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合肥市2015年高三第一次教学质量检测数学试题（文）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1. 答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2. 答第［卷时，每小題选出答案后•用2E铅笔把答题卡上对应題目的答裳标号涂黑.如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号.3. 答第II卷时•必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答題卷上书写，要求字体工整、• • • •笔迹清晰•作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出•确认后再用0.5＜米的黑色• • ••墨水签字笔描清楚•必须在题号所指示的答题区域作答•超出答题区域书写的答案无• ••••••••••• 瑕译迭寧李、芋葫第占爹厚不瑕・4. 考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.第I卷（选择题共50分）选择题（本大题共10小题•每小題5分•共50分.在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的）3 + i・gm 亠1. 复数^=—（1为虚数单位）的虚部为（）A. 1B.-1C.3D.-32. 已知集合^ = {x|l<x<2},5 = {r|x-l<0},则亦B =( )A. {x|-l<x<l}B. {x|-l<x<2)C. {1}D. 0高三数学试题（文）第1页（共4页）3. 执行右边的程序框图•输岀的结果为()A.9B.8C.6D.4高三数学试题（文）第2页（共4页）高三数学试题（文）第2页（共4页）4•一个正方体挖去一个圆锥得到一个儿何体■其正视图与俯视图如图所示•则该儿何体的侧（左）视图是（C5•已知点P 在圆C ： x 2 I = 2x I 2y 上•则点P 的距离最大值为（ ）A. —B. 2 近C.也D. 3 近2 26・函数/（x ） = Asin （（ox +（p ）（A >0,<y >0）的部分图象如医所示.& MBC 中■角4、B 、C 所对的边分别为ci 、b 、c •若B = A + ’、b = 2a •则角3 =（ ）39・如图，已知四边形ABCD 为正方形.PD 丄平面ABCD • 且PD^AD •则下列命题中错误的是（）• • 则/（X ）的解析式可以为（）A. f(x) = 3sin(2x-—)B. f (x) = 3sin(2x + —)4431 -----YC. /(x) = 3sin(* 一苧)D. /(x) = 3sin(* +乎) 71 O•3X7.已知P>Sq> 0 •且2p + g = 8，则"g 的最大值为（)第6题A. 8C.764B 百B2第4题A. 过〃£）且与PC平行的平面交尢4于M点•则M为P/I的中点B. a AC且与垂直的平面交P*于N点，则N为第9題的中点C. 过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则"为PC的中点D. 过P、B、C的平面与平面PAD的交线为直线2,则I//AD10.M a<-l ”是“函数/（X）= lnx + or +丄在［1,+8）上是单凋递滅函数”的（>XA•充分不必要条件B必要不允分条件C.充分必要条件I）•既不允分也不必要条件高三数学试题（文）第2页（共4页）高三数学试题（文〉第3页（共4页〉第II 卷（满分10（）分）二.填空题（本大题共5小题•每小题5分•共25分•把签案與在签題卡的相应位置） H.函数/CO = -A-T 的定义域为 ______________ •2 — 1 X 2 V 2（2 76 ）12•已知椭圆匚+ 2L = i 过点/•则该椭圆的离心率为加33}13. C 知函数/（切是定义在R 上单调递减的奇函数•则满足不等式f\f （t -l ）］<0的实数 !的取值范围是 ____________________ .x+y-1<014. 已知不等式组・x-y + \>0表示的平面区域被直线2x^y-k = 0平分成面积相等的八0两部分•则实数*的值为 ____________ .15. 已知8个非零实数a 1 ,如，。
合肥2015届高考数学一模试卷（理科含解析）2015年安徽省合肥168中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．2B．3C．4D．62．若复数z=（其中i是虚数单位），则|z|=（）A．2B．C．1D．13．如果随机变量ξ∽N（1，δ2），且P（1≤ξ≤3）=0.4，则P（ξ≤﹣1）=（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.44．“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是（）A．若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y全不为0B．若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y不全为0C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2+y2=0D．若x，y∈R且xy≠0，则x2+y2≠05．已知向量=（2，1）和=（x﹣1，y）垂直，则|+|的最小值为（）A．B．5C．2D．6．设Sn为等差数列（n∈N+）的前n项和，且S2=S6，a4=1，则a5=（）A．﹣1B．0C．1D．27．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填（）A．i＜5B．i＜6C．i＜7D．i＜88．设n=（4sinx+cosx）dx，则二项式（x﹣）n的展开式中x的系数为（）A．4B．10C．5D．69．点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e范围是（）A．（1，8]B．C．D．（2，3]10．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=3，PB=2，PC=2，设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别表示三棱锥M﹣PAB，M﹣PBC，M﹣PAC的体积，若f（M）=（1，x，4y），且+≥8恒成立，则正实数a的最小值是（）A．2﹣B．C．D．6﹣4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上11．已知实数x，y满足约束条件（k为常数），若目标函数z=2x+y的最大值是，则实数k的值是．12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．13．已知双曲线的右焦点为F，若以F为圆心的圆x2+y2﹣6x+5=0与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为．14．已知角φ的终边经过点P（1，﹣1），点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象上的任意两点，若|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值为，则的值是．15．已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f （2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）=0；②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．上述命题中所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．在△ABC中，已知（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC ﹣sinA）=3sinBsinC．（1）求角A的值；（2）求的最大值．17．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，已知侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B1BC=60°，BC=BB1=2，若二面角A﹣B1B﹣C为30°，（Ⅰ）证明：面AA1C1C⊥平面BB1C1C及求AB1与平面AA1C1C所成角的正切值；（Ⅱ）在平面AA1B1B内找一点P，使三棱锥P﹣BB1C为正三棱锥，并求此时的值．18．在某次三星杯围棋决赛中，小将A以2：0战胜上届冠军B，引起B所在国围棋界一片哗然！已知三星杯决赛采用的是三局两胜制，若选手A在一次对决中战胜选手B 的概率为．（Ⅰ）求选手A战胜选手B的概率；（Ⅱ）若赛制改为七局四胜制，即选手A战胜选手B所需局数为X，求X的期望．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．20．已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．21．设Sn是各项均为非零实数的数列的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：是等差数列；命题q：等式对任意n（n∈N*）恒成立，其中k，b是常数．（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列满足条件，试求Sn的最大值．2015年安徽省合肥168中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．2B．3C．4D．6【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】本题的关键是根据A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，写出集合B，并且找到集合B的元素个数【解答】解：∵A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}则B中所含元素的个数为：3故选：B【点评】本题主要考查集合的元素，属于基础题．2．若复数z=（其中i是虚数单位），则|z|=（）A．2B．C．1D．1【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数模的运算性质“积的模”等于“模的积”即可求得答案．【解答】解：∵z=，∴|z|===，故选：B．【点评】本题考查复数求模运算，利用复数“积的模”等于“模的积”是迅速解题的关键，属于基础题．3．如果随机变量ξ∽N（1，δ2），且P（1≤ξ≤3）=0.4，则P（ξ≤﹣1）=（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P（ξ≤﹣1）．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（1，δ2）∴正态曲线的对称轴是x=1∴P（1≤ξ≤3）=0.4，∴P（ξ≤﹣1）=P（ξ≥3）=0.5﹣0.4=0.1，故选：A．【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．4．“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是（）A．若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y全不为0B．若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y不全为0C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2+y2=0D．若x，y∈R且xy≠0，则x2+y2≠0【考点】四种命题．【专题】计算题．【分析】否定“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的题设，得到否命题的题设，再否定“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的结论，得到否命题的结论．由此能够得到命题“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y 全为0”的否命题．【解答】解：先否定“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的题设，得到否命题的题设“若x，y∈R且x2+y2≠0”，再否定“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的结论，得到否命题的结论“则x，y不全为0”．由此得到命题“若x，y∈R且x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是：若x，y∈R且x2+y2≠0，则x，y不全为0．故选B．【点评】本题考查四种命题的互换，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意全为0和否定形式是不全为0．5．已知向量=（2，1）和=（x﹣1，y）垂直，则|+|的最小值为（）A．B．5C．2D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】首先求出+的坐标然后利用坐标表示出它的模的平方，进一步用二次函数配方求最小值．【解答】解：向量=（2，1）和=（x﹣1，y）垂直，则+=（x+1，y+1），又向量和垂直，=2（x﹣1）+y=0，即y=﹣2x+2；所以|+|2=（x+1）2+（y+1）2=5x2﹣10x+10=5（x﹣1）2+5，所以x=1时，|+|的最小值为；故选A．【点评】本题考查了向量的坐标运算、垂直的性质以及利用二次函数求最值．6．设Sn为等差数列（n∈N+）的前n项和，且S2=S6，a4=1，则a5=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设出等差数列的首项和公差，由已知列式求出首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差为d，由S2=S6，a4=1，得，解得．∴a5=7+4×（﹣2）=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填（）A．i＜5B．i＜6C．i＜7D．i＜8【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的执行过程，计算输出结果即可．【解答】解：模拟程序框图执行过程，如下；开始，i=1，s=0，不输出，进入循环，1是奇数？是，s=0﹣12=﹣1，i=1+1=2，不输出，进入循环，2是奇数？否，s=﹣1+22=3，i=2+1=3，不输出，进入循环，3是奇数？是，s=3﹣32=﹣6，i=3+1=4，不输出，进入循环，4是奇数？否s=﹣6+42=10，i=4+1=5，不输出，进入循环，5是奇数？是，s=10﹣52=﹣15，i=5+1=6，不输出，进入循环，6是奇数？否，s=﹣15+62=21，i=6+1=7，退出循环，输出21，∴判断框中的条件是：i＜7？故选C．【点评】本题考查了程序框图的执行结果的问题，解题时应模拟程序的执行过程，是基础题．8．设n=（4sinx+cosx）dx，则二项式（x﹣）n的展开式中x的系数为（）A．4B．10C．5D．6【考点】二项式系数的性质；定积分．【专题】二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中x的系数．【解答】解：n=（4sinx+cosx）dx=（﹣4cosx+sinx）=5，则二项式（x﹣）n=（x﹣）5的展开式的通项公式为Tr+1=（﹣1）rx5﹣2r，令5﹣2r=1，求得r=2，∴展开式中x的系数为=10，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．9．点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e范围是（）A．（1，8]B．C．D．