全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

全国数学能力竞赛试题及答案试题一：代数基础题目：解下列方程组：\[ \begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases} \]答案：将第一个方程乘以2得到 \( 2x + 2y = 10 \)，然后将其与第二个方程相加，得到 \( 3x = 11 \)，解得 \( x = \frac{11}{3} \)。

将 \( x \) 的值代入第一个方程，解得 \( y = 5 - \frac{11}{3} = \frac{4}{3} \)。

试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB的长度。

答案：根据勾股定理，AB的长度可以通过以下公式计算：\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]试题三：概率统计题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求至少有1个红球的概率。

答案：首先计算没有红球的概率，即两个球都是蓝球的概率，为\( \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} \)。

因此，至少有1个红球的概率为 \( 1 - \frac{6}{56} = \frac{50}{56} = \frac{25}{28} \)。

试题四：数列与级数题目：数列 \( \{a_n\} \) 满足 \( a_1 = 1 \) 且 \( a_{n+1} = 2a_n \)，求 \( a_5 \) 的值。

答案：根据数列的递推关系，可以依次计算出：\[ a_2 = 2a_1 = 2 \]\[ a_3 = 2a_2 = 4 \]\[ a_4 = 2a_3 = 8 \]\[ a_5 = 2a_4 = 16 \]试题五：组合数学题目：从10个人中选出3个人组成一个委员会，求不同的委员会组合数。

一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

高等数学竞赛最新试题及答案高等数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)的顶点坐标是：A. (2, -1)B. (1, 0)C. (2, 1)D. (2, -1)2. 已知\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \)的值是：A. 1B. 0C. 3D. 无法确定3. 曲线\( y = x^3 - 2x^2 + x \)在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 24. 以下哪个级数是发散的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)5. 函数\( f(x) = \sin x + \cos x \)的周期是：A. \( \pi \)B. \( 2\pi \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \pi \)6. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = \sin x \)7. 已知\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，求\( \int_{0}^{1} x^3 dx \)的值是：A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( 1 \)8. 以下哪个是二阶常系数线性微分方程？A. \( y'' + 3y' + 2y = 0 \)B. \( y' + y = x^2 \)C. \( y'' + y' = 0 \)D. \( y'' - 2y' + y = \sin x \)9. 以下哪个是二元函数的偏导数？A. \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \)B. \( \frac{\partial f}{\partial x} \)C. \( \frac{\partial f}{\partial y} \)D. \( \frac{d^2f}{dx^2} \)10. 已知\( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \)，那么\( f(x) \)是：A. 常数B. 有界函数C. 无穷小量D. 无穷大量二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数\( f(x) = \sqrt{x} \)的定义域是_________。

高数竞赛预赛试题〔非数学类〕〔参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

〕2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x D d d 1)1ln()(，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令vx u y x ==+,，那么vu y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v u uv u u u u u〔*〕令u t -=1，那么21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)t t t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 那么=)(x f .解:令⎰=20d )(x x f A ，那么23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得。

因此。

3．曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面22=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

大学生高等数学竞赛试题汇总与答案大学生高等数学竞赛试题汇总与答案1.试题一：已知函数f(x)在区间[0, 1]上连续，且f(0) = 0，f(1) = 1，若对任意的x ∈ [0, 1]，都有f(x) ≤ x，证明函数f(x)在区间[0, 1]上存在唯一的根。

解答：首先，由题意可知，函数f(x)在区间[0, 1]上连续，且f(0) = 0，f(1) = 1，即函数f(x)在区间[0, 1]的端点值分别为0和1。

假设存在两个不同的根x1和x2，且0 ≤ x1 < x2 ≤ 1。

则根据题意有f(x1) = 0，f(x2) = 0。

由于f(x)在区间[0, 1]上连续，根据介值定理，对于任意的c ∈ (0, 1)，都存在一个介于x1和x2之间的数x0，使得f(x0) = c。

当c = 0时，根据题意有f(x1) = 0，所以x1也是f(x) = 0的根，与x1和x2不同的假设矛盾。

当c = 1时，根据题意有f(x2) = 0，所以x2也是f(x) = 0的根，与x1和x2不同的假设矛盾。

综上所述，假设不成立，即函数f(x)在区间[0, 1]上存在唯一的根。

2.试题二：已知函数f(x)在区间[0, +∞)上连续，且f(0) = 0，f(x) > 0，对任意的x > 0，且f'(x) > 0，证明函数f(x)在区间(0, +∞)上单调递增。

