2016年第八届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类）试卷及参考答案一、填空题(满分30分，每小题5分)1．若()f x 在点x a =处可导，且()0f a ≠，则()()1/lim n n f a n f a →+∞⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.【参考解答】：由于 101lim limxx x x f a f a x x f a f a , 由已知条件： f x 在点x a 处可导，且 0f a ，由带皮亚诺余项的泰勒公式，有()()()()()f x f a f a x a o x a '=+-+-可得()()()()f a x f a f a x o x '+=++，将其代入极限式，则有111011lim1lim lim lim 1lim 1.n xxxn n x f a x o x x f a f a o x f a f a x o x f a x f a f a n f a x f a f a x o x f a x o x f a f a f a f a x o x ee f a2．若()()10,1f f '=存在，则极限()220sin cos tan 3lim1sin x x f x x xI e x →+==⎛⎫⎪- ⎪⎪ ⎝⎭.【参考解答】：22220sin cos 3sin cos lim3limx x f x x xf x x I x x x 22220sin cos 1sin cos 13lim sin cos 1x f x x f x x x x x 2222200sin cos 1sin cos 131lim 31lim x x x x x x f f x x x133111.22f f 3．设()f x 有连续导数，且()1 2.f = 记()2x z f e y =，若zz x∂=∂，()f x 在0x >的表达式为.【参考解答】：由题设，得222x x x zf e y e y f e y x. 令2x u e y ，得到当0u ,有 f u u f u ,即1ln ln .f u f u u f u u所以有 1ln ln , f u u C f u Cu . 再由初值条件 12 f ，可得2C =，即 2f u u .所以当0x 时，有 2.f x x 4．设()sin 2x f x e x =，则()()40f=.【参考解答】：由带皮亚诺余项余项的麦克劳林公式，有323341111222!3!3!f x x x x o x x x o x所以 f x 展开式的4次项为 3441223!3!x x x x ，即有4014!f ，故 4024.f 5．曲面222x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程为.【参考解答】： 移项，曲面的一般式方程为 22,,02x F x y z y z ，有,,,,,2,1x y z n x y z F F F x y . ()()()121221,,//,,//,,n x y z n x y ⇒--，可得21.221x y 由此可得2,1 x y ，将它代入到曲面方程，可得3 z ，即曲面上点()213,,处切平面与已知平面平行，所以由平面的点法式方程可得切平面方程为222130x y z ，即22 3.x y z 第二题： (14分)设()f x 在[0,1]上可导，()00f =，且当()0,1x ∈，()01f x '<<. 试证：当()0,1a ∈时，有()()2300d d .a a f x x f x x ⎛⎫ ⎪> ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ 【参考解答】：不等式的证明转换为证明不等式2300.aaf x dx f x dx 于是对函数求导，302xF x f x f t dt f x202xf x f t dt f x 已知条件 00f ，可得()00F '=，并且由 01f x ，所以函数()f x 在()01,内单调增加，即()0f x >，所以只要证明 220 xg x f t dt f x .又()00g =，所以只要证明()0g x '>，于是有22210g x f x f x f x f x f x 所以()g x 单调增加，所以 0,0g x x . 所以也就有 202xg x f t dt f x ，即()0F x '>，可得()0F x >，因此230xxF x f t dtf t dt单调增加，所以()()00F a F >=，即有2233aaaaF a f t dt f t dt f t dt f t dt.第三题：(14分)某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z ++≤++，密度函数为222x y z ++，求质量()222d d d .M xy z x y z=++⎰⎰⎰【参考解答】：令111222,,u x v y w z ⎫⎪=-=-=-⎪⎪⎭，即111222,,x u y v z =+=+=+,则椭球面转换为变量为,,u v w 的单位球域，即222:1 uvw u v w . 则由三重积分的换元法公式，即222,,,,.,,uvwx y z M x y z dxdydz F u v w dudvdw u v w2222221113,,22224w F u v w u v u u v v10,,01,,00x x x uv w x y z yy y u v w uv w z y yuv w所以原积分就等于222324uvw w M u u v v由于单元圆域222:1 uvwu v w关于三个坐标面都对称，所以积分也就等于2222uvw uvw w M uv dudvdw dudvdwuvwdudvdw由于积分区域具有轮换对称性，所以有222uvwuvwuvwu dudvdw v dudvdw w dudvdw222222255226uvw uvw uvww u v dudvdw u dudvdw u v w dudvdw所以222222152122000021sin 2cos .255uvw uvw w u v dudvdw u v w dudvdw r d d r r dr所以最终的结果就为M=+=+=第四题：(14分)设函数()f x在闭区间0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有连续导数，()()00,1 1.f f==证明：()1111lim d.2nn kkn f x x fn n→∞=⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-=-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭∑⎰【参考解答】：将区间0,1n等份，分点kkxn，则1kxn，且111111lim lim kkn n nxk kxn nk k kkn f x dx f n f x dx f x xn n1111lim limk kk kn nx x kk kx xn nk k kf x f xn f x f x dx n x x dxx x111lim,,kkn xk kk k k kxnk k kf f xn x x dx x xx1211111011lim lim2111lim.222kkn nxk k k k kxn nk knk k knkn f x x dx n f x xf x x f x dx第五题：(14分)设函数()f x在区间0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，且()1d0.I f x x=≠⎰证明：在()0,1内存在不同的两点12,x x，使得()()12112.If x f x+=【参考解答】：设1,xF x f t dtI则00,1 1.F F由介值定理，存在0,1，使得1.2F 在两个子区间0,,,1上分别应用拉格朗日中值定理：11122201/2,0,,11/2,,1,11f x F FF x xIf x F FF x xI12121112.1/21/2I If x f x F x F x第六题：(14分) 设()f x在(),-∞+∞上可导，且()()(2f x f x f x=+=+，用傅里叶(Fourier)级数理论证明()f x为常数。
