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2015年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】解：=故选D．复数分母实数化，再化简即可．本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，是基础题．2.已知集合M={-1，0，1，2}，N={y|y=x2，x∈M}，则M∩N=（）A.{0，1}B.{-1，0，1，2，4}C.{1，4}D.{0，1，2}【答案】A【解析】解：∵M={-1，0，1，2}，N={y|y=x2，x∈M}，∴N={0，1，4}，则M∩N={0，1}，故选：A．把M中元素代入y=x2，求出y的值确定出N，找出M与N的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.抛物线y=-4x2的准线方程为（）A. B. C.x=-1 D.x=1【答案】B【解析】解：抛物线y=-4x2的方程化为，∴p=，其准线方程为y=．故选：B．利用抛物线的标准方程及其性质即可得出．本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.某空间几何体的三视图如图所示（其中俯视图的弧线为四分之一圆），则该几何体的表面积为（）A.5π+4B.14π+4C.5π+12D.14π+12【答案】C【解析】解：该几何体为圆柱的四分之一，其两个长方形的面积为2×3×2=12，其上下底面的面积和为×π22=2π，其曲面的面积为3××2π×2=3π；故表面积为12+2π+3π=12+5π；故选C．三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为圆柱的四分之一．三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．5.“a＜1”是“x+≥a对x∈（-1，+∞）恒成立”的（）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】解：∵x＞-1，∴x+1＞0，∴x+=（x+1）+-1≥2-1=1，若x+≥a对x∈（-1，+∞）恒成立，则a≤1，∴a＜1是a≤1的充分不必要条件，故选：A．结合基本不等式的性质先求出“x+≥a对x∈（-1，+∞）恒成立”的充要条件，从而判定出答案．本题考查了基本不等式的性质，考查了充分必要条件，函数恒成立问题，本题属于基础题．6.已知等差数列{a n}的前9项的和为27，则=（）A.16B.2C.6 4D.128【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}的前9项的和为S9=27，∴S9===27，解得a2+a8=6，∴=26=64故选：C由等差数列的求和公式和性质可得结论．本题考查等差数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属基础题．7.曲线在点（e，e2）处的切线与直线x+ay=1垂直，则实数a的值为（）A.-B.eC.D.-e【答案】B【解析】解：的导数为y′=，则在点（e，e2）处的切线斜率为k=2e-e=e，由切线与直线x+ay=1垂直，即有-•e=-1，解得a=e，故选B．求出函数的导数，求得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，可得a的方程，即可得到a的值．本题考查导数的几何意义，同时考查两直线垂直的条件，正确求导是解题的关键．8.为了得到函数的图象，可将函数g（x）=sin2x+cos2x的图象（）A.向左平移B.向右平移C.向左平移D.向右平移【答案】D【解析】解：将函数g（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得函数f（x）=2sin[2（x-）+]=2sin（2x-）的图象，故选：D．由条件根据函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9.已知x，y满足时．则的取值范围是（）A.[-，]B.（-∞，-]∪[，+∞）C.[-4，6]D.（-∞，-4]∪[6，+∞）【答案】D【解析】解：==1+2•，设z=1+2•，k=，则k的几何意义是区域内的点与点D（1，-2）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图3由，解得，即A（-1，2），由，解得，即B（3，2），则DB的斜率k==DA的斜率为k=，由图象知k≥或k≤-，则2k≥5或2k≤-5，即1+2k≥6或1+2k≤-4，即z≥6或z≤-4，故选：D．作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的求解，利用数形结合是解决本题的关键．10.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2-x）=f（x）当x∈[0，1]时，f（x）=e-x，若函数y=[f（x）]2+（m+l）f（x）+n在区间[-k，k]（k＞0）内有奇数个零点，则m+n=（）A.-2B.0C.1D.2【答案】A【解析】解：∵y=f（x）是偶函数；又∵函数y=[f（x）]2+（m+1）f（x）+n在区间[-k，k]内有奇数个零点；∴若该函数在[-k，0）有零点，则对应在（0，k]有相同的零点；∵零点个数为奇数，∴x=0时该函数有零点；∴0=1+m+1+n；∴m+n=-2．故选：A．根据已知条件，f（x）为偶函数，再结合零点的定义可知，函数y=[f（x）]2+（m+1）f（x）+n在区间[-k，0）和区间（0，k]上的零点个数相同，所以便知k=0是该函数的一个零点，所以可得到0=1+m+1+n，所以m+n=-2．考查偶函数的定义：f（-x）=f（x），零点的定义，以及对于零点定义的运用．