matlab时域采样定理

MATLAB实现抽样定理探讨及仿真应用 MATLAB 实现抽样定理探讨及仿真一． 课程设计的目的利用MATLAB ，仿模信号抽样与恢复系统的实际实现，探讨过抽样和欠抽样的信号以及抽样与恢复系统的性能。

二． 课程设计的原理模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs ，重复出现一次。

为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。

时域采样定理从采样信号恢复原信号必需满足两个条件： (1)必须是带限信号，其频谱函数在 ＞ 各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号才能适用采样定理。

）(2) 取样频率不能过低，必须 ＞2 （或 ＞2）。

（对取样频率的要求，即取样频率要足够大，)(t f )()(t t s S T δ=)(t f s 连续信号取样脉冲信号抽样信号)(ωj H )(0t f 理想低通滤波器恢复信号设信号)(t f 被采样后形成的采样信号为)(t f s，信号的重构是指由)(t f s经过内插处理后，恢复出原来信号)(t f 的过程。

又称为信号恢复。

若设)(t f 是带限信号，带宽为mω，经采样后的频谱为)(ωj F s。

设采样频率msωω2≥，则由式（9）知)(ωj F s是以sω为周期的谱线。

现选取一个频率特性⎪⎩⎪⎨⎧><=ccsT j H ωωωωω0)(（其中截止频率cω满足2sc mωωω≤≤）的理想低通滤波器与)(ωj F s 相乘，得到的频谱即为原信号的频谱)(ωj F 。

显然，)()()(ωωωj H j F j F s=，与之对应的时域表达式为)(*)()(t f t h t f s = （10）而∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=n s s n s s nT t nT f nT t t f t f )()()()()(δδ)()]([)(1t Sa T j H F t h ccsωπωω==- 将)(t h 及)(t f s代入式（10）得∑∞-∞=-==n scscsccss nT t Sa nT f T t Sa T t f t f )]([)()(*)()(ωπωωπω （11） 式（11）即为用)(snT f 求解)(t f 的表达式，是利用MATLAB 实现信号重构的基本关系式，抽样函数)(t Sa cω在此起着内插函数的作用。

目录第1章摘要 (1)第2章基本原理 (2)第3章实验步骤.....................................................................５第4章 MATLＡＢ实现编程 (5)第５章实验结果与分析 (8)5、1程序分析………………………………………………………………８5、２信号得波形及幅度频谱 (8)5、3 结果分析 (9)第6章总结...........................................................................１2参考文献 (13)第1章摘要一、数字信号处理数字信号处理就是将信号以数字方式表示并处理得理论与技术。

数字信号处理与模拟信号处理就是信号处理得子集.数字信号处理得目得就是对真实世界得连续模拟信号进行测量或滤波。

因此在进行数字信号处理之前需要将信号从模拟域转换到数字域,这通常通过模数转换器实现。

而数字信号处理得输出经常也要变换到模拟域，这就是通过数模转换器实现得。

数字信号处理得算法需要利用计算机或专用处理设备。

数字信号处理技术及设备具有灵活、精确、抗干扰强、设备尺寸小、造价低、速度快等突出优点,这些都就是模拟信号处理技术与设备所无法比拟得。

数字信号处理得核心算法就是离散傅立叶变换（ＤFT），就是ＤFT使信号在数字域与频域都实现了离散化,从而可以用通用计算机处理离散信号。

而使数字信号处理从理论走向实用得就是快速傅立叶变换(FFT）,FＦＴ得出现大大减少了DＦT得运算量，使实时得数字信号处理成为可能、极大促进了该学科得发展。

随着大规模集成电路以及数字计算机得飞速发展，加之从60年代末以来数字信号处理理论与技术得成熟与完善，用数字方法来处理信号,即数字信号处理，已逐渐取代模拟信号处理。

随着信息时代、数字世界得到来，数字信号处理已成为一门极其重要得学科与技术领域.二、实验目得本次课程设计应用ＭATＬAB验证时域采样定理。

MATLAB实现抽样定理探讨及仿真应用 MATLAB 实现抽样定理探讨及仿真一． 课程设计的目的利用MATLAB ，仿模信号抽样与恢复系统的实际实现，探讨过抽样和欠抽样的信号以及抽样与恢复系统的性能。

