最新合工大超越5套卷(数一)

合肥市重点中学2025届高考数学一模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为2，则输出的v 值为( )A ．10922⨯-B ．10922⨯+C ．11922⨯+D ．11922⨯-2．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=，则()2AE AC +的最小值为（ ） A ．232B ．12C ．252D ．133．设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆C ：2212x y +=交于不同的两点P ，Q ，若原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）A ．65,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭B ．665,,533⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．6,52⎛⎫⎪⎪⎝⎭D ．665,,522⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）5．已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为（ ） A ．23B ．43C ．83D ．1636．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( ) 发芽所需天数 1 2 3 4 5 6 7 8≥种子数 43 352 210 A ．2B ．3C ．3.5D ．47．函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．329．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km /h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km /h 的频率分别为（ ）A ．300，0.25B ．300，0.35C ．60，0.25D ．60，0.3510．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．11．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．4512．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（I ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）设数列{},{}n n a b 对任意的正整数n 满足1+≤≤n n n a b a ，则（ ）.（A ）数列{},{}n n a b 均收敛，且lim lim →∞→∞=n n n n a b（B ）数列{},{}n n a b 均发散，且lim lim →∞→∞==+∞n n n n a b（C ）数列{},{}n n a b 具有相同的敛散性 （D ）数列{},{}n n a b 具有不同的敛散性（2）设()f x 满足'(0)0f =，32'()[()]f x f x x +=，则有（ ）.（A ）(0)f 是()f x 的极大值 （B ）(0)f 是()f x 的极小值 （C ）(0,(0))f 是()=y f x 的拐点（D ）(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 也不是()=y f x 的拐点（3）设函数(,)f x y 在点000()P x ,y 处的两个偏导数00'()x f x ,y 、00'()y f x ,y 都存在，则（A ）(,)f x y 在点0P 处必连续 （B ）(,)f x y 在点0P 处必可微 （C ）000lim (,)lim (,)x x y y f x y =f x y →→ （D ）00lim (,)x x y y f x y →→存在（4）下列命题中正确的是（ ）.（A ）设正项级数n =1n a ∞∑发散，则1n a n≥（B ）设212n =1(+)n-n aa ∞∑收敛，则n =1n a ∞∑收敛（C ）设n =1n n a b ∞∑收敛，则22=1=1,nn n n a b ∞∞∑∑均收敛（D ）设22=1=1,n nn n a b∞∞∑∑中至少有一个发散，则n =1(+)nn ab ∞∑发散（5）设,A B 为n 阶方阵，且()()r <r AB B ，则必有（ ）.（A ）=0B （B ）=0A （C ）≠0B （D ）≠0A （6）若=0Ax 的解都是=0B x 的解，则下列结论中正确的是（ ）.（A ）,A B 的行向量组等价 （B ）,A B 的列向量组等价（C ）A 的行向量组可由B 的行向量组线性表示 （D ）B 的行向量组可由A 的行向量组线性表示（7）设随机变量011344X ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，011122Y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭～，且1Cov(,)=8X Y ，则{}11===P Y X （A ）23 （B ）13 （C ）14 （D ）18（8）设总体2(,)X N μσ～，其中,μσ已知，12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自总体X 的样本，样本方差2=11()1ni i S X X n =--∑2，则2()D S =（ ）. （A ）21n σ- （B ）221n σ- （C ）41n σ- （D ）421n σ-二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上.（9）111lim()122→∞++⋅⋅⋅+=++n n n n ______________.（10）2321(cos 22x x -+=⎰_____________.（11）函数222()2()()=---+-u x y y z z x 在点(1,2,2)处方向导数的最大值是_______. （12）微分方程1'''0x y y xe =x--的通解为___________________. （13）设,A B 均为三阶方阵，且3=A ，4=B ，则1*(2)(3)-=O A B O_____________.（14）设随机变量X 的概率密度函数和分布函数分别为()f x 和()F x ，当0≤x 时，()0=F x ；当0>x 时，()()1+=f x F x ，则当0>x ，()=f x ________________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设23310⎧=-⎪⎨++=⎪⎩x t ty ty ，确定函数()=y f x ，求=022t d y dx .（16）（本题满分10分）设函数()f x 、()g x 在[,]a b 上有连续二阶导数，若()()f a g a =，()()f b g b =，00()()f x g x >，其中0(,)x a b ∈. 证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得''()''()f ξ<g ξ.（17）（本题满分10分）设(,)f u v 有二阶连续偏导数，()u ϕ有二阶导数，令22[,()]z f x y xy ϕ=-，求2zx y∂∂∂.（18）（本题满分10分）设函数()f u 具有一阶连续偏导数，L 是以(1,1)A 和(3,3)B 为直径的左上半圆周，方向从A 到B ，计算曲线积分：11[()][()2]Lx xI f y dx f x dy x y y y=--+⎰.（19）（本题满分10分）将函数222()(1)ln(1)(1)f x x x x =++-+展开为x 的幂级数，并求级数1=1(1)(+1)n n n n ∞∑--的和.（20）（本题满分11分）（I ）设n 维向量组12,,,,s ⋅⋅⋅αααβ线性相关，证明：β可唯一地由12,,,s ⋅⋅⋅ααα线性表示的充要条件是12,,,s ⋅⋅⋅ααα线性无关；（II ）设4维向量组11(1,,0,0)T b =α，22(1,,1,0)Tb =α，33(1,,1,1)T b =α，4(1,,0,1)T b =β，且β可唯一地由123、、ααα线性表示，求常数1234b b b b 、、、满足的条件.（21）（本题满分11分）设三阶实对称矩阵A 的秩为2，且=AB C ，其中110011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，110011-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C ，求A 的所有特征值与特征向量，并求矩阵A 及9999A .（22）（本题满分11分）设随机变量[0,2]XU π，sin Y X =，sin()Z X a =+，其中[0,2]a π∈为常数，问a 取何值时，Y 与Z 不相关，此时Y 与Z 是否独立?（23）（本题满分11分）已知一批产品的次品率为2%，现从中任意抽取n件产品进行检验. （I）若已知n件产品中有3件次品，求n的矩估计值ˆn；（II）试利用中心极限定理，确定n至少要取多少时，才能使得次品数占总数比例不大于4%Φ=）的概率不小于97.7%.（(2)0.9772010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（II ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）已知当0x →时，21)ln(1)x +是比ln(1)n x +高阶的无穷小，而ln(1)nx +是比lncos x 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ ）.（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 （2）设极限1x →=，则函数()f x 在x a =点处必（ ）.（A ）取极大值 （B ）取极小值 （C ）可导 （D ）不可导 （3）若(,)f x y 在点00(,)x y 处存在任意方向的方向导数，则（ ）. （A ）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续 （B ）(,)f x y 在点00(,)x y 处可微 （C ）0000'(,),'(,)x y f x y f x y 均存在（D ）以上结论均不正确（4）数列{}{}{}n n n a b c 、、均满足n n n a b c ≤≤(1,2,n =⋅⋅⋅). 则下列命题正确的是（ ） （A ）数列{}{}n n a c 、均收敛，则数列{}n b 收敛 （B ）数列{}{}n n a c 、均发散，则数列{}n b 发散 （C ）若级数n=1n=1n na c∞∞∑∑、均发散，则级数n=1nb∞∑发散（D ）若级数n=1n=1n na c∞∞∑∑、均收敛，则级数n=1nb∞∑收敛（5）设A 为m n ⨯矩阵，m E 为m 阶单位阵，,()m n r m <=A ，则下列结论 ①A 经初等行变换为(,)m E O ； ②A 经初等列变换为(,)m E O ； ③T A A 正定； ④T AA 正定；⑤=Ax b 必有解； ⑥=0Ax 仅有零解 中正确的个数为（ ）.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（6）设10001000010001⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭A，0001001001001000⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭B，则以下正确的是（）.（A）0+=A B（B）A与B相似（C）A与B合同但不相似（D）A与B等价但不合同（7）根据下列函数()F x的图形，指出可作为某随机变量X的分布函数()F x的是（）.（A）（B）（C）（D）（8）设12(,,,)(1)nX X X n⋅⋅⋅>为来自总体2(0,)X Nσ～的一个简单随机样本，则下列统计量中，是2σ的无偏估计且方差最小的为（）.（A）21X（B）2X（C）2S（D）n2=11iiXn∑二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上.（9）设函数3()f x x x=，则使得()(0)nf存在的最大正整数n=__________.（10）由半圆周21x y=-1,1,2y y x=-==所围成的平面图形D的形心坐标为____________.（11）二次积分551lnydxdyy x=⎰⎰____________.（12）微分方程''2'(1)xy y +y =e +x -的特解形式为___________________.（13）设三阶矩阵122212304-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，三维列向量11t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，若向量,A αα线性相关，则t =__ （14）设随机变量()XP λ，()Y E λ，且X 与Y 独立，若已知EX EY =，则2(2)YE X =三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设0x >，证明：ln nx ne x ≥，其中n 为正整数.（16）（本题满分10分）设()f x 是区间[,]a b 上单调增加的连续函数，且()0f a <，()0b af x dx >⎰. 证明： （I ）存在点(,)a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰；（II ）存在点(,)a b η∈，使得()()af x dx f ηη=⎰.