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.不等式2-lnx≥0解集是______ ．【答案】（0，e2]【解析】解：由2-lnx≥0，得lnx≤2，解得：0＜x≤e2．∴不等式2-lnx≥0的解集是（0，e2]．故答案为：（0，e2]．直接由对数函数的单调性求解对数不等式得答案．本题考查了对数不等式的解法，考查了对数不等式的性质，是基础题．12.如图所示的程序框图，若输入的x的值是1，则输出的结果为______【答案】4【解析】解：模拟执行程序，可得x=1，i=1x=5，i=2不满足条件x≥26，x=17，i=3不满足条件x≥26，x=53，i=4满足条件x≥26，退出循环，输出i的值为4．故答案为：4．模拟执行程序，依次写出每次循环得到的x，i的值，当x=53时满足条件x≥26，退出循环，输出i的值为4，从而得解．本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的x，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．13.已知P是x2+y2-2x-2y+1=0上动点，PA、PB是圆（x-4）2+（y-5）2=4的切线，A，B为切点，则∠APB的最大值为______ ．【答案】60°【解析】解：圆x2+y2-2x-2y+1=0的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=1，圆心坐标为D（1，1），半径R=1，圆（x-4）2+（y-5）2=4的圆心坐标为C（4，5），半径r=2，若∠APB最大，则∠APC最大，即CP最小，则由图象知，CP的最小值为CD-DP=-1==5-1=4，此时sin∠APC=，则∠APC=30°，即∠APB=2∠APC=60°，故答案为：60°求出圆的标准方程，作出对应的图象，利用两点间的距离关系求出CP的距离，要求∠APB最大，等价为CP最小即可．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合将条件进行等价转化是解决本题的关键．14.设点P是函数y=x+（x＞0）的图象上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A，B，则= ______ ．【答案】-2【解析】解：设P（x，x+）（x＞0），则点P到直线y=x和y轴的距离分别为：|PA|==，|PB|=x．∵O、A、P、B四点共圆，所以∠APB=π-∠AOB=，∴=•x•cos=-2，故答案为：-2．设P（x，x+）（x＞0），可得|PA|、|PB|，由O、A、P、B四点共圆，可得∠APB=，由数量积定义可求．本题考查平面向量数量积的运算，涉及点到直线的距离公式和四点共圆的性质，属中档题．15.矩形ABCD中，AD=2，AB=4，E，F分别为边AB，AD的中点，将△ADE沿DE折起，点A，F折起后分别为点A′，F′，得到四棱锥A′-BCDE．给出下列几个结论：①A′，B，C，F′四点共面；②EF'∥平面A′BC；③若平面A′DE⊥平面BCDE，则CE⊥A′D；④四棱锥A′-BCDE体积的最大值为．其中正确的是______ （填上所有正确的序号）．【答案】②③【解析】解：由题意知，矩形ABCD折叠后的图由图可知，F'点不在平面A'BC上，因此四点不共面，①说法错误；去A'C中点为G，连接F'G，GB，F'E如图所以F'G为三角形A'DC的中位线，∵DC=2EB=2F'G∴F'G平行且等于EB，四边形F'EBG是平行四边形，∴EF'∥GB，GB⊂面A'BC，②正确；∵AB=2AD，∴DE⊥CE，DE为垂线，由面面垂直结论，CE⊥面A'DE，③正确；当面A'DE旋转到与底面垂直时体积最大，为2．故答案为：②③．根据折叠前后图形的特点逐个分析即可．该题主要考察了空间四棱锥线与面的位置关系，以及线面平行，面面垂直定理的应用，涉及计算，属于易错题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2，c=2．（Ⅰ）若A=，求a；（Ⅱ）若C=+A，求角A．【答案】解：（I）由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccos A==28，解得a=2．（II）∵C=+A，∴=，由正弦定理可得：=，∴，∴，，解得cos A=或．∵A为锐角，∴cos A=，．【解析】（I）由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccos A，代入解出即可．（II）由C=+A，可得=，由正弦定理可得：，化简解出即可．本题考查了余弦定理、正弦定理、倍角公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.每年的4月23日为“世界读书日”，某市为了解市民每日读书的时间，随机对100位市民进行抽样调查，得到如下表格：（Ⅰ）估计该市市民每日读书时间的平均值；（Ⅱ）现从每日读书时间3-5小时（包括3小时，不包括5小时）的被调查者中随机抽取两位进行回访，求这两人的每日读书时间均在3-4小时（包括3小时，不包括4小时）的概率．【答案】解：（Ⅰ）平均=0.5×0.6+1.5×0.25+2.5×0.1+3.5×0.04+4.5×0.01=1.11（Ⅱ）每日读书时间3-5小时（包括3小时，不包括5小时）的被调查者中随机抽取两位进行回访，由表可知，[3，4）有4人，用a，b，c，d表示，[4，5）有1人，用A表示，则随机抽取两位共有10种方法分别如下：ab，ac，ad，a A，bc，bd，b A，cd，c A，d A，其中这两人的每日读书时间均在3-4小时（包括3小时，不包括4小时）共有6种，根据概率公式得P==．【解析】（Ⅰ）根据平均数的计算公式计算即可；（Ⅱ）一一列举出所有的基本事件，找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．