二． 课程设计的原理模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs ，重复出现一次。

为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。

时域采样定理从采样信号恢复原信号必需满足两个条件： (1)必须是带限信号，其频谱函数在 ＞ 各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号才能适用采样定理。

）(2) 取样频率不能过低，必须 ＞2 （或 ＞2）。

（对取样频率的要求，即取样频率要足够大，)(t f )()(t t s S T δ=)(t f s 连续信号取样脉冲信号抽样信号)(ωj H )(0t f 理想低通滤波器恢复信号采得的样值要足够多，才能恢复原信号。

）如果采样频率大于或等于，即（为连续信号的有限频谱），则采样离散信号能无失真地恢复到原来的连续信号。

一个频谱在区间（-，）以外为零的频带有限信号，可唯一地由其在均匀间隔（＜）上的样点值所确定。

根据时域与频域的对称性，可以由时域采样定理直接推出频域采样定理。

(a)(b)(c)图2.1抽样定理a) 等抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠） b) 高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）c) 低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠） 2.1信号采样如图1所示，给出了信号采样原理图信号采样原理图（a ）由图1可见，)()()(t t f t f s T sδ⋅=，其中，冲激采样信号)(t sT δ的表达式为：∑∞-∞=-=n sT nT t t s)()(δδ其傅立叶变换为∑∞-∞=-n ss n )(ωωδω，其中ssT πω2=。

设)(ωj F ，)(ωj F s分别为)(t f ，)(t f s的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=n ss n s s s n j F T n j F j F )]([1)(*)(21)(ωωωωδωωπω若设)(t f 是带限信号，带宽为mω， )(t f 经过采样后的频谱)(ωj F s就是将)(ωj F 在频率轴上搬移至ΛΛ,,,,,02ns ssωωω±±±处（幅度为原频谱的sT 1倍）。

MATLAB实现抽样定理探讨及仿真抽样定理，也被称为Nyquist定理或香农定理，是一种关于信号采样的基本理论。

它的核心观点是：如果对信号进行合适的采样，并且采样频率大于信号中最高频率的两倍，那么原始信号可以从采样信号中完全或几乎完全地恢复。

在MATLAB中，我们可以实现抽样定理的探讨和仿真。

下面将详细介绍如何进行这样的实现。

首先，我们可以通过使用MATLAB内置的函数来生成一个连续时间的信号。

例如，我们可以使用sinc函数生成一个带宽有限的信号，其频率范围为[-F/2, F/2]，其中F是信号的最大频率。

以下是一个示例代码：```MATLABFs=100;%采样率Ts=1/Fs;%采样周期t=-1:Ts:1;%连续时间序列f_max = 10; % 信号最大频率signal = sinc(2*f_max*t); % 生成带宽有限的信号```然后，我们可以使用MATLAB的plot函数来显示生成的信号。

以下是一个示例代码：```MATLABplot(t, signal);xlabel('时间');ylabel('信号幅度');title('连续时间信号');```生成的图形将显示带宽有限的信号在连续时间域中的波形。

接下来，我们需要对信号进行离散化采样。

根据抽样定理，理想情况下，采样频率应大于信号中最高频率的两倍。

我们可以使用MATLAB的resample函数来进行采样。

以下是一个示例代码：```MATLABFs_new = 2*f_max; % 新的采样率Ts_new = 1/Fs_new; % 新的采样周期t_new = -1:Ts_new:1; % 新的时间序列signal_sampled = resample(signal, Fs_new, Fs); % 信号采样```然后，我们可以使用MATLAB的stem函数来显示采样后的信号。

以下是一个示例代码：```MATLABstem(t_new, signal_sampled);xlabel('时间');ylabel('信号幅度');title('离散时间信号');```生成的图形将显示采样后的信号在离散时间域中的序列。

