计测量方案, 把实际问题抽象为数学问题过程, 提高学数学, 用数学的能力.教学重点用解直角三角形的知识解决实际生活中测高、测距类（有一条公共边的两个直角三角形）的问题教学难点构造直角三角形、建立方程, 解直角三角形.25.4（3）解直角三角形的应用教学目标1.掌握坡比, 坡角的概念, 会根据条件求坡比或坡角；2.利用解直角三角形解决有关坡比, 坡角的实际问题；3.在解直角三角形（或任意三角形）中，进一步领会方程思想和化归思想.教学重点利用解直角三角形解决有关坡比, 坡角的实际问题.教学难点把实际问题转化为数学问题, 画出图形,构造直角三角形.25.4（4）解直角三角形的应用教学目标1.掌握利用解直角三角形解决有关实际问题.2.在解直角三角形（或任意三角形）时，进一步领会方程思想和化归思想教学重点掌握利用解直角三角形解决有关实际问题.教学难点把实际问题转化为数学问题,画出几何图形,构造直角三角形.。

1.锐角三角比的意义
1.锐角的三角比的意义★★
正切★★直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）.
余切★★直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）.
正弦★★直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）.
余弦★★直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）.
三角比★★一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比（trigonometric ratio）.
要点解析
1.如图，在RtΔABC中，锐角A的正切、余切、正弦、余弦分别为
2.tanA、cotA、sinA、cosA分别是∠A的正切、余切、正弦、余弦的数学表示符号，各自是一个整体，不能理解为tan与A、cot与A、sin与A、cos与A相乘，写成tan·A、cot·A、sin·A、cos·A的形式.
3.锐角的三角比均是两条线段的比值，是一个数值，没有单位，其大小只与锐角的大小有关，与三角形的大小无关.。

数学九年级上学期25.1 第1课时锐角的三角比的意义（1）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图，在直角△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长为A．6B．5C．4D．32 . 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（）A．B．C．D．3 . 如图，为了测量一河岸相对两电线杆，间的距离，在距点米的处测得，则，间的距离应为（）A．米B．米C．米D．米4 . 如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，BD与CE相交于点F，则△BEF与△DCF的面积比为（）A．1：2B．2：1C．4：1D．1：4二、填空题5 . 如图，AC是□ABCD的对角线，且AC⊥AB，在AD上截取AH＝AB，连接BH交AC于点F，过点C作CE平分∠ACB交BH于点G，且GF＝，CG＝3，则AC＝___．6 . 点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB的距离是______.7 . 如图，△ABC内接于⊙O，AO＝2，BC＝，则∠BAC的度数为____°．8 . 一元二次方程ax2﹣px+1＝q（a≠0）的根的判别式是_____．9 . 在锐角三角形ABC中，∠B=60°，AD⊥BC于D，AD=3，AC=5，则AB=_____．10 . ∠A的余角为60°，则∠A的补角为°，tanA= ．11 . 有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为．12 . 如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（，2），则cosα的值为_____．三、解答题13 . 已知：如图，在△中，∠，平分∠，，垂足为点，，．求：（1）的长；（2）求∠的正切值．14 . 如图，在中，为的直径，交边于点，连接，过点作的切线，且于点（1）求证：（2）若的直径为5，求15 . 某海滨浴场的海岸线可以看作直线l（如图），有两位救生员在岸边的点A同时接到了海中的点B（该点视为定点）的呼救信号后，立即从不同的路径前往救助．其中1号救生员从点A先跑300米到离点B最近的点D，再跳入海中沿直线游到点B救助；2号救生员先从点A跑到点C，再跳入海中沿直线游到点B救助．如果两位救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，且∠BAD=45°，∠BCD=60°，请问1号救生员与2号救生员谁先到达点B？16 . 如图，已知是的直径，弦与交于点，过点作的切线与长线交于点，，，．求：（1）的长度；（2）的值．17 . 某学校为增加体育馆观众坐席数量，决定对体育馆进行施工改造．如图，为体育馆改造的截面示意图．已知原座位区最高点A到地面的铅直高度AC长度为15米，原坡面AB的倾斜角∠ABC为45°，原坡脚B与场馆中央的运动区边界的安全距离BD为5米．如果按照施工方提供的设计方案施工，新座位区最高点E到地面的铅直高度EG长度保持15米不变，使A、E两点间距离为2米，使改造后坡面EF的倾斜角∠EFG为37°．若学校要求新坡脚F需与场馆中央的运动区边界的安全距离FD至少保持2.5米（即FD≥2.5），请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求呢？请说明理由．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈）18 . 如图，河对岸有古塔AA．小敏在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进20米B．在D处测得A的仰角为45°，则塔高是多少米？到达19 . 如图，在平面直角坐标系中，已知 A（-2,0），B（0，m）两点，且线段AB= 2 ，以 AB 为边在第二象限内作正方形 ABCD。