本题考查了古典概率模型的问题，关键是不重不漏的列举出基本事件，属于基础题18.已知数列{a n}满足a n＞0，a1=2，且a n+12=2a n2+a n a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，，求数列{c n}的前n项和S n．【答案】解：（Ⅰ）∵a n+12=2a n2+a n a n+1，∴，即（a n+1+a n）（2a n-a n+1）=0，又a n＞0，∴2a n-a n+1=0，即，∴数列{a n}是公比为2的等比数列，又∵a1=2，∴；（Ⅱ），，，那么，两式作差得：=2+2（22+23+…+2n）-（2n-1）×2n+1==2+8（2n-1-1）-（2n-1）2n+1=（3-2n）2n+1-6．故．【解析】（Ⅰ）把已知的数列递推式变形，因式分解后得到数列{a n}是公比为2的等比数列，然后由等比数列的通项公式得答案；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的{a n}的通项公式代入求得b n，再把a n、b n代入c n=a n•b n后利用错位相减法求得数列{c n}的前n项和S n．本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．19.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=A1B1=2，BC=（Ⅰ）若E为线段CC1的中点，求证：平面A1BE⊥平面B1CD；（Ⅱ）若点P为侧面A1ABB1（包含边界）内的一个动点，且C1P∥平面A1BE，求线段C1P长度的最小值．【答案】解：（Ⅰ）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，∴CD⊥BE…（3分）又∵E为线段CC1的中点，由已知得R t△B1BC∽R t△BCE，∴∠EBC=∠BB1C，∴∠EBB1+∠BB1C=90°，故BE⊥B1C，且B1C∩CD=C，∴BE⊥平面B1CD，又BE⊂平面A1BE，∴平面A1BE⊥平面B1CD，…（7分）（Ⅱ）取线段A1，B1的中点M，线段BB1的中点N，连接C1M，C1N，MN，易得C1N∥BE，MN∥A1B，又MN∩C1N=N，BA1∩BE=B，∴平面C1MN∥平面A1BE，故点P为线段MN上的动点，且C1P∥面A1BE，要使得线段C1P长度最小，则C1P⊥MN，在△C1MN中，C1M=C1N=，MN=，易得C1P=…（13分）【解析】（Ⅰ）先证明CD⊥BE，又可证BE⊥B1C，且B1C∩CD=C，从而证明BE⊥平面B1CD，即可证明平面A1BE⊥平面B1CD．（Ⅱ）取线段A1，B1的中点M，线段BB1的中点N，连接C1M，C1N，MN，易得C1N∥BE，MN∥A1B，又MN∩C1N=N，BA1∩BE=B，可证平面C1MN∥平面A1BE，从而有点P 为线段MN上的动点，且C1P∥面A1BE，要使得线段C1P长度最小，则C1P⊥MN，在△C1MN中，易求得C1P的值．本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．20.已知函数f（x）=e x（x2+ax-a）（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a≤4时，求函数f（x）在[0，3]上的最小值．【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=e x（x2+x-1），令f'（x）=e x（x2+x-1）+e x（2x+1）=e x（x2+3x）=0，则有x=0或x=-3，所以f（x）在（-∞，-3）上为增函数，在（-3，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，从而f（x）的极小值为f（0）=-1，f（x）的极大值为f（-3）=5e-3；（Ⅱ）根据题意，令f'（x）=e x（x2+ax-a）+e x（2x+a）=e x[x2+（a+2）x]=0，则x2+（a+2）x=0，又a≤-4，故-a-2≥2，所以x=0或x=-a-2，易知f（x）在（-∞，0）上为增函数，在（0，-a-2）上为减函数，在（-a-2，+∞）上为增函数，根据a≤4，解f'（x）=0得x=0或-a-2，再分-5＜a≤-4和a≤-5两情况讨论即可．①当-5＜a≤-4，即2≤-a-2＜3时，f（x）在（0，-a-2）上为减函数，在（-a-2，3）上为增函数，此时f（x）min=f（-a-2）=e-a-2（a+4）；②当a≤-5，即-a-2≥3时，f（x）在[0，3]上为减函数，此时f（x）min=f（3）=e3（2a+9）．【解析】（Ⅰ）先求出a=1时，f（x）=e x（x2+x-1），求f'（x）=e x（x2+3x）即可；（Ⅱ）根据a≤4，解f'（x）=0得x=0或-a-2，再分-5＜a≤-4和a≤-5两情况讨论即可．高中数学试卷第11页，共12页 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，其中解答的关键的根据已知函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，并判断其符号．21.如图，已知椭圆E ： ＞ ＞ 的下顶点为B ，右焦点为F ，直线BF 与椭圆E 的另一个交点为A ，． （Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）若点P 为椭圆上的一个动点，且△PAB 面积的最大值为 ，求椭圆E 的方程．【答案】解：（I ）∵B （0，-b ），F （c ，0），． 可得A ， ，代入椭圆的标准方程可得：，化为 ， ∴． （II ）由（I ）可知：a = c ，b =c ．可得k BF =1， ， ，B （0，-c ），|AB|= c ，直线AB 的方程为：y =x -c ．