（2，3]【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】直接利用双曲线的定义，结合三角形的中位线定理，推出a，b，c的关系，求出双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线的左焦点为F1，因为点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，由三角形中位线定理可知：OM=PF1，PF1=PF﹣2a，PF≥a+c．所以，1．故选B．【点评】本题是中档题，考查双曲线的基本性质，找出三角形的中位线与双曲线的定义的关系，得到PF≥a+c．是解题的关键．10．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=3，PB=2，PC=2，设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别表示三棱锥M﹣PAB，M﹣PBC，M﹣PAC的体积，若f（M）=（1，x，4y），且+≥8恒成立，则正实数a的最小值是（）A．2﹣B．C．D．6﹣4【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用基本不等式求出的最小值，建立关于a的不等关系，解之即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=2．∴VP﹣ABC=×3×2×2=2=1+x+4y，即x+4y=1，∵+≥8恒成立，∴+=（+）（x+4y）=1+≥1+4a+4≥8，解得a≥∴正实数a的最小值为．故选：C．【点评】本题主要考查了棱锥的体积，同时考查了基本不等式的运用，是题意新颖的一道题目，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上11．已知实数x，y满足约束条件（k为常数），若目标函数z=2x+y的最大值是，则实数k的值是﹣3．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】我们可以画出满足条件（k为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到k的取值．【解答】解：画出x，y满足的（k为常数）可行域如图：由于目标函数z=2x+y的最大值是，可得直线y=2x+1与直线2x+y=的交点A（，），使目标函数z=2x+y取得最大值，将x=，y=，代入x+y+k=0得：k=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】几何体是三棱锥，结合直观图判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，如图：其中SA⊥平面ABC，SA=2，BC=4，AD⊥BC，AD=2，∴几何体的体积V=×××2×2=．故答案为：．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的结构特征及数据所对应的几何量是解题的关键．13．已知双曲线的右焦点为F，若以F为圆心的圆x2+y2﹣6x+5=0与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】通过配方先求出圆心和半径，圆x2+y2﹣6x+5=0与此双曲线的渐近线相切，利用点到直线的距离公式即可得到d=r，解出即可．【解答】解：圆x2+y2﹣6x+5=0化为（x﹣3）2+y2=4，∴圆心F（3，0），半径r=2．∵以F为圆心的圆x2+y2﹣6x+5=0与此双曲线的渐近线相切，∴，4a2=5b2，即．∴该双曲线的离心率e===．故答案为．【点评】熟练掌握配方法、圆的标准方程、双曲线的渐近线方程、圆与直线相切的性质、点到直线的距离公式是解题的关键．14．已知角φ的终边经过点P（1，﹣1），点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象上的任意两点，若|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值为，则的值是﹣．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由任意角的三角函数的定义求得tanφ=﹣1，故可以取φ=﹣．再根据函数的图象的相邻的2条对称轴间的距离等于，故函数的周期为，由此求得ω的值，从而求得函数的解析式，即可求得的值．【解答】解：∵角φ的终边经过点P（1，﹣1），∴角φ的终边在第四象限，且tanφ=﹣1，故可以取φ=﹣．点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象上的任意两点，若|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值为，则函数的图象的相邻的2条对称轴间的距离等于，故函数的周期为，故=，解得ω=3．故函数的解析式为f（x）=sin（3x﹣），∴=sin（）=sin=﹣sin=﹣，故答案为﹣．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．15．已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f （2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）=0；②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．上述命题中所有正确命题的序号为①②④．【考点】命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】根据f（x）是定义在R上的偶函数，及在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2可得f（﹣2）=f（2）=0，从而有f（x+4）=f（x），故得函数f（x）是周期为4的周期函数，再结合y=f（x）单调递减、奇偶性画出函数f（x）的简图，最后利用从图中可以得出正确的结论．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），可得f（﹣2）=f（2），在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2得f（2）=f（﹣2）+f（2），∴f（﹣2）=f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，结合函数的奇偶性画出函数f（x）的简图，如图所示．从图中可以得出：②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递减；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．故答案为：①②④．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数奇偶性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．在△ABC中，已知（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC﹣sinA）=3sinBsinC．（1）求角A的值；（2）求的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】（1）利用正弦定理将（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC﹣sinA）=3sinBsinC转化为边之间的关系，再由余弦定理即可求得求角A的值；（2）利用（1）中角A=60°，可求得B=120°﹣C，利用三角函数中的恒等变换可将sinB﹣cosC转化为关于角C的关系式，从而可求得其最大值．【解答】解：（1）∵（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC﹣sinA）=3sinBsinC，∴（sinB+sinC）2﹣sin2A=3sinBsinC，∴sin2B+sin2C﹣sin2A﹣sinBsinC=0，由正弦定理===2R得：b2+c2﹣a2﹣bc=0，又由余弦定理知，a2=b2+c2﹣2bccosA，∴cosA=，角A=60°．（2）∵角A=60°，在△ABC中，A+B+C=180°，∴B=120°﹣C，∴sinB﹣cosC=sin（120°﹣C）﹣cosC=（cosC﹣（﹣）sinC）﹣cosC=cosC+sinC=sin（C+），∵C∈（0°，120°），∴=1，即sinB﹣cosC得最大值为1．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦定理与余弦定理，突出三角函数中的恒等变换及诱导公式的应用，属于中档题．17．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，已知侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B1BC=60°，BC=BB1=2，若二面角A﹣B1B﹣C为30°，（Ⅰ）证明：面AA1C1C⊥平面BB1C1C及求AB1与平面AA1C1C所成角的正切值；（Ⅱ）在平面AA1B1B内找一点P，使三棱锥P﹣BB1C为正三棱锥，并求此时的值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的性质．【专题】综合题．【分析】（1）根据条件和线面垂直的判定定理得：AC⊥面BB1C1C，再由面面垂直的判断定理证明出面BB1C1C⊥面AA1C1C，再根据条件和线面垂直、面面垂直分别做出二面角A﹣BB1﹣C的平面角、AB1与面AA1C1C所成的线面角，并分别证明和计算求解；（2）根据正三棱锥的定义和正三角形重心的性质，找到点P，再由条件求出PP1和点E到平面AA1C1C的距离，代入三棱锥的体积公式求出两个棱锥的体积比值．【解答】解：（Ⅰ）∵面BB1C1C⊥面ABC，且面BB1C1C∩面ABC=BC，AC⊥BC，∴AC⊥面BB1C1C，则面BB1C1C⊥面AA1C1C取BB1中点E，连接CE，AE，在△CBB1中，BB1=CB=2，∠CBB1=60°∴△CBB1是正三角形，∴CE⊥BB1，又∵AC⊥面BB1C1C，且BB1⊂面BB1C1C，∴BB1⊥AE，即∠CEA即为二面角A﹣BB1﹣C的平面角为30°，∵AC⊥面BB1C1C，∴AC⊥CE，在Rt△ECA中，CE=，∴AC=CEtan30°=1，取C1C中点D，连接AD，B1D，∵△CBB1是正三角形，且BB1=CB=2，∴B1D⊥C1C，∵AC⊥面BB1C1C，∴AC⊥面B1D，∵C1C∩AC=C，∴B1D⊥面AA1C1C，即∠B1DA即AB1与面AA1C1C所成的线面角，则tan∠DAB1=，…（Ⅱ）在CE上取点P1，使，∵CE是△BB1C的中线，∴P1是△BB1C的重心，在△ECA中，过P1作P1P∥CA交AE于P，∵AC⊥面BB1C1C，P1P∥CA，∴PP1⊥面CBB1，即P点在平面CBB1上的射影是△BCB1的中心，该点即为所求，且，∴PP1=，∵B1D∥CE，且B1D=CE=，∴==2．…【点评】本题考查了线面垂直的判定定理、面面垂直的判断定理和性质定理的综合应用，二面角、线面角的求解构成，以及三棱锥的体积公式的应用，难度很大．18．在某次三星杯围棋决赛中，小将A以2：0战胜上届冠军B，引起B所在国围棋界一片哗然！已知三星杯决赛采用的是三局两胜制，若选手A在一次对决中战胜选手B的概率为．（Ⅰ）求选手A战胜选手B的概率；（Ⅱ）若赛制改为七局四胜制，即选手A战胜选手B所需局数为X，求X的期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式．【专题】计算题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）依题意，选手A战胜选手B分两种情况：2：0和2：1，即可求选手A战胜选手B的概率；（Ⅱ）依题意，X可取4，5，6，7，此时选手A战胜选手B的比分为4：0，4：1，4：2，4：3，利用概率公式求出每一个可能值下的概率，再利用期望定义求解．【解答】解：（Ⅰ）依题意，选手A战胜选手B分两种情况：2：0和2：1所以所求概率为0.42+×0.6×0.42=0.352．（Ⅱ）依题意，X可取4，5，6，7，此时选手A战胜选手B的比分为4：0，4：1，4：2，4：3，对应的情况分别为0.44，，×0.62×0.44，×0.63×0.44，其和为11.32×0.44，所以P（X=4）=，P（X=5）=，P（X=6）=，P（X=7）= 故X的期望为4×+5×+6×+7×=4.834．【点评】此题考查了学生的理解题意的能力，还考查了独立事件同时发生的概率公式及离散型随机变量的定义及分布列，还考查了离散型随机变量的期望．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的标准方程及参数a，b，c之间的关系即可求出；（2）（i）利用斜率的计算公式、三点共线的斜率性质、点在椭圆上的性质即可证明；（ii）利用直线的点斜式及其（i）的有关结论即可证明．【解答】解：（1）由题意得2c=2，∴c=1，又，a2=b2+1．消去a可得，2b4﹣5b2﹣3=0，解得b2=3或（舍去），则a2=4，∴椭圆E的方程为．（2）（ⅰ）设P（x1，y1）（y1≠0），M（2，y0），则，，∵A，P，M三点共线，∴，∴，∵P（x1，y1）在椭圆上，∴，故为定值．（ⅱ）直线BP的斜率为，直线m的斜率为，则直线m的方程为，====，即．所以直线m过定点（﹣1，0）．【点评】熟练掌握椭圆的定义及其性质、斜率的计算公式及其直线的点斜式是解题的关键．善于利用已经证明过的结论是解题的技巧．20．已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；（2）先求原函数的导数得：f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e ﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ax+x2﹣xlna，∴f′（x）=axlna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）由于f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna＞0 ①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增，∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增，∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min| =（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e ﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．【点评】本题考查了基本函数导数公式，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于中档题．21．设Sn是各项均为非零实数的数列的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：是等差数列；命题q：等式对任意n（n∈N*）恒成立，其中k，b是常数．（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列满足条件，试求Sn的最大值．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（1）设的公差为d，利用裂项法原等式可化为（﹣+﹣+…+﹣）=，整理可得（k﹣1）n+b=0对于n∈N*恒成立，从而可求得k，b的值；（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，分当n=1时，当n≥2时，当n≥3时讨论即可判断结论是否正确；（3）由+≤M，可设a1=rcosθ，an+1=rsinθ，代入求和公式Sn=，利用三角函数的有界性即可求得其最大值．【解答】解：（1）设的公差为d，则原等式可化为（﹣+﹣+…+﹣）=，所以=，即（k﹣1）n+b=0对于n∈N*恒成立，所以k=1，b=0．…（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，即“若++…+=①对于任意的n（n∈N*）恒成立，则为等差数列”．当n=1时，=显然成立．…当n≥2时，若++…+=②，由①﹣②得，=（﹣），即nan﹣（n﹣1）an+1=a1③．当n=2时，a1+a3=2a2，即a1、a2、a3成等差数列，当n≥3时，（n﹣1）an﹣1﹣（n﹣2）an=a1④，即2an=an ﹣1+an+1．所以为等差数列，即p是q的必要条件．…（3）由+≤M，可设a1=rcosθ，an+1=rsinθ，所以r≤．设的公差为d，则an+1﹣a1=nd=rsinθ﹣rcosθ，所以d=，所以an=rsinθ﹣，Sn==r≤=，所以Sn的最大值为…【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查“充分、必要条件”在数列中的综合应用，判断（2）中“p是否为q的必要条件”是难点，考查参数方程及三角函数的有界性，属于难题．。