（17）（本题满分10分）若曲线()y y x =上任一点处的切线在y 轴上的截距等于该点处法线在x 轴上的截距的2倍，且该曲线过点(1,0)，求该曲线方程.（18）（本题满分10分）计算曲面积分222222(1)x dydz y dzdx z dxdyI x y z ∑+++=++⎰⎰，其中∑为上半球球面2222(0)x y z R z ++=≥的上侧.（19）（本题满分10分）求幂级数2=1(1)2n nn n x ∞-∑的收敛域与和函数.（20）（本题满分11分）确定参数,a b 的值，使线性方程组12341234234123413222354(3)3x x x x x x x x a x x x x x a x x b+++=⎧⎪+++=⎪⎨++=⎪⎪++++=⎩有解，并求其解（将通解用该方程的一个的特解及其导出组的基础解系表示）.（21）（本题满分11分）设12(,,,),(1,2,,),1TT n i a a a a R i n =⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅=ααα，10a ≠，T =A αα. （I ）求A 的所有特征值和特征向量； （II ）当k 为何值时，k +E A 为正交阵； （III ）当k 为何值时，k -E A 为正定阵.（22）（本题满分11分）设有四个编号分别为1,2,3,4的盒子和三只球，现将每个球随机地放入四个盒子，记X 为至少有一个球的盒子的最小号码. （I ）求X 的分布律；（II ）若当X i =时，随机变量Y 在[0,]i 上服从均匀分布，1,2,3,4i =，求{}2P Y ≤.（23）（本题满分11分）设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自正态总体2(0,)X N σ～的一个简单随机样本. （I ）求2σ的极大似然估计量2ˆσ，并判断其无偏性； （II ）求估计量2ˆσ的方差； （III ）问2ˆσ是否为2σ的一致估计量?2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（III ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）已知数列{},{}n n x y 满足1n y ≥，且lim 0n n n x y →∞=，则（ ）.（A ）lim n n x →∞=∞ （B ）lim n n x →∞不存在，但不是∞（C ）lim 0n n x →∞= （D ）lim n n x →∞存在，但不是0（2）设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内连续，在0()U x 内可导，则“极限0lim '()x x f x →存在”是“()f x 在0x 处可导”的（ ）.（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （3）设(,)f x y 在区域D 内具有二阶偏导数，则（ ）.（A ）必有22f fx y y x∂∂=∂∂∂∂ （B ）(,)f x y 在D 内必连续 （C ）(,)f x y 在D 必可微分 （D ）以上三个结论都不正确（4）设正项级数=1ln(1)nn +a ∞∑收敛，则级数=1(1)n n ∞∑-- ）.（A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不定 （5）设、A B 为同阶可逆方阵，具有相同的特征值，则（ ）. （A ）=AB BA （B ）存在可逆矩阵C ，使得T=C AC B（C ）存在可逆矩阵P ，使得1-=P AP B （D ）存在可逆矩阵,P Q ，使得=PAQ B（6）设n 阶方阵A 的伴随矩阵*≠A O ，若123,,ξξξ是线性方程组=Ax b 的三个互不相等的解，则=0Ax 的基础解系为（ ）. （A ）13-ξξ （B ）12-ξξ，23-ξξ（C ）12-ξξ，23-ξξ，31-ξξ（D ）12+ξξ，23+ξξ，31+ξξ（7）设Ω为样本空间，,A B 为随机事件，且满足()0P A =，()1P B =，则（ ）. （A ）,A B =∅=Ω （B ）A B ⊂ （C ）AB =∅ （D ）()1P B A -=（8）设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自2(,)X N μσ～的一个简单随机样本，2σ未知，n=11=i i X X n ∑，n2=11=()1i i S X X n ∑--2，()t n α为()t n 分布的上α分位点，则e μ的置信度为1α-的置信区间为（ ）.（A）αα22()()X X e n 1,e n 1⎛⎫ ⎪⎝⎭-- （B）αα1122(1)(1)XX e n ,e n ⎛⎫ ⎪⎝⎭---- （C）αα22exp{1)},exp{1)}X (n X (n ⎛⎫ ⎪⎝⎭-- （D）αα1122exp{(1)},exp{(1)}X n X n ⎛⎫ ⎪⎝⎭----二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）若[]x 表示不超过x 的最大整数，则211lim []nn x dx n →∞=⎰____________.（10）曲线sin y x =在点(,1)2π处的曲率圆方程为_________________.（11）设L 是上半圆周222(0,0)x y a y a +=≥>，则3222()()Lx y ds x y +=+⎰_____________. （12）设()f x 为可导函数，且,x y ∀均满足()()+()yxf x y e f x e f y +=，'(0)2f =，则()f x =_________________.（13）向量组1(1,1,2,3)T =-α，2(1,0,7,2)T=-α，3(2,2,4,6)T=-α，4(0,1,5,5)T =-α的极大线性无关组为__________________.（若有多组，只需填写一组）（14）设有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，现从中无放回地随机抽取3张，则得奖金额（单位：元）的数学期望是___________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设0x >，证明：arctan ln(1)1xx x+>+.（16）（本题满分10分）已知抛物线2y ax bx c =++过点(0,0)与(1,2)，且0a <，确定,,a b c 的值，使得抛物线与x 轴所围成平面图形的面积最小，并求该平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.（17）（本题满分10分）设(,)()y f x y F x =满足22220f fx y∂∂+=∂∂，其中F 具有二阶连续导数，求(,)f x y .（18）（本题满分10分）求极限2201lim cos(2)t xttt dx x y dy t+→-⎰⎰.（19）（本题满分10分）设交错级数1=1(1)(0,1,2,3,)n n n n u u n ∞≥=⋅⋅⋅∑--满足条件：（i ）1(1,2,3,)n n u u n +≥=⋅⋅⋅； （ii ）lim 0n n u →∞=.证明：1=1(1)n n n u ∞∑--收敛，且其和1S u ≤.（20）（本题满分11分）设m n ⨯A 为实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，证明： （I ）=0Ax 与T =0A Ax 同解； （II ）T T =A Ax A b （其中b 为任意n 维列向量）恒有解.（21）（本题满分11分）设三阶实对称阵A 的特征值为2,2,1，对应特征值2λ=的两个特征向量为12(1,1,0),(1,1,1)T T ==αα.（I ）证明3(0,0,1)T=α是A 的属于特征值2λ=的特征向量； （II ）求1-+A A 的各行元素之和；（III ）求正交变换=x P y ，化二次型123(,,)Tf x x x =x Ax 为标准形.（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{}(,)01,G x y y x y =<<<上服从均匀分布，令0,01,0X U X <⎧=⎨≥⎩，0,121,12Y V Y <⎧=⎨≥⎩.（I ）问,X Y 是否相互独立? （II ）求协方差Cov(,)X Y ，并问,X Y 是否不相关? （III ）求协方差Cov(,)U V .（23）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为,01(),120,bx x f x ax x ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪⎩其他，样本观察值为0.5,0.8,1.5,1.5.（I ）求a 与b 的极大似然估计值； （II ）设XY e =，求{2}P Y <的极大似然估计值.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（IV ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）在下列直线中，不是．．曲线1(1)x xy e =+渐近线的为（ ）. （A ）0y = （B ）1y = （C ）y e = （D ）0x =（2）已知20lim(123)4x x x →++=21ax+bx ，则（ ）.（A ）ln 2,a b R =∈ （B ）10,ln 2a b ≠=（C ）1,ln 2a b R =∈ （D ）0,ln 2a b ≠= （3）空间曲线222241x y z L x y z ⎧++=⎨++=⎩: 在点(1,1,1)-处的切线与平面4x y z π-+=:的夹角为（ ）.（A ）0 （B ）π4 （C ）π3 （D ）π2（4）设级数=1(1)nn n a x ∞∑-在点1x =-处收敛，在点3x =处发散，则级数=13(1)()2nnn n a ∞∑-（ ）.（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不确定 （5）若n 阶实矩阵A 满足326116-+-=A A A E O ，则下列命题正确的是（ ）. （A ）-E A 可逆，+E A 也可逆 （B ）2-E A 可逆，2+E A 也可逆 （C ）3-E A 可逆，3+E A 也可逆 （D ）4-E A 可逆，4+E A 也可逆（6）设二次型T f =x Ax 的规范形为222123y y y -+，其中A 为三阶实对称矩阵，则以下结论中正确的个数为（ ）.①A 的特征值必为1,1,1- ②A 的秩为2③A 的行列式小于0 ④A 必相似于对角阵111⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⑤A 合同于对角阵111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⑥A 合同于对角阵123-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（7）设随机变量X 与Y 独立，且都服从[0,3]上的均匀分布，则{}1min(,)2P X Y <≤=（ ）. （A ）13 （B ）49 （C ）23 （D ）89（8）设总体2(,)X N μσ～，2σ未知，统计假设00H μμ=:，10H μμ<:. 12,,,nx x x ⋅⋅⋅为样本，x 为样本均值，2s 为样本方差，则在显著水平为α下0H 的拒绝域为（ ）. （A2(1)t n α≥- （B x u α- （C (1)x t n α≤-- （D (1)x t n α≥- 其中(0,1)U N ～，()T t n ～，数u α满足{}P U u αα>=，()t n α满足{}()P T t n αα>=二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上.（9）曲线(1)y x x =-与x 轴所围图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为___________.（10）设2ln 30x yz z ++=，则(1,3,1)dz-=_____________.（11）曲面22:10x y z ∑--+=在点(1,1,1)处的切平面π被柱面2214y x +=所截下部分的面积为__________.（12）设()f x 具有一阶连续导数，且满足方程0()'()x f x x tf x t dt =+-⎰，则()f x =_______（13）已知2253102x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的特征值为1,1,1---，则(,)x y =___________.（14）设总体(1,)X B p ～，1,1,1,0为来自总体X 的一个样本观察值，则2()D x 的矩估计值为_____________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设常数0a >，0b >，证明不等式：22()a ba b a b e ae be ++≤+.（16）（本题满分10分）就k 的取值讨论方程2xe kx =的实根个数.（17）（本题满分10分）利用变换t =化简微分方程2242(16(0)d y dyx y e x dx dx+-=>，并求出此微分方程的通解.（18）（本题满分10分）计算曲线积3(2)()()CI x y z dx x dy x y z dz =+++++⎰，其中C 为2221x y +=与222x y z +=-的交线，从原点看去是逆时针方向.（17）（本题满分10分）就常数p 的不同取值，讨论级数1111246p P P -+-+⋅⋅⋅的敛散性.