【高清版】2010合工大超越考研数一五套题(另有解析)

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) 1. （10年，4分） 极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦( ) (A ) 1. (B ) e . (C ) a be -. (D ) b ae-.【考查分析】“1∞”型极限的计算. 【详解】本题属于未定式求极限,极限为1∞型,故可以用“e 的抬起法”求解．()()2lim xx xx a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦()()2lnlim x x x a x b x e ⋅-+→∞=()()2lim lnx x x x a x b e→∞⋅-+=,其中又因为()()2222()()lim ln lim ln 1()()()()lim()()()lim()()x x x x x x x a x b x x x a x b x a x b x x x a x b x a x b a b x abxx a x b a b→∞→∞→∞→∞--+⋅=+-+-+⎡⎤--+⎣⎦=-+-+=-+=-⎡⎤⎣⎦故原式极限为a be-,所以应该选择(C).2. （10年，4分） 设函数(,)z z x y =,由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A ) x . (B ) z . (C ) x -. (D ) z -. 【考查分析】隐函数偏导数的计算. 【详解】122212122221x z y z y zF F F F F yF zF z x x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''．选（B ）. 3. （10年，4分） 设,m n 是正整数,则反常积分()20ln 1mnx dx x-⎰的收敛性 ( )(A ) 仅与m 的取值有关. (B )仅与n 的取值有关.(C ) 与,m n 取值都有关. (D ) 与,m n 取值都无关. 【考查分析】判断反常积分的敛散性. 【详解】0x =与1x =都是瑕点.应分成()()()22211212ln 1ln 1ln 1mm mnnnx x x xxx---=+⎰⎰,用比较判别法的极限形式,对于()2120ln 1m nx x-,由于121012[ln (1)]lim 1mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim m x nx x+→-存在,此时()2120ln 1m n x x -实际上不是反常积分,故收敛. 故不论,m n 是什么正整数,dx 总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).【评注】(1)当210m m-≥时，⎰是定积分.(2) 0,0αβ∀>>,有lim ln 00x x x βα+=→. 4. （10年，4分） ()()2211limnnn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( ) (A )()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B ) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C )()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D ) ()()1120111dx dy x y ++⎰⎰. 【考查分析】利用积分和式求极限. 【详解】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n jn i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j→∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. 【评注】本题易认为是二重积分或误认为逐次极限.实际上,对i 求和时与j 无关,对j 求和时与i 无关,所以这是一道两个和得乘积的极限题.5. （10年，4分） 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,E 为m 阶单位矩阵,若AB E =,则 ( )(A ) 秩()r A m =,秩()r B m =. (B ) 秩()r A m =,秩()r B n =. (C ) 秩()r A n =,秩()r B m =. (D ) 秩()r A n =,秩()r B n =. 【详解】由于AB E =,故()()r AB r E m ==.又由于()(),()()r AB r A r AB r B ≤≤,故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==,故选A .6. （10年，4分） 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )(A ) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B ) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (C ) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D ) 1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 【考查分析】对称矩阵相似于对角矩阵.【详解】设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0.由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. 【评注】看清题目,说清每个已知条件的作用.即可得出结论.7. （10年，4分） 设随机变量X 的分布函数0,01(),0121,1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩,则{}1P X == ( ) (A ) 0. (B )12. (C ) 112e --. (D ) 11e --. 【考查分析】本题主要考查分布函数的概念及随机事件概率的计算.已知分布函数,【详解】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-,故本题选(C). 【评注】已知分布函数,求随机事件的概率是基本题,但需注意题中的随机变量既不是离散型也不是连续型.由于分布函数在1x =处不连续,故利用{1}(1)(10)P X F F ==--来计算.8. （10年，4分） 设1()f x 为标准正态分布的概率密度,2()f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度,若12(),0()(),0af x x f x bf x x ≤⎧=⎨>⎩,(0,0)a b >>为概率密度,则,a b 应满足 ( ) (A ) 234a b +=. (B ) 324a b +=. (C ) 1a b +=. (D ) 2a b +=. 【详解】根据题意知,()2212x f x e π-=(x -∞<<+∞),()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰,故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰所以整理得到234a b +=,故本题应选(A).二、填空题(9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) 9. （10年，4分） 设()20,ln 1,t tx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰ 求220t d y dx == . 【详解】因为 ()()22ln 1ln 1tttdy t e dx e -+==-+-,()()()()22222ln 12ln 11tt t td te d y dt t e t e e dx dt dx t -+⎡⎤=⋅=-⋅-+⋅-⎢⎥+⎣⎦,所以220t d y dx == 10. （10年，4分）2π=⎰.【考查分析】用变量变换与分部计算定积分.