2015年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）复数为虚数单位）的虚部为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣12．（5分）已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣1≤0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{1}D．∅3．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以为（）A．B．C．D．4．（5分）圆x2+y2＝2x+2y上到直线x+y+1＝0的距离为的点的个数为（）A．1B．2C．3D．45．（5分）已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是（）A．B．C．D．6．（5分）的展开式中x的系数是（）A．﹣3B．3C．﹣4D．47．（5分）实数x，y满足，使z＝ax+y取得最大值的最优解有两个，则z＝ax+y+1的最小值为（）A．0B．﹣2C．1D．﹣18．（5分）已知椭圆为右焦点，A为长轴的左端点，P点为该椭圆上的动点，则能够使的P点的个数为（）A．4B．3C．2D．19．（5分）“a≤﹣1”是“函数f（x）＝lnx+ax+在[1，+∞）上是单调函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）已知平行四边形ABCD，点M1，M2，M3，…，M n﹣1和N1，N2，N3，…，N n﹣1分别将线段BC和DC，n等分（n∈N*，n≥2），如图，若++…++++…+＝45，则n＝（）A．29B．30C．31D．32二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为10：8：7，按分层抽样从中抽取200名学生作为样本，若每人被抽到的概率是0.2，则该校高三年级的总人数为．12．（5分）已知函数f（x）＝，则f（2015）＝．13．（5分）如图所示的程序框图，输出的结果为．14．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若B＝A+，b＝2a，则B＝．15．（5分）已知8个非零实数a1，a2，a3，…，a8，向量，＝（a3，a4），＝（a5，a6），＝（a7，a8），对于下列命题：①a1，a2，a3，…，a8为等差数列，则存在i，j（1≤i，j≤8，i≠j，i，j∈N*），使与向量共线；②若a 1，a2，a3，…，a8为公差不为0的等差数列，（i≠j，i，j∈N*，1≤i，j≤8），，则集合M中元素有13个；③若a1，a2，a3，…，a8为等比数列，则对任意i，j（1≤i，j≤4，i，j∈N*），都有；④若a 1，a2，a3，…，a8为等比数列，则存在i，j（1≤i，j≤4，i，j∈N*），使＜0；⑤若（i≠j，1≤i，j≤4，i，j∈N*），则的值中至少有一个不小于0．上述命题正确的是（填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）cos（ωx﹣）﹣（0＜ω＜1）的图象关于直线x＝对称．（1）求ω的值；（2）若f（α）＝，α∈（﹣，），求cosα的值．17．（12分）一家医药研究所，从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”，（1）求一个试用组为“甲类组”的概率；（2）观察3个试用组，用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求η的分布列和数学期望．18．（12分）如图，平行四边形ABCD和矩形ADEF，平面ABCD⊥平面ADEF，AD＝2AB，P为BC的中点，M在AF上且AM＝2MF，DP交AC与N点．（1）求证：MN∥平面BCEF；（2）若四边形ABCD为矩形，且AF＝AB，求DM与平面MAP所成角的正弦值．19．（12分）如图，M、N是焦点为F的抛物线y2＝2px（p＞0）上两个不同的点，且线段MN中点A的横坐标为，（1）求|MF|+|NF|的值；（2）若p＝2，直线MN与x轴交于点B点，求点B横坐标的取值范围．20．（12分）设函数f（x）＝x3﹣3ax2+3（2﹣a）x，a∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若y＝f（x）的图象与x轴相切于原点，当0＜x2＜x1，f（x1）＝f（x2），求证：x1+x2＜8．21．（15分）设正项数列{a n}的前n项的和是S n，且对n∈N*，都有2S n＝a n2+a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意给定的不小于2的正整数n，数列{b k}满足：b1＝n，（k ＝1，2，…，n﹣1），求b1+b2+…+b n．2015年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）复数为虚数单位）的虚部为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【解答】解：复数＝＝1﹣2i的虚部为﹣2．故选：B．2．（5分）已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣1≤0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{1}D．∅【解答】解：B＝{x|x2﹣1≤0}＝{x|﹣1≤x≤1}则A∩B＝{1}，故选：C．3．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得：A＝3，T＝，从而解得：T＝4π，从而可求ω＝＝＝∵函数图象过点（，3），∴3＝3sin（﹣×+φ），∴可解得：φ＝2kπ+，k∈Z∴当k＝0时有：φ＝，故选：D．4．（5分）圆x2+y2＝2x+2y上到直线x+y+1＝0的距离为的点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：圆方程变形得：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，即圆心（1，1），半径r ＝，∴圆心到直线x+y+1＝0的距离d＝，∴d﹣r＝＜，则到圆上到直线x+y+1＝0的距离为的点得到个数为2个，故选：B．5．（5分）已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵该几何体的底面边长为2，侧棱长为，∴该几何体的高为＝，底面正六边形平行两边之间的距离为2，∴该几何体的侧视图可能是C，故选：C．6．（5分）的展开式中x的系数是（）A．﹣3B．3C．﹣4D．4【解答】解：＝，∴的展开式中x的系数是+1＝﹣3，故选：A．7．（5分）实数x，y满足，使z＝ax+y取得最大值的最优解有两个，则z＝ax+y+1的最小值为（）A．0B．﹣2C．1D．﹣1【解答】解：不等式组等价为或不等式对应的平面区域如图：由z＝ax+y得y＝﹣ax+z，若a＝0时，直线y＝﹣ax+z＝z，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．若﹣a＞0，则直线y＝﹣ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y＝﹣ax+z经过点A，D时满足条件，此时﹣a＝1，解得a＝﹣1．若﹣a＜0，则直线y＝﹣ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时z＝ax+y 取得最大值的最优解有1个或者无数个，不满足条件．综上满足条件的a＝﹣1，即z＝﹣x+y+1，则y＝x+z﹣1，当直线y＝x+z﹣1经过B（1，0），C（0，﹣1）时，目标函数取得最小值，此时z＝﹣1+0+1＝0，故选：A．8．（5分）已知椭圆为右焦点，A为长轴的左端点，P点为该椭圆上的动点，则能够使的P点的个数为（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：椭圆+＝1的a＝2，b＝，c＝1，即有F（1，0），A（﹣2，0），即为P A⊥PF，即有P在以AF为直径的圆上，则圆的方程为（x+）2+y2＝，①又P在椭圆上，则有+＝1，②由①②消去y，得x2+4x+4＝0，解得x1＝x2＝﹣2，代入可得y＝0，则只有一个交点（﹣2，0）．故选：D．9．（5分）“a≤﹣1”是“函数f（x）＝lnx+ax+在[1，+∞）上是单调函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若函数f（x）＝lnx+ax+在[1，+∞）上是单调函数，则函数的导数f′（x）满足不变号，即f′（x）≤0或f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∵f′（x）＝+a﹣，∴若函数f（x）单调递减，则f′（x）＝+a﹣≤0，即a≤﹣+＝（﹣）2﹣恒成立，设g（x）＝（﹣）2﹣，∵x≥1，∴0＜≤1，则当＝时，g（x）取得最小值﹣，此时a≤﹣，∴若函数f（x）单调递增，则f′（x）＝+a﹣≥0，即a≥﹣+＝（﹣）2﹣恒成立，设g（x）＝（﹣）2﹣，∵x≥1，∴0＜≤1，则﹣≤g（x）≤0，此时a≥0，综上若函数f（x）＝lnx+ax+在[1，+∞）上是单调函数，则a≥0或a≤﹣，则“a≤﹣1”是“函数f（x）＝lnx+ax+在[1，+∞）上是单调函数”的充分不必要条件，故选：A．10．（5分）已知平行四边形ABCD，点M1，M2，M3，…，M n﹣1和N1，N2，N3，…，N n﹣1分别将线段BC和DC，n等分（n∈N*，n≥2），如图，若++…++++…+＝45，则n＝（）A．29B．30C．31D．32【解答】解：如图所示，∵＝，＝，…，＝，＝，＝，…，＝．，．∴++…++++…+＝＝＝45，∴，解得n＝31．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为10：8：7，按分层抽样从中抽取200名学生作为样本，若每人被抽到的概率是0.2，则该校高三年级的总人数为280．【解答】解：∵若每人被抽到的概率是0.2，∴全校人数为200÷0.2＝1000人，则该校高三年级的总人数为1000×＝280人，故答案为：280．12．（5分）已知函数f（x）＝，则f（2015）＝2．【解答】解：根据题意，得；当x＞0时，f（x）＝f（x﹣4），∴f（2015）＝f（2016﹣1）＝f（504×4﹣1）＝f（504×4﹣1﹣4×504）＝f（﹣1）；又当x≤0时，f（x）＝，∴f（2015）＝f（﹣1）＝＝2．故答案为：2．13．（5分）如图所示的程序框图，输出的结果为8．【解答】解：模拟执行程序框图，可得s＝0，i＝1满足条件s＜，不满足条件“i为偶数”，i＝4，s＝，满足条件s＜，满足条件“i为偶数”，i＝5，s＝＝，满足条件s＜，不满足条件“i为偶数”，i＝8，s＝+＝，不满足条件s＜，退出循环，输出i的值为8．故答案为：8．14．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若B＝A+，b＝2a，则B＝．【解答】解：∵由正弦定理可得：，∴代入已知可得：，∴整理可得：sin A＝cos A，∴两边平方后整理可得：cos2A＝，∵b＝2a，a＜b，∴A为锐角，∴cos A＝，∴A＝，∴B＝＝，故答案为：．15．（5分）已知8个非零实数a1，a2，a3，…，a8，向量，＝（a3，a4），＝（a5，a6），＝（a7，a8），对于下列命题：①a1，a2，a3，…，a8为等差数列，则存在i，j（1≤i，j≤8，i≠j，i，j∈N*），使与向量共线；②若a 1，a2，a3，…，a8为公差不为0的等差数列，（i≠j，i，j∈N*，1≤i，j≤8），，则集合M中元素有13个；③若a1，a2，a3，…，a8为等比数列，则对任意i，j（1≤i，j≤4，i，j∈N*），都有；④若a 1，a2，a3，…，a8为等比数列，则存在i，j（1≤i，j≤4，i，j∈N*），使＜0；⑤若（i≠j，1≤i，j≤4，i，j∈N*），则的值中至少有一个不小于0．上述命题正确的是①②③⑤（填上所有正确命题的序号）【解答】解：①＝（a1+a3+a5+a7，a2+a4+a6+a8）＝4（a4，a5），即与向量（a4，a5）共线，正确；②∵，∴y＝a i+a j，不妨设a1，a2，a3，…，a8为1，2，3，4，5，6，7，8，则a i+a j为3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，即集合M中元素有13个，正确；③若a 1，a2，a3，…，a8为等比数列，由于，＝（a3，a4），＝（a5，a6），＝（a7，a8），所以横、纵坐标都成等比数列，所以都有，正确；④若a1，a2，a3，…，a8为等比数列，利用等比数列的性质，可得不存在i，j（1≤i，j≤4，i，j∈N*），使＜0；⑤从8个非零实数含有负数的个数进行分析，至少有一个要大于0，故正确．故答案为：①②③⑤．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）cos（ωx﹣）﹣（0＜ω＜1）的图象关于直线x＝对称．（1）求ω的值；（2）若f（α）＝，α∈（﹣，），求cosα的值．【解答】解：（1）∵＝sin（）cos（）＝cos2（）＝cos（2ωx﹣）∵图象关于直线x＝对称由题意可得2×ω×﹣＝kπ，k∈z，求得ω＝，k∈z，∵0＜ω＜1∴则ω的值为．（2）∵由（1）得：f（x）＝cos（x﹣），又∵f（α）＝cos（α﹣）＝，∈（﹣π，0），∴cos（α﹣）＝，sin（α﹣）＝﹣＝﹣，∴cosα＝（α﹣+）＝cos（α﹣）cos﹣sin（α﹣）sin＝﹣（﹣）×＝．17．（12分）一家医药研究所，从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”，（1）求一个试用组为“甲类组”的概率；（2）观察3个试用组，用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求η的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒有效的有i 人”，i＝0，1，2，B j表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有j人”，j＝0，1，2，依题意有P（A1）＝，P（A2）＝，P（B0）＝＝，P（B1）＝＝，∴一个试用组为“甲类组”的概率：P＝P（B0A1）+P（B0A2）+P（B1A2）＝＝．（2）η的可能取值为0，1，2，3，且η～B（3，），∴P（η＝0）＝＝，P（η＝1）＝＝，P（η＝2）＝＝，P（η＝3）＝（）3＝，∴η的分布列为：∵η～B（3，），∴Eη＝3×＝．18．（12分）如图，平行四边形ABCD和矩形ADEF，平面ABCD⊥平面ADEF，AD＝2AB，P为BC的中点，M在AF上且AM＝2MF，DP交AC与N点．（1）求证：MN∥平面BCEF；（2）若四边形ABCD为矩形，且AF＝AB，求DM与平面MAP所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：连结CF，∵PC∥AD，∴，∴，∴MN∥CF，又MN⊄平面BCEF，∴MN∥平面BCEF．（2）解：由题意，取AD的中点为O，取EF的中点为Q，以OP，OA，OQ为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝3，AM＝2，则A（0，3，0），M（0，3，2），P（3，0，0），D（0，﹣3，0），，，＝（0，6，2），设平面MAP的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，0），设DM与平面MAP所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝||＝，∴DM与平面MAP所成角的正弦值为．