（20）（本题满分11分）已知向量组A ：1(0,1,2,3)T =a ，2(3,0,1,2)T=a ，3(2,3,0,1)T=a ； B ：1(2,1,1,2)T =b ，2(0,2,1,1)T =-b ，3(4,4,1,3)T=b ；证明向量组B 能由向量组A 线性表示，但向量组A 不能由向量组B 线性表示.（21）（本题满分11分）已知三阶实对称矩阵A 的特征值为121λλ==，32λ=，且A 的对应于特征值1的特征向量123(,,)T x x x 满足方程12320x x x --=，求正交矩阵Q ，使得T =Q AQ Λ为对角阵.（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 在区域G ：12x ≤≤，10y x≤≤ 上服从均匀分布，记U X =，V XY =，随机事件{}u A U u =≤，{}v B V v =≤. （I ）求()u P A 、()v P B 与()u v P A B ，其中12u ≤≤，01v ≤≤；（II ）分别求U 和V 的密度函数，及U 与V 的联合密度函数，并问U 与V 是否独立?（23）（本题满分11分）设随机变量()T t n ～，12(,)F F n n ～，常数()t n α、12(,)F n n α分别满足{()}=P T t n αα>，12{(,)}=P F F n n αα>. （I ）证明22()(1,)t n F n αα=； （II ）112211(,)(,)F n n F n n αα-=；（III ）已知0.05(6) 1.943t =，求0.90(6,1)F .2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（V ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里. （1）函数13()lim(1)nnn f x x→∞=+在(,)-∞+∞内（ ）.（A ）处处可导 （B ）只有一个不可导点 （C ）恰有两个不可导点 （D ）至少有三个不可导点（2）设()f x 是(,)a b 区间内的连续函数，()F x 是()f x 在(,)a b 内的一个原函数，则（ ）. （A ）当()f x 在(,)a b 内无界时，()F x 在(,)a b 内也无界 （B ）当()f x 在(,)a b 内有界时，()F x 在(,)a b 内也有界 （C ）当()f x 在(,)a b 内单调上升时，()F x 在(,)a b 内也单调上升 （D ）当()f x 在(,)a b 内单调下降时，()F x 在(,)a b 内也单调下降 （3）设D 是由曲线sin ()22y x x ππ=-≤≤和直线2x π=-，1y =所围成的的区域，f 是连续函数，则322[1()]Dx y f x y dxdy ++=⎰⎰（ ）.（A ）2- （B ）1- （C ）0 （D ）2（4）设1,01()2,12x x f x x x +<≤⎧=⎨-+<≤⎩，又设()f x 展开的正弦级数为=1π()=sin 2nn n S x b x ∞∑，则(7)S =（ ）. （A ）32 （B ）32- （C ）12 （D ）12- （5）若,A B 为n 阶方阵，且(,)A B 经初等行变换可化为(,)n E C ，则矩阵C 为（ ）. （A ）1-B （B ）1-A （C ）1-A B （D ）1-B A （6）已知空间曲线11112222a xb yc zd l a x b y c z d ++=⎧⎨++=⎩:，平行于平面3333a x b y c z d π++=:，则矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的秩()r =A （ ）. （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（7）设随机变量,X Y 相互独立，2(0,)X N σ～，111233Y -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭～，则1X P Y ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭（ ）.（A ）11()3σΦ （B ）21()3σΦ （C ）1()σΦ （D ）111()33σ+Φ （8）设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为0,min(,)0(,)min(,),0min(,)11,min(,)1x y F x y x y x y x y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，则有（ ）.（A ）X 和Y 独立，且同分布 （B ）X 和Y 不独立，但同分布 （C ）X 和Y 独立，但不同分布 （D ）X 和Y 不独立，且不同分布二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）1x e dx -=⎰___________________.（10）tan 0xx +→=_________________.（11）设,f g 均可微，[,ln ()]z f xy x g xy =+，则z zxy x y∂∂-=∂∂________________. （12）微分方程'''y y y =满足初始条件(0)0y =，'(0)2y =的特解为y =_______________.（13）1234567800=000a a a a a a a a ____________________. （14）已知随机变量X 的密度函数为偶函数，1DX =，且用切比雪夫不等式估计得{}0.96P X ε<≥，则常数ε=____________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设函数()f x 在[,]a b 上可微，且'()f x 在(,)a b 内单调增加，又()()f a f b A ==（常数），证明：(,)x a b ∀∈，恒有()f x A <.（16）（本题满分10分）已知222'()01()xf f xx xx-=+-，且(1)ln2f=，求()f x及()()nf x.（17）（本题满分10分）求函数4(,)3f x y xy x y=--在由抛物线24(0)y x x=-≥与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值.（18）（本题满分10分）计算曲线积分22()(4)4Lx y dx y x dyx y++-+⎰，其中L 为椭圆周2244x y +=的逆时针方向.（19）（本题满分10分）设有幂级数2=112(+)n nn x nn ∞∑. 求： （I ）该幂级数的收敛半径与收敛域； （II ）该幂级数的和函数在收敛区间内的导函数.（20）（本题满分11分）设向量(1,2,1)T=α，1(1,,0)2T=β，(0,0,8)T =γ，T =A αβ，T =B βα. 求：（I ）4A ，4B ； （II ）x 为3维列向量，且满足22442=++B A x A x B x γ，求x .（21）（本题满分11分）已知三元二次型123(,,)Tf x x x =x Ax 经过正交变换=x P y 化为标准形2221232y y y -+. （I ）求行列式1*2--A A ； （II ）求3224--+A A A E .（22）（本题满分11分）若随机变量X的概率密度函数22(ln )2,>0()=0,0x X x f x x μσ--⎧≤⎩就称X 服从参数为2(,)μσ的对数正态分布.（I ） 证明X 服从参数为2(,)μσ的对数正态分布的充要条件是2ln (,)U X N μσ=～；（II ）设X 与Y 相互独立，且均服从参数为2(,)μσ的对数正态分布，证明：V XY =服从参数为2(2,2)μσ的对数正态分布.（23）（本题满分11分）设12,,,(1)n X X X n ⋅⋅⋅>为来自总体()X P λ～的样本，其中未知参数0λ>. （I ）求λ的极大似然估计ˆλ； （II ）证明ˆ()n P n λλ～.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（I ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里. （1）设ln ()sin 1xf x x x =-，则()f x 有（ ）. （A ）两个可去间断点 （B ）两个无穷间断点（C ）一个可去间断点，一个跳跃间断点 （D ）一个可去间断点，一个无穷间断点 （2）设函数()f x 在2x =处连续，且2()1lim22x f x x →=-. 函数()g x 在2x =的某邻域内可导，且2'()1lim22x g x x →=-，则（ ）. （A ）函数()f x 在2x =处导数存在， ()g x 在2x =处二阶导数存在 （B ）函数()f x 在2x =处取极小值， ()g x 在2x =处也取极小值 （C ）函数()f x 在2x =处导数存在， ()g x 在2x =处取极小值 （D ）函数()f x 在2x =处取极小值， ()g x 在2x =处二阶导数存在（3）设曲面22222{(,,)1,0}123x y z x y z z ∑++=≥:，并取上侧，则不等于．．．零的积分为（ ）. （A ）2xd y d z ∑⎰⎰ （B ）x d y d z ∑⎰⎰ （C ）2z d z d x ∑⎰⎰ （D ）z d z d x ∑⎰⎰（4）若幂级数=0(+1)nnn a x ∞∑在1x =处收敛，则级数=0nn a∞∑（ ）.（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不定 （5）设n 阶方阵12(,,,)n =⋅⋅⋅A ααα，12(,,,)n =⋅⋅⋅B βββ，(,,,)=⋅⋅⋅12n AB γγγ，记向量组（I ）：12,,,n ⋅⋅⋅ααα； （II ）：12,,,n ⋅⋅⋅βββ； （III ）：,,,⋅⋅⋅12n γγγ. 如果向量组（III ）线性相关，则（ ）.（A ）向量组（I ）与（II ）都线性相关 （B ）向量组（I ）线性相关（C ）向量组（II ）线性相关（D ）向量组（I ）和（II ）至少有一个线性相关（6）设四阶方阵1234(,,,)=A αααα，其中12,αα线性无关，3α不能由12,αα线性表示，412323=-+αααα，*A 为A 的伴随矩阵，则*()r =A （ ）.（A ）0 （B ） （C ）2 （D ）3 （7）设,X Y 为随机变量，3{0}5P XY ≤=，4{m a x (,)0}5P XY >=， 则{m i n (,)0}P X Y ≤=（ ）. （A ）（B ） （C ） （D ） （8）设随机变量(,0.1)i X B i ～，1,2,,15i =⋅⋅⋅，且1215,,,X X X ⋅⋅⋅相互独立，则15=1{816}i i P X <<∑为（ ）.（A ）0.325≥ （B ）0.325≤ （C ）0.675≥ （D ）0.675≤二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）设曲线()y f x =在点(1,0)处的切线在y 轴上截距为1-，则1l i m [1(1)]n n f n→∞++=______________. （10）设为连续函数，且1[()()]1f x xf xt dt +=⎰，则()f x =_____________.（11）设(,)f x y 可微，1'(1,3)2f -=-，2'(1,3)1f -=，(2,)yz f x y x=-，则13x y dz ===（12）121220122cos cos y y y dy x dx dy x dx +=⎰⎰⎰⎰________________.（13）三阶方阵,A B 满足关系式+=E B AB ，A 的三个特征值分别为3,3,0-，则B 的特征值为_____________.（14）设22(200)χχ～，则由中心极限定理得2{240}P χ≤近似等于___________.（用标准正态分布的分布函数()Φ⋅表示）三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设函数π2π2()ln sin n f x x x xdx -=π-⎰，其中n 为正整数，试讨论方程()0f x =根的个数.（16）（本题满分10分）设12a =，111()(1,2,)2n n na a n a +=+=⋅⋅⋅. 证明： （I ）lim n n a →∞存在； （2）级数=11(1)nn n a a ∞+-∑收敛.（17）（本题满分10分）设函数()f x 在闭区间[,]a b 上具有二阶导数，且()0f a <，()0f b <，()0baf x dx =⎰. 证明：(,)a b ξ∃∈，使得''()0f ξ<.（18）（本题满分10分）设当0x >时，()f x 可导，且(1)2f =.（I ）试确定()f x ，使在右半平面内[2()]()y f x dx xf x dy -+为某函数(,)u x y 的全微分； （II ）求(,)u x y ； （III ）计算曲线积分[2()]()Cy f x dx xf x dy -+⎰，其中C 是右半平面内从点(1,0)到点(2,2)的任一条简单曲线.（19）（本题满分10分）设有微分方程'',1''2'0,1y y x x y y y x -=<⎧⎨-+=>⎩，试求在(,)-∞+∞内可导的函数()y y x =满足此方程，且有(0)0y =，'(0)1y =.（20）（本题满分11分）设A 为三阶方阵，并有可逆阵123(,,)P p p p ，(1,2,3)i i =p 为三维列向量，使得1100011001-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP . （I ）证明：12,p p 为()-=0E A x 的解，3p 为2()-=-E A x p 的解，且A 不可相似对角化； （II ）当211212112--⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 时，求可逆矩阵P ，使得1100011001-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP .（21）（本题满分11分）已知二次型112312323112(,,)(,,)34325x f x x x x x x xa x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的秩为，求常数a 的值，并求一个正交变换化该二次型为标准形.（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为4,01,01(,)0,x y x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其他. （I ）问,X Y 是否相互独立? （II ）设2U X =和2V Y =的密度函数分别为()U f u 和()V f v ，求(),()U V f u f v ，并指出(,)U V 所服从的分布； （III ）求22{1}PU V +≤.（23）（本题满分11分）设l n Y X =，Y 的密度函数为,0()0,0y Y e y f y y λλ-⎧≥=⎨<⎩（1λ>）. （I ）求EX ；（II ）设12,,n XX X ⋅⋅⋅为来自总体X 的简单随机样本，求E X 的极大似然估计.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（II ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）设函数在(,)-∞+∞内有定义，下列结论正确的是（ ）. （A ）若lim ()2x f x π→∞≠，则2y π=不是曲线()y f x =的水平渐近线 （B ）若0lim ()x f x →≠∞，则0x =不是曲线()y f x =的铅直渐近线（C ）若()lim1x f x x→∞=，则曲线()y f x =必有斜渐近线 （D ）以上都不对（2）设2arctan()()=lim +1n x n n e f x x →∞，则()f x （ ）.（A ）处处可导 （B ）在点1x =-处可导（C ）在点0x =处可导 （D ）在点1x =处可导（3）设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处有00'(,)x f x y a =，00'(,)y f x y b =，则下列结论正确的是（ ）.（A ）00lim (,)x x y y f x y →→存在，但(,)f x y 在点00(,)x y 处不连续（B ）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续 （C ）()0,x y d z a d x b d y =+（D ）00lim (,)x x f x y →及00lim (,)y y f x y →都存在且相等（4）设(n+1)πn πsin n xu dx x =⎰，则=1n n u ∞∑为（ ）. （A ）发散的正项级数 （B ）收敛的正项级数（C ）发散的交错级数 （D ）收敛的交错级数（5）设22221111ab c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，,,,a b c d 为互异实数，则下列说法正确的是（ ）. （A ）齐次线性方程组=0Ax 只有零解 （B ） 齐次线性方程组T=0A Ax 有非零解 （C ）齐次线性方程组T=0A x 有非零解 （D ）齐次线性方程组T=0AA x 有非零解（6）设,A B 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ ）.（A ）若,A B 为等价矩阵，则,A B 的行向量组等价 （B ）若,A B 的行列式相等，则,A B 为等价矩阵（C ）若=0Ax 与=0B x 均只有零解，则,A B 为等价矩阵 （D ）若,A B 为相似矩阵，则=0Ax 与=0B x 同解（7）设有随机事件,,A B C ，(),(),()(0,1)P A P B P C ∈，若C 分别与,A B 独立，A B =∅.则有（ ）.（A ）A 与B C 独立 （B ）B 与A C 独立 （C ）C 与AB 独立 （D ）,,A BC 两两独立（8）设总体2(,)X N μσ～，其中2,μσ均未知. 假设检验问题为2010H σ≤:,2110H σ>:,已知25n =，0.05α=，20.05(24)36.415χ=，且根据样本观察值计算得212s =，则检验结果为（ ）.（A ）接受0H ，可能会犯第二类错误 （B ）拒绝0H ，可能会犯第二类错误 （C ）接受0H，可能会犯第一类错误 （D ）拒绝0H，可能会犯第一类错误二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）不定积分222arctan 2(1)1xx edx x +=+⎰__________________.（10）设曲线222C x xy y a ++=:的长度为L ，则s i n ()s i n ()s i n ()s i n ()x yx y C a e b e d s e e +=+⎰_________. （11）设()y y x =是由10sin 10ln(1)x t e t x y t dt +⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩⎰所确定的函数，则0t dy dx ==______________.（12）以21C y C x x=+为通解的微分方程______________________. （13）设A 为三阶方阵，A 的第一行元素为1,2,3，行列式A 中第二行元素的余子式为1,2,3a a a +++，则常数a =__________.（14）设(,)f x y 为二维随机变量(,)X Y 的密度函数，2U Y =，V X =-，则(,)U V 的密度函数(,)U V f u v =________________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设曲线()y y x =由参数方程给出：ln x t t =，ln 1()t y t t e=>. （I ）求()y y x =的单调区间、极值、凹凸区间和拐点； （II ）求曲线()y y x =，直线1x e=-，x e =及x 轴所围平面区域的面积A .（16）（本题满分10分）求微分方程()x dyf xy y dx⋅=经变换xy u =后所转化的微分方程，并由此求微分方程22(1)y xy d x x d y +=的通解.（17）（本题满分10分）求幂级数2121(1)(1)nn n n x n∞+--∑=的收敛域及和函数()S x .（18）（本题满分10分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，证明：（I ）2()[()()]a b b aaf x dx f x f a b x dx +=++-⎰⎰；（II ）利用（I ）计算π23π6cos (2)xI dx x x π=-⎰.（19）（本题满分10分）在椭球面222221x y z ++=上求一点P ，使得三元函数222(,,)f x y z x y z=++在点P 处沿方向=-l i j 的方向导数最大.（20）（本题满分11分）设,,A B C 均为n 阶方阵，⎛⎫=⎪-⎝⎭AA M CBC .（I ）证明：M 可逆的充要条件为,A B 均可逆； （II ）如果M 可逆，求其逆矩阵1-M .（21）（本题满分11分）设13λ=，26λ=，39λ=是三阶对称矩阵A 的三个特征值，其对应的特征向量依次为11(2,2,1)3T =-α，21(1,2,2)3T =-α，31(2,1,2)3T =-α. （I ）证明112233369TTT=++A αααααα；（II ）设(1,2,3)T=β，分别将β和nA β用123,,ααα线性表示.（22）（本题满分11分）设1()X P λ～，2()Y P λ～，且X 与Y 相互独立.（I ）证明：12()X Y P λλ++～； （II ）求已知3X Y +=时，X 的条件分布.（23）（本题满分11分）设总体X 的密度函数为22,0()0,0x x e x f x x θθ-⎧⎪>=⎨⎪≤⎩，其中(0)θθ>为未知参数，12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自总体X 的简单随机样本.（I ）求θ的极大似然估计量θ； （II ）指出θ是否为θ的无偏估计.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（III ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）求抛物线2y x x =+与23y x x =-的公切线为（ ）.（A ）1y x =-- （B ）1y x =-+ （C ）1y x =- （D ）1y x =+ （2）设220()(1)x t f x x e dt -=+⎰，则有（ ）.（A ）(2010)(0)0f=，11()0f x dx -=⎰（B ）(2010)(0)0f ≠，11()0f x dx -=⎰（C ）(2010)(0)0f =，11()0f x dx -≠⎰（D ）(2010)(0)0f ≠，11()0f x dx -≠⎰（3）设当0r +→，222()r C y d x x d yI x y x y -=++⎰与nr 为同阶无穷小，其中C为圆周2221x y r +=，取逆时针方向，则n 等于（ ）. （A ） （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）设()y y x =是方程22(1)0x y d x x d y +-=及条件(0)1y =的解，则120()y x dx =⎰（ ）. （A ）ln 3- （B ）l n 3 （C ）1l n 32-（D ）1l n 32（5）设12,ηη为线性方程组12311232123322x x x a x x x a x x tx a-+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的两个不同解，则必有（ ）.（A ）2t =，1230a a a ++= （B ）2t ≠，312a a a =+ （C ）2t =，312a a a =+ （D ）2t ≠，312a a a ≠+（6）设二次型123(,,)T f x x x =x Ax ，其中T=A A ，a =A ，()1r a b +=E ，则（ ）.（A ）对任意的0a >，0b >，正定 （B ）对任意的0a >，0b <，正定 （C ）对任意的0a <，0b >，正定 （D ）对任意的0a <，0b <，正定 （7）已知随机变量010.250.75X⎛⎫ ⎪⎝⎭，向量12,αα线性无关，则向量组12X -αα,12X -+αα线性相关的概率为（ ）.（A ）0.25 （B ）0.5 （C ）0.75 （D ） （8）设总体X 的密度函数2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，1234,,,X X X X 为来自总体X 的简单随机样本，则(4)1234m a x (,,,)X X X X X =的密度函数为(4)()X f x =（ ）. （A ）20,0,011,1x x x x ≤⎧⎪<<⎨⎪≥⎩ （B ）80,0,011,1x x x x ≤⎧⎪<<⎨⎪≥⎩（C ）78,010,x x ⎧<<⎨⎩其他 （D ）34,010,x x ⎧<<⎨⎩其他二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）若()x x f t dt xe -=⎰，则1(ln )f x dx x+∞=⎰____________. （10）设函数()y x 满足2''(1)'xy x y x y e +-+=，且'(0)1y =. 若20()lim x y x xa x →-=，则a = （11）设()f r 在[0,1]上连续，则22221lim()n n x y x y f dxdy →∞+≤+=⎰⎰_____________.（12）已知向量222(,,)xy yz zx =A ，则(1,1,2)()grad div -=A ________________.（13）设,A B 为n 阶方阵，12,,n λλλ⋅⋅⋅为B 的n 个特征值，若存在可逆阵P ，使得11--=-+B PAP P AP E ，则12n λλλ++⋅⋅⋅=______________. （14）设(,)(0,14,90)X Y N ;;～，则{1}P X Y <-=_______________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）旋转曲面224z x y =+上某点M 处的切平面为π，若平面π过曲线：2x t =，y t =，3(1)z t =-上对应于1t =的点处的切线，试求平面π的方程.（16）（本题满分10分）设()Df t x y tdx d y =-⎰⎰，其中D ：01x ≤≤，01y ≤≤，[0,1]t ∈.（I ）求()f t 的表达式； （II ）证明'()0f t =在(0,1)内有且仅有一个根.（17）（本题满分10分）求数项级数=1(1)(21)!n n nn ∞-+∑的和.（18）（本题满分10分）设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，()0f a =，()1f b =，()1()f c a c b =-<<. 证明：(,)a b ξ∃∈，使得2(1)'()2()0f f ξξξξ+-=.（19）（本题满分10分）（I ）设连续函数()f x 对任意的x 均满足()()2xf x af =，其中常数(0,1)a ∈. 证明()()2n nxf x a f =，进而再证(,)x ∀∈-∞+∞，()0f x ≡； （II ）设()g x 具有二阶连续导数，且满足22()3x xg t dt x x =+⎰，求()g x 所满足的微分方程，并求()g x .。

