第九届全国大学生数学竞赛非数学类试题
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第九届全国大学生数学竞赛非数学类试题(预赛)
(2017年10月28日)
先自己做一遍,别看答案。填空题分值很高;有原题;不难。斯托克斯公式应会让很多同学忽略。
一、填空题(本题满分42分,共6小题,每小题7分)
1、已知可导函数()f x 满足0()cos 2()sin 1x f x x f t tdt x +=+⎰
则()f x =__________。
2
、极限(2limsin n →∞=____________。 3、设
(),w f u v =具有二阶连续偏导数,且,u x cy v x cy =-=+,其中c 为非零常数,则2
1xx yy w w c -=_____________。 4、设()f x 有二阶连续导数,且''(0)0=0(0)6f f f ==、(
),,则()24sin lim n f x x →∞=___________。
5、不定积分()sin 2sin 21sin x e x
I dx x -==-⎰______________。
6、记曲面222z x y =+
和z =围成空间区域为V ,则三重积分 _________V
zdxdydz =⎰⎰⎰。 二、(本题拿满分14分)设二元函数(),f x y 在平面上有连续的二阶偏导数,则任何角度α,定义一元函数,()()cos sin g t f t t ααα=,,若对任何α都有
22()()00dg t d g t dt dt
αα=>且,证明()0,0f 是(),f x y 的极小值。 三、(本题满分14分)(斯托克斯公式,以前没考过的。)
设曲线Γ为在2221,1,0,0,0x y z x z x y z ++=+=≥≥≥上从()1,0,0A 到(0,0,1B )的一段,求曲线积分I ydx zdy xdz Γ
=++⎰。 四、(本题满分15分)设函数()0f x >且在实数轴上连续,若对任意实数t ,有
()1t x e f x dx +∞
---∞≤⎰,则,()a b a b ∀<,有()22b a
b a f x dx -+≤⎰。 五、(本题满分15分)设{}n a 为一个数列,p 为固定的正整数,若
()lim n p n n a a λ+→∞-=,其中λ为常数,证明lim n n a n p λ→∞=。