当△PAB 面积取最大值时，动点P 离直线AB 的距离最大．设直线l ：y =x +m （m ＞0），为椭圆的一条切线，且l ∥AB ．联立，化为3x 2+4mx +2m 2-2c 2=0， 由△=0，可得 c ，即l ：y =x + ，直线l 与AB 的距离d =， 此时S △PAB = = = ， 解得c =1，可得a = ，b =1．∴椭圆的标准方程为：．【解析】（I ）由B （0，-b ），F （c ，0）， ．可得A，，代入椭圆的标准方程即可得出e．（II）由（I）可知：a=c，b=c．可得k BF=1，，，B（0，-c），|AB|=c，直线AB的方程为：y=x-c．当△PAB面积取最大值时，动点P离直线AB的距离最大．设直线l：y=x+m（m＞0），为椭圆的一条切线，与椭圆的方程联立可得3x2+4mx+2m2-2c2=0，由△=0，可得c，可得直线l与AB的距离d=，此时S△PAB==，解出即可．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题转化为△=0、平行线之间的距离、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．高中数学试卷第12页，共12页。
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、下列反常积分中收敛的是（）（A ）2dx x+∞⎰（B ）2ln xdx x+∞⎰(C)21ln dx x x+∞⎰(D)2x x dx e+∞⎰【答案】(D)【考点】反常积分的收敛性 【难易度】★★ 【详解】（A ）22dx x x +∞==+∞⎰，发散，（B ）222ln 1(ln )2x dx x x +∞+∞==+∞⎰，发散 （C ）221ln ln ln dx x x x +∞+∞==+∞⎰，发散 （D ）当x 足够大时，21x x e x <，221dx x +∞⎰收敛，2x x dx e +∞⎰收敛2、函数20sin ()lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内（） （A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】(B)【考点】极限的计算 【难易度】★★【详解】当0x ≠时，22sin sin00sin sin ()=lim(1)lim(1)x x t xx t t x t t t t t f x e x x→→+=+= 3、设函数1cos ,0()0,0x x f x xx αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（） （A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【考点】导数的定义、连续的定义【难易度】★★★ 【详解】100()(0)1(0)=limlim cos x x f x f f x x xαβ-→→-'=存在 所以10α->，且(0)=0f '1111()=cossin f x x x x xααβββαβ---'+ 由0lim ()(0)0x f x f →''==，得10αβ-->，1αβ->4、设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】C【考点】拐点的定义 【难易度】★★★【详解】由图易知，拐点为原点和与x 正半轴的交点，所以拐点数为2 5、设函数(u v)f ，满足22(,)y f x y x y x +=-，则11u v fu ==∂∂与11u v f v==∂∂依次是（）（A ）12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12【答案】(D)【考点】链式求导法则 【难易度】★★6、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,3y x y x ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（B ）sin 22142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D ）sin 23142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【答案】(B)【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★7、设矩阵A=211112a 14a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，b=21d d ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（）（A ）,a d ∉Ω∉Ω (B),a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【考点】线性方程组 【难易度】★★【详解】[]()()()()2211111111,12011114001212A b a d a d a d a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦Ax b =有无穷多解⇔R(A)=R(A,b)<31212a a d d ⇔====或且或.8、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（ ）(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++【答案】(A) 【考点】二次型 【难易度】★★★【详解】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且：200010001T P AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦100200001,()010010001T T T Q P PC Q AQ C P AP C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以222123()2T T T f x Ax y Q AA y y y y ===-+，故选(A)二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、设2231arctan ,3t x t d y dx y t t ==⎧=⎨=+⎩则 【答案】48【考点】复合函数的求导法则 【难易度】★★【详解】2222333(1)11dy dy dt t t dx dx dtt +===++， 22222212(1)12(1)11d dy d y t t dt dx t t dx dx dtt ⎛⎫⎪+⎝⎭===++， 因此，212121448t d y dx==⋅⋅=.10、函数2()2xf x x =在0x =处的n 阶导数()(0)n f=【答案】2(1)(ln 2)n n n --【考点】高阶导数；莱布尼兹公式：()()0()()nn kn k k n k uv C u v -==∑ 【难易度】★★ 【详解】()()()2()2n n x fx x =⋅()(0)n f ⇒()()(2)222(1)222(ln 2)2n x x n nx x n n C x --==-''==⋅⋅⋅2(1)(ln 2)n n n -=-.11、设函数()f x 连续，2()(),x x xf t dt ϕ=⎰若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =【答案】2【考点】变限积分求导 【难易度】★★ 【详解】2220()()()()2()x x x x f t dt x f t dt x x f x ϕϕ'=⇒=+⋅⋅⎰⎰1(1)()2(1)(1)2(1)5(1)2f t dt f f f ϕϕ'=+=+=⇒=⎰.12、设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = 【答案】 【考点】【难易度】★★【详解】微分方程的通解是212xx y c ec e -=+则12(0)33y c c ==+=，12(0)020y c c '==-+=，121,2c c ⇒==22x x y e e -⇒=+.13、若函数(,)z z x y =由方程231x y ze xyz +++=确定，则(0,0)dz =【答案】1233dx dy --【考点】隐函数求导法则 【难易度】★★★【详解】,0z zdz dx dy x x y∂∂=+=∂∂0y =0z = 两边对x 求导23(31)0x y z z ze yz xy x x ++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==01|3x z x =∂=-∂两边对y 求导23(32)0x y zz zexz xy y y++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==02|3y z y =∂⇒=-∂(0,0)12|33dz dx dy ⇒=--. 14、设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = 【答案】21【考点】矩阵的特征值 【难易度】★★【详解】A 的特征值为2，-2,1，又由于2B A A E =-+，因此矩阵B 的特征值为3,7,1，因此矩阵B 的行列式的值为21三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求,,a b k 的值。
学年第 二 学期 课程名称 高等数学（下）一、填空题（每小题3分，满分15分） 1．设函数ln(32)xy z x y e =-+，则(1,0)dz =3144dx dy -。
2．=⎰⎰dy yydx x sin 0ππ2。
3．设V 为柱体：10,122≤≤≤+z y x ，则=⎰⎰⎰υυd e z(1)e π-。
4．设()1f x x =+，ππ≤≤-x ，则其以2π为周期的傅立叶级数在点x π=处收敛于1。
二、选择题（每小题3分，共15分） 1．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,,),(2222,y x y x y x xy y x f 则（ .C ）.A ),(lim 0y x f y x →→存在 .B ),(y x f 在点(0,0)处连续.C )0,0(),0,0(y x f f ''都存在 .D ),(y x f 在点(0,0)处可微2．曲线⎩⎨⎧=-+=+-632,922222z y x z e x y 在点(3,0,2)处的切线方程为（.B ） .A 32x y z -==- .B 326yx z -==- .C 32214x y z --==- .D {3(2)0x z y -=--= 3．设L 为圆周,122=+y x 则⎰=+Lds y x)(33（ .A ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 34．设常数0a >，则级数1111(1)ln n an n n∞++=-∑（ .C ）。
.A 发散 .B 条件收敛 .C 绝对收敛 .D 敛散性与a 有关。
三、设),)((2xy y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂。
（本题10分）解：122()zx y f yf x∂=-+∂， 2121111222122(2())22()[2()][2()]z x y f yf f x y x y f xf f y y x f xf x y y∂∂=-+=-+---+++-+∂∂∂ 221111222224()2()f x y f x y f xyf f =---+-++ 四（10分）、求函数)1(),(-=y x y x f 在由上半圆周)0(322≥=+y y x 与x 轴所围成的闭区域D 上的最大值和最小值。