2023-2024学年安徽省合肥高考数学押题模拟试题（五模）一、单选题1．已如集合()(){}{150,log A x x x B x y =+-≥==∣∣，则U B A = ð（）A ．{14}xx -<<∣B ．{4}xx <∣C ．{14}xx -≤<∣D ．{}1xx ≤-∣【正确答案】A【分析】根据题意，先将集合,A B 化简，然后结合集合的运算，即可得到结果.【详解】因为()(){}{1505A xx x x x =+-≥=≥∣或}1x ≤-，则{}15U A x x =-<<ð{{}log 4B x y x x ===<∣，所以{14}U B xx A <=-< ∣ð.故选：A2．设i 是虚数单位，复数3i1i 1iz +=-+，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】A【分析】根据题意，由复数的运算化简复数z ，即可得到结果.【详解】由3i1i 1iz +=-+，得()()()()()()3i 1i 42i 1i 42i 13i 1i 1i 1i 1i z +----====-+++-，所以13i z =+，故选：A3．“2m <”是“方程22121x y m m +=-+表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据方程表示椭圆的条件求解.【详解】方程22121x ym m +=-+表示椭圆2012101212m m m m m m ->⎧-<<⎧⎪⎪⇔+>⇔⎨⎨≠⎪⎪-≠+⎩⎩，所以“2m <”是“方程22121x y m m +=-+表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B.4．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓､粮栈､米行及地主家里必备的用具､如图为一倒正四棱台型米斗，高为40cm.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm 的球O 的球面上，且一个底面的中心与球O 的球心重合，则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（）A ．12B C D 【正确答案】D【分析】由题意作出正四棱台的对角面，O 为外接球球心，为线段BC 中点，过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，则DCE ∠即为所求角.【详解】由题意，作出正四棱台的对角面，如图AD 为正四棱台上底面正方形对角线，BC 为正四棱台下底面正方形对角线，O 为外接球球心，为线段BC 中点，则50OD OA OB OC ====，过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，则DCE ∠即为所求角.因为50,40OD DE ==，所以30OE =，所以20EC =，所以DC =.故选:D.5．在数列{}n a 中，已知122,3a a ==，当2n ≥时，1n a +是1n n a a -⋅的个位数，则2023a =（）A ．4B ．3C ．2D ．1【正确答案】C【分析】由题意，列出数列的前若干项，分析出数列变化规律，进而得出答案.【详解】因为122,3a a ==，当2n ≥时，1n a +是1n n a a -⋅的个位数，所以36a =，48a =，58a =，64a =，72a =，88a =，96a =，108a =，118a =，124a =，可知数列{}n a 中，从第3项开始有6n n a a +=，即当3n ≥时，n a 的值以6为周期呈周期性变化，又20236337...1÷=，故202312a a ==.故选：C.6．数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数sin y A x ω=，我们平时听到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音．已知刻画某复合音的函数为11sin sin 2sin 323x x x ++，则其部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，与选项中的图象比较即可得出答案.【详解】令()11sin sin2sin323y f x x x x ==++，求导得()cos cos2cos3cos cos2cos2cos sin2sin f x x x x x x x x x x =++=++-'()()()2cos 12sin cos21cos 12cos cos2x x x x x x =-++=+，当[]0,πx ∈时，由()0f x '=解得π2π3π,,434x =，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当π2π,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当2π3π,34x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当3π,π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以，当π4x =和3π4x =时，()f x 取极大值；当2π3x =时，()f x 取极小值，由于()()π12π3π100,,,0,π043234432f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+==->= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得π3π44f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()0,πx ∈时()0f x >，结合图象，只有C 选项满足．故选：C ．7．在菱形ABCD 中，2AB =，点,E F 分别为BC 和CD 的中点，且4AB AF ⋅= ，则AE BF ⋅= （）A ．1B ．32C ．2D ．52【正确答案】B【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算律结合4AB AF ⋅= ，求出2AB AD ⋅=，继而根据向量的线性运算以及数量积的运算律即可求得答案.【详解】因为点E F ､分别为BC 和CD 的中点，211422AB AF AB AD AB AB AD AB ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+= ⎪⎝⎭，所以2AB AD ⋅=，又11112222A B BC BC C E BF A AB AD AD A D B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+⎝⎭2213313222424AB AD AD AB =⨯=⋅+-= ，故选：B.8．定义在R 上的函数()f x 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--.当[),x m ∈+∞时，()332f x ≤，则m 的最小值为（）A ．278B ．298C ．134D ．154【正确答案】B【分析】根据已知计算出()()11122122n nf x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，画出图象，计算()332f x =，解得298x =，从而求出m 的最小值.【详解】由题意得，当[)1,2x ∈时，故()()()11112322f x f x x =-=--，当[)2,3x ∈时，故()()()11112524f x f x x =-=-- ，可得在区间[)(),1Z n n n +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，所以当4n ≥时，()332f x ≤，作函数()y f x =的图象，如图所示，当7,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，由()()13129127,27,83248f x x x x =--=-==，则298m ≥，所以m 的最小值为298故选：B 二、多选题9．某学校高三年级学生有500人，其中男生320人，女生180人.为了获得该校全体高三学生的身高信息，现采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm ），计算得男生样本的均值为174，方差为16，女生样本的均值为164，方差为30.则下列说法正确的是（）A ．如果抽取25人作为样本，则抽取的样本中男生有16人B ．该校全体高三学生的身高均值为171C ．抽取的样本的方差为44.08D ．如果已知男､女的样本量都是25，则总样本的均值和方差可以作为总体均值和方差的估计值【正确答案】AC【分析】利用分层抽样计算即可判断选项A ；代入均值与方差公式即可判断选项BC ；因为抽样中未按比例进行分层抽样，所以总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差，所以作为总体的估计不合适，可以判断D.【详解】根据分层抽样，抽取25人作为样本，则抽取的样本中男生有3202516,A 500⨯=正确；样本学生的身高均值320180174164170.4500500⨯+⨯=，B 错误；抽取的样本的方差为2232018016(174170.4)30(164170.4)44.08500500⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦，C 正确；因为抽样中未按比例进行分层抽样，所以总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差，所以作为总体的估计不合适.D 错误.故选：AC10．已知函数()πsin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的有（）A ．若()()122f x f x -=，则12min πx x -=B ．将()f x 的图象向左平移π4个单位长度后得到的图象关于y 轴对称C ．函数2πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2πD ．若()(0)f x ωω>在[]0,π上有且仅有3个零点，则ω的取值范围为1115,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】ABD【分析】对A ：()()12,f x f x 必有一个最大值和一个最小值可求12minx x -；对B ：求出平移后函数解析式判断是否为偶函数；对C ：化简2πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭后求周期；对D ：求出π4x ω+的范围，数据正弦曲线的图象列出满足的不等式并求解.【详解】由()()122f x f x -=，故()()12,f x f x 必有一个最大值和一个最小值，则12min x x -为半个周期长度，故π,A 2T=正确；由题意ππsin cos 42f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象关于y 轴对称，B 正确；2π1cos 2π1sin22sin 422x x y x ⎛⎫-+ ⎪+⎛⎫⎝⎭=+= ⎪⎝⎭的最小正周期为π,C 错误.()πsin 4f x x ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在[]0,πx ∈上ππππ444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦,有且仅在3个零点，结合正弦函数的性质知：π3ππ4π4ω≤+<，则111544ω≤<，D 正确；故选：ABD11．正四棱锥M ABCD -中，高为3，底面ABCD 是边长为2的正方形，则下列说法正确的有（）A ．CD 到平面ABM的距离为5B ．向量AM 在向量AC 上的投影向量为12ACC ．棱锥M ABCD -D ．侧面ABM 所在平面与侧面CDM 所成锐二面角的余弦值为45【正确答案】BD【分析】补形成长方体，在长方体中作出所求距离，利用等面积求解可判断A ；根据投影向量的几何意义可判断B ；利用等体积法可判断C ；利用长方体作出平面角，由余弦定理可得.【详解】补形为长方体1111ABCD A B C D -.