【详解】t =,2x t =,2dx tdt =,利用分部积分法,原式220cos 22cos 2sin t t tdt t tdt t d t πππ=⋅==⎰⎰⎰20002sin 2sin 4cos t t t tdt td t πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰0004cos cos 4cos 4sin 4t t tdt t ππππππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰.11. （10年，4分） 已知曲线L 的方程为[]{}11,1y x x =- ∈-,起点是()1.0-,终点是()1,0,则曲线积分2Lxydx x dy +=⎰.【详解】12222LL L xydx x dy xydx x dy xydx x dy +=+++⎰⎰⎰()()()01221011x x dx x dx x x dx x dx -=+++-+-⎰⎰()()0122122x x dx x x dx -=++-⎰⎰1322310223223x x x x -⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211203223⎛⎫⎛⎫=--++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12. （10年，4分） 设(){}22,,1x y z xy z Ω=+≤≤,则Ω的形心的竖坐标z = .【详解】()2221221211000211212021r rrz d rdr zdxdydz d rdr zdzdxdydz d rdr dzd r rdrππθθθθΩΩ⎛⎫⎪⋅ ⎪⎝⎭==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4211222r d r drπθπ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰⎰126204122r r d πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰20112266322d πθπππ⋅===⎰. 13. （10年，4分） 设()()()1231,2,1,0,1,1,0,2,2,1,1,TTTa ααα=-==,若由123,,ααα生成的向量空间的维数是2,则a = . 【详解】因为由123,,ααα生成的向量空间维数为2,所以123(,,)2r ααα=. 对123(,,)ααα进行初等行变换：123112112112211013013(,,)1010130060202000a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以6a =.14. （10年，4分） 设随机变量X 的概率分布为{}!C P X k k ==,0,1,2,k = ,则()2E X = . 【考查分析】随机变量的数学期望,方差.泊松分布的期望,方差. 【详解】利用离散型随机变量概率分布的性质,知{}001!k k CP X k Ce k ∞∞======∑∑,整理得到1C e -=,即 {}111!!k e P X k e k k --===.故X 服从参数为1的泊松分布,则()()1,1E X D X ==,根据方差的计算公式有()()()222112E X D X E X =+=+=⎡⎤⎣⎦. 【评注】22()EX DX EX =+,所以应求X 的期望与方差,而X 的分布{},0,1,2,!CP X k k k === 的C 是待定常数.不难看出这是一个泊松分布. 三、解答题(15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. （10年，10分）(本题满分10分)求微分方程322x y y y xe '''-+=的通解． 【考查分析】求常系数线性非齐次微分方程的通解. 【详解】对应齐次方程的特征方程为2320λλ-+=,解得特征根121,2λλ==,所以对应齐次方程的通解为212x x c y C e C e =+．设原方程的一个特解为*()x y x ax b e =+,则()()*22x y axax bx b e '=+++,()()*2422x y axax bx a b e ''=++++,代入原方程,解得1,2a b =-=-,故特解为*(2)xy x x e =--． 故方程的通解为*212(2)x x x c y y y C e C e x x e =+=+-+． 16. （10年，10分）(本题满分10分)求函数()()2221x t f x x t e dt -=-⎰的单调区间与极值.【考查分析】对变限求导数,划分单调区间,求极值. 【详解】 因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt x e dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt ----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e--''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞- ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞ .【评注】(1)求()f x 的单调性区间就是求()f x '的正负号区间.增减或增减区间的分界点就是极值点.上述方法就是求出()f x ',然后分出()f x '的正负号区间,从而得到()f x 的增减区间,相应地得到()f x 的极值点.这里就不必去求驻点处得()f x ''.(2)若题目只要求()f x 的极值,我们也可以221()2x t f x x e dt -'=⎰后,解得驻点0x =,1x =±,然后再求驻点处的二阶导数.由于201(0)20t f e dt -''=<⎰,⇒11(0)(1)2f e -=-为极大值.由于1(1)40f e -''±=>,⇒(1)0f ±=为极小值.17. （10年，10分）(本题满分10分)(I)比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n = 的大小,说明理由；(II)记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n = ,求极限lim n n u →∞. 【详解】(I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n = .(II)()1111001ln ln ln 1nnn t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由 ()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.18. （10年，10分）(本题满分10分)求幂级数()121121n n n x n -∞=--∑的收敛域及和函数.【考查分析】求幂级数的收敛域及和函数. 【详解】(I) (1)1222(1)1122(1)(1)2(1)121lim lim (1)(1)2121n n n n n n n n n nx x n n xx n n +-++--→∞→∞--⋅+-+=--⋅--222(21)21lim lim 2121n n n x n x x n n →∞→∞--==⋅=++,所以,当21x <,即11x -<<时,原级数绝对收敛.当21x >时,原级数发散,因此幂级数的收敛半径1R =.当1x =±时,11211(1)(1)2121n n n n n x n n --∞∞==--⋅=--∑∑,由莱布尼兹判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为[]1,1-. (II) 设1122111(1)(1)()2121n n nn n n S x x x x n n --∞∞-==⎛⎫--=⋅=⋅⋅ ⎪--⎝⎭∑∑,其中令12111(1)()21n n n S x x n -∞-=-=⋅-∑()1,1x ∈-,所以有 12221111()(1)()n n n n n S x xx ∞∞---=='=-⋅=-∑∑ ()1,1x ∈-,从而有 12211()1()1S x x x '==--+ ()1,1x ∈-,故 11201()(0)arctan 1xS x dx S x x =+=+⎰,()1,1x ∈-.1()S x 在1,1x =-上是连续的,所以()S x 在收敛域[]1,1-上是连续的.所以()arctan S x x x =⋅,[]1,1x ∈-.【评注】幂函数在收敛域上可以逐项积分,但逐项求导只能先在收敛区间进行.在逐项求导后，在另行讨论端点处是否成立。

