全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)
2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 一、填空题(每小题5分,共20分)
1
.计算()ln(1)
d y
x y x y ++=??____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.
2.设)(x f 是连续函数,且满足2
20()3()d 2f x x f x x =--?,则()f x =____________.
3.曲面2
222
x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.
4.设函数)(x y y =由方程29ln )
(y y f e xe
=确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则
=2
2d d x
y
________________. 二、(5分)求极限x
e
nx x x x n
e e e )(
lim 20+++→Λ,其中n 是给定的正整数. 三、(15分)设函数)(x f 连续,10()()g x f xt dt =?,且A x
x f x =→)
(lim 0,A 为常数,
求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.
四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证:
(1)
??-=---L
x y L
x y
x ye y xe x ye y xe
d d d d sin sin sin sin ;
(2)2sin sin 2
5
d d π?
≥--L
y y
x ye y xe
.
五、(10分)已知x
x
e
xe y 21+=,x
x e
xe y -+=2,x x
x e e
xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐
次微分方程的三个解,试求此微分方程.
六、(10分)设抛物线c bx ax y ln 22
++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴
及直线1=x 所围图形的面积为3
1
.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小.
七、(15分)已知)(x u n 满足1()()1,2,n x
n
n u x u x x e n -'=+=L ,且n e
u n =)1(,求函数项级数∑∞
=1
)(n n x u 之和.
八、(10分)求-
→1x 时,与
∑∞
=0
2
n n x 等价的无穷大量.
2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)
一、(25分,每小题5分) (1)设22(1)(1)(1)n
n
x a a a =+++L ,其中||1,a <求lim .n n x →∞
(2)求2
1lim 1x x
x e
x -→∞
??+ ???
.
(3)设0s >,求0
(1,2,)sx n
n I e x dx n ∞
-==?L .
(4)设函数()f t
有二阶连续导数,1(,)r g x y f r ??
== ???
,求222
2g g x y ??+??. (5)求直线10:0
x y l z -=??
=?与直线2213
:421x y z l ---==
--的距离. 二、(15分)设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数,并且()0f x ''>,lim ()0x f x α→+∞
'=>,
lim ()0x f x β→-∞
'=<,且存在一点0x ,使得0()0f x <.证明:方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根.
三、(15分)设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ?=+>-?=?
所确定,且22d 3
d 4(1)y x t =+,
其中()t ψ具有二阶导数,曲线()y t ψ=与2
2
13
2t u y e du e
-=+
?在1t =出相切,求函数()t ψ. 四、(15分)设1
0,n
n n k
k a S a
=>=
∑,证明:
(1)当1α
>时,级数1n
n n
a S α
+∞
=∑
收敛; (2)当1α
≤且()n s n →∞→∞时,级数1n
n n
a S α
+∞
=∑
发散. 五、(15分)设l 是过原点、方向为(,,)αβγ,(其中2
2
2
1)αβγ++=的直线,均匀椭球
222
2221x y z a b c
++≤(其中0c b a <<<,密度为1)绕l 旋转. (1)求其转动惯量;
(2)求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值.
六、(15分)设函数()x ?具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上,曲线积分
422d ()d 0L xy x x y x y ?+=+??的值为常数.
(1)设L 为正向闭曲线2
2
(2)1x y -+=,证明
422d ()d 0L xy x x y
x y ?+=+??;
(2)求函数()x ?;
(3)设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求
422d ()d C xy x x y x y ?++??.
2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 一、计算下列各题(本题共3小题,每小题各5分,共15分) (1)求1
1cos 0
sin lim x
x x x -→??
???
;
(2).求111lim ...12n n n n n →∞??+++
?+++?
?; (3)已知()2ln 1arctan t
t x e y t e
?=+??=-??,求22d d y x .
二、(本题10分)求方程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解.
三、(本题15分)设函数()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数,且()()()0,0,0f f f '''均不为0,证明:存在唯一一组实数123,,k k k ,使得
()()()()
12320230lim
0h k f h k f h k f h f h
→++-=. 四、(本题17分)设222
1222:1x y z a b c
∑++=,其中0a b c >>>,2222:z x y ∑=+,Γ为1∑与2∑的交线,
求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.
五、(本题16分)已知S 是空间曲线2231
0x y z ?+=?=?
绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分(0z ≥)(取
上侧),∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平面,(,,)x y z ρ是原点到切平面∏的距离,,,λμν表示S 的正法向的方向余弦.计算: (1)()d ,,S
z
S x y z ρ??
;(2)()3d S
z x y z S λμν++??
六、(本题12分)设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数,且()()f x mf x '<,其中01m <<,任取实数0a ,定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==,证明:11()n n n a a ∞
-=-∑绝对收敛.
七、(本题15分)是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ,满足(0)(2)1f f ==,()1f x '≤,
2
()d 1f x x ≤?
?请说明理由.
2012年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)
一、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)解答下列各题(要求写出重要步骤).
(1)求极限2
1lim(!)n n n →∞
.
(2)求通过直线2320
:55430
x y z l x y z +-+=??+-+=?的两个互相垂直的平面1π和2π,使其中一个平面过点
(4,3,1)-.
(3)已知函数(,)ax by
z u x y e
+=,且
20u
x y
?=??.确定常数a 和b ,使函数(,)z z x y =满足方程20z z z
z x y x y
???--+=????. (4)设函数()u u x =连续可微,(2)1u =,且3(2)d ()d L
x y u x x u u y +++?在右半平面与路径无关,求
(,)u x y .
(5
)求极限1lim
x x
x t +.
二、(本题10分)计算20
sin d x e x x +∞-?
.
三、(本题10分)求方程21
sin
2501x x x
=-的近似解,精确到0.001. 四、(本题12分)设函数()y f x =二阶可导,且()0f x ''>,(0)0f =,(0)0f '=,求330()
lim ()sin x x f u f x u
→,
其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距. 五、(本题12分)求最小实数C ,使得满足10
()d 1f x x =?
的连续函数()f x
都有1
f dx C ≤?.
六、(本题12分)设()f x 为连续函数,0t >.区域Ω是由抛物面22z x y =+和球面
2222x y z t ++=(0)z >所围起来的部分.定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω
=++???,
求()F t 的导数()F t ''.
七、(本题14分)设1
n n a ∞
=∑与1
n n b ∞
=∑为正项级数,证明:
(1)若()11
1
lim 0n n n n n a a b b →∞++->,则级数1n n a ∞
=∑收敛;
(2)若(
)111
lim 0n n n n n a a b b →∞
++-<,且级数1n n b ∞=∑发散,则级数1
n n a ∞
=∑发散. 2013年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)
一、解答下列各题(每小题6分,共24分,要求写出重要步骤) 1.
求极限(lim 1sin n
n →∞
+.
2.证明广义积分0
sin d x
x x
+∞
?
不是绝对收敛的.
3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定,求()y x 的极值.
4.
过曲线0)y x =≥上的点A 作切线,使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为3
4
,求点A 的坐标.
二、(满分12分)计算定积分2sin arctan d 1cos x
x x e I x x
ππ
-?=+?
.
三、(满分12分)设()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f '',且()0lim 0x f x x →=.证明:级数1
1n f n ∞
=??
?
??∑收敛.
四、(满分12分)设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤,证明
2
sin ()d b
a
f x x m
≤
?. 五、(满分14分)设∑是一个光滑封闭曲面,方向朝外.给定第二型的曲面积分()()()333d d 2d d 3d d I x x y z y y z x z z x y ∑
=-+-+-??.试确定曲面∑,使积分I 的值最小,并求该最小
值.
六、(满分14分)设22d d ()()a a
C y x x y I r x y -=+?,其中a 为常数,曲线C
为椭圆222
x xy y r ++=,取正向.求极限lim ()a r I r →+∞
.
七、(满分14分)判断级数()()
11112
12n n n n ∞
=+++
++∑L 的敛散性,若收敛,求其和. 2014年第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)
一、填空题(共有5小题,每题6分,共30分)
1.已知1x y e =和1x y xe =是齐次二阶常系数线性微分方程的解,则该方程是.
2.设有曲面22:2S z x y =+和平面022:=++z y x L .则与L 平行的S 的切平面方程是.
3.设函数()y y x =由方程21
sin d 4y x
t x t π-??
= ???
?所确定.求
d d x y x ==.