如图，记AC BD O = ，1111,A D B C 的中点分别为P ，Q ，作CW BQ ⊥于点W ,易知1111A C B D M =I，OB =CQ BQ ===在BCQ △中，11122BQ CW BC BB ⋅=⋅,即112322CW =⨯⨯,解得CW =易知,CW 为CD 到平面ABM 距离，A 错误；根据投影向量概念知：向量AM 在向量AC 上的投影向量为向量AO .即为12AC ，所以B 正确；即AB 中点为N ，连接MN ，ON，易得MN =，所以14442M ABCD S -=⨯⨯=+四棱锥表面积4ABCD S =正方形，由等体积求内切球半径,得11:33M ABCD ABCD M ABCD V S OM S R --=⋅=⋅正方形四棱锥表面积，ABCD M ABCD S OM R S -⋅==正方形四棱锥表面积，所以C 错误；连接CQ ，由长方体性质可知BQC ∠是所求二面角的平面角，在BQC中由余弦定理得：4cos ,D 5BQC ∠=正确.故选：BD12．已知数列{}n a 满足*n N ∀∈，曲线0:ln C y x =和:1nn n a C y x=-有交点(),nn n T x y ，且0C 和n C 在点n T 处的切线重合，则下列结论正确的为（）A ．*,n n N x e∀∈<B ．*,1p p N a ∃∈<C ．*,,p p p q p qp q N x a x a ++∃∈=D ．1*,1n ny n N e ∀∈⋅<【正确答案】AD【分析】依题意，有ln 1n n n n a x x =-，且11n n n n na x x +=，解得11e n n x -=，1e n n a n-=，对于A ，由于11e e n -<，从而可得结论，对于B ，构造函数1e ()xf x x-=，然后利用导数判断其单调性，再利用单调性判断即可，对于C ，由于111111111e e 1e nn n nn n x x -+-++==<，从而可判断数列{}n n x a 为正项递增数列，进而可判断，对于D ，只需证1*11e ()n n n--<∈Ν，令1x n =-，然后只要证1e x x +<，构造函数()e 1x g x x =--，利用导数只要证明其最小值大于零即可【详解】依题意，有ln 1n n n n a x x =-，且11n n n n na x x +=，解得11e n n x -=，1e n n a n-=，（1）考查选项A ：显然11e e n -<，即e n x <，故选项A 正确；（2）考查选项B ：构造函数1e ()xf x x-=，则12(1)e ()x x f x x --'=，显然当[1,)x ∈+∞时，()0f x '≥，即()f x 在[1,)+∞上单调递增，从而{}n a 为递增数列，又11a =，故*n ∀∈Ν，1n a ≥，易知选项B 错误；（3）考查选项C ：由111111111e e 1e nn n nn n x x --+-++==<，可知10n n x x +<<，即{}n x 为正项递增数列，{}n a 亦为正项递增数列，故数列{}n n x a 为正项递增数列，又p p q <+，易知选项C 错误；（4）考查选项D ：易知11n y n =-，需证11(1)e 1n n -⋅<，只需证1*11e ()n n n--<∈Ν，令1x n=-，则[1,0)x ∈-，只需证1e x x +<，[1,0)x ∈-，令()e 1x g x x =--，[1,0]x ∈-，则()e 10x g x '=-≤，易知()g x 单调递减，故当[1,0)x ∈-时，()(0)0g x g >=，从而选项D 正确；故选：AD.三、填空题13．52()x x-的展开式中含x 项的系数为__________.【正确答案】40【分析】求出二项展开式的通项公式，由题设中的指定项可得项数即可作答.【详解】52()x x -的展开式的通项为5521552((2),,5r r r r r rr T C x C x r N r x--+=⋅-=-∈≤，则展开式中含x 的项有521r -=，即2r =，所以展开式中含x 项的系数为225(2)40C -=.故4014．近年来，随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变，假期出游成为时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山､九华山､庐山三个景点旅游.已知7名同学中有4名男生，3名女生.其中2名女生关系要好，必须去同一景点，每个景点至少有两名同学前往，每位同学仅选一处景点游玩，则7名同学游玩行程安排的方法数为__________.【正确答案】150【分析】7个人去三个景点，每个景点至少2人，则两个景点两人，一个景点3人，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，分类相加即可.【详解】由题，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，第一类：仅要好的两位女生去同一景点3353C A 60=；第二类：要好的两位女生和另一位同学去同一景点112534C C C 90=，总方法数为6090150+=.故150.15．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为____.【正确答案】16设出直线1l 方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理，由弦长公式求得弦长AB ，用1k-，代替k 得弦长DE ，求出AB DE +，用基本不等式求得最小值．【详解】由题意抛物线焦点为(1,0)F ，显然直线12,l l 的斜率都存在且都不为0，设直线1l 方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得22222(2)0k x k x k -++=，所以21222(2)k x x k ++=，121=x x，224(1)k AB k +=，同理可得2221414(1)1k DE k k ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==+⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以2222114(1)4(1)84()8416AB DE k k k k +=+++=++≥+⨯=，当且仅当1k =±时等号成立．故16．关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交弦长问题，解题方法是设而不求思想方法，即设出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得得1212,x x x x +，然后由弦长公式12d x =-求得弦长．四、双空题16．设(){}{}()()*1212,,,,0,1,1,2,,N ,2,,,,n n i n n S aa a a a a i n n n a a a a S ==∈=∈≥=∈ ∣，定义a 的差分运算为()()213211,,,n n n D a a a a a a a S --=---∈ .用()m D a 表示对a 进行()*N ,m m m n ∈≤次差分运算，显然，()mDa 是一个()n m -维数组.称满足()()0,0,,0m D a = 的最小正整数m 的值为a 的深度.若这样的正整数m 不存在，则称a 的深度为n .（1）已知()80,1,1,1,0,1,1,1a S =∈，则a 的深度为__________.（2）n S 中深度为()*N ,d d d n ∈≤的数组个数为__________.【正确答案】412d -【分析】利用新定义和集合的运算性质即可得出结论.【详解】空1：因()80,1,1,1,0,1,1,1a S =∈，则()()1,0,0,1,1,0,0D a =，()()21,0,1,0,1,0D a =，()()31,1,1,1,1D a =，()()40,0,0,0D a =.故4空2：易知m S 中仅有一组()0,0,0,,0 ，1m S +中深度1d =的数组仅1组()1,1,1,,1 ，2m S +中深度2d =的数组仅2组，3m S +中深度3d =的数组仅4组，,m k S +中深度d k =的数组仅12k -组，,所以n S 中深度为d 的数组仅有12d -组.关键点睛：本题考查新定义和集合运算的综合应用能力，属于高难度题，需要认真审题，抓住新定义的本质.五、解答题17．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，L .球数构成一个数列{}n a ，满足1,1n n a a n n -=+>且*n ∈N.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证.121112na a a +++< 【正确答案】(1)()12n n n a +=(2)证明见解析【分析】（1）利用累加法求解即可；（2）利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）（1）因为1,1n n a a n n -=+>，所以1,1n n a a n n --=>，所以当1n >时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+ ()()11212n n n n +=+-+++=，当1n =时，上式也成立，所以()12n n n a +=；（2）由()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以121111111112121222311n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.18．法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且210sin 7cos22B C A +⎛⎫=- ⎪⎝⎭.以,,AB BC AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1,23,O O O.(1)求角A ；(2)若1233,a O O O =ABC 的周长.【正确答案】(1)π3A =(2)3+【分析】（1）根据三角恒等变化可得22cos 5cos 30A A +-=，进而可得1cos 2A =，即可求解，（2）利用正弦定理得13,33AO c AO b ==，结合余弦定理即可联立方程求解.【详解】（1）210sin 7cos22B C A +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()()51cos 7cos2B C A -+=-，故()251cos 82cos A A +=-，所以22cos 5cos 30A A +-=，可得1cos 2A =（负值舍），由()0,πA ∈，所以π3A =.（2）如图，连接13,AO AO ，由正弦定理得12sin 60AB AO =，32sin 60ACAO ︒=,则13,AO AO ==，正123O O O 面积2221313131sin6072S O O O O O =⋅⋅==∴= ，而60BAC ∠= ，则13120O AO ∠=，在13O AO 中，由余弦定理得：222131313132cos O O AO AO AO AO O AO =+-⋅⋅∠，即221723332b c bc ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，则2221b c bc ++=，在ABC 中，60,3A a == ，由余弦定理得2222cos a b c bc BAC ∠=+-，则22229,6,15b c bc bc b c +-=∴=+=，b c ∴+=ABC 的周长为3+19．某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示，是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，其中四边形ABCD 是边长为4的正方形，点G 是半圆弧CD 上的动点，且,,,C E D G 四点共面.(1)若点G 为半圆弧CD 的中点，求证：平面BFD ⊥平面BCG ；(2)是否存在G 点，使得直线CF 与平面BCG 所成的角是π3若存在，确定G 点位置；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【分析】（1）连接EC ，证明BF CG ⊥，从而可证得BF ⊥平面BCG ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）以A 为原点，,,AF AB AD方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，设π,0,2GCD θθ⎡⎫∠=∈⎪⎢⎣⎭，利用向量法求解即可.