实验一MATLAB验证抽样定理一、实验目的1、掌握脉冲编码调制（PCM）的工作原理。

2、通过MATLAB编程实现对时域抽样定理的验证，加深抽样定理的理解。

同时训练应用计算机分析问题的能力。

二、实验预习要求1、复习《现代通信原理》中有关PCM的章节；2、复习《现代通信原理》中有关ADPCM的章节；；3、认真阅读本实验内容，熟悉实验步骤。

4、预习附录中的杂音计，失真度仪的使用。

三、实验环境PC电脑，MA TLAB软件四、实验原理1、概述脉冲编码(PCM)技术已经在数字通信系统中得到了广泛的应用。

十多年来，由于超大规模集成技术的发展，PCM通信设备在缩小体积、减轻重量、降低功耗、简化调试以及方便维护等方面都有了显著的改进。

目前，数字电话终端机的关键部件，如编译码器(Codec)和话路滤波器等都实现了集成化。

本实验是以这些产品编排的PCM编译码系统实验，以期让实验者了解通信专用大规模集成电路在通信系统中应用的新技术。

PCM数字电话终端机的构成原理如图3-1所示。

实验只包括虚线框内的部分，故名PCM 编译码实验。

混合装置V oice发滤波器波器收滤编码器器码译分路路合发收图3-1 PCM 数字电话终端机的结构示意图ADPCM 是在DPCM 基础上逐步发展起来的，DPCM 的工作原理请参阅教材有关章节。

它在实现上采用预测基数减少量化编码器输入信号多余度，将差值信号编码以提高效率、降低编码信号速率，这广泛应用于语音和图像信号数字化。

ADPCM 中的量化器与预测器均采用自适应方式，即量化器与预测器的参数能根据输入信号的统计特性自适应于最佳式接近于最佳参数状态。

通常，人们把低于64Kbps 数码率的语音编码方法称为语音压缩编码技术，语音压缩编码方法很多，ADPCM 是语音压缩编码种复杂程度较低的一种方法。

它能在32Kbps 数码率上达到符合64Kbps 数码率的语音质量要求，也就是符合长途电话的质量要求。

2、 实验原理（1） PCM 编译码原理PCM 编译码系统由定时部分和PCM 编译码器构成，如图3-2所示图3-2 PCM 调制原理框图PCM 主要包括抽样、量化与编码三个过程。

应用 MATLAB 实现抽样定理探讨及仿真一． 课程设计的目的利用MATLAB ，仿模信号抽样与恢复系统的实际实现，探讨过抽样和欠抽样的信号以及抽样与恢复系统的性能。

二． 课程设计的原理模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs ，重复出现一次。

为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。

时域采样定理从采样信号恢复原信号必需满足两个条件：(1) 必须是带限信号，其频谱函数在＞ 各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号才能适用采样定理。

） (2) 取样频率不能过低，必须 ＞2 （或＞2）。

（对取样频率的要求，即取样频率要足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号。

）如果采样频率大于或等于，即（为连续信号的有限频谱），则采样离散信号能无失真地恢复到原来的连续信号 。

一个频谱在区间（- ，）以外为零的频带有限信号，可唯一地由其在均匀间隔 （＜）上的样点值所确定。

根据时域与频域的对称性，可以由时域采样定理直接推出频域采样定理。

(a)(b))(t f )()(t t s S T =)(t f s 连续信号取样脉冲信号抽样信号)(ωj H )(0t f 理想低通滤波器恢复信号(c)图2.1抽样定理a) 等抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠） b) 高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠） c) 低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）2.1信号采样如图1所示，给出了信号采样原理图信号采样原理图（a ）由图1可见，)()()(t t f t f s T s δ⋅=，其中，冲激采样信号)(t s T δ的表达式为：∑∞-∞=-=n sT nT t t s)()(δδ其傅立叶变换为∑∞-∞=-n s s n )(ωωδω，其中ss T πω2=。

设)(ωj F ，)(ωj F s 分别为)(t f ，)(t f s 的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=n ss n s s s n j F T n j F j F )]([1)(*)(21)(ωωωωδωωπω若设)(t f 是带限信号，带宽为m ω， )(t f 经过采样后的频谱)(ωj F s 就是将)(ωj F 在频率轴上搬移至ΛΛ,,,,,02ns s s ωωω±±±处（幅度为原频谱的s T 1倍）。

MATLAB实现抽样定理探讨及仿真抽样定理是信号处理与通信领域中的一个重要定理，它指出在进行信号采样时，为了避免失真和信息丢失，采样频率必须至少为信号带宽的两倍。

