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. . 首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案
（数学类，2009）
一、求经过三平行直线 L 1 : x = y = z ，L 2 : x −1 = y = z +1 ，L 3 : x = y +1 = z −1的圆 柱面的方程.
解： 先求圆柱面的轴 L 0 的方程. 由已知条件易知，圆柱面母线的方向
. . 是 n = (1,1,1) ， 且圆柱面经过点O (0, 0, 0) ， 过点O (0, 0, 0) 且垂直于 n = (1,1,1)
的平面π 的方程为： x + y + z = 0 .
π 与三已知直线的交点分别为O (0, 0, 0), P (1, 0, −1), Q (0, −1,1)
圆柱面的轴 L 0 是到这三点等距离的点的轨迹， 即
⎧⎪x 2 + y 2 + z 2 = ( x −1)2 + y 2 + ( z +1)2
⎨ ， ⎪⎩x 2 + y 2 + z 2 = x 2
+ ( y +1)2 + ( z −1)2
即
将 L 0 的方程改为标准方程
⎧x − z =
1 ⎨
y − z = −1 ，
x −1 = y +1 = z .
圆柱面的半径即为平行直线 x = y = z 和 x −1 = y +1 = z 之间的距离. P 0 (1, −1, 0)
为 L 0 上的点.
. . . 对圆柱面上任意一点 S ( x , y , z ) ， 有 | n × P 0 S | = | n × P 0O |
， 即
| n | | n |
(− y + z −1)2 + ( x − z −1)2 + (−x + y + 2)2 = 6 ，
所以，所求圆柱面的方程为：
x 2 + y 2 + z 2 − xy − xz − yz − 3x + 3 y = 0 .
二、设C n ×n 是 n × n 复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间，
n n −1 1 3 1 1 1 1 3
0 1 2
2 ⎛ 0 0 # 0 −a n ⎞
⎪ ⎪ ⎪ 1 0 # 0
F = ⎪ 0
1 # 0 −a n −1 ⎪ −a n −
2 ⎪ .
⎪ ⎪ ⎪ # # # #
# ⎪ ⎪ 0 0 # 1
−a 1 ⎪ ⎝
⎟
⎛ a 11
a 12 … a 1n ⎞
⎪ ⎪
（1）假设 A = ⎪ a
21
a 22 … a 2 n ⎪
，若 AF = FA ，证明：
⎪ … … … … ⎪
⎪ ⎪ ⎝ a n 1
a n 2 … a nn ⎟
A = a n 1F n −1 + a n −11F n −2 +… + a 21F + a 11E ；
（2）求C n ×n 的子空间C (F ) = {X ∈ C n ×n | FX = XF }的维数.
（1）的证明:记 A = (α1 ,α2 ,…,αn ) ， M = a n 1 F n −1 + a n −11 F n −2 +… + a 21F + a 11E .
要证明 M = A ，只需证明 A 与 M 的各个列向量对应相等即可.若以 e i 记第i 个
基本单位列向量.于是，只需证明：对每个i ， Me i = Ae i (= αi ) .
若记 β = (−a , −a ,…, −a )T
，则
F = (e 2 , e 3 ,…, e n , β ) .注意到，
2
n −1
n −2
Fe 1 = e 2 , F e 1 = Fe 2 = e 3 ,…, F e 1 = F (F e 1 ) = Fe n −1 = e n
由
（*）
Me = (a F n −1 + a F n −2 +… + a F + a E )e 1 n 1 n −11 21 11 1
= a F n −1e + a F n −2e +… + a Fe + a Ee
n 1
1
n −11
1
21
1
11
1
= a n 1e n + a n −11e n −1 +… + a 21e 2 + a 11e 1 = α1 = Ae 1
知 Me 2 = MFe 1 = FMe 1 = FAe 1 = AFe 1 = Ae 2
Me = MF 2e = F 2 Me = F 2 Ae = AF 2
e = Ae
……………
n −1
n −1
n −1
n −1
所以， M = A .
Me n = MF e 1 = F Me 1 = F Ae 1 = AF e 1 = Ae n
（2）解： 由（1），C (F ) = span {E , F , F 2 ,…, F n −1} ，
设 x E + x F + x F 2
+… + x n −1F n −1 = O ，等式两边同右乘 e 1 ，利用（*）得
θ = Oe 1 = ( x 0 E + x 1F + x 2 F +… + x n −1F n −1 )e 1
0 0 0
0 0 2
2
= x Ee + x Fe + x F 2 e +…
+ x F n −1e 0 1 1 1 2 1 = x 0 e 1 + x 1e 2 + x 2e 3 +… + x n −1e n
n −1 1
因 e 1 , e 2 , e 3 ,…, e n 线性无关，故， x 0 = x 1 = x 2 = … = x n −1 = 0
所以， E , F , F 2 ,…, F n −1 线性无关.因此， E , F , F 2 ,…, F n −1 是 C (F ) 的基，
特别地， dim C (F ) = n .
三、假设V 是复数域 C 上 n 维线性空间（ n > 0 ）， f , g 是V 上的线性变换.如果
fg − gf = f ，证明： f 的特征值都是 0，且 f , g 有公共特征向量.
证明 ：假设 λ0 是 f 的特征值，
W 是相应的特征子空间，即
W = {η ∈V | f (η) = λ0η} .于是，W 在 f 下是不变的.
下面先证明，λ0 =0.任取非零η ∈W ，记 m 为使得η, g (η), g
(η),…, g m (η) 线性相
关的最小的非负整数，于是，当 0 ≤ i ≤ m −1 时，η, g (η), g 2 (η),…, g i (η) 线性无关
0 ≤ i ≤ m −1 时令 W i = span {η, g (η), g 2 (η),…, g i −1 (η)} , 其中， W = {θ} . 因此，
dim W i = i （1 ≤ i ≤ m ），并且，W m = W m +1 = W m +2 = … . 显然， g (W i ) ⊆ W i +1 ，特别
地，W m 在 g 下是不变的.
下面证明，W m 在 f 下也是不变的.事实上，由 f (η) = λ0η ，知
fg (η) = gf (η) + f (η) = λ0 g (η) + λ0η
fg 2 (η) = gfg (η) + fg (η)
= g (λ0 g (η) + λ0η) + (λ0 g (η) + λ0η) = λ g 2 (η) + 2λ g (η) + λ η 根据
fg k (η) = gfg k −1 (η) + fg k −1 (η)
= g ( fg k −1 )(η) + fg k −1 (η)
用归纳法不难证明， fg k (η) 一定可以表示成η, g (η), g 2 (η),…, g k (η) 的线性组
合，且表示式中 g k (η) 前的系数为 λ .
因此，W m 在 f 下也是不变的，f 在W m 上的限制在基η, g (η), g
(η),…, g m −1 (η)