4.设1
(1)!n
n k k
x k ==+∑
,则=∞→n n x lim .
5.已知1
3
0()lim 1x x f x x e x →??++= ??
?,则=→20)(lim x x f x . 二、(本题12分)设n 为正整数,计算21
d 1cos ln d d n
e I x x x π
-??
= ???
?. 三、(本题14分)设函数()f x 在]1,0[上有二阶导数,且有正常数,A B 使得()f x A ≤,|"()|f x B ≤.证明:对任意]1,0[∈x ,有2
2|)('|B A x f +
≤.
四、(本题14分)(1)设一球缺高为h ,所在球半径为R .证明该球缺体积为
2)3(3
h h R -π
,球
冠面积为Rh π2;(2)设球体12)1()1()1(2
2
2
≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截的小球缺为Ω,记球缺上的球冠为∑,方向指向球外,求第二型曲面积分
d d d d d d I x y z y z x z x y ∑
=++??.
五、(本题15分)设f 在],[b a 上非负连续,严格单增,且存在],[b a x n ∈,使得
?-=
b a
n
n n dx x f a b x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim .
六、(本题15分)设2222212n n n n
A n n n n =
++++++L ,求??
? ??-∞→n n A n 4lim π. 2015年第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 一、填空题(每小题6分,共5小题,满分30分)
(1)极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞??
?
+++= ?+++ ?
??
L . (2)设函数(),z z
x y =由方程,0z z F x y y x ?
?
+
+= ??
?
所决定,其中(),F u v 具有连续偏导数,且0u v xF yF +≠则z z
x
y x y
??+=??. (3)曲面2
2
1z x y =++在点()1,1,3M
-的切平面与曲面所围区域的体积是.
(4)函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ?∈-?=?∈??
在(]5,5-的傅立叶级数在0x =收敛的是.
(5)设区间
()0,+∞上的函数()u x 定义域为()2
xt u x e dt +∞
-=?,则()u x 的初等函数表达式是.
二、(12分)设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面,求其方程. 三、(12分)设()f x 在
(),a b 内二次可导,且存在常数,αβ
,使得对于
(),x a b ?∈,有
()()()f x f x f x αβ'=+,则()f x 在(),a b 内无穷次可导.
四、(14分)求幂级数()()30211!
n
n n x n ∞
=+-+∑的收敛域及其和函数.
五、(16分)设函数()f x 在[]0,1上连续,且()()1
1
0,1f x dx xf x dx ==??.试证:
(1)[]00,1x ?∈
使()04f x >;
(2)[]10,1x ?∈
使()14f x =.
五、(16分)设
(),f x y 在221x y +≤上有连续的二阶偏导数,且222
2xx xy yy f f f M ++≤.若
()()()0,00,0,00,00x y f f f ===,证明:
(
)221
,4
x y f x y dxdy +≤≤
??
.
2016年第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)
一、填空题(每小题5分,满分30分)
1、若()f x 在点x a =可导,且()0f a ≠,则()1lim n
n f a n f a →∞?
??
?+ ?
?
??
?= ?
??
?
__________. 2、若()10f =,()1f '存在,求极限()()
2
20
sin cos tan3lim
1sin x x f x x x
I e
x
→+=-.
3、设()f x 有连续导数,且()12f =,记()
2x z f e y =,若z
z x
?=?,求()f x 在0x >的表达式. 4、设()sin 2x f x e x =,求02
n a π
<<
,(
)
()40f .
5、求曲面2
2 2
x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.
二、(14分)设()f x 在[]0,1上可导,()00f =,且当()0,1x ∈,()01f x '<<,试证当()0,1a ∈,
()()
()2
30
d d a
a
f x x
f x x >?
?.
三、(14分)某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++,密度函数为222x y z ++,求质量
()222d d d M x y z x y z Ω
=++???.
四、(14分)设函数
()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数,()00f =,()11f =,
证明:()10
111lim 2n
n k k n f x dx f
n n →∞=????-=- ? ?
????
∑?. 五、(14分)设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,且()1
d 0I f x x =≠?,证明:在()0,1内存在不同的两
点12,x x ,使得
()()12112
f x f x I
+=. 六、(14分)设()f x 在(),-∞+∞可导,且()(
)(2f x f x f x =+=.用Fourier 级数理论证明()f x 为常数.