19．（12分）如图，M、N是焦点为F的抛物线y2＝2px（p＞0）上两个不同的点，且线段MN中点A的横坐标为，（1）求|MF|+|NF|的值；（2）若p＝2，直线MN与x轴交于点B点，求点B横坐标的取值范围．【解答】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝8﹣p，|MF|＝x1+，|NF|＝x2+，∴|MF|+|NF|＝x1+x2+p＝8；（2）p＝2时，y2＝4x，若直线MN斜率不存在，则B（3，0）；若直线MN斜率存在，设A（3，t）（t≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则代入利用点差法，可得y12﹣y22＝4（x1﹣x2）∴k MN＝，∴直线MN的方程为y﹣t＝（x﹣3），∴B的横坐标为x＝3﹣，直线MN代入y2＝4x，可得y2﹣2ty+2t2﹣12＝0△＞0可得0＜t2＜12，∴x＝3﹣∈（﹣3，3），∴点B横坐标的取值范围是（﹣3，3]．20．（12分）设函数f（x）＝x3﹣3ax2+3（2﹣a）x，a∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若y＝f（x）的图象与x轴相切于原点，当0＜x2＜x1，f（x1）＝f（x2），求证：x1+x2＜8．【解答】解：（1）f′（x）＝3x2﹣6ax+3（2﹣a），△＝36（a2+a﹣2）＝36（a+2）（a﹣1）；①当a＜﹣2或a＞1时，由f′（x）＝3x2﹣6ax+3（2﹣a）＝0解得，x＝a±；f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a﹣），（a+，+∞）；②当﹣2≤a≤1时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）；（2）证明：令f′（0）＝3×02﹣6a•0+3（2﹣a）＝0得a＝2；故f（x）＝x3﹣6x2，由（1）知，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（4，+∞）；单调减区间为（0，4）；∵f（x1）＝f（x2），且0＜x2＜x1，∴0＜x2＜4，x1＞4，∴8﹣x2＞4，而f（x2）﹣f（8﹣x2）＝﹣6﹣[﹣6]＝2（x2﹣4）＜0，∴f（x1）＝f（x2）＜f（8﹣x2），∵函数f（x）在（4，+∞）递增，∴x1＜8﹣x2，∴x1+x2＜8．21．（15分）设正项数列{a n}的前n项的和是S n，且对n∈N*，都有2S n＝a n2+a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意给定的不小于2的正整数n，数列{b k}满足：b1＝n，（k＝1，2，…，n﹣1），求b1+b2+…+b n．【解答】解：（1）∵2S n＝a n2+a n．∴当n≥2时，2S n﹣1＝a n﹣12+an﹣1．两式相减得2S n﹣2S n﹣1＝a n2+a n﹣a n﹣12﹣a n﹣1．即2a n＝a n2+a n﹣a n﹣12﹣a n﹣1．即a n+a n﹣1＝a n2﹣a n﹣12＝（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1）．∵正项数列{a n}，∴a n﹣a n﹣1＝1，即数列{a n}是公差d＝1的等差数列，当n＝1时，2S1＝a12+a1＝2a1，即a12＝a1，解得a1＝1，故a n＝1+n﹣1＝n．（2）∵a n＝n，∴＝，则b k＝＝×n＝，则b1+b2+…+b n＝＝2n﹣1．。
2015年考研数学一真题及答案解析D234(2)设211()23=+-xxy ex e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=xy ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c(B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c(D)3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212xe 、13xe -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32xy y y ce '''-+=，再将特解xy xe =代入得1c =-.故选5（A ）(3) 若级数1∞=∑n n a 条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
【解析】因为1nn a ∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nnn a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2)。
而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2)。
因而x =3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）。
(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线6y x=，3y x=围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰( )(A) ()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰(B)()sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C) ()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D) ()sin 23142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D 的图形，7所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdrππθθθ⎰，故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D),a d ∈Ω∈Ω【答案】D 【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =。
一、填空题（每小题3分，共15分） 1、极限2sin 0lim(13)x x x →+= ．2、设2arctan()y x x =，则y ' ． 3、设()f x 的一个原函数为2x e-，则()________xf x dx '=⎰．4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r eθ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、当1x →-时，31x +与3(1)x +为（）(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（ ）(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -3、设()f x 在0x =处连续，且0()lim 11cos x f x x→=-，则在点0x =处（ ）． (A) (0)f '不存在 (B) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f '存在，且(0)0f '≠ (D) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是（ ）(A)1+∞⎰(B)111sin dx x -⎰ (C)221ln dx x x+∞⎰(D) 2x xe dx +∞--∞⎰5、曲线2211x x e y e--+=-（）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++L ． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +---→． 3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x '． 4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩求22d d ,d d y yx x ． 5、2arctan x dx x ⎰． ６、设2ln(1)0()101x x f x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩，求20(1)f x dx -⎰． 四、（本题满分10分）设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2xe y =，切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11ln ≥+xx . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ'=．。
2015年考研数学（一）试题解析一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13xe -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解xy xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的 ()(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而3x =与3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()1sin23142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()1sin23142sin2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰1sin23142sin2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，故选（B ）xyo(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y 【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得:100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） (7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()()()2P A P B P AB P A P B +≤⋅≤，选(C) .(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5 【答案】(D)【解析】22[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+- 2()()()()2()D X E X E X E Y E X =++⋅-23221225=++⨯-⨯=，选(D) .二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln cos lim_________.x xx →= 【答案】12-【分析】此题考查0型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222x x x xx x x x x x →→→--===- 方法二：2222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====-(10)22sin ()d ________.1cos x x x x ππ-+=+⎰【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】22202sin 2.1cos 4x x dx xdx xππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=x e xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z =【答案】dx -【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令(,,)cos 2z F x y z e xyz x x =+++-，则(,,)1sin ,,(,,)z x y z F x y z yz x F xz F x y z e xy '''=+-==+又当0,1x y ==时1ze =，即0z =.所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)y x z z F F z z xF yF ''∂∂=-=-=-=''∂∂，因而(0,1).dzdx =-(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得1(23)66zD x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy ΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，其面积为21(1)2z -.所以 112320011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ++==⋅-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(13) n 阶行列式20021202___________.00220012-=-【答案】122n +-【解析】按第一行展开得1111200212022(1)2(1)220220012n n n n n D D D +----==+--=+-221222(22)2222222n n n n D D ---=++=++=+++ 122n +=- (14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=【答案】12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=. 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()f x 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】法一：原式()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++=()()2333330236lim 1x x x x x a x o x bx x o x kx →⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==()()234331236lim1x a a b a x b x x x o x kx→⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭== 即10,0,123a a a b k +=-== 111,,23a b k ∴=-=-=-法二：()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++= 201sin cos 1lim 13x ab x bx x x kx→++++== 因为分子的极限为0，则1a =-()212cos sin 1lim16x b x bx x x kx→--+-+==，分子的极限为0，12b =-()022sin sin cos 13lim 16x b x b x bx xx k→----+==，13k =- 111,,23a b k ∴=-=-=-(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.【答案】f x x=-8()4. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=- 令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程，即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+； 即()84f x x =-+.