解答：根据题意可知，函数f(x)在区间[0, +∞)上连续，且f(0) = 0，f(x) > 0，对任意的x > 0，且f'(x) > 0。

假设存在两个不同的数x1和x2，且0 < x1 < x2。

由于f(x)在区间[0, +∞)上连续，根据介值定理，对于任意的c ∈ (0, f(x2))，都存在一个介于x1和x2之间的数x0，使得f(x0) = c。

根据函数的导数性质，当x > 0时，f'(x) > 0，即函数f(x)在区间(0, +∞)上单调递增。

第二届全国大学生数学竞赛决赛试题及解答一、(15分)求出过原点且和椭球面2224561x y z ++=的交线为一个圆周的所有平面.【解】 所述圆周过原点，则一定以原点为圆心，且在球面2222x y z R ++= ①上.因此，该球面与椭球面2224561x y z ++= ②的交线即为圆周.由①、②确定的平面也必包含此圆周.联立此二式，得2222221114560x y z R R R ⎛⎞⎛⎞⎛⎞−+−+−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 显然，当215R =时，有220x z −=，这是两相交平面x z =，0x z +=，即为所求.二、(15分)设()01f x <<，无穷积分()0d f x x +∞∫和()0d xf x x +∞∫都收敛.求证：()()()21d d 2xf x x f x x +∞+∞>∫∫.【证】令()0d f x x a +∞=∫，则()0,a ∈+∞.据题设条件()01f x <<，得()()()0d d d aaxf x x xf x x xf x x +∞+∞=+∫∫∫()()0d d a axf x x a f x x +∞>+∫∫()()()d d aaxf x x a a f x x =+−∫∫()()()0d 1d a axf x x a f x x =+−∫∫()()()0d 1d a axf x x x f x x >+−∫∫201d 2a x x a ==∫， 因此，得()()()21d d 2xf x x f x x +∞+∞>∫∫.三、(15分)设1nn na+∞=∑收敛，122n n n n k t a a ka +++=++++"".证明：lim 0n n t →∞=.【证】 首先，注意到1n n k k t ka +∞+==∑()1n k k kn k a n k+∞+==++∑,据题设条件1n n na +∞=∑收敛，可知()1n kk n k a +∞+=+∑收敛，而k n k ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭关于k 单调，且01k n k <<+即有界，故由Abel 判别法知()1n k k kn k a n k+∞+=++∑收敛，即n t 有意义. 因为1nn na+∞=∑收敛，所以0ε∀>，存在N +∈]，使得当n N >时，+n kk nR ka ∞==∑(),εε∈−.此时，对任何n N >以及1m >，有()111mmn kk n k n k k k kaR R n k ++++===−+∑∑11211m m k n k n k k k k R R n k n k +++==−=−++−∑∑ 1121111m n m n k n k m k k R R R n n m n k n k ++++=−⎛⎞=−+−⎜⎟++++−⎝⎠∑，于是，有1mn kk ka+=∑21111mk m kk n n m n kn k εε=−⎛⎞⎛⎞≤++−⎜⎟⎜⎟++++−⎝⎠⎝⎠∑22m n m εε=<+. 所以，2n t ε≤，()n N >，即lim 0n n t →∞=.四、(15分)设()n A M ∈^，定义线性变换:()()A n n M M σ→^^，()A X AX XA σ=−.证明：当A 可对角化时，A σ也可对角化.这里()n M ^是复数域^上n 阶方阵组成的线性空间.【证】取()n M ^的自然基{}:,1,2,ij E i j n ="，其中ij E 是(,)i j 元等于1，其它元均为0的n 阶矩阵.因为A 可对角化，所以存在可逆矩阵()n P M ∈^，使得112diag(,,,)n P AP λλλ−=Λ=".显然，{}1:,1,2,ij PE P i j n −="也是()n M ^的一组基，并且有11111()()()()()A ij ij ij ij ij i j ij PE P A PE P PE P A P E E P PE P σλλ−−−−−=−=Λ−Λ=−，所以A σ在基11111111,,,,,,n n nn PE P PE P PE P PE P −−−−"""下的矩阵为对角矩阵12111diag(0,,,,,,,,0)n n n n λλλλλλλλ−−−−−"""，这就是说，A σ可对角化.五、(20分)设连续函数:f →\\，满足()()(),sup x y f x y f x f y ∈+−−<+∞\.证明：存在实常数a 满足()sup x f x ax ∈−<+∞\.