10年笔试参考答案建筑设计原理部分：一．名词解释：1.防烟楼梯间：在每层楼梯间和主体建筑之间设置有专用防烟设施，能达到防烟目的的楼梯间。

是用建筑构件分隔，能防止烟和热气进入的，在楼梯间入口处设有防烟前室，或设有专供排烟用的阳台、凹廊等，且通向前室和楼梯间的门均为乙级防火门的楼梯间。

（本题题目来源为工大的公建原理样卷，实际为防火规范内容。

)2.共享空间：“共享”指一种独特的行为方式,是一种心情。

现代人群的“共享”主要指人与人的交往及人对客体的观照(交往和交流),即同时具有行为与思维的共享两种特征。

以“共享”为场所特征的空间即可称为共享空间。

共享空间应该具有两方面性质,一是场所的共享行为特征,二是场所界面的表情特征,两者共同定义空间氛围。

这种空间的基本特点归纳为(1) 根据人的心理需要，创造相应的空间环境(2) 室内外结合，自然与人工相结合。

(3) 共性中有个性。

(4)空间与时间的变化，动静结合。

(5) 宏伟与亲切相结合。

（本题为09年规划部分的名词解释题，出自环境心理学）3.韵律：韵律诗一种以具有条理性、重复性和连续性为特征的美的形式。

韵律美有几种不同的类型：1.连续的韵律；2.渐变的韵律；3.起伏的韵律；4.交错的韵律。

借助韵律，既可以加强整体的统一性，又可以求得丰富多彩的变化。

（本题为建筑形式美的内容，答案出自空间组合论）4.容积率：也称建筑毛密度，是每公顷居住区用地上拥有的各类建筑的建筑面积(平方米/HA)或以居住区总建筑面积(万平方米)与居住区用地(万平方米)的比值表示。

（出自城市规划规范）5.场所精神：场所就是由自然环境和人造环境结合的有意义的整体。

这个整体反映了在特定地段中人们的生活方式和自然的环境特征.“具有特殊风格及明确特征的空间”。

场所是具有清晰特性的空间, 是由具体现象组成的生活世界. 场所是空间这个“形式”背后的“内容”。

各种建筑在满足人民所需要的物质功能的同时也在创造多种多样的意境，履行它的精神功能的职责。

2010考研数学（一）真题及参考答案一、选择题（1）、极限（C）A、1B、C、D、（2）、设函数，由方程确定，其中F为可微函数，且，则（B）A、B、C、D（3）、设施正整数，则反常积分的收敛性( C)A、仅与的取值有关B、仅与有关C、与都有关D、都无关（4）、( D )A、B、C、D、（5）、设A为型矩阵，B为型矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（A）A、秩r(A)=m, 秩r(B)=mB、秩r(A)=m, 秩r(B)=nC、秩r(A)=n, 秩r(B)=mD、秩r(A)=n, 秩r(B)=n(6) 设A为4阶实对称矩阵，且，若A的秩为3，则A相似于（D）A． B.C. D.(7) 设随机变量的分布函数，则 {x=1}= （C）A．0 Ｂ. C. D.(8) 设为标准正态分布的概率密度，为上的均匀分布的概率密度，若为概率密度，则应满足：（A ）A、B、C、D、二、填空题（9）、设求（10）、（11）、已知曲线的方程为起点是终点是则曲线积分0（12）、设则的形心坐标（13）设若由形成的向量空间维数是2，则 6（14）设随机变量概率分布为，则 2三、解答题（15）、求微分方程的通解解答：（16）、求函数的单调区间与极值解答：单调递减区间单调递增区间极大值，极小值（17）、（Ⅰ）比较与的大小，说明理由（Ⅱ）设，求极限解答：（18）、求幂级数的收敛域及和函数解答：收敛域，和函数（19）设为椭球面上的动点，若在点处的切平面为面垂直，求点的轨迹，并计算曲面积分，其中是椭球面位于曲线上方的部分解答：（1）（2）（20）、设已知线性方程组存在2个不同的解，（Ⅰ）求，；（Ⅱ）求方程组的通解。