【详解】（1）连接EC，如图所示：若点G 为半圆弧CD 的中点，则45ECD GCD ︒∠=∠=，所以90ECG ∠=︒，即EC CG ⊥，因为//BF EC ，所以BF CG ⊥，又,,,BF BC BC CG C BC CG ⊥⋂=⊂面BCG ，所以BF ⊥平面,BCG BF ⊂平面BFD ，则平面BFD ⊥平面BCG ；（2）假设存在点G ，使得直线CF 与平面BCG 所成的角为60︒，以A 为原点，,,AF AB AD方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则()()()4,0,0,0,4,0,0,4,4F B C ，设π,0,2GCD θθ⎡⎫∠=∈⎪⎢⎣⎭，则()24sin cos ,44cos ,4G θθθ--，所以()()()24,4,4,0,0,4,4sin cos ,4cos ,4CF BC BG =--==-- θθθ，设平面BCG 的法向量为(),,m x y z =，由0m BC m BG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2404sin cos 4cos 40z x y z θθθ=⎧⎨--+=⎩，令sin y θ=，则cos ,0x z =-=θ，即()cos ,sin ,0m θθ=-，则cos,CF m===，整理得5sin24θ=，与[]sin20,1θ∈矛盾，所以不存在，20．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F A为双曲线C的右支上一点，点A 关于原点O的对称点为B，满足1260F AF∠=︒，且222BF AF=.(1)求双曲线C的离心率；(2)若双曲线C过点)，过圆222:O x y b+=上一点()00,T x y作圆O的切线l，直线l交双曲线C 于,P Q两点，且OPQ△的面积为l的方程.【正确答案】(2)2y x=±±或2y x=±【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义结合余弦定理列出方程，即可得到结果；（2）根据题意，分直线l的斜率不存在与存在讨论，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理即可得到结果.【详解】（1）由对称性可知：21BF AF=，故122AF AF=，由双曲线定义可知：122AF AF a-=，即22222AF AF AF a-==，所以14AF a=，又因为122F F c=，在12AF F△中，由余弦定理得：222121212121cos22F A F A F FF AFF A F A∠+-==⋅，即22222216442041242162a a c a ca a a+--==⨯⨯，解得：c=，故离心率为ca=（2）因为双曲线过点)，所以双曲线方程：2212y x -=当直线l的斜率不存在时，则12,2,2,44PQ F F OP OQ OP OQ ⊥===≠∴直线l 的斜率不存在时不成立.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()1122,,,y kx m P x y Q x y =+又点O 到直线l距离()2221d m m k ==∴==+，联立22220y kx m x y =+⎧⎨--=⎩，消去y 得()(2222220k x kmx m k ----=≠，则12221222222km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，由OPQ △的面积为PQ =∴=PQ =将()2221m k =+代入上式得PQ =2214k m ⎧=∴⎨=⎩或22410k m ⎧=⎨=⎩，即12k m =±⎧⎨=±⎩或2k m =±⎧⎪⎨=⎪⎩，经检验，满足0∆>，∴直线l 的方程为：2yx =±±或2y x =±关键点睛：本题主要考查了双曲线的性质，以及直线与双曲线相交问题，难度较难，解答本题的关键在于联立直线与双曲线方程表示出PQ ，结合面积公式列出方程.21．已知函数()()ln ln f x px m p x =--，其中,0p m >.(1)若4x =时，()f x 有极值ln2-，求,p m 的值；(2)设1m p ≤-，讨论()f x 的零点个数.【正确答案】(1)32p =，2m =(2)答案见解析【分析】（1）根据题意，求导得()f x '，然后由条件列出方程，即可得到结果.（2）方法一：根据题意，分1m p =-与1m p <-，结合零点存在定理，分情况讨论即可；方法二：根据题意，将函数零点转化为方程的根，再由导数研究其单调性与极值，即可得到结果.【详解】（1）()()()1p p x m f x x px m '⎡⎤-+⎣⎦=-.由题意得()40f '=且()4ln2f =-，即()()410,ln 4ln4ln2p m p m p -+=--=-，联立解得32p =，2m =.经检验，符合题意.（2）方法一：()f x 定义域是,m p ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由条件知，1p >.当,1m m x p p ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()()0,f x f x '>单调递增；当,1m x p ∞⎛⎫∈+ ⎪-⎝⎭时，()()0,f x f x '<单调递减.故01m x p =-是()f x 的极大值点，且极大值为()()01ln 1mf x p p =--.当1m p =-时，()00f x =，此时()f x 有一个零点.当1m p <-时，()00f x >.记111p p p pm m p m --=+，则101m <<.取11m x p m =-，则11m m x p p <<-，()111ln ln ln 0p p pp p p m mp m p f x p p p p p p m +-+=-=<+，根据零点存在定理，当,1m m x p p ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，存在一个零点.取112p x p -=，则()()()222222,ln ln ln ln ln101mx f x px m p x px p x p >=--<-==-.由零点存在定理可知，当,1m x p ∞⎛⎫∈+⎪-⎝⎭时，存在一个零点，此时()f x 有两个零点.综上所述，当1m p =-时，()f x 只有一个零点；当1m p <-时，()f x 有两个零点.方法二：由题意，函数()f x 的零点即方程()0f x =的根，即方程()ln ln ppx m x -=的根，即p m px x =-的根，记(),,pm g x px x x p ∞⎛⎫=-∈+ ⎪⎝⎭，：由()()1110p p g x p px p x --'=-=-=，得到1m x p=>，当,1m x p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，()1,x ∈+∞时，()()0,g x g x '<单调递减，又pm m g m m p p ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1p >，当x 趋向正无穷时，()pg x px x =-趋向负无穷，且()g x 的最大值为()11g p =-，综上所述，当1m p =-时，()f x 只有一个零点；当1m p <-时，()f x 有两个零点.方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性，极（最）值问题处理.22．在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一定信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成传输的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值12,,,n x x x 的随机变量，分别记作X 和Y .条件概率(),,1,2,,j i P Y x X x i j n === ∣，描述了输入信号和输出信号之间统计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量X 的平均信息量定义为.()()21()log ni i i H X p X x p X x ==-==∑当2n =时，信道疑义度定义为()()22211(),log i j j i i j H Y X p X x Y x pY x X x ===-====∑∑∣∣()()11211,log P X x Y x p Y x X x ⎡=-====⎣∣()()21212,log P X x Y x p Y x X x +====∣()()12221,log P X x Y x p Y x X x +====∣()()22222,log P X x Y x p Y x X x ⎤+====⎦∣(1)设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次骰子向上的面出现的点数X 的平均信息量()222log 3 1.59,log 5 2.32,log 7 2.81≈≈≈；(2)设某信道的输入变量X 与输出变量Y 均取值0，1.满足.()()()0,1001(01,01)P X p Y X p Y X p p ωω========<<<<∣∣试回答以下问题：①求()0P Y =的值；②求该信道的信道疑义度()H YX ∣的最大值.【正确答案】(1)2.40(2)①()0P Y =()()11p p ωω=-+-；②1【分析】（1）充分理解题意，利用随机变量X 的平均信息量定义解决本小题；（2）由全概率和条件概率公式解决本小题.【详解】（1）设X 表示扔一非均匀股子点数，则X123456P121221321421521621扔一次平均得到的信息量为()()621()log i i i H X p X x p X x ==-==∑62121log 21i i i==∑62211log 21log 21i i i==-∑2224516log 7log 3log 572121=+--2.40≈.（2）①由全概率公式，得()()()()()0000101p Y p X P Y X p X P Y X =====+===∣∣()()11p pωω=-+-②由题意，()()00111p Y X p Y X p ======-∣∣.所以，()H Y X ∣()()11211,log P X x Y x p Y x X x ⎡=-====⎣∣()()21212,log P X x Y x p Y x X x +====∣()()12221,log P X x Y x p Y x X x +====∣()()22222,log P X x Y x p Y x X x ⎤+====⎦∣()()()111211log P X x p Y x X x p Y x X x ⎡=-=====⎣∣∣()()()121221log p X x p Y x X x p Y x X x +=====∣∣()()()212212log p X x p Y x X x p Y x X x +=====∣∣()()()222222log p X x p Y x X x p Y x X x +=====∣∣()()()()()()22221log 1log 1log 11log 1p p p p p p p p ωωωω⎡⎤=---++-+---⎣⎦()()22log 1log 1p p p p =----;其中120,1x x ==.令()()()22log 1log 1f p p p p p =----()()()()2211log log 11ln21ln2f p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤-=-+---+-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦'()2221log log 1log pp p p-=-+-=.()110,,0,22f p p x ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭'时1()0,,12f p x '⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<,max 1()12f p f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.。

