时域采样理论的验证

实验2 时域采样与频域采样知识要点：（1）时域采样定理和频域采样定理（2）信号的采样方法连续时间信号的采样方法为T ()()s t n f t f t ==，理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，即ˆ()()j aTX j X e ωω=ΩΩ=，用DFT 近似计算连续信号频谱的方法为()T DFT[()]a X k x n =⋅。

连续谱的离散化方法为在一个周期内对连续频谱进行N 点等间隔采样，即2k k Nπω=，用DFT 计算离散信号频谱的方法为()DFT[()]X k x n =。

（3）用FFT 计算有限长采样序列的傅立叶变换（DFT ）（4）连续时间信号的采样点数用公式p s N T F =⨯计算（5）频域采样时，频率分辨率为p F=1，各采样点上的频率为(1)k p f T k =。

（6）FFT 函数的基本用法FFT 函数格式为Xk= fft(xnt,M)，其中M 表示FFT 的点数。

实验内容1：时域采样理论的验证（非周期连续信号）给定模拟信号0()sin()()t a x t Ae t u t α-=Ω式中444.128A =，α=，0rad s Ω=。

用DFT （FFT ）求该模拟信号的幅频特性，以验证时域采样理论。

选取三种采样频率，即1kHz,300Hz 200Hz s F =，。

观测时间选64p T ms =。

采样点数用公式p s N T F =⨯计算。

设计方法：（1）初始化设置（如观测时间、采样频率、采样间隔等）。

（2）计算时域采样点数。

（3）生成时域抽样信号。

（4）用fft 函数计算频谱。

（5）计算频域采样点上的频率，绘制频谱图。

程序运行结果：（1）采样频率1000Hz s F =nx a (n T )(a) F s =1000Hz,采样点数=645001000(b) DFT[x a (nT)],F s =1000Hz f(Hz)幅度5001000(c) T*DFT[x a (nT)],F s =1000Hz f(Hz)幅度图2-1 采样频率1kHz s F =（2）采样频率300Hz s F =nx a (n T )(a) F s =300Hz,采样点数=19100200300(b) DFT[x a (nT)],F s =300Hz f(Hz)幅度100200300(c) T*DFT[x a (nT)],F s =300Hzf(Hz)幅度图2-2 采样频率300Hz s F =（3）采样频率200Hz s F =nx a (n T )(a) F s =200Hz,采样点数=1350100150200(b) DFT[x a (nT)],F s =200Hzf(Hz)幅度5010015020000.20.40.60.8(c) T*DFT[x a (nT)],F s =200Hz f(Hz)幅度图2-3 采样频率200Hz s F =实验结果分析：时域采样理论的验证程序运行结果如图2-1至2-3所示。