沪教版(上海)九年级上册数学-25.1-25.2-锐角的三角比的意义-求锐角的三角比的值-教学案(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--锐角的三角比的意义 求锐角的三角比的值 教案【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边；锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cot A bA A a∠==∠的邻边的对边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边； cot B a B B b∠==∠的邻边的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA ，cosA ，tanA ，cotA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，cot A •不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A ，cot 与∠A 的乘积．书写时习惯B Ca b c上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、、2cot A（）常写成、、、2cot A．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，，，tanA＞0 cotA＞0.要点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角cotα30°45°1160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦、余切值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；tanA=cot(90°-∠A)=cotB , tanB=cot(90°-∠B)=cotA.(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商的关系：sin cos tan,cotcos sinA AA AA A==要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略例题1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B ．C ．D ．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．举一反三：【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】c= 5 ，sinA=35，cosA=45，sinB=45，cosB=35．Cabc类型二、特殊角的三角函数值的计算例题2．求下列各式的值：(1)6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)sin60°﹣4cos230°+sin45°?tan60°；(3)+cot30°﹣．【答案与解析】解：（1）原式==﹣．(2) 原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=；(3) 原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=+2．举一反三：【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=2，cosA=2，sinB=2，cosB=2．类型三、锐角三角函数之间的关系例题3．已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足（1﹣tanA ）2+|sinB ﹣|=0（1）试判断△ABC 的形状． （2）求（1+sinA ）2﹣2﹣（3+tanC ）0的值．【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA ）2+|sinB ﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°， ∴△ABC 是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用例题4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ACP ＝90°，又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ， ∴ △PCD ∽△PAB ，∴ PC CDPA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．例题5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1；(2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ， ∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=， ∴ 10sadA BD AD ==． 【总结】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA ＝1；(2)在图①中设想AB ＝AC 的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。

沪教版数学九年级上册25.1《锐角三角比的意义》教学设计一. 教材分析《锐角三角比的意义》是沪教版数学九年级上册第25.1节的内容。

本节主要介绍锐角三角比的定义和性质，以及它的应用。

通过学习本节内容，学生能够理解锐角三角比的概念，掌握锐角三角比的计算方法，并能运用锐角三角比解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本概念和性质，对三角函数有一定的理解。

但是，对于锐角三角比的概念和性质，学生可能还不够熟悉。

因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际问题，帮助学生理解和掌握锐角三角比的概念和性质。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解锐角三角比的概念，掌握锐角三角比的计算方法，能够运用锐角三角比解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角比的定义和性质。

2.难点：锐角三角比的计算方法和应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过提出问题，引导学生思考和探索；通过具体的案例，让学生理解和掌握锐角三角比的性质；通过小组合作学习，培养学生的团队合作意识和交流能力。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔。

2.学具准备：笔记本、尺子、三角板。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些实际问题，如测量 flag 的倾斜角度，引导学生思考如何解决这个问题。

通过这个问题，引入锐角三角比的概念。

2.呈现（15分钟）通过具体的案例，介绍锐角三角比的定义和性质。

例如，通过测量三角板上的角度，引导学生发现锐角三角比的规律。

3.操练（15分钟）让学生利用三角板和尺子，自己动手测量锐角三角比。

学生可以分组进行，互相交流和讨论，培养团队合作意识。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固锐角三角比的计算方法。