(17)(本题满分10分) 已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++，模为()()2211y x +++，此题目转化为对函数()()()22,11g x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M ====所以最大值为93=. (18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x = 12()()()()，写出()f x 的求导公式.【解析】（I ）0()()()()[()()]lim h u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()lim h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=00()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++ ()()()()u x v x u x v x ''=+ （II ）由题意得12()[()()()]n f x u x u x u x ''=121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++ (19)(本题满分 10 分)已知曲线L 的方程为222,,z x y z x ⎧=--⎪⎨=⎪⎩起点为()0,2,0A ，终点为()0,2,0-B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x zx y y x y z =++-+++⎰.【答案】2π2【解析】由题意假设参数方程cos 2sin cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:22θ→-π22π2[(2sin cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ--++++⎰π222π22sin sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-=-+++⎰π220222sin d π2θθ==⎰ (20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.【答案】 【解析】(I)证明：()()()()12313213123,,2+2,2,+1201,,020201k k k k βββαααααααα=+⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭201212024021201kk kk ==≠++ 故123,,βββ为3R 的一个基. （II ）由题意知，112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠即()()()1112223330,0,1,2,3i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解即13213+2,,+0k k ααααα=即101010020k k=，得k=0 11223121300,0k k k k k k ααα++=∴=+=11131,0k k k ξαα=-≠(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++0231201330012031--=⇒--=-A B b a 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.x x f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰，从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n =为Y 的概率分布； (II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，N Ge k n p -(,) (注：Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑，则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()()， 12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑，2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑， 所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--， 从而7168E Y S ==()().(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量. 【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰， 令()E X X =，即12X θ+=，解得 1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II) 似然函数11110,()(;),nni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而dln d 1L nθθθ=-()，关于θ单调增加， 所以 12min nX X X θ={,,,} 为θ的最大似然估计量.文档内容由经济学金融硕士考研金程考研网 整理发布。
共创（合肥工业大学）考研辅导中心绝密★启用前2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一（模拟3）考生注意:本试卷共二十三题,满分150分,考试时间为3小时. 一、选择题：（1）～（8）小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合要求,将所选项前的字母填在题后的括号里.得分评卷人（1）曲线12111x x y e x -+=+的渐近线有（）。
（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条（D ）条4(2) 设(),()f x f x '为已知的连续函数,则方程()()()y f x y f x f x '''+=的解是( ) （A ）()()1f x y f x ce-=-+； （B ）()()1f x y f x ce -=++；（C ）()()f x y f x c ce-=-+；（D）()()f x y f x ce-=+(3) 设0(0)(0)0,(0)1,()()d ()xk f f f g x f t t h x '''=====⎰，cx ，若时，则（ ）．0x →()~()g x h x （A ）1,2c k ==2 （B ）1,3c k ==2 （C ）1,3c k 3== （D ）1,36c k ==(4) 若2322(,),(,)2x 4f x x x f x x x x '==-，则2(,)y f x x '= （）（A ） 3x x + （B ） 2224x x + （C ）25x x + （D ） 222x x +(5) 设A,B,C 是n 阶矩阵，并满足ABAC=E,则下列结论中不正确的是（A ） .TTTTA B A C E = (B) BAC CAB = (C) 2BA C E= (D) ACAB CABA =(6) 设A 是矩阵, ,则下列结论不正确的是( )m n ⨯()r A n = (A) 若,AB O =则B O = (B) 对任意矩阵有B ，()()r AB r B =(C) 存在使得B ，BA E = (E) 对任意矩阵有B ，()()r BA r B =(7）设随机变量(1)X E ,记{}max ,1=Y X ，则()E Y =（）.（A） 1（B） 1 （C） 11e -+1e--（D） 1e-(8）设12,,,n X X X 是来自总体2(,)X N μσ 的样本，为使Y k 成为总体方差的无偏估计，则应选为（ ）. （A） （B） （C） （D）1211(n i i i XX -+==-∑)k （A）11n - （B）1n（C）12(1)n - （D）12n祝：中国最强售后群 3600多名考生取得成功共创（合肥工业大学）考研辅导中心二、填空题:(9)～(14)小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中的横线上. （9）ln 2ln lim 3ln n nn n n n n →∞-⎛⎫=⎪+⎝⎭。
全国大联考2015届高三第一次联考·数学试卷考生注意:1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:集合与常用逻辑用语、函数与导数.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={x∈Z|-3<x<2},N={x∈Z|-1≤x≤3},则M∩N等于A.{0,1}B.{-1,0,1,2}C.{0,1,2}D.{-1,0,1}2.命题p:∀x∈R,x2+1≥1,则p是A.∀x∈R,x2+1<1B.∃x0∈R,+1≤1C.∃x0∈R,+1<1D.∃x0∈R,+1≥13.下列函数中,是偶函数且在(0,+∞)上为增函数的是A.y=cos xB.y=-x2+1C.y=log2|x|D.y=e x-e-x4.一元二次方程ax2+2x+1=0(a∈R且a≠0)有一正根和一负根的充分不必要条件是A.a<0B.a>0C.a<-1D.a>15.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为A.B. C. D.16.已知a=0.-,b=sin ,c=log2.51.7,则a,b,c的大小关系是A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a17.函数f(x)=x+sin x在x=处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为A.B. C. D.+18.设函数y=x3与y=()x-2的图象的交点为(x0,y0),且x0∈(m,m+1),m∈Z,则m的值为A.1B.2C.3D.49.已知“f(x)=xln x在定义域内单调递增”的否定为p,“已知f(x),g(x)的定义域都是R,若f(x),g(x)都是奇函数,则y=f(x)+g(x)是奇函数”的否命题为q,则下列命题为真命题的是A.p∨qB.p∧qC.p∧qD.p10.设函数y=f(x)在全体实数集R内有定义,对于给定的正数k,定义函数f k(x)=取函数f(x)=a-|x|(0<a<1),当k=时,函数f k(x)的值域为A.(0,a)∪(,+∞)B.[a,1]∪(,+∞)C.(0,a)∪[1,)D.(0,a]∪[1,)11.函数f(x)=的图象可能是A.(1)(3)B.(1)(2)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)12.设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]=3,若x0是方程f(x)-f'(x)=2的一个解,则x0可能存在的区间是A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.已知函数f(x)=则f[f(2)]=▲.214.(x+)dx=▲.15.已知函数f(x)=2ax2-ax+c的部分图象如图所示,且f'(x)是f(x)的导函数,若函数y=f'(x)的零点为m,则-m a+c=▲.16.给出下列命题:①若y=x3+ax在R上单调递增,则a≥0;②若p是q的充分必要条件,则p可能是q的必要不充分条件;③若函数f(x)是奇函数,则函数f(x+1)的图象关于点A(1,0)对称;④已知函数y=f(x)满足f(x+2)=2f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=-|x|+1,则当x∈(0,5]时,函数y=f(x)与g(x)=lg x的图象有4个交点.其中真命题的序号为▲.(把所有真命题的序号都填上)三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=-的定义域为集合A,函数g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义域为集合B.(1)当m=3时,求A∩(R B);(2)若A∩B={x|-1<x<4},求实数m的值.18.(本小题满分12分)已知p:函数f(x)=(x-2)e x(e是自然对数的底数)在(m,2m)上是单调函数;q:“x2-2x≤0”是“x2-2mx-3m2≤0”的充分不必要条件.若p∨q为真,p∧q为假,求实数m的取值范围.319.(本小题满分12分)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为“局部奇函数”. (1)已知二次函数f(x)=ax2+2bx-4a(a≠0,b∈R),试判断f(x)是否为“局部奇函数”,并说明理由;(2)设f(x)=2x+m是定义在[-1,1]上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(其中e是自然对数的底数,常数a>0).-(1)当a=1时,求曲线在(0,f(0))处的切线方程;(2)若存在实数x∈(a,2],使得不等式f(x)≤e2成立,求a的取值范围.21.(本小题满分12分)在2014年南京“青奥会”来临之际,某礼品加工厂计划加工一套“青奥会”纪念礼品投入市场.已知每加工一套这样的纪念品的原料成本为30元,且每套礼品的加工费用为6元,若该纪念品投放市场后,每套礼品出厂的价格为x(60≤x≤100)元,根据市场调查可知,这种纪念品的日销售量q与成反比,当每套礼品的出厂价为81元时,日销量为200个.(1)若每天加工产品个数根据销量而定,使得每天加工的产品恰好销售完,求该礼品加工厂生产这套“青奥会”纪念品每日获得的利润y元与该纪念品出厂价格x元的函数关系;(2)若在某一段时间为了增加销量,计划将每套纪念品在每天获得最大利润的基础上降低t元进行销售,但保证每日的利润不低于9000元,求t的取值范围.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln x-ax2-bx(a,b∈R,且a≠0).(1)当b=2时,若函数f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)当a>0且2a+b=1时,讨论函数f(x)的零点个数.42015届高三第一次联考·数学试卷参考答案1.D∵M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},∴M∩N={-1,0,1}.2.C全称命题的否定是特称命题,所以p是∃x0∈R,+1<1,故选C.3.C函数y=cos x为偶函数,但是在(0,+∞)上不单调;y=-x2+1为偶函数,在(0,+∞)上为减函数;y=e x-e-x 为奇函数;只有函数y=log2|x|符合题意.4.C设x1,x2是方程两个根,则满足题意的充要条件是x1·x2=<0,则由选项知充分不必要条件是a<-1.5.B由f(x)=ln(ax-1)可得f'(x)=-,由f'(2)=2可得-=2,解之得a=.6.D由指数函数y=0.6x的图象可知,当x<0时,y>1,∴0.->1;由于函数y=sin x在(0,)上单调递增,又0<<<,∴sin <sin =;函数y=log2.5x在(0,+∞)上单调递增,又<1.7<2.5,∴=log2.5<log2.51.7<1,∴b<c<a.7.A f(x)=x+sin x,则f'(x)=1+cos x,则f'()=1,而f()=+1,故切线方程为y-(+1)=x-.令x=0,可得y=1;令y=0,可得x=-1.故切线与两坐标轴围成的三角形面积为×1×1=.8.A令f(x)=x3-()x-2,易得函数f(x)在R上单调递增.又函数y=x3与y=()x-2的图象的交点为(x0,y0),所以f(x0)=0,即x0为f(x)的零点.