解答：（Ⅰ）（Ⅱ）的通解为（其中k为任意常数）（21）已知二次型在正交变换下的标准形为，且的第3列为（Ⅰ）求矩阵；（Ⅱ）证明为正定矩阵，其中为3阶单位矩阵。

答案：（Ⅰ）（Ⅱ）证明：为实对称矩阵又的特征值为1，1，0的特征值为2，2，1，都大于0为正定矩阵。

2010（一）一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。

（1）、极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎛⎫= ⎪-+⎝⎭（ C ） A 、1 B 、e C 、e a b- D 、eb a-【解析与点评】方法一222ln 1()()()()lim lime lime()()xx x xx x a x b x a x b x x x xx a x b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭→∞→∞→∞⎛⎫== ⎪-+⎝⎭()()2()()()()limelime a b x ab a b x abxx x a x b x a x b x x -+⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭→∞→∞==e a b -=方法二22()()lim lim 1()()()()x xx x x x x a x b x a x b x a x b →∞→∞⎛⎫⎛⎫--+=+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()()()lim 1lim 1()()()()x a x b a b x abxxa b x ab x a x b x x a b x ab a b x ab x a x b x a x b -+-+⋅-+-+→∞→∞⎛⎫⎛⎫-+-+=+=+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()lim()()()ee x a b x abxa b x a x b →∞-+--+==考点：第二个重要极限，初等函数运算，复合函数极限运算法则，极限运算，无穷小量替换 （2）、设函数(,)z z x y =，由方程(,)0y z F x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z zxy u y∂∂+=∂∂（ B ） A 、x B 、z C 、x - D 、z -【解析与点评】 等式两边求全微分得：12d d 0y z F F x x ⎛⎫⎛⎫''⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即 1222d d dz d 0x y y x x z xF F x x--''+=12(d d )(dz d )0F x y y x F x z x ''⇒⋅-+⋅-= 12122dz d d yF zF F x y xF F '''+∴=-'' 所以有，1212222yF zF F zF z z xy x y z u y xF F F ''''+∂∂+=-==∂∂'''（3）、设,m n是正整数，则反常积分x ⎰的收敛性( D )A 、仅与m 的取值有关B 、仅与n 的取值有关C 、与,m n 的取值都有关D 、与,m n 的取值都无关 【解析与点评】：显然0,1x x ==是两个瑕点，有=+⎰对于的瑕点0x =，当0x +→21ln (1)mnx x -=-等价于221(1)mm nx--，而21120m nxdx -⎰收敛（因,m n 是正整数211m n ⇒->-），故收敛；对于)的瑕点1x =，当1(1,1)(0)2x δδ∈-<<时12122ln (1)2(1)nmnmx x <-<-，而2112(1)mxd x-⎰显然收敛，故收敛。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)极限= (A)1 (B) (C)(D)【考点分析】：考察 型不定性极限。

【求解过程】：方法一：利用求幂指型极限的一般方法：归结为求222lim ln()()lim ln 11()()lim 1()()()lim ()()x x x x x w x x a x b x x x a x b x x x a x b a b x ab x x a x b a b→∞→∞→∞→∞=-+⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪-+⎝⎭⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥-+⎣⎦-+=⋅-+=- 因此， ，选C【基础回顾】：对于一般的幂指型极限有：()()ln ()lim ()ln ()lim ()lim g x g x f x g x f x f x e e ==2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦e ea b-eb a-⏹ 方法二：利用第二个重要极限求解22()lim ()()lim lim 11()()()()()lim 1()()x xx x x xa b x abx x a x b x a bx x I x a x b x a x b a b x ab e x a x b e →∞→∞→∞-+⋅-+→∞-⎡⎤⎡⎤⎛⎫==+-⎢⎥ ⎪⎢⎥-+-+⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎡⎤-+=+=⎢⎥-+⎣⎦=【基础回顾】：一般地，对于 型极限，均可利用第二个重要极限求解： 设lim ()1f x =，lim ()g x =∞，则()()()lim(()1)()lim ()lim 1()1g x g x f x g x f x f x e ⋅-⋅=+-⎡⎤⎣⎦=(2)设函数由方程确定,其中为可微函数,且则= (A)(B)(C)(D)【考点分析】：隐函数求导 【求解过程】：⏹ 方法一：全微分法方程(,)0y zF x x=两边求全微分得：12()()0y z F d F d x x ''+=，即12220xdy ydx xdz zdxF F x x--''+= 整理得 12122yF zF F dz dx dy xF F '''+=-''(,)z z x y =(,)0y zF x x=F 20,F '≠z z xy x y∂∂+∂∂x z x -z -所以，122yF zF z x xF ''+∂=∂'，12F z y F '∂=-∂'。