考研数学二真题及答案解析集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)下列反常积分中收敛的是(A)∫x +2 (B)∫xxxx +∞2xx (C)∫1xxxx +∞2xx (D) ∫xx x+∞2xx【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
∫√x +2=2√x |2+∞=+∞；∫xxx x+∞2xx =∫xxx +∞2x (xxx )=12(xxx )2|2+∞=+∞； ∫1xxxx +∞2xx =∫1xxx +∞2x (xxx )=ln ?(xxx )|2+∞=+∞；∫x x x +∞2xx =−∫x +∞2xx −x =−xx −x |2+∞+∫x −x +∞2xx =2x −2−x −x |2+∞=3x −2， 因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数x (x )=lim x →0(1+xxx x x)x2x 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有x (x )=lim x →0(1+xxx x x)x 2x=xlimx →0x 2x(1+xxx x x −1)=ex limx →0xxxxx=x x (x ≠0),x (x )在x =0处无定义，且lim x →0x (x )=lim x →0x x =1,所以 x =0是x (x )的可去间断点，选B 。
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数x (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,x >0).若x ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<x −β≤2 【答案】A 【解析】易求出x′(x )={xx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0，0,x ≤0再有 x +′(0)=lim x →0+x (x )−x (0)x =lim x →0+x α−1cos 1x β={0, α>1,不存在，α≤1， x −′(0)=0于是，x ′(0)存在α>1，此时x ′(0)=0.当α>1时，lim x →0x α−1cos 1x β=0，lim x →0βx α−β−1sin 1x ={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，x′(x )在x =0连续α−β>1。
2021 考研数学二真题及答案一、选择题:18小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 以下反常积分收敛的是 ( )(A)2+∞⎰(B)2ln x dx x+∞⎰(C)21ln dx x x +∞⎰ (D)2x x dx e +∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)x x xdx x e e-=-+⎰，那么 2222(1)3lim (1)3x x x x xdx x e e x e e e+∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰.(2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x →=+ 在(,)-∞+∞内 ( )(A) 连续 (B) 有可去连续点(C) 有跳跃连续点 (D) 有无穷连续点 【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==，0x ≠，故()f x 有可去连续点0x =.(3)设函数()1cos ,00,0x x x f x x αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,假设()'f x 在0x =处连续那么:( )(A)0αβ-> (B)01αβ<-≤(C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'=()1001cos10lim lim cosx x x x f x x x αβαβ++-+→→-'== 0x >时，()()()11111cos1sin f x x x x x x ααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x x ααβββαβ---=+()f x '在0x =处连续那么：()()10100lim cos 0x f f x x αβ+--+→''===得10α->()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得：10αβ-->，答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如下图，那么曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.那么拐点个数为2个。