2017年第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)
一、1.已知可导函数f (x )满足?+=+x
x tdt t f x xf 0
1sin )(2)(cos ,则()f x =_________.
2.求??
? ??+∞
→n n n 2
2sin lim π.
3.设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数,且==+u x cy v x cy -,,其中c 为非零常数.则
2
1
xx yy w w c -
=_________. 4.设()f x 有二阶导数连续,且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===,则24
0(sin )
lim x f x x →=____.
5.不定积分sin 2
sin 2(1sin )x e x
I dx x -=-?
=________. 6.记曲面2
2
2
z x y =+
和z =
围成空间区域为V ,则三重积分
V
zdxdydz ???=___________.
二、(本题满分14分)设二元函数
(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数.对任何角度α,定义一元函数
()(cos ,sin )g t f t t =ααα.
若对任何α都有
(0)0dg dt
α=且22(0)
0d g dt α>.证明)0,0(f 是(,)f x y 的极小值. 三、(本题满分14分)设曲线Γ为在
2221x y z ++=,1x z +=,0,0,0x y z ≥≥≥
上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段.求曲线积分?Γ
++=xdz zdy ydx I
.
四、(本题满分15分)设函数()0f x >且在实轴上连续,若对任意实数t ,有
||
()1t x e
f x dx +∞
---∞
≤?
,则,()a b a b ?<,2
()2
b
a
b a f x dx -+≤
?. 五、(本题满分15分)设{}n a 为一个数列,
p 为固定的正整数。若
()lim n p n n a a +→∞
-=λ,
其中λ为常数,证明lim n n a n p
λ→∞=.
全国大学生数学竞赛 百度简介
中国大学生数学竞赛
该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》,由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写,已经由清华大学出版社出版。 编辑本段竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是:激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 (一)中国大学生数学竞赛(数学专业类)竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容,即,数学分析占50%,高等代数占35%,解析几何占15%,具体内容如下: Ⅰ、数学分析部分
一、集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列,以及上述概念和定理在上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义,隐函数概念,反函数与逆变换,反函数存在性定理,初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质(极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质). 2. 数列收敛的条件(Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系),极限及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质(唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性),归结原则和Cauchy收敛准则,两个重要极限及其应用,计算一元函数极限的各种方法,无穷小量与无穷大量、阶的比较,记号O与o的意义,多元函数重极限与累次极限概念、基本性质,二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质(局部有界性、保号性),有界闭集上连续函数的性质(有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性). 三、一元函数微分学
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设)(x f 是连续函数,且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则 =2 2d d x y ________________. 二、(5分)求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→Λ,其中n 是给定的正整数. 三、(15分)设函数)(x f 连续,? =10 d )()(t xt f x g , 且A x x f x =→) (lim 0 ,A 为常数, 求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证: (1)?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ; (2)2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、(10分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数 线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.
第一届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算__ ,其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设是连续函数,且满足, 则____________. 3.曲面平行平面的切平面方程是__________. 4.设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,则_____. 二、(5分)求极限,其中是给定的正整数. 三、(15分)设函数连续,,且,为常数,求并讨论在处的连续性. 四、(15分)已知平面区域,为的正向边界,试证: (1);(2) . 五、(10分)已知,,是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程. 六、(10分)设抛物线过原点.当时,,又已知该 抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、(15分)已知满足, 且, 求函 数项级数之和. 八、(10分)求时, 与等价的无穷大量.