抽样定理还提供了信号的重构方法，可以从采样信号中恢复出原始信号的全部信息。

在这篇文章中，我们将使用MATLAB对抽样定理进行探讨，并进行相关的仿真实验。

首先，我们将介绍抽样定理的基本原理。

在信号处理中，信号可以被表示为时域函数或频域函数。

在时域中，信号可以用冲激函数的线性组合来表示，而在频域中，信号可以被表示为复指数函数的线性组合。

信号的带宽是指信号中包含的频率的范围，通常用赫兹（Hz）来表示。

根据抽样定理，为了准确地恢复信号，采样频率必须至少是信号带宽的两倍。

接下来，我们将使用MATLAB对抽样定理进行仿真实验。

首先，我们将生成一个具有限带宽的信号，并对其进行采样。

然后，我们将根据抽样定理的要求重新构建信号，以验证定理的有效性。

假设我们有一个信号x(t)，其频率范围为0至10赫兹，并且我们以20赫兹的采样频率对其进行采样。

我们可以使用MATLAB生成这个信号，并进行采样，代码如下所示：```matlabFs=20;%采样频率t=0:1/Fs:1-1/Fs;%1秒内的采样时刻x = sin(2*pi*10*t); % 10赫兹的正弦波信号stem(t,x);xlabel('时间（秒）');ylabel('幅度');title('原始信号');```接下来，我们将使用抽样定理的频率限制条件对信号进行重构，并绘制重构后的信号。

我们将使用插值的方法对采样信号进行重构，代码如下所示：```matlabt_recon = 0:1/(2*Fs):1-1/(2*Fs); % 重新构建信号时的采样时刻x_recon = interp1(t,x,t_recon); % 插值重构信号stem(t_recon,x_recon);xlabel('时间（秒）');ylabel('幅度');title('重构信号');```通过对原始信号和重构信号的比较，我们可以看到抽样定理的有效性。

一、实验名称：matlab验证时域采样定理二、实验目的本次课程设计应用MATLAB佥证时域采样定理。

了解MATLA瞅件，学习应用MATLA瞅件的仿真技术。

它主要侧重于某些理论知识的灵活运用，以及一些关键命令的掌握，理解，分析等。

初步掌握线性系统的设计方法，培养独立工作能力。

加深理解时域采样定理的概念，掌握利用MATLAB分析系统频率响应的方法和掌握利用MATLA限现连续信号采样、频谱分析和采样信号恢复的方法。

计算在临界采样、过采样、欠采样三种不同条件下恢复信号的误差，并由此总结采样频率对信号恢复产生误差的影响，从而验证时域采样定理。

三、实验原理MATLA跟一套功能十分强大的工程计算及数据分析软件，广泛应用于各行各业。

MATLAB是矩阵实验室之意。

除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。

1、对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。

2、设连续信号的的最高频率为fc,如果采样频率fs,那么采样信号可以唯一的恢复出原连续信号，否则会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。

四、实验步骤1、画出连续时间信号的时域波形及其幅频特性曲线，信号为(x)=sin(2*pi*60*t)+cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*30*t);2、对信号进行采样，得到采样序列，画出采样频率分别为80Hz,120Hz,150Hz时的采样序列波形；3、对不同采样频率下的采样序列进行频谱分析，绘制其幅频曲线，对比各频率下采样序列和的幅频曲线有无差别。