2014-2015试卷 一、填空题1、极限2sin 0lim(13)x x x →+=． 2、设2arctan()y x x =，则y ′ ． 3、设()f x 的一个原函数为2x e−，则()________xf x dx ′=∫．4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r e θ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题 1、当1x →−时，31x+与3(1)x +为（）(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（ ）(A) 1sin x + (B) 1sin x − (C) 1cos x + (D) 1cos x −3、设()f x 在0x =处连续，且0()lim11cos x f x x→=−，则在点0x =处（ ）． (A) (0)f ′不存在 (B) (0)0f ′=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f ′存在，且(0)0f ′≠ (D) (0)0f ′=，且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是（ ）(A)1∫(B)111sin dx x −∫ (C)221ln dx x x+∞∫(D) 2x xe dx +∞−−∞∫5、曲线2211x x e y e−−+=−（）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++ ． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +−−−→．3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x ′．4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t =+ = 求22d d ,d d y y x x ．5、2arctan x dx x∫． ６、设2ln(1)0()101x x f x x x+≥= < + ，求20(1)f x dx −∫． 四、（本题满分10分）设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x −<== > ∫ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2xe y =，切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11ln ≥+xx . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ′=2013-2014高数试卷一、填空题 1、极限0_________x →=．2、曲线221x xy y −+=在点(1,1)处的切线方程为 ．3、设曲线()y f x =过点(0,0)，且当x 在0x =处取得增量x ∆时相应的函数值增量3()(0)y x o x x ∆=∆+∆∆→，则2lim ()________n nf n→∞=．4、设连续函数()f x 满足1()2()d f x x f x x =，则1()d __________f x x =∫．5、积分121[ln(]_________x x −+=∫．二、选择题1、设lim n n x →∞与lim n n y →∞均不存在，那么下列命题正确的是（ ）．（A ）若lim()n n n x y →∞+不存在，则lim()n n n x y →∞−必也不存在（B ）若lim()n n n x y →∞+存在，则lim()n n n x y →∞−必也存在（C ）lim()n n n x y →∞+与lim()n n n x y →∞−均不存在（D ）lim()n n n x y →∞+与lim()n n n x y →∞−中只要有一个存在，另一个必定不存在2、已知0x =是函数ln()()sin a x f x x bx+=−的可去间断点，则常数,a b 的取值情况为（ ）．（A ）1,a b =为任意实数 （B ）1,b a =为任意实数 （C ）1,a b ≠为任意实数 （D ）=1,1a b ≠3、设21sin ,0()0,0,x x f x xx ≠= = 那么()f x 在0x =处（ ）． (A) 不连续 (B) 连续但不可导 (C) 可导但()f x ′不连续 (D) 可导且()f x ′也连续 4、极限22212lim()12n nn n n n→∞++⋅⋅⋅+=+++（ ）. (A) 14 (B) 13 (C) 12(D) 15、设2sin 1x +为)(x f 的一个原函数，则()d x f x x ′=∫（ ）．(A) 22cos x x C + (B) 2222cos sin x x x C −+ (C) 2222sin cos x x x C −+ (D) 222cos sin x x x C ++三、计算下列各题（每小题５分，共3０分）1、011lim()ln(1)x x x →−+．2、设,0,(),0,x e x f x x x ≤= >求()21sin 0lim()d xxx f t t+−∞→∫．3、设y =d y 及y ′′．4、设()y y x =由220ln(1),d 1,1u t x te y u u =+ −= +∫确定，求1d d t y x =．5、x ．６、设20sin ()d 1cos xt f x t t=+∫，求220()d 1()f x x f x π′+∫． 四、（本题满分８分）已知0x →时，22cos sin ()x x A Bx Cx o x +=+++，其中2()o x 是2x 的高阶无穷小，求常数,,A B C 的值．五、（本题满分10分）设2()1xf x x x =+−，（１）求函数()f x 的单调区间，（２）求函数()f x 的极值．六、（本题满分10分）如图所示1D 是由抛物线22y x x =−与直线(0)y kx k =>围成的图形，2D 是由曲线22y x x =−与直线y kx =及x 轴围成的图形，设1D 的面积为1S ，2D 的面积为2S ，若12:1:7S S =． （１）求常数k 的值；（２）求1D 绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积x V 及2D 绕y 轴旋转一周所得到的旋转体的体积y V ． 七、（本题满分6分）证明：0x ≠时，2cos 12x x >−．八、（本题满分6分）设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且1(0)(1)0,(0)()02f f f f ><．证明：（１）在()0,1内存在两个不同的点,ξη，使得()()0f f ξη==成立；（２）(0,1)ζ∃∈使得()()0f f ζζζ′−=成立。