【证】 令()()(),sup x y M f x y f x f y ∈=+−−\，则+,,x m n ∀∈∈\`，有()()()f x y f x f y M +−−≤， ①()((1))()f nx f n x f x M −−−≤.于是，有()()()2()((1))()1nk f nx nf x f kx f k x f x n M nM =−≤−−−≤−≤∑. ②因此()()()()()()()nf mx mf nx nf mx f mnx f mnx mf nx n m M −≤−+−≤+，()()11f mx f nx M m n n m ⎛⎞−≤+⎜⎟⎝⎠. 这表明函数列()f nx n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭在(,)−∞+∞上一致收敛，设其极限为()g x ，则()g x 是连续函数. 进一步，由不等式①，有()()()()f n x y f nx f ny M nn n n+−−≤，,;x y n +∀∈∈\`. 取极限，得()()()g x y g x g y +=+，,x y ∀∈\.由此可解得()()1g x g x ax ==.另一方面，再由②式，得()()f nx f x M n−≤. 令n →∞，得()()g x f x M −≤，x ∀∈\.从而()()sup x g x f x M ∈−≤<+∞\.故存在实常数a ，使得()sup x f x ax M ∈−≤<+∞\.六、(20分) 设:()n M ϕ→\\是非零线性映射，满足()()XY YX ϕϕ=，,()n X Y M ∀∈\，这里()n M \是实数域\上n 阶方阵组成的线性空间.在()n M \上定义双线性型(-，-)：()()n n M M ×→\\\为(,)()X Y XY ϕ=.(1)证明(-，-)是非退化的，即若(,)0X Y =，()n Y M ∀∈\，则X O =； (2)设212,,,n A A A "是()n M \的一组基，212,,,n B B B "是相应的对偶基，即0,(,)1,.i j ij i j A B i j δ≠⎧==⎨=⎩当,当 证明21n i ii A B =∑是数量矩阵.【证】(1)先确定ϕ的结构.取()n M \的自然基{}:,1,2,ij E i j n ="，其中ij E 是(,)i j 元等于1，其它元均为0的n 阶矩阵.令()ji ij c E ϕ=，则()()ij n C c M =∈\.()n A M ∀∈\，有1111()()tr()n n n nij ij ij ji i j i j A a E a c AC ϕϕ=======∑∑∑∑.根据题设，()()XY YX ϕϕ=，,()n X Y M ∀∈\，所以tr()tr()tr()YCX XYC YXC ==.因此XC CX =.由于X 的任意性，知C E λ=为数量矩阵.于是有()tr()A A ϕλ=，()n A M ∀∈\.因为0ϕ≠，所以0λ≠.现在，如果(,)tr()0X Y XY λ==，()n Y M ∀∈\，取TY X =，那么X O =. (2)令()ii pqA a =，()i i stB b =.设21n pq pq ii i E B ε==∑，利用{}i A 与{}j B 的对偶性，有()()21,,n pq pq jpqijij i A E A B εε===∑.另一方面，由(1)的结果，有(),tr()j j pq j pq qpA E A E a λλ==，所以21n i pq qpi i E aB λ==∑.比较等式两边的(,)s t 元，得211n i i qp st ps qt i a b δδλ==∑.注意到，pq st qs pt E E E δ=，因此，有22211,1, 1,1, 11,1,11n n n n n n n n n i i i ii i pq pq st st pq st qs pt pt qs pti i p q s t p q s t i s t p q n A B a E b E a b E E E δδδλλ=========⎛⎞⎛⎞====⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑∑∑∑∑∑.。

一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

大三数学竞赛试题及答案题目一：极限问题题目描述：求下列极限：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0或无穷大时，可以使用洛必达法则。

由于分子和分母都趋向于0，我们可以对分子和分母同时求导数，得到：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1 \]题目二：微分方程问题题目描述：解下列微分方程：\[ y'' - y' - 6y = 0 \]答案：这是一个二阶线性常系数齐次微分方程。