又f(1)=1-()1-2=-1<0,f(2)=8-()2-2=7>0,且函数f(x)在R上单调递增,所以x0∈(1,2),所以m=1.9.C f(x)=xln x的定义域为(0,+∞),且f'(x)=ln x+1,当0<x<时,f'(x)<0,故f(x)在定义域上不是单调递增函数,故p是真命题;命题q为“已知f(x),g(x)的定义域都是R,若f(x),g(x)不都是奇函数,则5y=f(x)+g(x)不是奇函数”,这是假命题,例如f(x)=x+x2,g(x)=x-x2都不是奇函数,但y=f(x)+g(x)=2x是奇函数,故正确的命题为p∧q.10.B依题意,当k=时,由a-|x|≤(0<a<1),得|x|≤1,此时f k(x)==a|x|∈[a,1];由a-|x|>(0<a<1),得|x|>1,此时f k(x)=f(x)=a-|x|∈(,+∞).因此,当k=时,函数f k(x)的值域为[a,1]∪(,+∞).11.C取a=0,可知(4)正确;取a<0,可知(3)正确;取a>0,可知(2)正确;无论a取何值都无法作出(1).12.B由题易知f(x)-log2x为常数,令f(x)-log2x=k(常数),则f(x)=log2x+k,由f[f(x)-log2x]=3得f(k)=3.又f(k)=log2k+k=3,所以k=2,所以f(x)=log2x+2.再用零点存在定理验证可知选B.13.2因为2≤2,所以f[f(2)]=f(4)==2.14.(e2+1) (x+)dx=(x2+ln x)=e2+ln e-=(e2+1).15.-由图象可知f(1)=0,即2a-a+c=0,即a+c=0,又f'(x)=4ax-a,由图可知a<0,故y=f'(x)的零点为m=,故-m a+c=(-m0=--1=()-2-1=3-2-1=-.16.①④对于①,由y=x3+ax可得y'=3x2+a,要使函数单调递增,只需y'=3x2+a≥0恒成立,故a≥-3x2,可得a≥0,故①正确;对于②,若p是q的充分必要条件,则p一定是q的充分必要条件,故②错误;对于③,根据图象平移的“左加右减”的规律可知,f(x+1)的图象是由f(x)的图象向左平移了一个单位长度,故对称中心为(-1,0);对于④,作出函数图象可知在x∈(0,5]上,f(x)与g(x)有4个交点,则④正确.17.解:(1)由已知可得A={x|-1<x≤5}.当m=3时,B={x|-1<x<3},则R B={x|x≤-1或x≥3},∴A∩(R B)={x|3≤x≤5}. .............................................................. 5分(2)∵A={x|-1<x≤5},A∩B={x|-1<x<4},故4是方程-x2+2x+m=0的一个根,∴-42+2×4+m=0,解得m=8.此时B={x|-2<x<4},符合题意,因此实数m的值为8. ....................................... 10分18.解:由f(x)=(x-2)e x,可得f'(x)=(x-1)e x.由f'(x)>0,可得x>1,即f(x)在(1,+∞)上单调递增;由f'(x)<0,可得x<1,即f(x)在(-∞,1)上单调递减.若p为真,则或解之得0<m≤或m≥1. .................................. 4分6若q为真,分m大于0与小于0,可得m≥或m≤-2. ........................................ 6分由p∨q为真,p∧q为假,可得p,q一真一假.若p假q真,则m∈(-∞,-2]∪[,+∞)且m∈(-∞,0]∪(,1),即实数m的取值范围是(-∞,-2]∪[,1);.................................................. 8分若p真q假,则m∈(-2,)且m∈(0,]∪[1,+∞),即实数m的取值范围是(0,]. ................... 10分综上可知,若p∨q为真,p∧q为假,则实数m的取值范围是(-∞,-2]∪(0,]∪[,1). .............. 12分19.解:(1)f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(-x)+f(x)=0有解,即f(x)+f(-x)=0⇒2a(x2-4)=0,........................................................... 3分解得x=±2,∴f(x)为“局部奇函数”.................................................... 5分(2)当f(x)=2x+m时,f(x)+f(-x)=0可转化为2x+2-x+2m=0,∵f(x)的定义域为[-1,1],∴方程2x+2-x+2m=0在[-1,1]上有解,令t=2x∈[,2],则-2m=t+.∵g(t)=t+在[,1)上递减,在[1,2]上递增,∴g(t)∈[2,],∴-2m∈[2,],即m∈[-,-1]. ........................................................... 12分20.解:(1)f(x)的定义域为{x|x≠a}.当a=1时,f(x)=-,f'(x)=--,∴f(0)=-1,f'(0)=-2,∴曲线在(0,f(0))处的切线方程为2x+y+1=0. .............................................. 4分(2)f'(x)=--,令f'(x)=0,得x=a+1,∴f(x)在(-∞,a),(a,a+1)上递减,在(a+1,+∞)上递增. ........................................ 6分若存在实数x∈(a,2],使不等式f(x)≤e2成立,只需在x∈(a,2]上,f(x)min≤e2成立.①当a+1≤2,即0<a≤1时,f(x)min=f(a+1)=e a+1≤e2,∴0<a≤1符合条件.................................................................. 10分②当a+1>2,即1<a<2时,f(x)min=f(2)=-≤e2,解得a≤1,又1<a<2,∴a∈⌀.综上,a的取值范围是(0,1]. ........................................................... 12分721.解:(1)根据条件可设q=,由条件可知,当x=81时,q=200,即200=,k=1800,∴q=,∴生产这套“青奥会”纪念品每日可以获得的利润为y=(x-30-6)·=(60≤x≤100). ........ 4分(2)由(1)可知y=,∴y'=--=.显然,当x>0时,y'>0,∴函数在[60,100]上单调递增,∴当x=100时,每日获得的利润最大,且最大值为y=-=11520(元),........................................................... 8分∴每套纪念品的价格降低t元后,每套纪念品的价格为100-t元,可以获得的利润为y=-,由条件只需-≥9000,令-=m,则可得m2-5m-36≥0,结合m>0可解得m≥9,即-≥9,解之得t≤19,结合条件可知t 的取值范围是(0,19]. ................................................................ 12分22.解:(1)当b=2时,函数f(x)=ln x-ax2-2x,其定义域是(0,+∞),∴f'(x)=-2ax-2=--.∵函数f(x)存在单调递减区间,∴f'(x)=--≤0在x∈(0,+∞)上有无穷多个解.∴关于x的不等式2ax2+2x-1≥0在x∈(0,+∞)上有无穷多个解.①当a>0时,函数y=2ax2+2x-1的图象为开口向上的抛物线,关于x的不等式2ax2+2x-1≥0在x∈(0,+∞)上总有无穷多个解.②当a<0时,函数y=2ax2+2x-1的图象为开口向下的抛物线,其对称轴为x=->0.要使关于x的不等式2ax2+2x-1≥0在x∈(0,+∞)上有无穷多个解.必须Δ=4+8a>0,解得a>-,此时-<a<0.综上所述,a的取值范围为(-,0)∪(0,+∞). ............................................... 6分(2)当b=1-2a时,函数f(x)=ln x-ax2-(1-2a)x,其定义域是(0,+∞),∴f'(x)=-2ax-(1-2a)=---,令f'(x)=0,得8--=0,即2ax2+(1-2a)x-1=0,(x-1)(2ax+1)=0,∵x>0,a>0,则2ax+1>0,∴x=1,当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0.∴函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.∴当x=1时,函数f(x)取得最大值,其值为f(1)=ln 1-a-b=-a-1+2a=a-1.①当a=1时,f(1)=0,若x≠1,则f(x)<f(1),即f(x)<0.此时,函数f(x)与x轴只有一个交点,故函数f(x)只有一个零点;②当a>1时,f(1)>0,又f()=ln-a·()2-(1-2a)×=-a(-1)2-<0,f(e)=ln e-ae2-(1-2a)e=1-ea(e-2)-e<0,函数f(x)与x轴有两个交点,故函数f(x)有两个零点;③当0<a<1时,f(1)<0,函数f(x)与x轴没有交点,故函数f(x)没有零点. ....................... 12分9。
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而x =3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ (C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰，故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为()x(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得:100001010Q P PC ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） (7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B(C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()2P A P B P AB +≤≤，选(C) .(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( ) (A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5 【答案】(D)【解析】22[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+-2()()()()2()D X E X E X E Y E X =++⋅-23221225=++⨯-⨯=，选(D) . 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln cos lim_________.x x x →=【答案】12-【分析】此题考查0型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222x x x xx x x x x x →→→--===- 方法二：2222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- (10) 22sin ()d ________.1cos xx x xππ-+=+⎰【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】22202sin 2.1cos 4x x dx xdx x ππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=xe xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z =【答案】dx -【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令(,,)cos 2zF x y z e xyz x x =+++-，则(,,)1sin ,,(,,)zx y z F x y z yz x F xz F x y z e xy '''=+-==+又当0,1x y ==时1ze =，即0z =.所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)y x z z F F zz xF yF ''∂∂=-=-=-=''∂∂，因而(0,1).dz dx =-(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得1(23)66zD x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy ΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，其面积为21(1)2z -.所以 112320011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ++==⋅-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (13) n 阶行列式20021202___________.0022012-=-【答案】122n +-【解析】按第一行展开得111120021222(1)2(1)220022012n n n n n D D D +----==+--=+-221222(22)2222222n n n n D D ---=++=++=+++122n +=-(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=【答案】 12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=. 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()fx 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】法一：原式()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++= ()()2333330236lim 1→⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒=x x x x x a x o x bx x o x kx()()234331236lim1→⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭⇒=x a a b a x b x x x o x kx即10,0,123a a a b k +=-==111,,23a b k ∴=-=-=- 法二：()30ln 1sin lim 1x x a x bx xkx →+++=201sin cos 1lim 13→++++⇒=x a b x bx x x kx 因为分子的极限为0，则1a =-()212cos sin 1lim16x b x bx x x kx→--+-+==，分子的极限为0，12b =-()022sin sin cos 13lim 16x b x b x bx xx k →----+==，13k =- 111,,23a b k ∴=-=-=-(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.【答案】f x x=-8()4. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=-令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程，即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+；即()84f x x =-+.(17)(本题满分10分) 已知函数(),=++f x y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数. 【答案】3【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++此题目转化为对函数(),g x y =在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M ====3=. (18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x =12()()()()，写出()f x 的求导公式.