一、小题,每小题4 分,共32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)．．．x 2x(A) 1.(B)e.(C)e a b.(D)e b a.y zx y(x y)(A) x. (B) z. (C) x. (D) z.(3) 设m, n是正整数,则反常积分dx的收敛性( )(A) 仅与m的取值有关. (B)仅与n的取值有关.(C) 与m, n取值都有关. (D) 与m, n取值都无关.i1j1n i n2j2()0 0 1x1y20 0 1x1y(B)dxxdy.0 0 1x1y2(5) 设A为m n矩阵,B为n m矩阵,E为m阶单位矩阵,若AB E,则( )(A) 秩r A m,秩r B m. (B) 秩r A m,秩r B n.(C) 秩r A n,秩r B m. (D) 秩r A n,秩r B n.(6) 设A为4 阶实对称矩阵,且A2 A O,若A的秩为3,则A相似于( )(A)111(B)1111n n nz z. .(C)1dx 11dy.(D) 1dx 11dy.(A)1dx x1dy.(2) 设函数z z(x, y) , 由方程F , 0 确定,其中F为可微函数,且F20 ,则x x(1) 极限lim ( )x(x a)(x b)(C)111(D)1110,(7) 设随机变量X 的分布函数F (x )1 2 1 e x ,x 00 x 1 ,则P X 1 = ( ) x 1(A) 0.1 (B) .2(C) e 1 .(D) 1 e 1.(8) 设 f 1(x ) 为标准正态分布的概率密度, f 2 (x ) 为 1,3 上均匀分布的概率密度,若af 1(x ), x 0(A) 2a 3b 4 . (B) 3a 2b 4 . (C) a b 1. (D) a b 2 . 二、(914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.)．．．x e t, d 2yy 0 ln 1 u 2du , dx t.(10)2cos dx .(11) 已知曲线L 的方程为 y 1 x x 1,1 ,起点是 1.0 ,终点是 1, 0 ,则曲线积 分 Lxydx x 2dy .(12) 设 x , y , z x 2 y 2z 1 ,则 的形心的竖坐标z .(13) 设11, 2, 1, 0 T,21,1, 0, 2 T,32,1,1, a T,若由1,2,3 生成的向量空间的维数是 2,则a .(14) 设 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 为 P X k , k 0,1, 2, , 则 E X2=.三、～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.) (9) 设 t 求 2k !C21, ..f (x ) , (a 0,b 0) 为概率密度,则a , b 应满足 ( ) bf 2 (x ), x 0(15)(本题满分 10 分)求微分方程y 3y 2y 2xe x 的通解． (16)(本题满分 10 分)求函数f x1x 2 x2t e t 2dt 的单调区间与极值.(17)(本题满分 10 分) (I)比较 ln t ln 1 t ndt 与 t n ln t dt n 1, 2,的大小,说明理由；(II)记u nln t ln 1 tndt n 1, 2, (18)(本题满分 10 分)求幂级数n 11n 1 2n,求极限lim u n .(19)(本题满分 10 分)设 P 为椭球面 S : x 2 y 2 z 2 yz 1上的动点,若 S 在点 P 处的切平面与 xOy 面垂直,求点 P 的轨迹 C ,并计算曲面积分 I 2 2 dS ,其中 是椭球面 S 位于曲线 C 上方的部分. (20)(本题满分 11 分)1 1 a 设 A 0 1 ，b 1 ,已知线性方程组Ax b 存在两个不同的解.( I ) 求 , a ；( II ) 求方程组Ax b 的通解. (21)(本题满分 11 分)已知二次型 f (x 1 , x 2 , x 3) x T Ax 在正交变换 x Qy 下的标准形为 y y ,且 Q 的第三列为( , 0, )T .( I ) 求矩阵 A ；( II ) 证明A E 为正定矩阵,其中E 为 3 阶单位矩阵.(22)(本题满分 11 分)设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为f (x , y ) Ae2x 2 2xy y 2, x , y ,求常数 A 及条件概率密度f Y |X (y | x ) ．x y 2z2 214 y z 4yznx 的收敛域及和函数. 2n 1(23)(本题满分11分)设总体X的概率分布为1 2 3122表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的其中参数0,1未知,以Ni3个数(i 1, 2,3 ).试求常数a1 , a2 , a3 ,使T a i N i为的无偏估计量,并求T的方差.i 1(1)【答案】 (C).【解析】 本题属于未定式求极限,极限为1 型,故可以用“e 的抬起法”求解．x 2 xx 2 lim e x a x b x x 2 e x x a x b , x 2 x 2 (x a )(x b )x x 2 (x a )(x b ) x(xa )(xb )(a b )x 2 abxlima b故原式极限为e a b ,所以应该选择(C). (2)【答案】 (B).【解析】 zF 1F 2F1F 2yF 1 zF 2 ,xF21 F2 xF 2z F y F 1x F 1 , y F 21 F 2z z yF 1 zF 2 yF 1 F 2z2 2 2(3) 【答案】 (D).【解析】 x 0 与x 1都是瑕点.应分成x x 2 xxx x1x(x a )(x b )limlim x ln x ln xx y z ．x y F F F x a x b1 (x a )(x b ) lim x x a x b其中又因为1[ln 2(1 x )]m用比较判别法的极限形式,对于dx ,由于im1 .1 2 n m显然,当0 1 ,则该反常积分收敛.n m当 0 , im 0存在,此时dx 实际上不是反常积分,故收.20 1,不论m , n 是什么正整数,1[ln 2 (1 x )]m11lim x nlim ln 2 (1 x )m (1 x ) 0 ,(1 x )2(4)【答案】 (D).