一、填空题（每小题3分，共15分）1、椭球面∑：222216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________．2、设曲线L 的方程为221x y +=，则2[()]Lx y y d s +-=⎰ ．3、设()21,0,1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于 ． 4、微分方程220y y y '''++=的通解为 ． 5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则(1,1g r a d f = ．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222zx y ze ++=,则11x y dz===( ) 2、二次积分2(,)dx f x y dy ⎰化为极坐标下累次积分为（ ）3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（ ）． （A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++（D ）*sin cos y ax b A x B x =+++4、直线1121410214x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（ ）)(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交5、设曲面∑的方程为222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦限的部分，则下列结论不正确．．．的是（ ）．（A ）0xdS ∑=⎰⎰（B ）0zdS ∑=⎰⎰（C ）1224zdS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ （D ）22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 三、（本题满分10分）设(,)sin xz f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y∂∂∂∂∂． 四、（本题满分12分）求22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ：2214y x +≤上的最大值和最小值. 五、（本题满分10分）计算二重积分：2DI y x d σ=-⎰⎰，其中:11,02D x y -≤≤≤≤．六、（本题满分12分）已知积分22(5())()xx Ly yef x dx e f x dy---+⎰与路径无关,且6(0)5f =.求()f x ,并计算(222(1,0)(5())(x x I y ye f x dx e f x--=-+⎰.七、（本题满分12分）计算积分22322()x z d y d zx y z dI x y z∑+-+=++⎰⎰，其中∑是上半球面z =，取上侧．八、（本题满分10分）．求幂级数∑∞=---12112)1(n nn x n 的收敛域及和函数，并求数项级数∑∞=---1112)1(n n n 的和．九、（本题满分4分）设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？。
2015年考研数二真题考研数学二对于很多考生来说，是一场具有挑战性的考试。
2015 年的考研数二真题更是在知识点的考查、题型的设计以及难度的把控上有着独特的特点。
从整体上看，2015 年考研数二真题涵盖了高等数学和线性代数两大部分。
高等数学部分，重点考查了函数、极限、连续、一元函数微积分学、多元函数微积分学等核心知识点。
比如，在函数极限的计算中，出题方式灵活多变，不仅要求考生熟练掌握常见的求极限方法，如洛必达法则、等价无穷小替换等，还需要考生具备较强的分析问题和灵活运用知识的能力。
就一元函数微积分学而言，对导数和积分的应用考查较为深入。
通过设置各种实际问题的情境，要求考生能够准确地建立数学模型，并运用所学的导数和积分知识进行求解。
例如，一道关于利用导数求函数最值的题目，就需要考生对函数的单调性和极值点有清晰的认识和准确的判断。
多元函数微积分学部分，重点考查了偏导数、全微分、二重积分等内容。
在这部分的题目中，往往需要考生熟练掌握相关的计算方法和技巧，并且能够清晰地理解多元函数的概念和性质。
线性代数部分，矩阵、向量、线性方程组等是考查的重点。
矩阵的运算、矩阵的秩、向量组的线性相关性等知识点在真题中均有体现。
线性方程组的求解是一个常考的考点，要求考生能够熟练运用高斯消元法等方法求解线性方程组。
在题型方面，2015 年考研数二真题包括选择题、填空题和解答题。
选择题注重考查对基本概念和基本定理的理解，需要考生能够准确地辨析和判断。
填空题则侧重于考查计算能力，要求考生在短时间内准确地得出计算结果。
解答题的分值较大，对考生的综合能力要求较高，不仅要能够正确地解题，还要有清晰的解题思路和规范的书写格式。
从难度上来说，2015 年考研数二真题难度适中，但也有一些具有一定挑战性的题目。
对于基础扎实、复习全面的考生来说，大部分题目都能够顺利解答。
然而，对于一些知识点掌握不够牢固或者缺乏解题技巧的考生，可能会在某些题目上遇到困难。
