全国大学生数学竞赛(数学类)模拟试题一

全国卷理科数学模拟试题一第Ⅰ卷一选择题：本题共12题，每小题5分，共60.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的.1．设集合{1,2,3,4},{1,2,3},{2,3,4}U M N ===，则)(N M C U I =（） A.{1,2}B.{2,3}C.{2,4}D.{1,4} 2.复数131iZ i -=+的实部是（） A ．2 B ．1C ．1-D ．4-3.设0.8log 0.9a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =,则a ，b ，c 的大小关系是() （A ）a b c <<（B ）a c b << （C ）b a c <<（D ）c a b <<4．如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c v v v满足,(,)c xa yb x y R =+∈v v v ，则x y +=A ．0B ．1C．D ．1355.下列说法:①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;②设有一个回归方程ˆｙ＝3-5x ,变量x 增加一个单位时,y 平均增加5个单位; ③回归方程ˆˆˆｙ＝bx+a 必过（x,y) ④有一个2×2列联表中,由计算得2k =13.079,则有99%的把握确认这两个变量间有关系.其中错误的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3P(2k ≥0k )0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6356．执行如图的程序框图，输出的S 值是（） A ．23-B ．23C ．0D ．37．等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于()A ．－1221B ．－21．5C ．－20．5D ．－208．下列命题中正确的是（）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分必要条件 C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”D ．命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．则“10a >”是“32S S >”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （D ）既不充分又不必要条件（C ）充要条件10.某四棱柱的三视图如图所示，该几何体的各面中互相垂直的面的对数是（）A ．2B ．4C ．6D ．811.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（）.52A B.246+ C.27+ D.2612.已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是()（A ）2a <（B ）2a >（C ）22a -<<（D ）2a >或2a <-第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2ne e
n
1 ln(2 − 1 ) − (1 + ln 2) 1 − ln(1 − 1 ) > 0 ,为此引入辅助函数
n
n
n
n
g(x) = x ln(2 − x) − (1 + ln 2)x − ln(1 − x)(0 < x < 1) ,只需要证明 g(x) > 0 .
g′(x) = ln(2 − x) − x − (1 + ln 2) + 1 ,
适合 2016-2017 年全国大学生数学竞赛（非数学类）
汪宏喜教授设计选编
2016 年全国大学生数学竞赛模拟试卷（一）
考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.
一、下列各题（共 24 分,每小题各 6 分,要求写出重要步骤）.
（ 1 ） 设 函 数 f (x) 在 点 x = 0 处 有 定 义 , 且 f (0) = 1 , lim ln(1 − x) + sin x ⋅ f (x) = 0 . 求 x→0 ln(1 + x) ⋅ arctan x
.
∫ ∫ | ∫ 解：
π 2
f (x)dx = 2
π
2 f (x)d
π
π
x = 2 f (x) x 2 − 2 2
xdf (x)
0x
0
0
0
∫ ∫ ∫ π
=− 2
1 dx （令 t = tan x ） = −
0 1 + t;
1 t)(1 +
t
2
dx )
=
1 2
+∞ ⎜⎛ − 0⎝
c
线.
（1）求 f (x), g(x) 使得 f (0) = g(0) = 0 .（2）计算任一条曲线从点 (0,0) 到 (1,1) 积分.

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学(一)试卷及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 若函数f(x) = x² - 2x + 1在区间（0，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A. a ≥ 1B. a ≤ 1C. a > 1D. a < 1【答案】A2. 若直线y = kx + b与圆x² + y² = 4相切，则k与b满足的条件是（）A. k² + b² = 4B. k² + b² < 4C. k² + b² ≥ 4D. k² + b² > 4【答案】C3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 12，S6 = 27，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B4. 设函数g(x) = |x - 2|，若g(x)在区间（-∞，0）上是减函数，则实数x的取值范围是（）A. x ≤ 2B. x ≥ 2C. x < 2D. x > 2【答案】C5. 若函数y = f(x)的图像关于点（1，2）对称，则f(3)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D6. 若直线y = kx + b与圆x² + y² = 1相切，则k与b满足的条件是（）A. k² + b² = 1B. k² + b² < 1C. k² + b² ≥ 1D. k² + b² > 1【答案】A7. 已知函数y = f(x)在区间（0，+∞）上是增函数，且f(1) = 2，则f(2)的值（）A. 大于2B. 等于2C. 小于2D. 无法确定【答案】A8. 若函数y = f(x)的图像关于直线x = 2对称，则f(1)的值为（）A. f(3)B. f(2)C. 2f(2)D. 0【答案】A二、填空题（每题5分，共30分）9. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 12，S6 = 27，则首项a1的值为______。

x 1 所围图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小， 试求此时该平面图形的
面积。
1
程
3. 设函数 y y ( x ) 由方程 e f ( y ) e y ln 2017 确定，其中且 f 1 ，则 xy (1 f ( y ))
1 cos x cos 2 x 3 cos 3 x n cos nx ，其中 n 是给定的正整数。 x 0 x2
，
严
禁
六、设函数 f ( x ) 在 ( , ) 上具有二阶导数，并且 f ( x) 0, f (a) 0, f (a) 0 ，
哈
（※） 设函数 f ( x ) 在 a, b 上存在n阶导数 ， 且 f (a)=f (b) f (b) f ( n 1) (b) 0 。 试证明 f ( n ) ( x ) 0在 a, b 内至少有一个实根。
f ( x 2 t )dt f ( xy )dxdy , 其 中
D
资
则 f ( x)dx =____________。 D是以( 1, 1), (1, 1), (1,1) 为顶点的三角形，f (1) 0 ，
料
部
( ※ ) 设 f ( x ) 是 连 续 函 数 ， 且 满 足 f ( x ) 1+
部
x (※)设数列 xn 对一切 m, n 满足条件 0 xm n xm xn ，试证明数列 n 收敛。 n
2
资
料
二、 设 lim an a, lim bn b, 证明 lim
，
（※）求幂级数

2n !
2x
2n
的和函数为____________。