22年合工大超越卷解析合工大超越卷是指由中国合工大（Hegong University）设计的一套针对高年级学生的试卷，旨在考察他们的综合素质、学术创新能力和临场应变能力。

本文将对22年的合工大超越卷进行解析，并分析其中的难点和解题技巧。

一、数学部分（1）代数题合工大超越卷的数学部分常常包含一些代数题，这些题目要求考生在熟练掌握代数知识的基础上，能够将其应用到实际问题中。

例如，22年的合工大超越卷中的一道代数题是求解一个复杂的方程组。

考生需要运用代数方程的解法，分析方程之间的关系，并找到最终的解。

解题技巧：在解代数题时，考生应该注重观察题目中的关键信息，并将问题转化为代数方程。

同时，合理运用代数知识中的性质和方法，进行方程的化简和变形，最终得出正确答案。

（2）几何题几何题是合工大超越卷中的另一个重点考察内容。

这些题目通常需要考生对几何图形的性质和定理有深入的理解，并能够应用到具体情境中。

22年的合工大超越卷中的一道几何题是求解一个复杂的三角形面积。

解题技巧：在解几何题时，考生应该熟悉并掌握几何图形的基本概念和性质。

通过观察图形、构造图形、运用相关定理等方法，将问题转化为已知条件下的几何关系，最终得出正确答案。

二、物理部分合工大超越卷的物理部分主要考察学生对物理知识的掌握和应用能力。

这些题目通常包含一些实验数据、图表或图像，要求考生根据提供的信息，分析问题并给出合理的解释。

例如，22年的合工大超越卷中的一道物理题是关于光的折射和反射。

解题技巧：在解物理题时，考生应该善于利用实验数据、图表或图像等信息，通过分析和推理，找出问题的关键点并得出结论。

同时，合理运用物理知识中的公式和定律，进行计算和推导，最终得出正确答案。

三、化学部分化学是合工大超越卷中的另一个重要科目，其题目通常要求考生对化学反应、化学方程式和化学实验等方面有较深的理解和掌握。

22年的合工大超越卷中的一道化学题是关于溶液的浓度计算。

解题技巧：在解化学题时，考生应该熟悉并掌握化学反应和化学方程式的基本概念和应用。