【解析】i 1j 1n i n 2 j 2i 1 n i (j 1 n 2 j 2 ) (j 1 n 2 j 2 )(i 1n i )nj 1 nj 1dy ,ni 1ni 1dx ,i 1j 1n i n 2 j 2j 1 n 2 j 2 )(i 1 n i)j 1 n 2 j 2i 1 n i)敛 xnn n n n 1 n 1n nn n 1 n n n n n 1nn n nx 1 1 x 11 2n11所以dx 收敛,故选(D).故不论 m , n 是什么正整数,02dx 总收敛.对于 1dx ,取1 1(dx )( dy ) dxdy .(5)【答案】 (A).【解析】 由于AB E ,故r (AB ) r (E ) m .又由于r (AB ) r (A ), r (AB ) r (B ) ,故m r (A ), m r (B ) ①由于 A 为m n 矩阵,B 为n m 矩阵,故r (A ) m , r (B ) m ②由①、②可得r (A ) m , r (B ) m ,故选 A. (6)【答案】 (D).【解析】 设 为 A 的特征值,由于 A 2 A O ,所以 20 ,即 ( 1) 0 ,这样 A 的 特 征 值 只 能 为 -1 或 0. 由 于 A 为 实 对 称 矩 阵 , 故 A 可 相 似 对 角 化 , 即1A ,r (A ) r () 3 ,因此,11 1 ,即 A1(7) 【答案】 (C).【解析】 离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数 是连续函数.观察本题中F (x ) 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续 型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定 义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即P X 1 P X 1 P X 1 F 1 F 1 0 1 e 1e 1,故本题选(C).(8)【答案】 (A).1, 1 x 3 2 0, 其它利用概率密度的性质:fxdx1 ,故f x dx af 1 x dx bf 2 x dxf 1 x dx b3dx b 1所以整理得到2a 3b 4 ,故本题应选(A).二、(9) 【答案】 0. x 2 1 2 21 1 1.【解析】 根据题意知,f 1 x e 2 ( x ),f 2 x 4【解析】因为tln1t e t,d2y d ln 1t2 e t dt 2t t 2 t t d2y0 .(10)【答案】4.【解析】令原式t cos t 2tdt2t2 cos tdt 2t2d sin t2 t2 sin t 2t sin tdt 4td cos t(11)【答案】0.121x1x dx x2dx x1x dx x2 dx12x2 x dx x 2x2 dx3 212 321122.3dxdydz2d rdrr12dz2d 1 r2 rdr12d r dr0 6d22 21622.32zdxdydz2d rdrr12zdz02d rdr22r2 r6ddy ln 1t2 20412(12) 【】dx e【解析】213 2 2 30 12x3 x2 x2 2x3【解析】Lxydx x2dyLxydx x2dyLxydx x2dy4t cos t0 0cos tdt 4c os 4sin t4.x t,x t2 ,dx 2tdt,利用分部积分法,dx2 dt dx 1t2e ln 1t e e,所以dx2t0(13)【答案】 a 6 . 【解析】 因为由1 ,2,3 生成的向量空间维数为 2,所以r (1,2,3) 2 . 对(1,2,3)进行初等行变换：1(1,2,3)所以a 6 .1 2 11 2 11 20 a 6 (14) 【答案】 2 .【解析】利用离散型随机变量概率分布的性质,知1 k 0P X k k 0k !Ce ,整理得到 C e 1 ,即P X ke 1.故X 服从参数为1的泊松分布,则E X 1, D X 1,根据方差的计算公式有E X 2D XE X2112 2 .三、(15)【解析】对应齐次方程的特征方程为 23 2 0 ,解得特征根11,22 ,所以对应齐次方程的通解为y c C 1e xC 2e 2x ．设原方程的一个特解为y * x (ax b )e x ,则y *ax 2 2ax bx b e x ,y *ax 2 4axbx 2a 2b e x ,代入原方程,解得a 1,b 2 ,故特解为y * x (x2)e x ．故方程的通解为y y cy * C 1e x C 2e 2x x (x 2)e x ．其中C 1, C 2 为任意常数.(16)【解析】因为f (x ) 1x 2(x2t )e t 2dt x2 1x2e t 2dt1x 2te t 2dt ,所 以 f (x ) 2x1x 2e t 2dt 2x 3e x 42x 3e x42x1x 2e t 2dt , 令f (x ) 0 , 则x 0, x 1 .C e 1 1k k ! k !1 32 10 01 1 0 0 1 02 a 02 a 0 0又f (x ) 21x 2 e t 2 dt 4x 2e x 4,则f (0) 210 e t 2dt 0 ,所以f (0) 1 (0 t )e dt 2 e 2 (1 e )是极大值.而f (1) 4e 10 ,所以f (1) 0 为极小值.又因为当 x 1时, f (x ) 0 ； 0 x 1时, f (x ) 0 ； 1 x 0 时, f (x ) 0 ；x1时, f (x ) 0 ,所以 f (x ) 的单调递减区间为 (, 1) (0,1) , f (x ) 的单调递增区.(I)当0 x 1时0 ln(1 x ) x ,故 ln(1 t ) n t n ,所以ln t ln(1 t ) ndtln t t n dt n 1, 2, .(II) ln t t ndtln t t n dt ln td t n1,故由n0 n 12根据夹逼定理得0 lim u n lim 0 ,所以lim u n 0 .(18)【解析】所以,当x 2 1 ,即 1 x 1时,原级数绝对收敛.