设其特征方程为：\[ r^2 - r - 6 = 0 \]解得特征根为 \( r_1 = 3 \) 和 \( r_2 = -2 \)。

因此，微分方程的通解为：\[ y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-2x} \]题目三：级数问题题目描述：判断级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \) 的收敛性，并求其和。

答案：这个级数可以通过部分分式分解来化简：\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} \]解得 \( A = 1 \) 和 \( B = -1 \)，因此：\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \]利用级数的可加性，我们发现这是一个可裂项求和的级数，其和为：\[ S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots = 1 \]题目四：多元函数微分问题题目描述：设函数 \( f(x, y) = x^2y + y^3 - 3x \)，求 \( f \) 在点\( P(1, 1) \) 处的偏导数 \( f_x \) 和 \( f_y \)。

高等数学竞赛试题１一、填空：1．若()⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=,x ,a x ,x f x x x01e 0,arctan e 122sin 是()+∞∞-,上旳持续函数,则a = -1 。

２．函数x x y 2sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2上旳最大值为332+π 。

3.()=+⎰--22d e x x x x26e 2-- 。

4.由曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周得到旳旋转面在点()230,,处旳指向外侧旳单位法向量为{}32051,,。

5．设函数()x,y z z =由方程2e =+----xy z x x y z 所确定,则=z d ()y x x x xy z xy z d d e 1e 1-1+++---- 。

二、选择题:1． 设函数 f (x ）可导,并且()50='x f ，则当0→∆x 时，该函数在点0x处微分ｄy 是y ∆旳( A ）(A ）等价无穷小; （B )同阶但不等价旳无穷小; (Ｃ）高阶无穷小； （D ）低阶无穷小。

2． 设函数ｆ (x )在点x = a 处可导,则()x f 在点x = ａ处不可导旳充要条件是（ C ) （A ）f (a ) = ０,且()0='a f ； （B )ｆ (ａ)≠0，但()0='a f ; （C )f (a ) ＝ ０,且()0≠'a f ； （D )f (a )≠0，且()0≠'a f 。

3． 曲线12+-+=x x x y （ Ｂ )(Ａ)没有渐近线; (B ）有一条水平渐近线和一条斜渐近线； （C )有一条铅直渐近线; (Ｄ）有两条水平渐近线。

4．设()()x,y x,y f ϕ与均为可微函数,且()0≠'x,y yϕ。

已知()00,y x 是()x,y f 在约束条件()0=x,y ϕ下旳一种极值点,下列选项中旳对旳者为（ D )（A )若()00=',yx f x，则()00=',yxf y ; (B )若()00=',yx f x，则()00≠',yxf y；(C )若()00≠',yx f x,则()00=',yxf y; (D ）若()00≠',yx f x,则()00≠',yxf y。

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解:令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

全国大学生数学竞赛赛试题(19届)一、试题概述全国大学生数学竞赛是由中国数学会主办的一项面向全国高校本科生的数学竞赛。

自2009年首届竞赛举办以来，已成功举办九届。

竞赛旨在激发大学生对数学的兴趣，提高他们的数学素养和综合能力，同时选拔优秀数学人才。

每届竞赛均设有预赛和决赛两个阶段，预赛为全国范围内的统一考试，决赛则在全国范围内选拔出的优秀选手中进行。

二、竞赛内容全国大学生数学竞赛的试题内容主要包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计等基础数学知识。