时域取样定理的原理及应用1. 简介时域取样定理（也称为奈奎斯特定理）是数字信号处理中的重要原理之一。

它规定了进行模拟信号（连续时间信号）到数字信号（离散时间信号）转换时，采样频率至少要是被采样信号最高频率的两倍。

2. 原理时域取样定理的原理可以通过以下三个方面进行解释：2.1 采样频率选择根据时域取样定理，采样频率应当是信号最高频率的两倍。

这是因为信号的频谱范围是有限的，最高频率表示信号中的最高频率成分。

采样频率低于最高频率的两倍会出现混叠现象，即采样信号中的高频成分被误认为是低频成分。

因此，为了避免混叠现象，采样频率应当是最高频率的两倍。

2.2 采样定理解释假设模拟信号的频谱范围是从0Hz到最高频率fm，按照取样频率fs对模拟信号进行等间隔采样，那么采样后的频谱范围为-fs/2到fs/2。

根据奈奎斯特定理，采样频率fs应当大于2fm，这样采样信号中没有因混叠而破坏的高频成分。

2.3 采样频率与重建一旦满足采样频率大于信号最高频率的两倍，我们就可以通过插值或者滤波来重建原始信号。

重建后的信号与原始信号相近，但会存在一定的误差。

因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择适当的采样频率，以平衡重建信号的质量和资源消耗。

3. 应用时域取样定理广泛应用于各个领域，特别是在数字信号处理和通信系统中。

以下是一些常见的应用场景：3.1 音频信号处理时域取样定理在音频处理领域得到了广泛运用。

例如，在音频编码中，采样频率需要满足奈奎斯特定理的要求，以确保编码后的音频信号质量符合人耳的感知要求。

3.2 数据通信在数据通信领域，时域取样定理被用于数字调制技术中。

通过将模拟信号进行采样和量化，可以将模拟信号转换为数字信号，并通过数据通信系统进行传输和重建。

3.3 雷达信号处理在雷达信号处理领域，时域取样定理用于对雷达回波信号进行采样与重建。

通过采样后的数字信号可以实现目标检测和跟踪等功能。

3.4 图像处理时域取样定理在图像处理中也有广泛应用。

信号处理实验三报告实验三：时域信号的采样与重构一、实验目的1.学习使用示波器进行时域信号采样；2.学习时域信号重构的方法。

二、实验器材1.数字示波器；2.函数发生器；3.电缆。

三、实验原理1.时域信号的采样时域信号的采样是将连续时间的信号转换为离散时间的信号。

采样过程可以理解为在时间轴上以一定的时间间隔取样，得到采样点的幅值。

采样后的信号可以用离散时间信号表示。

2. Nyquist采样定理Nyquist采样定理指出，要恢复一个最高频率为f的连续时间信号，采样频率必须大于2f，即采样定理为Fs > 2f。

这是由于频谱中的高频分量蕴含着较大的信息量，必须以足够高的采样频率进行采样，否则会出现混叠现象。

3.时域信号的重构时域信号的重构是将采样得到的离散时间信号重新转化为连续时间信号的过程。

重构的方法主要有零阶保持插值、线性插值和插值滤波器等。

实验步骤1.连接示波器和函数发生器。

将函数发生器的输出端通过电缆与示波器的输入端连接。

2.设置函数发生器的频率为1kHz，并选择一个适当的幅度。

3.设置示波器的水平和垂直缩放，使信号在示波器的屏幕上能够完整显示。

4.调节示波器的触发方式和触发电平，使信号的波形稳定。

5.通过示波器的采样功能，进行信号的采样。

选择适当的采样率，观察采样得到的离散时间信号。

6. 根据Nyquist采样定理，选择适当的采样率进行采样，并进行离散时间信号的重构。

选择不同的重构方法，如零阶保持插值和线性插值，观察重构后的信号与原信号的差异。

实验结果1.通过示波器的采样功能，得到了采样频率为1kHz的离散时间信号。

2.通过零阶保持插值和线性插值的方法进行重构，观察到重构后的信号与原信号的差异。

可以发现，零阶保持插值会导致信号的平滑度降低，而线性插值能够更好地重构原信号。

实验分析1. 通过实验结果可以验证Nyquist采样定理的正确性。

当采样频率小于2f时，会出现混叠现象，无法正确恢复原信号。

数字信号处理实验答案第十章上机实验数字信号处理是一门理论和实际密切结合的课程，为深入掌握课程内容，最好在学习理论的同时，做习题和上机实验。

上机实验不仅可以帮助读者深入的理解和消化基本理论，而且能锻炼初学者的独立解决问题的能力。

本章在第二版的基础上编写了六个实验，前五个实验属基础理论实验，第六个属应用综合实验。

实验一系统响应及系统稳定性。

实验二时域采样与频域采样。

实验三用FFT对信号作频谱分析。

实验四IIR数字滤波器设计及软件实现。

实验五FIR数字滤波器设计与软件实现实验六应用实验——数字信号处理在双音多频拨号系统中的应用任课教师根据教学进度，安排学生上机进行实验。

建议自学的读者在学习完第一章后作实验一；在学习完第三、四章后作实验二和实验三；实验四IIR数字滤波器设计及软件实现在。

学习完第六章进行；实验五在学习完第七章后进行。

实验六综合实验在学习完第七章或者再后些进行；实验六为综合实验，在学习完本课程后再进行。

10.1 实验一: 系统响应及系统稳定性1.实验目的（1）掌握求系统响应的方法。

（2）掌握时域离散系统的时域特性。

（3）分析、观察及检验系统的稳定性。

2.实验原理与方法在时域中，描写系统特性的方法是差分方程和单位脉冲响应，在频域可以用系统函数描述系统特性。

已知输入信号可以由差分方程、单位脉冲响应或系统函数求出系统对于该输入信号的响应，本实验仅在时域求解。

在计算机上适合用递推法求差分方程的解，最简单的方法是采用MA TLAB语言的工具箱函数filter函数。

也可以用MA TLAB语言的工具箱函数conv 函数计算输入信号和系统的单位脉冲响应的线性卷积，求出系统的响应。

系统的时域特性指的是系统的线性时不变性质、因果性和稳定性。

重点分析实验系统的稳定性，包括观察系统的暂态响应和稳定响应。

系统的稳定性是指对任意有界的输入信号，系统都能得到有界的系统响应。

或者系统的单位脉冲响应满足绝对可和的条件。

系统的稳定性由其差分方程的系数决定。

实验二时域采样与频域采样及MATLAB程序时域采样与频域采样一实验目的1掌握时域连续信号经理想采样前后的频谱变化，加深对时域采样定理的理解2理解频率域采样定理，掌握频率域采样点数的选取原则二实验原理1时域采样定理对模拟信号以T进行时域等间隔采样，形成的采样信号的频谱会以采样角频率为周期进行周期延拓，公式为：利用计算机计算上式并不容易，下面导出另外一个公式。