第二届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、(25分,每小题5分) (1)设其中求(2)求。 (3)设,求。 (4)设函数有二阶连续导数,,求。 (5)求直线与直线的距离。 二、(15分)设函数在上具有二阶导数,并且 且存在一点,使得,证明:方程在恰有两个实根。 三、(15分)设函数由参数方程所确定,其中具 有二阶导数,曲线与在出相切,求函数。 四、(15分)设证明:(1)当时,级数收敛; (2)当且时,级数发散。 五、(15分)设是过原点、方向为,(其中的直线,均 匀椭球,其中(密度为1)绕旋转。(1)求其转动惯量;(2)求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。 六、(15分)设函数具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上,曲线积分的值为常数。(1)设为正向闭曲线
广东省首届大学生数学竞赛试卷参考答案(高职高专) 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.设函数()f x 、()g x 在区间(,)-∞+∞内有定义,若()f x 为奇函数,()g x 为偶函数,则[()]g f x 为( B ). (A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 有界函数 2.设函数()f x 是以3为周期的奇函数, 且(1)1f -=-,则(7)f =( A ) . (A) 1 (B) 1- (C) 2 (D) 2- 3.设(0)0f =,且极限0()lim x f x x →存在,则0() lim x f x x →=( C ). (A) ()f x ' (B) (0)f (C) (0)f ' (D) 1 (0)2 f ' 4.设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()<0f x ',若()>0f b ,则在(,)a b 内()f x ( A ). (A) 0> (B) 0< (C) ()f x 的符号不能确定 (D) 0= 5.设()F x 是()f x 的一个原函数,则( D ). (A) ()d ()F x x f x =? (B) ()d ()F x x f x C =+? (C) ()d ()f x x F x =? (D) ()d ()f x x F x C =+? 二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.极限201lim 1→?? -= ??? x x x 1 .
2.已知函数1 sin sin 33 y a x x =+(其中a 为常数),在3 x π =处取得极值,则a = 2 . 3.设1 ()ln ln 2f x x =-,则(1)f '= 1- . 4.设函数()y y x =由方程e e sin()x y xy -=所确定,求隐函数y 在0x =处的 导数0='=x y 1 . 5.4 1 -=? 62 5 . 三、(10分)设函数1sin , 0()e , x x x f x x x α β?>?=??+≤?,根据α和β的不同情况, 讨论()f x 在0x =处的连续性. 10 10 110 1 lim ()lim ()1,lim ()lim sin 0sin 1,lim 0,lim sin 0,lim ()=lim ()=(0)0=0lim sin lim sin 0lim ααα αββαβαα--+ +++-++++ →→→→→→→→→→→=+=+=>≤====
全国大学生数学竞赛 第一届 2009年,第一届全国大学生数学竞赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才。 第二届 2011年3月,历时十个月的第二届全国大学生数学竞赛在北京航空航天大学落幕。来自北京、上海、天津、重庆等26个省(区、市)数百所大学的274名大学生进入决赛,最终,29人获得非数学专业一等奖,15人获数学专业一等奖。这次赛事预赛报名人数达3万余人,已成为全国影响最大、参加人数最多的学科竞赛之一。 竞赛用书 该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》,由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写,已经由清华大学出版社出版。 竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲。 1.竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是:激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 1.竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。(一)中国大学生数学竞赛(数学专业类)竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容,即,数学分析占50%,高等代数占35%,解析几何占15%,具体内容如下: Ⅰ、数学分析部分 1.集合与函数 2. 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界、确界存在性 定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 3. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列,以及上述概念和定理在上的推广.
中国大学生数学竞赛(数学专业类)竞赛内容 中国大学生数学竞赛(数学专业类)竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容,即,数学分析占50%,高等代数占35%,解析几何占15%,具体内容如下: Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列,以及上述概念和定理在上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义,隐函数概念,反函数与逆变换,反函数存在性定理,初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 三、1. 数列极限、收敛数列的基本性质(极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质). 2. 数列收敛的条件(Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系),极限及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质(唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性),归结原则和Cauchy收敛准则,两个重要极限及其应用,计算一元函数极限的各种方法,无穷小量与无穷大量、阶的比较,记号O与o的意义,多元函数重极限与累次极限概念、基本性质,二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质(局部有界性、保号性),有界闭集上连续函数的性质(有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性). 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法,微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理:Fermat定理,Rolle定理,Lagrange定理,Cauchy定理,Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项). 3.一元微分学的应用:函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达(L'Hospital)法则、近似计算. 四、多元函数微分学 1. 偏导数、全微分及其几何意义,可微与偏导存在、连续之间的关系,复合函数的偏导数与全微分,一阶微分形式不变性,方向导数与梯度,高阶偏导数,混合偏导数与顺序无关性,二元函数中值定理与Taylor公式. 2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数(组)求导方法、反函数组与坐标变换. 3.几何应用(平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线). 4.极值问题(必要条件与充分条件),条件极值与Lagrange乘数法. 五、一元函数积分学 1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法(直接积分法、换元法、分部积分法)、有理函数积分:型,型. 2. 定积分及其几何意义、可积条件(必要条件、充要条件:)、可积函数类. 3. 定积分的性质(关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理)、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理. 4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法(比较原则、柯西判别法)、Abel判别法、Dirichlet 判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法. 5. 微元法、几何应用(平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积),其他应用. 六、多元函数积分学 1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算(化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换). 2.三重积分、三重积分计算(化为累次积分、柱坐标、球坐标变换). 3.重积分的应用