试题难度适中，既考查参赛选手的基础知识掌握程度，又注重考查他们的综合应用能力和创新思维能力。

三、竞赛特点1. 公平公正：竞赛试题由全国数学教育专家命题，确保试题质量，保证竞赛的公平公正。

2. 注重基础：竞赛试题主要考查参赛选手对基础数学知识的掌握程度，有利于引导大学生重视基础数学学习。

3. 综合应用：试题设计注重考查参赛选手的综合应用能力，培养他们的创新思维和实践能力。

4. 激发兴趣：竞赛通过丰富多样的试题形式，激发大学生对数学的兴趣，培养他们的数学素养。

四、竞赛组织全国大学生数学竞赛由各省、市、自治区数学会负责组织本地区的预赛，中国数学会负责全国范围内的决赛。

竞赛组织工作包括试题命制、竞赛宣传、选手选拔、竞赛监督等环节，确保竞赛的顺利进行。

五、竞赛影响全国大学生数学竞赛自举办以来，受到了广大高校和数学爱好者的广泛关注和热情参与。

竞赛不仅为优秀数学人才提供了展示才华的舞台，也为全国高校数学教育提供了有益的借鉴和启示。

通过竞赛，大学生们不仅提高了自己的数学水平，还结识了许多志同道合的朋友，拓宽了视野，激发了学习热情。

六、竞赛历程自2009年首届全国大学生数学竞赛举办以来，竞赛规模逐年扩大，影响力不断提升。

参赛选手涵盖了全国各大高校的本科生，包括综合性大学、理工科院校、师范院校等。

随着竞赛的普及，越来越多的学生开始关注并参与其中，竞赛逐渐成为衡量高校数学教育水平和学生数学素养的重要标志。

高数竞赛预赛试题〔非数学类〕〔参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

〕2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题〔每题5分，共20分〕1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,，那么v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，令u t -=1，那么21t u -=2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 那么=)(x f .解:令⎰=20d )(x x f A ，那么23)(2--=A x x f ， 解得。

因此。

3．曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，那么.解:方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得 因)(29ln y f y xe e =，故，即，因此二、〔5分〕求极限x enx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 解:因 故 因此三、〔15分〕设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.解:由与函数)(x f 连续知，0)(limlim )(lim )0(000===→→→xx f x x f f x x x 因⎰=10d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(10===⎰f t f g ， 因此，当0≠x 时，，故 当0≠x 时，这说明)(x g '在0=x 处连续.四、〔15分〕平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：〔1〕⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；〔2〕2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .证:因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 〔1〕y x ye y xe x x ye y xe Dx y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=---而D 关于x 与y 是对称的，即知 因此 〔2〕因 故 由知即 2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe五、〔10分〕x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解设x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，那么x x e e y y 212-=--与x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111x f y y y =-'-''与 知，1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为六、〔10分〕设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点，故1=c ，于是 即而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令 得 即 因此七、〔15分〕)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且, 求函数项级数之与.解 即由一阶线性非齐次微分方程公式知 即 因此 由知，0=C ， 于是下面求级数的与：令 那么 即由一阶线性非齐次微分方程公式知 令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数的与 八、〔10分〕求-→1x 时, 与等价的无穷大量.解令2)(t x t f =，那么因当10<<x ，(0,)t ∈+∞时，2()2ln 0t f t tx x '=<，故xt t ex t f 1ln22)(-==在(0,)+∞上严格单调减。