【解析】（I ）0()()()()[()()]lim h u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()lim h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=00()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++()()()()u x v x u x v x ''=+ （II ）由题意得12()[()()()]n f x u x u x u x ''=121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++(19)(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A，终点为()0,B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x z x y y x y z =++-+++⎰.【答案】π2【解析】由题意假设参数方程cos cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:22θ→-π22π2[cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ--++++⎰π222π2sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-=+++⎰π220sin d πθθ==(20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ. 【答案】 【解析】(I)证明：()()()()12313213123,,2+2,2,+1201,,020201k k k k βββαααααααα=+⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭20121224021201k k k k ==≠++ 故123,,βββ为3R 的一个基. （II ）由题意知，112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠即()()()1112223330,0,1,2,3i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解即13213+2,,+0k k ααααα=即10110020k k=，得k=011223121300,0k k k k k k ααα++=∴=+=11131,0k k k ξαα=-≠(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++23120133001231--=⇒--=-A B b a14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.xx f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰，从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n=为Y 的概率分布； (II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，NGe k n p -(,)(注：Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑，则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()()， 12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑，2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑，所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--， 从而7168E Y S ==()().(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他.其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量. 【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰， 令()E X X =，即12X θ+=，解得1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II) 似然函数11110,()(;),n ni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而dln d 1L nθθθ=-()，关于θ单调增加， 所以12min n X X X θ={,,,}为θ的最大似然估计量.文档内容由经济学金融硕士考研金程考研网 整理发布。
2014-2015试卷 一、填空题1、极限2sin 0lim(13)x x x →+=． 2、设2arctan()y x x =，则y ′ ． 3、设()f x 的一个原函数为2x e−，则()________xf x dx ′=∫．4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r e θ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题 1、当1x →−时，31x+与3(1)x +为（）(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（ ）(A) 1sin x + (B) 1sin x − (C) 1cos x + (D) 1cos x −3、设()f x 在0x =处连续，且0()lim11cos x f x x→=−，则在点0x =处（ ）． (A) (0)f ′不存在 (B) (0)0f ′=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f ′存在，且(0)0f ′≠ (D) (0)0f ′=，且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是（ ）(A)1∫(B)111sin dx x −∫ (C)221ln dx x x+∞∫(D) 2x xe dx +∞−−∞∫5、曲线2211x x e y e−−+=−（）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++ ． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +−−−→．3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x ′．4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t =+ = 求22d d ,d d y y x x ．5、2arctan x dx x∫． ６、设2ln(1)0()101x x f x x x+≥= < + ，求20(1)f x dx −∫． 四、（本题满分10分）设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x −<== > ∫ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2xe y =，切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11ln ≥+xx . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ′=2013-2014高数试卷一、填空题 1、极限0_________x →=．2、曲线221x xy y −+=在点(1,1)处的切线方程为 ．3、设曲线()y f x =过点(0,0)，且当x 在0x =处取得增量x ∆时相应的函数值增量3()(0)y x o x x ∆=∆+∆∆→，则2lim ()________n nf n→∞=．4、设连续函数()f x 满足1()2()d f x x f x x =，则1()d __________f x x =∫．5、积分121[ln(]_________x x −+=∫．二、选择题1、设lim n n x →∞与lim n n y →∞均不存在，那么下列命题正确的是（ ）．（A ）若lim()n n n x y →∞+不存在，则lim()n n n x y →∞−必也不存在（B ）若lim()n n n x y →∞+存在，则lim()n n n x y →∞−必也存在（C ）lim()n n n x y →∞+与lim()n n n x y →∞−均不存在（D ）lim()n n n x y →∞+与lim()n n n x y →∞−中只要有一个存在，另一个必定不存在2、已知0x =是函数ln()()sin a x f x x bx+=−的可去间断点，则常数,a b 的取值情况为（ ）．（A ）1,a b =为任意实数 （B ）1,b a =为任意实数 （C ）1,a b ≠为任意实数 （D ）=1,1a b ≠3、设21sin ,0()0,0,x x f x xx ≠= = 那么()f x 在0x =处（ ）． (A) 不连续 (B) 连续但不可导 (C) 可导但()f x ′不连续 (D) 可导且()f x ′也连续 4、极限22212lim()12n nn n n n→∞++⋅⋅⋅+=+++（ ）. (A) 14 (B) 13 (C) 12(D) 15、设2sin 1x +为)(x f 的一个原函数，则()d x f x x ′=∫（ ）．(A) 22cos x x C + (B) 2222cos sin x x x C −+ (C) 2222sin cos x x x C −+ (D) 222cos sin x x x C ++三、计算下列各题（每小题５分，共3０分）1、011lim()ln(1)x x x →−+．2、设,0,(),0,x e x f x x x ≤= >求()21sin 0lim()d xxx f t t+−∞→∫．3、设y =d y 及y ′′．4、设()y y x =由220ln(1),d 1,1u t x te y u u =+ −= +∫确定，求1d d t y x =．5、x ．６、设20sin ()d 1cos xt f x t t=+∫，求220()d 1()f x x f x π′+∫． 四、（本题满分８分）已知0x →时，22cos sin ()x x A Bx Cx o x +=+++，其中2()o x 是2x 的高阶无穷小，求常数,,A B C 的值．五、（本题满分10分）设2()1xf x x x =+−，（１）求函数()f x 的单调区间，（２）求函数()f x 的极值．六、（本题满分10分）如图所示1D 是由抛物线22y x x =−与直线(0)y kx k =>围成的图形，2D 是由曲线22y x x =−与直线y kx =及x 轴围成的图形，设1D 的面积为1S ，2D 的面积为2S ，若12:1:7S S =． （１）求常数k 的值；（２）求1D 绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积x V 及2D 绕y 轴旋转一周所得到的旋转体的体积y V ． 七、（本题满分6分）证明：0x ≠时，2cos 12x x >−．八、（本题满分6分）设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且1(0)(1)0,(0)()02f f f f ><．证明：（１）在()0,1内存在两个不同的点,ξη，使得()()0f f ξη==成立；（２）(0,1)ζ∃∈使得()()0f f ζζζ′−=成立。
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212xe 、为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数条件收敛，则 =x 3=x 依次为幂级数的 ( )(A) 收敛点，收敛点(B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1:8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
历年考研数学一真题2015-2017（答案+解析）2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ） 2．设21123()x x y e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则（A ）321,,a b c =-==- （B ）321,,a b c ===- （C ）321,,a b c =-== （D ）321,,a b c ===【详解】线性微分方程的特征方程为20r ar b ++=，由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根．如果21r =不是特征方程的实根，则对应于()x f x ce =的特解的形式应该为()x Q x e ，其中()Q x 应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以21r =也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得213212(),a b =-+=-=⨯=，同时*x y xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A ）３．若级数1nn a∞=∑条件收敛，则33,x x ==依次为级数11()nnn na x ∞=-∑的（Ａ）收敛点，收敛点 （Ｂ）收敛点，发散点(Ｃ）发散点，收敛点 （Ｄ）发散点，发散点【详解】注意条件级数1nn a∞=∑条件收敛等价于幂级数1n nn ax ∞=∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即11limn n na a +→∞=，所以11()n n n na x ∞=-∑的收敛半径111lim()nn n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,)，显然33,x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B ）４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线3,y x y x ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（ ）（Ａ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰（Ｂ）1231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（Ｃ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰（Ｄ）231422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：221212122sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=22141412222sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=也就是D ：432sin sin r ππθθθ⎧<<⎪⎪⎨<<22所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，所以应该选（B ）．5．