当x 2 1时,原级数发散,因此幂级数 的收敛半径R 1 .当 x1 时,n 1x 2nn 1,由莱布尼兹判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为 1,1 . ( 1)(n1)12(n 1)(I) 2(n 1) 1 lim n 1 lim x( 1)n x 2n 22n 1 ( 1)n 1x 2n 2n 1(2n 1)x 2limn2n 12n 1 2 2lim x x ,n2n 10 t21 t2 1 1n( 1) 2n n 2n 1 x 11n n n 1 2 n0 u 1ln t t n dt 1, 间为( 1,0) (1, )(17)【解析】 ln t ln(1 t ) nln t t n ,则( 1)n12n( 1)n 1 2n 1S 1(x )n 1 2n 1x x 1,1 ,所以有 S 1 (x ) ( 1)n1 x2n 2(x 2 )n1n 1 n 1x 1,1 ,从而有 故S 1 (x ) 2 2 x 1,1 ,S 1(x )xdx S 1(0) arctan x ,x 1,1 .S 1(x ) 在x1,1上是连续的,所以S (x ) 在收敛域 1,1 上是连续的.所以S (x ) x arctan x ,x 1,1 .(19)【解析】 ( I )令F x , y , z x 2 y2z2yz 1 ,故动点P x , y , z 的切平面的法向量 为 2x ,z , 2z , 由 切 平 面 垂 直 xOy , 故 所 求 曲 线 C 的 方 程 为x 2 y 2 z 2 yz 1( II ) 由 ,消去z ,可得曲线 C 在xOy 平面上的投影曲线所围2z y 0,成的xOy 上的区域D :{(x , y ) | x 23 y 21} ,由 x 2 y 2 z 2 yz x1x ,由z 2z2x y y 2z故I 2 2 dS x dxdy xdxdydxdy3(20)【解析】 因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于 3,进而可 以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法 1： ( I )已知Ax b 有 2 个不同的解,故r (A ) r (A ) 3 ,对增广矩阵进行初等行 x y 2z1 (x ) 1 x 1 14 D4 y z 4yz D D Ddxdy 3 122 . .2z y 0x 2 y 2 z 2 yz 1 (II) 设S (x ) x x x ,其中令n 1 2n 1 n 1 2n 1( 1)n12n 1变换,得11 1 0 1a 11 1 0 1 111 11 0 1 1 21 111 00 12111 1 1 0 0 0 0 12 0 1 11 0 0 11 1 1,由于r (A ) r (A ) 3 ,所以a 2 ,故 1 ,a 2 .方法 2：已知Ax b 有 2个不同的解故r (A ) r (A ) 3 ,因此 A0 ,即11 11 0 1知 1或-1.当1 时, r (A ) 1 r (A )2 ,此时, Ax b 无解,因此1 .由 r (A ) r (A ) ,得a 2.(II ) 对增广矩阵做初等行变换33x 1 x 33 x 1 12 可知原方程组等价为 1 ,写成向量的形式,即 x 2 x 32 .A (1)2 ( 1) 0 ,x 2 2 x 3 1 02 11 0 1 21 1 12 1 1 1 2 A 0 2 0 1 0 2 0 1 0 1 0 11 1 1 1 0 0 0 00 0 0 02当 1时,A 0 1 0 1 当 1时,A 0 0 0 1 ,此时,r (A ) r (A ) ,故 Ax b 无解(舍去)． 0 0 0a 20 a 0 0 1 0 1 0a 1a 01 01A 011a3因此Ax b的通解为x k02,其中k为任意常数.(21)【解析】( I )由于二次型在正交变换x Qy下的标准形为y y,所以A的特征值为121,30.由于Q的第3 列为2 , 0,2,所以A对应于 3 0 的特征向量为2, 0,2,记为3. 由于A是实对称矩阵,所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,设属于2 2程组的基础解系为10,1,0T ,21,0,1T,因此1,2为属于特征值1的两个线性无关的特征向量.由于1,2是相互正交的,所以只需单位化：122取Q1,2,31故A Q Q T011121211.( II )A E也是实对称矩阵,A的特征值为1,1,0,所以A E的特征值为2,2,1,由于A E的特征值全大于零,故A E是正定矩阵.(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度f x,y后,要求条件概率密度T T22,且Q 1 Q T,2110,1,0T,2211,0,1T.1 21的特征向量为x1, x2, x3T,则T30 ,即x1x30 . 求得该方121f Y|X (y|x),可以根据条件概率公式fY|X(y|x)来进行计算.本题中还有待定参数, A要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.fXx f x,y dy A e2x2 2xy y 2 dy A e (y x )2 x 2 dy Ae x2 e (y x )2 dyA e x 2 , x .根据概率密度性质有1fXx dx A e x 2 dx A ,即A 1 ,当x 时,有条件概率密度fYXy x e x22xy y2 e(x y)2 , x, y.(23)【解析】N1 ~ B n,1, N2~ B n, 2 , N3~ B n, 23a1n1a2n 2 a3n 2 na1n a2a1n a3a22 .na1因为T是的无偏估计量, 所以E T, 即得n a2 a1 1 , 整理得到n a3 a2 0a 1 0 , a2, a3.所以统计量1111注意到N1B(n,1) ,故111n n11f(x,y)fX(x)D T D n n N1 n2D N1 n1 .T 0N1N2N3N2N3n N1.n n n nE T E aiNia1E N1a2E N2a3E N3i1故fX x1e x2,x.。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦( ) (A) 1. (B) e . (C) a be -. (D) b ae-.