高等数学竞赛试题一、求由方程032=-+xy y x所确定的函数()x y y =在()+∞,0内的极值，并判断是极大值还是极小值. 解：对032=-+xy y x两边求导得()2230x y y y xy ''+-+=，223y xy y x-'=- 令0y '=得2yx =，代入原方程解得11,84x y ==.()()()()()2111122,,,08484232613x y x y y y y x y x yy y yx '=====''-----''=-.故当18x =时，y 取极大值14.二、设xyyx u -+=1arctan ，求x u ∂∂, 22x u ∂∂.解：()()2211111xy yy x xy xy y x xu-++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=∂∂=211x+, 22x u ∂∂=()2212x x +-三、计算曲线积分⎰+-=Lyx ydxxdy I224，其中L 是以点（1，0）为中心，R 为半径的圆周,0>R 1≠R ,取逆时针方向.解：()224,yx yy x P +-=, ()224,y x x y x Q +=, 当()()0,0,≠y x 时,()x Qyx x y y P ∂∂=+-=∂∂2222244， 当10<<R 时()D ∉0,0,由格林公式知,0=I .当1>R 时, ()D ∈0,0,作足够小的椭圆曲线⎪⎩⎪⎨⎧==θεθεsin cos 2:y x C ,θ从0到π2.当>ε充分小时,C 取逆时针方向,使D C ⊂,于是由格林公式得0422=+-⎰-+CL yx ydxxdy ， 因此⎰+-L y x ydx xdy 224⎰+-=C yx ydxxdy 224 =θεεπd ⎰202221 =π 四、设函数()x f 在()+∞,0内具有连续的导数，且满足()()()422222t dxdy y xfy x t f D+++=⎰⎰，其中D 是由222t y x =+所围成的闭区域，求当x ∈()+∞,0时()x f 的表达式.解：()()22402tf t d r f r rdr t πθ=+⎰⎰=()3404tr f r dr t π+⎰,两边对t 求导得()()3344f t t f t t π'=+，且()00f =，这是一个一阶线性微分方程，解得()()411t f t e ππ=-五、设dx x x a n n⎰=πsin ，求级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111n n na a 的和.解：令t n x -=π, 则()dt t t n a n n ⎰-=ππ0sin=n n a dt t n -⎰ππ0sin .sin 2n nn a t dt ππ=⎰2220sin sin 22n n t dt tdt n πππππ===⎰⎰.⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+1111111n n a a n n π.1n n k S =⎛⎫=-∑=n k =111n ⎫-⎪+⎭, =S 111n n ⎫-=⎪+⎭六、设()f x 在[)+∞,0上连续且单调增加，试证：对任意正数a ，b ，恒有()()()[]⎰⎰⎰-≥ba ba dx x f a dx x fb dx x xf 0021. 解：令()()0xF x x f t dt =⎰，则()()()0xF x f t dt xf x '=+⎰,()()()ba Fb F a F x dx '-=⎰=()()0bx a f t dt xf x dx ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()ba xf x xf x dx ≤⎡+⎤⎣⎦⎰ =()2baxf x dx ⎰,于是()()()()()001122bba axf x dx F b F a b f x dx a f x dx ⎡⎤≥⎡-⎤=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰. 七、设()v u ,ϕ具有连续偏导数，由方程()bz y az x --,ϕ=0确定隐函数()y x z z ,=，求yzb x z a ∂∂+∂∂. 解：两边对x 求偏导得1210z z a b x x ϕϕ∂∂⎛⎫⎛⎫''-+-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭g g ,两边对y 求偏导得1210z z ab y y ϕϕ⎛⎫⎛⎫∂∂''-+-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭g g , 112z x a b ϕϕϕ'∂=∂''+，212z x a b ϕϕϕ'∂=∂''+, yz b x z a ∂∂+∂∂=1.八、设nn x n121112----=Λ，判别数列{}n x 的敛散性.解：定义00x =，令1k k k u x x -=-，则1nk n k u x ==∑,当2n ≥时，1n n n u x x -=-=-,()21-==+.1lim 14n n u →∞=,由1n ∞=1n n u ∞=∑收敛，从而{}n x 收敛. 九、设半径为r 的球面∑的球心在球面0∑：()22220xy z R R ++=>上，问当r 为何值时，球面∑在球面0∑内部的那部分面积最大？解：由对称性可设∑的方程为()2222xy z R r ++-=，球面∑被球面0∑所割部分的方程为zR =z x ∂=∂, z x ∂=∂,=球面∑与球面0∑的交线在xoy 平面的投影曲线方程为422224r x y r R +=-，令l =所求曲面面积为()200l DSr d πθρ==⎰⎰,=222r r r R π⎛⎫- ⎪⎝⎭.令()0S r '=得驻点43r R =,容易判断当43rR =时，球面∑在球面0∑内部的那部分面积最大. 十.计算()ds yx y x IL⎰+-+=22221，其中曲线弧L 为：x y x 222=+，0≥y . 解： 22x x y-=, (1) 221xx x y --=',ds ==， (2)将(1)、(2)代入()ds y x y x IL⎰+-+=22221得 dx x x xI 220212-=⎰ =dx x⎰-2212 =4. 十一.计算曲面积分()3322231Ix dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑是曲面221y x z --=被平面0=z 所截出部分的上侧.解：记1∑为xoy 平面上被园221x y +=所围成的部分的下侧，Ω为由∑与0∑围成的空间闭区域.由高斯公式知()()13322222316x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑∑Ω+++-=++⎰⎰⎰⎰⎰Ò =()221126r d dr z r rdz πθ-+⎰⎰⎰=()()122320112112r r r r dr π⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦⎰ =2π.()221332122313x y x dydz y dzdx z dxdy dxdy ∑+≤++-=--⎰⎰⎰⎰=3π23I πππ=-=-。

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解:令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。