4、对信号进行谱分析，观察与3中结果有无差别。

5、由采样序列恢复出连续时间信号，画出其时域波形，对比与原连续时间信号的时域波形。

五、MATLAB实现编程%实现采样频谱分析绘图函数functionfz=caiyang(fy,fs)%第一个输入变量是原信号函数，信号函数fy以字符串的格式输入%第二个输入变量是采样频率fs0=10000;tp=0.1;t=[-tp:1/fs0:tp];k1=0:999;k2=-999:-1;m1=length(k1);m2=length(k2);f=[fs0*k2/m2,fs0*k1/m1];%设置原信号的频率数组w=[-2*pi*k2/m2,2*pi*k1/m1];fX1=eval(fy);FX1=fx1*exp(-j*[1:length(fx1)],*w);%求原信号的离散时间傅里叶变换figure%画原信号波形subplot(2,1,1),plot(t,fx1,'r')title('原信号'),xlabel('时间t(s)')%第二个输入变量是得到采样序列所用的采样频率T=1/fs;dt=T/10;tp=0.1;t=-tp:dt:tp;n=-tp/T:tp/T;TMN=ones(length(n),1)*t-n'*T*ones(1,length(t));fh=fz*sinc(fs*TMN);%由采样信号恢复原信号k1=0:999;k2=-999:-1;m1=length(k1);m2=length(k2);w=[-2*pi*k2/m2,2*pi*k1/m1];FH=fh*exp(-j*[1:length(fh)],*w);%figure%画恢复后的信号的波形subplot(2,1,1),plot(t,fh,'g'),st1=sprintf('由取样频率fs=%d',fs);st2='恢复后的信号,;st=[st1,st2];title(st),xlabel('axis([min(t),max(t),min(fh),max(fh)])line([min(t),max(t)],[0,0])%f=[10*fs*k2/m2,10*fs*k1/m1];%subplot(2,1,2),plot(f,abs(FH),'g')title('恢复后信号的频谱'),xlabel('axis([-100,100,0,max(abs(FH))+2]);%axis([min ⑴,max ⑴,min(fx1),max (仅1)])%subplot(2,1,2),plot(f,abs(FX1),'r')title('原信号幅度频谱'),xlabel('axis([-100,100,0,max(abs(FX1))+5])Ts=1/fs;%t1=-tp:Ts:tp;%f1=[fs*k2/m2,fs*k1/m1];%t=t1;%fz=eval(fy);%FZ=fz*exp(-j*[1:length(fz)]'*w);%figure%画采样序列波形subplot(2,1,1),stem(t,fz,'.'),title('取样彳言号'),xlabel('line([min(t),max(t)],[0,0])%画原信号幅度频谱 频率f(Hz),) %对信号进行采样 采样周期 采样时间序列 设置采样信号的频率数组 变量替换 获取采样序列 采样信号的离散时间傅里叶变换 时间t(s),) 画采样信号幅度频谱subplot(2,1,2),plot(f1,abs(FZ),'m') title(,取样信号巾I 度频谱'),xlabel('频率f(Hz),)%信号的恢复及频谱函数functionfh=huifu(fz,fs)%第一个输入变量是采样序列f1='sin(2*pi*60*t)+cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*30*t),;% fs0=caiyang(f1,80);%fr0=huifu(fs0,80);频率, 即 欠采样fs1=caiyang(f1,120);%fr1=huifu(fs1,120);频率, 临 界采样 fs2=caiyang(f1,150);% 频率, 即 过采样恢复后的信号的离散时间傅里叶变换 时间t(s),) 画重构信号的幅度频谱 设置频率数组 频率f(Hz),)主函数输入一个信号 fr2=huifu(fs2,150);原信号的波形及幅度频谱结果分析(1)频率fs<2fc时，为原信号的欠采样信号和恢复，采样频率不满足时域采样定理，那么频移后的各相临频谱会发生相互重叠，这样就无法将他们分开，因而也不能再恢复原信号。

时域采样理论与频域采样定理验证一、实验目的1时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。

要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。

二、实验原理及方法时域采样定理的要点是：(a)对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱)(ˆΩj X是原模拟信号频谱()a X j Ω以采样角频率s Ω（T s/2π=Ω）为周期进行周期延拓。

公式为：)](ˆ[)(ˆt xFT j X a a =Ω )(1∑∞-∞=Ω-Ω=n s a jn j X T （b ）采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的 频谱不产生频谱混叠。

利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。

理想采样信号)(ˆt xa 和模拟信号)(t x a 之间的关系为： ∑∞-∞=-=n a a nT t t x t x)()()(ˆδ对上式进行傅立叶变换，得到：dt e nT t t x j X t j n a a Ω-∞∞-∞-∞=⎰∑-=Ω])()([)(ˆδ dt e nT t t x t j n a Ω-∞-∞=∞∞-∑⎰-)()( δ＝在上式的积分号内只有当nT t =时，才有非零值，因此：∑∞-∞=Ω-=Ωn nT j aae nT xj X )()(ˆ上式中，在数值上)(nT x a ＝)(n x ，再将T Ω=ω代入，得到：∑∞-∞=-=Ωn nj aen x j X ω)()(ˆ上式的右边就是序列的傅立叶变换)(ωj eX ，即T j a e X j X Ω==Ωωω)()(ˆ上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，只要将自变量ω用T Ω代替即可。

频域采样定理的要点是： a) 对信号x(n)的频谱函数X(e jω)在[0，2π]上等间隔采样N 点，得到2()(), 0,1,2,,1j N k NX k X e k N ωπω===-则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列就是原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后的主值区序列，公式为：()IDFT[()][()]()N N N Ni x n X k x n iN Rn ∞=-∞==+∑(b)由上式可知，频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M(即N ≥M)，才能使时域不产生混叠，则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列()N x n 就是原序列x(n),即()N x n =x(n)。