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω（C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω 【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：2222111111111111201110111403110012(,)()()B A b ad a d a a d a d a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎪ ⎪==→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ----⎝⎭⎝⎭⎝方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<，也就是120120()(),()()a a d d --=--=同时成立，当然应该选（D ）． 6．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ） 2221232y y y ++ 【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，100001010T T Q P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭211T T T T f x Ax y PAPy y y⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪-⎝⎭所以100100100210020010010011001101001001010101T T Q AQ P AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选择（A ）． 7．若,A B 为任意两个随机事件，则（ ）（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥ （C ）2()()()P A P B P AB +≤ （D ）2()()()P A P B P AB +≥【详解】()(),()(),P A P AB P B P AB ≥≥所以2()()()P A P B P AB +≤故选择（C ）．8．设随机变量,X Y 不相关，且213,,EX EY DX ===，则2(())E X X Y +-=（ ）（A ）3- （B ）3 （C ） 5- （D ）5【详解】222225(())()()()E X X Y E X E XY EX DX EX EXEY EX +-=+-=++-=故应该选择（D ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．20ln(cos )lim x x x→= 【详解】200122ln(cos )tan lim lim x x x x x x →→-==-．10．221sin cos x x dx x ππ-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭⎰ ． 【详解】只要注意1sin cos xx+为奇函数，在对称区间上积分为零，所以22202214sin .cos x x dx xdx xππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰11．若函数(,)z z x y =是由方程2cos z e xyz x x +++=确定，则01(,)|dz = ．【详解】设2(,,)cos zF x y z e xyz x x =+++-，则1(,,)sin ,(,,),(,,)z x y z F x y z yz x F x y z xz F x y z e xy '''=+-==+且当01,x y ==时，z =，所以010101001010010010(,)(,)(,,)(,,)|,|,(,,)(,,)y x z z F F z zx y F F ''∂∂=-=-=-=∂∂'' 也就得到01(,)|dz =.dx -12．设Ω是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的空间区域，则23()dxdydz x y z Ω++=⎰⎰⎰ ．【详解】注意在积分区域内，三个变量,,x y z 具有轮换对称性，也就是dxdydz dxdydz dxdydz x y z ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11212366314()dxdydz dxdydz ()zD x y z z zdz dxdy z z dz ΩΩ++===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13．n 阶行列式20021202002212-=- ． 【详解】按照第一行展开，得1111212122()()n n n n n D D D +---=+--=+，有1222()n n D D -+=+由于1226,D D ==，得11122222()n n n D D -+=+-=-．14．设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ，则{}0P XY Y -<= ．【详解】由于相关系数等于零，所以X ，Y 都服从正态分布，1101~(,),~(,)X N Y N ，且相互独立．则101~(,)X N -．{}{}{}{}1111101001001022222(),,P XY Y P Y X P Y X P Y X -<=-<=<->+>-<=⨯+⨯= 三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx=在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值．【详解】当0x →时，把函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++展开到三阶的马克劳林公式，得233332331236123()(())(())()()()()x x f x x a x o x bx x x o x a aa xb x x o x =+-+++-+=++-+++ 由于当0x →时，(),()f x g x 是等价无穷小，则有10023a ab a k ⎧⎪+=⎪⎪-+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得，11123,,.a b k =-=-=-16．（本题满分10分）设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且02()f =，求()f x 的表达式．【详解】)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令0y =，得000()()f x x x f x =-'曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积为00000142()()(()()f x S f x x x f x =--=' 整理，得218y y '=，解方程，得118C x y =-，由于02()f =，得12C = 所求曲线方程为84.y x=- 17．（本题满分10分）设函数(,)f x y x y xy =++，曲线223:C x y xy ++=，求(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数．【详解】显然11,f fy x x y∂∂=+=+∂∂． (,)f x y x y xy =++在(,)x y 处的梯度()11,,f f gradf y x x y ⎛⎫∂∂==++ ⎪∂∂⎝⎭(,)f x y 在(,)x y处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模gradf =所以此题转化为求函数2211(,)()()F x y x y =+++在条件223:C x y xy ++=下的条件极值．用拉格朗日乘子法求解如下：令2222113(,,)()()()L x y x y x y xy λλ=++++++-解方程组22212021203()()x y F x x y F y y x x y xy λλλλ⎧'=+++=⎪⎪'=+++=⎨⎪++=⎪⎩，得几个可能的极值点()11112112,,(,),(,),(,)----，进行比较，可得，在点21,x y ==-或12,x y =-=处，方向导数取到最大，3.=18．（本题满分10分）（1）设函数(),()u x v x 都可导，利用导数定义证明(()())()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+；（2）设函数12(),(),,()n u x u x u x 都可导，12()()()()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式．【详解】（1）证明：设)()(x v x u y=)()()()(x v x u x x v x x u y -++=∆∆∆()()()()()()()()u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x =+∆+∆-+∆++∆-v x u x x uv ∆∆∆)()(++=xux u x x v x u x y ∆∆∆∆∆∆∆)()(++= 由导数的定义和可导与连续的关系00'limlim[()()]'()()()'()x x y u uy v x x u x u x v x u x v x x x x∆→∆→∆∆∆==+∆+=+∆∆∆（2）12()()()()n f x u x u x u x =1121212()()()()()()()()()()()n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++ 19．（本题满分10分）已知曲线L 的方程为z z x⎧=⎪⎨=⎪⎩，起点为0()A ，终点为00(,)B ，计算曲线积分2222()()()L y z dx z x y dy x y dz ++-+++⎰．【详解】曲线L的参数方程为cos ,cos x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点0()A 对应2t π=，终点为00(,)B 对应2t π=-．22222222()()()cos )(cos )))(cos )cos Ly z dx z x y dy x y dzt t d t t d t t d tππ-++-+++=+++-⎰⎰2202sin .tdt π==20．（本题满分11分） 设向量组123,,ααα为向量空间3R的一组基，113223332221,,()k k βααβαβαα=+==++．（1）证明：向量组123,,βββ为向量空间3R 的一组基；（2）当k 为何值时，存在非零向量ξ，使得ξ在基123,,ααα和基123,,βββ下的坐标相同，并求出所有的非零向量.ξ【详解】（1）()123123201020201(,,),,k k βββααα⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，因为2012102024021201k k k k ==≠++，且123,,ααα显然线性无关，所以123,,βββ是线性无关的，当然是向量空间3R 的一组基．（2）设非零向量ξ在两组基下的坐标都是123(,,)x x x ，则由条件112233112233x x x x x x αααβββ++=++可整理得：1132231320()()x k x x k ααααα++++=，所以条件转化为线性方程组()1321320,,k k x ααααα++=存在非零解．从而系数行列式应该等于零，也就是12312310110101001002020(,,)(,,k k k kαααααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭由于123,,ααα显然线性无关，所以10110020k k=，也就是0k =．此时方程组化为()112121312230,,()x x x x x x ααααα⎛⎫ ⎪=++= ⎪ ⎪⎝⎭，由于12,αα线性无关，所以13200x x x +=⎧⎨=⎩，通解为1230x C x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，其中C 为任意常数．所以满足条件的0C C ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭其中C 为任意不为零的常数． 21．（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭．（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵．【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有trA trB =，A B =．也就是324235a b a a b b +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩． （2）由2120050150031()()E B λλλλλλ--=-=--=--，得A ，B 的特征值都为12315,λλλ===解方程组0()E A x -=，得矩阵A 的属于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为12231001.ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 解方程组50()E A x -=得矩阵A 的属于特征值35λ=的线性无关的特征向量为3111ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭令()123231101011,,P ξξξ--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则1100010005.P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭22．（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为22000ln ,(),x x f x x -⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为次数．求Y 的分布函数；（1） 求Y 的概率分布； （2） 求数学期望.EY 【详解】（1）X 进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为313228()ln x P X dx +∞->==⎰显然Y 的可能取值为234,,,且2211117171234888648()(),,,,k k kP Y k C k k ---⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设22322221111()()(),()n nn n n n x S x n n xx x x x x ∞∞∞-===''''⎛⎫⎛⎫''=-====< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 2221717116648648()()()k k n E Y kP Y k k k S -∞∞==⎛⎫⎛⎫===-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 23．（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为1110,(;),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体的简单样本．（1）求参数θ的矩估计量；（2）求参数θ的最大似然估计量． 【详解】（1）总体的数学期望为111112()()E X xdx θθθ==+-⎰ 令()E X X =，解得参数θ的矩估计量：21ˆX θ=-． （2）似然函数为12121110,,,,()(,,,;),n nn x x x L x x x θθθ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩其他显然()L θ是关于θ的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使θ尽可能大就可以，所以参数θ的最大似然估计量为12ˆmin(,,,).n x x x θ=2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。