(2) 设函数(,)z z x y =,由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(3) 设,m n 是正整数,则反常积分()210ln 1mnx dx x-⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B)仅与n 的取值有关. (C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关. (4) ()()2211limn nn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( ) (A)()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C)()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()1120111dx dy x y ++⎰⎰. (5) 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,E 为m 阶单位矩阵,若AB E =,则 ( )(A) 秩()r A m =,秩()r B m =. (B) 秩()r A m =,秩()r B n =. (C) 秩()r A n =,秩()r B m =. (D) 秩()r A n =,秩()r B n =. (6) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )(A) 1110⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 设随机变量X 的分布函数0,1(),0121,1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩,则{}1P X == ( ) (A) 0. (B)12. (C) 112e --. (D) 11e --. (8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度,2()f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度,若12(),0()(),0af x x f x bf x x ≤⎧=⎨>⎩,(0,0)a b >>为概率密度,则,a b 应满足 ( ) (A) 234a b +=. (B) 324a b +=. (C) 1a b +=. (D) 2a b +=.二、填空题(914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 设()20,ln 1,t tx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰ 求220t d y dx == . (10)2cos x xdx π=⎰.(11) 已知曲线L 的方程为[]{}11,1y x x =- ∈-,起点是()1.0-,终点是()1,0,则曲线积分2Lxydx x dy +=⎰.(12) 设(){}22,,1x y z xy z Ω=+≤≤,则Ω的形心的竖坐标z = .(13) 设()()()1231,2,1,0,1,1,0,2,2,1,1,TTTa ααα=-==,若由123,,ααα生成的向量空间的维数是2,则a = .(14) 设随机变量X 的概率分布为{}!CP X k k ==,0,1,2,k =,则()2E X=.三、解答题(15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)求微分方程322x y y y xe '''-+=的通解． (16)(本题满分10分)求函数()()2221x t f x xt e dt -=-⎰的单调区间与极值.(17)(本题满分10分)(I)比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n =的大小,说明理由；(II)记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n =,求极限lim n n u →∞. (18)(本题满分10分)求幂级数()121121n n n x n -∞=--∑的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分)设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点,若S 在点P 处的切平面与xOy 面垂直,求点P 的轨迹C ,并计算曲面积分()223244x y zI dS y z yz∑+-=++-⎰⎰,其中∑是椭球面S 位于曲线C 上方的部分. (20)(本题满分11分)设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解.( I ) 求λ,a ；( II ) 求方程组Ax b =的通解. (21)(本题满分11 分)已知二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +,且Q 的第三列为22(,0,)22T. ( I ) 求矩阵A ；( II ) 证明A E +为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵. (22)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2222(,)x xy y f x y Ae -+-=,x -∞<<+∞,y -∞<<+∞,求常数A 及条件概率密度|(|)Y X f y x ．设总体X 的概率分布为X 1 2 3P1θ- 2θθ- 2θ其中参数()0,1θ∈未知,以i N 表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3i =).试求常数123,,a a a ,使31iii T a N ==∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.。