河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续,故dx x ?1 02-1存在,且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i , 所以,= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中,无论a 为何值总有分母趋于零,因此要想极限存在,分子必 须为无穷小量,于是可知必有0=b ,当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?, 由上式可知:当0→x 时,若1≠a ,则此极限存在,且其值为0;若1=a ,则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x , 综上所述,得到如下结论:;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。
【解】 作变换t x -= 2 π ,则 =I 22 20π π = ?dt , 所以,4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0, 容易看出:当e x <<0时,0<'y ;当e x >时,0>'y 。 所以,x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? < 2011年数学竞赛练习题C_3解答 1. 设数列{}n x 满足: 11 sin (2)sin 11 n n x n n n <<+++, 则1 1lim 1n k n k x n →∞==+∑_______。 11 sin (2)sin 111 n n n x n x n n <<+∴→++解 ; Q 1 1 1 1lim lim lim lim 1111n n k k n k k k n n n n k x x n n x n n n n n ==→∞→∞→∞→∞ =∴=?=?=+++∑∑∑ 2.设曲线()y f x =与sin y x =在原点相切, 则极限lim n ________。 (0)0,(0)1n n f f '===已知有: 2. 设(1n n a b =+, 其中,n n a b 为正整数,lim n n n a b →∞=__ 2224 113 (1) 1)3)(13)3) )()3) ) n n n n n n n C C C C C C =+++ =+++++ 224 41133(1(1)() n n n n n C C C C =++-++ (1=+(1=n n n n n n a b a b a b -所以,若则解得: lim =n n n n n a b →∞∴= 3. 设()f x 有连续导数且0 () lim 0x f x a x →=≠, 又20 ()()()x F x x t f t dt =-?, 当0x →时()F x '与n x 是同阶无穷小, 则n =________。 2020 ()()()()()x x x F x x t f t dt x f t dt tf t dt =-=-? ?? 20 ()2()()()x F x x f t dt x f x xf x '=+-? 0() lim 0x F x x →'=显然 20 2 02()()() lim x x x f t dt x f x xf x x →+-?考虑: 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim 0x x x f t dt f x x x →→=-+?0a =-≠ 2n ∴= 5. ()f x ∞设在[1,+)上可导,下列结论成立的是:________。 +lim ()0()x f x f x →∞ '=∞A.若,则在[1,+)上有界; 全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类) 一、填空题(每小题5分,共20分) 1. 计算()ln(1) d y x y x y ++=??,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设)(x f 是连续函数,且满足22 ()3()d 2f x x f x x =--? ,则()f x =. 3.曲面2 222 x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是. 4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且 1≠'f ,则=22d d x y . 二、(5分)求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→Λ,其中n 是给定的正整数. 三、(15分)设函数)(x f 连续,10()() g x f xt dt =?,且A x x f x =→) (lim 0,A 为常数,求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证: (1)??-=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ; (2)2sin sin 2 5d d π?≥--L y y x ye y xe . 五、(10分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程. 六、(10分)设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1.试确定 c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、(15分)已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ,且n e u n =)1(,求 函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和. 山东省大学生数学竞赛(专科)试卷及标准答案 (非数学类,2010) 考试形式: 闭卷 考试时间: 120 分钟 满分: 100 分. 一、填空(每小题5分,共20分). (1)计算) cos 1(cos 1lim 0 x x x x -- + →= . (2)设()f x 在2x =连续,且2 ()3lim 2 x f x x →--存在,则(2)f = . (3)若tx x x t t f 2) 11(lim )(+ =∞ →,则=')(t f . (4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ,则()xf x dx '?= . (1) 2 1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2 ln ln 2. 二、(5分)计算dxdy x y D ??-2 ,其中 1010≤≤≤≤y x D ,:. 解:dxdy x y D ??-2 = dxdy y x x y D )(2 1:2 -??<+ ??≥-2 2:2 )(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2 210 -??+dy x y dx x )(1 210 2 ??- -------------4分 = 30 11 -------------5分. 姓名: 身份证号 所在院校: 年级 专业 线 封 密 注意:1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记. 三、(10分)设)](sin[2x f y =,其中f 具有二阶 导数,求 2 2 dx y d . 解:)],(cos[)(22 2x f x f x dx dy '=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22 2222222222 x f x f x x f x f x x f x f dx y d '-''+'=-----7分 =)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分. 四、(15分)已知3 123ln 0 = -? ?dx e e a x x ,求a 的值. 解:) 23(232 1 23ln 0 ln 0 x a x a x x e d e dx e e --- =-? ?? ---------3分 令t e x =-23,所以 dt t dx e e a a x x ? ? -- =-? 231 ln 0 2 123---------6分 =a t 231 2 33 221-?-------------7分 =]1)23([3 13 --?- a ,-----------9分 由3 123ln 0 = -? ? dx e e a x x ,故]1)23([3 13 --?- a = 3 1,-----------12分 即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分 所以2 3= a -------------15分. 中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业类) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是:激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 (一)中国大学生数学竞赛(数学专业类)竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容,即,数学分析占50%,高等代数占35%,解析几何占15%,具体内容如下: Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集 、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列,以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义,隐函数概念,反函数与逆变换,反函数存在性 定理,初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质(极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质). 2. 数列收敛的条件(Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系),极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质(唯一性、局部有界性、保号性、不等式 性质、迫敛性),归结原则和Cauchy 收敛准则,两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用,计算一元函数极限的各种方法,无穷小量与无穷大量、阶的比较,记号O 与o 的意义,多元函数重极限与累次极限概念、基本性质,二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质(局部有界性、保号性),有界闭集上连续函数的性质(有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性). 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法,微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理:Fermat 定理,Rolle 定理,Lagrange 定理,Cauchy 定理,Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用:函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、 首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 (非数学类) 考试形式: 闭卷 考试时间: 150 分钟 满分: 100 分. 一、 计算下列各题(共20分,每小题各5分,要求写出重要步骤). (1) 求极限1 21lim (1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. (2) 计算 2∑其中∑ 为下半球面z =0a >. (3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元,而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案:即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少? (4) 已知()f x 在11,42?? ???内满足 331()sin cos f x x x '=+,求()f x . 二、(10分)求下列极限 (1) 1lim 1n n n e n →∞????+- ? ? ?????; (2) 111lim 3n n n n n a b c →∞??++ ? ? ???, 其中0,0,0a b c >>>. 三、(10分)设()f x 在1x =点附近有定义,且在1x =点可导, (1)0,(1)2f f '==. 求 220(sin cos )lim tan x f x x x x x →++. 四、(10分) 设()f x 在[0,)+∞上连续,无穷积分0()f x dx ∞?收敛. 求 0 1lim ()y y xf x dx y →+∞?. 五、五、(12分)设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可微,且 1(0)(1)0,12f f f ??=== ???. 证明:(1) 存在 1,12ξ??∈ ???使得()f ξξ=;(2) 存在(0,)ηξ∈使得()()1f f ηηη'=-+. 六、(14分)设1n >为整数, 20()1...1!2!!n x t t t t F x e dt n -??=++++ ????. 证明: 方程 ()2n F x =在,2n n ?? ???内至少有一个根. 中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业组) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是:激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 (一)中国大学生数学竞赛(数学专业类)竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容,即,数学分析占50%,高等代数占35%,解析几何占15%,具体内容如下: Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集 、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、2 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列,以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义,隐函数概念,反函数与逆变换,反函数存在性定理,初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质(极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质). 2. 数列收敛的条件(Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系),极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质(唯一性、局部有界性、保号性、不等式 性质、迫敛性),归结原则和Cauchy 收敛准则,两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用,计算一元函数极限的各种方法,无穷小量与无穷大量、阶的比较,记号O 与o 的意义,多元函数重极限与累次极限概念、基本性质,二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质(局部有界性、保号性),有界闭集上连续函数的性质(有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性). 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法,微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理:Fermat 定理,Rolle 定理,Lagrange 定理,Cauchy 定理,Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用:函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、 高数竞赛预赛试题(非数学类) 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设)(x f 是连续函数,且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4.设函数)(x y y =由方程29ln ) (y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则 =2 2d d x y ________________. 二、(5分)求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 三、(15分)设函数)(x f 连续,?=10d )()(t xt f x g ,且A x x f x =→) (lim 0,A 为常数,求) (x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证: (1)?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ; (2)2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、(10分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程. 六、(10分)设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线 与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、(15分)已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n , 且n e u n =)1(, 求函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、(10分)求- →1x 时, 与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量. 高数竞赛预赛试题(非数学类) (参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书 及相关题目,主要是一些各大高校的试题。) 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分,共20分) 1.计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=, v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u (*) 令u t -=1,则21t u -= dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-, ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2.设)(x f 是连续函数,且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f , A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3.曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 第七届全国大学生数学竞赛决赛试题 答案(非数学类) 2016年3月27日 填空题(5 >6分=30分) 1.程微分方 y 一 (y ) = 0的通解是 _________ 解:令y 二P ,则y = p ,贝U dp = p 3 dx ,积分得到-g p ,= X -G ,即 ―1 _______________________ p = y = = _ ,积分得 y =C2±J2(G —x) (&2为常数). p 2(G -x ) * 2. __________________________________________________________ 设D: 1兰x 2 + y 2 兰4,则积分I = J ] (x + y 2 $專刊* dxdy 的值是 _____________________ t Xjf SdS 3. 设ft 二阶连续可导,且f t =o ,若 y 二f t , 则 a dx 2 I 解:dx 二 f tdt , dy = f ' t dt ,所以史二U ,则得 dx f t d 2 y _ d f (t )]dt _ f (t )f (t 卜 f (t f dx 2 dt i f (t )J dx f 3(t ) 4. 设'1,' 2,…,’n 是n 阶方阵A 的特征值,f X 为多项式,则矩阵f A 的行列式的值为 ________ 解: f (A 卜f (匕)f (扎 2 广f (匕) 5. 极限 lim.hsin (二n!e ) 的值为 ____ 解: 卫 2 2 I = 4e 4 °2d 二 r 2sin 2 廿 rdr 1 4 =—e^ ue 』du = — (2e 3 - 5)(对称性和极坐标) ■: 4 大学生数学竞赛(非数学类)试卷及标准答案 考试形式: 闭卷 考试时间: 120 分钟 满分: 100 分. 一、填空(每小题5分,共20分). (1)计算) cos 1(cos 1lim 0 x x x x --+→= . (2)设()f x 在2x =连续,且2 ()3 lim 2 x f x x →--存在,则(2)f = . (3)若tx x x t t f 2)1 1(lim )(+=∞→,则=')(t f . (4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ,则()xf x dx '?= . (1) 2 1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2ln ln 2. 二、(5分)计算 dxdy x y D ?? -2,其中 1010≤≤≤≤y x D ,:. 解: dxdy x y D ??-2 = dxdy y x x y D )(2 1:2 -??<+ ??≥-2 2:2 )(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(20 21 -??+dy x y dx x )(1 210 2??- -------------4分 = 30 11 -------------5分. 姓名: 身份证号 所在院校 年级 专业 线 封 密 注意:1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记. 三、(10分)设)](sin[2 x f y =,其中f 具有二阶 导数,求22dx y d . 解: )],(cos[)(222x f x f x dx dy '=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22 222222222 2x f x f x x f x f x x f x f dx y d '-''+'=-----7分 =)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分. 四、(15分)已知3 1 23ln 0 = -?? dx e e a x x ,求a 的值. 解: )23(232 123ln 0ln 0 x a x a x x e d e dx e e --- =-??? ---------3分 令t e x =-23,所以 dt t dx e e a a x x ?? --=-?231 ln 0 2123---------6分 =a t 231 2 33 221-?-------------7分 =]1)23([31 3--?-a ,-----------9分 由3123ln 0=-??dx e e a x x ,故]1)23([313--?-a =3 1 ,-----------12分 即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分 所以2 3 =a -------------15分.原创!!全面大学生数学竞赛试题
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