理想采样信号和模拟信号之间的关系为：对上式进行傅里叶变换，得到：在上式的积分号内只有当时，才有非零值，因此：上式中，在数值上，再将代入，得到：上式说明采样信号的傅里叶变换可用相应序列的傅里叶变换得到，只要将自变量用代替即可。

2频域采样定理对信号的频谱函数在[0, 2]上等间隔采样N点，得到则有：即N点得到的序列就是原序列以N为周期进行周期延拓后的主值序列，因此，频率域采样要使时域不发生混叠，则频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的长度M （即）。

在满足频率域采样定理的条件下，就是原序列。

如果，则比原序列尾部多个零点，反之，时域发生混叠，与不等。

对比时域采样定理与频域采样定理，可以得到这样的结论：两个定理具有对偶性，即“时域采样，频谱周期延拓；频域采样，时域信号周期延拓”。

在数字信号处理中，都必须服从这二个定理。

三实验内容1时域采样定理的验证给定模拟信号，式中，A二444、128,,,其幅频特性曲线如下图示：选取三种采样频率，即，300Hz, 200Hz,对进行理想釆样，得到采样序列：。

观测时间长度为。

分别绘出三种采样频率得到的序列的幅频特性曲线图，并进行比较。

2频域采样定理的验证给定信号：，对的频谱函数在[0, 2]上分别等间隔采样16点和32点，得到和，再分别对和进行IDFT,得到和。

分别画出、和的幅度谱，并绘图显示、和的波形，进行对比和分析。

四思考题如果序列的长度为M,希望得到其频谱在[0, 2]上N点等间隔采样，当时，如何用一次最少点数的DFT得到该频谱采样？五实验报告及要求1编写程序，实现上述要求，打印要求显示的图形2分析比较实验结果，简述由实验得到的主要结论3简要回答思考题4附上程序清单和有关曲线％时域采样Tp二128/1000；%观测时间128ms Fs=1000； T=l/Fs；%采样频率lKIIz M=Tp*Fs；%取样点数128 点n=0：M-l； t=n*T； A=444、128；alph=pi*50*2 0^ 5；omega=pi*50*2 0. 5；xnt=A*exp(-alph*t)、*sin(omega*t)；Xk=T*fft(xnt,M)；%M=128 点FFT[xnt] subplot(4,2,1)；plot (n, xnt) ； xlabel (t) ； ylabel (xa(t)) ； title (原信号波形)； k=0：M-l； wk=k/(Tp*Fs)；%归一化处理subplot (4,2,2)；plot(wk,abs(Xk))；title(T*FT[xa(nT)],Fs=lKH z 幅频特性)；xlabel (w/\pi) ；ylabel (幅度(III (jf)));Tp二64/1000；%观测时间64ms Fs二1000； T=l/Fs；%采样频率lKHz M=Tp*Fs；%取样点数64 点n=0：M-l；t=n*T； A=444、12&alph=pi*50*2 0^ 5；omega二pi*50*2"0、5；xnt=A*exp(-alph*t)、*sin(omega*t)；Xk=T*fft(xnt,M)；%M=64 点FFT[xnt] subplot (4,2,3)；stem(n,xnt,)； xlabel (n) ； ylabel (xa(nT)) ； title(Fs=lKllz 采样序列)；k=0：M~l； wk=k/(Tp*Fs)；subplot(4,2,4)；plot(wk,abs(Xk))；title(T*FT[xa(nT)],Fs=lKH z 幅频特性)；xlabel (w/\pi) ； ylabel (幅度(III (jf)));Fs=300；T=l/Fs； M=Tp*Fs；n=0：M-l；t=n*T； A=444、128；alph=pi*50*2 0. 5；omega二pi*50*2"0、5；xnt=A*exp(-alph*t)、*sin(omega*t)；Xk=T*fft(xnt,M)；subplot (4,2,5)； stem(n,xnt,、)； xlabel(n)；ylabel(x2(n))； title(Fs=300Ilz 采样序列)；k=0：M-l；wk=k/(Tp*Fs)； subplot (4,2,6)； plot (wk, abs (Xk)) ；title (T*I?T[xa (r)T) ], Fs=300 Hz 幅频特性)；xlabel(w/\pi) ； ylabel ((112 (jf)));Fs=200；T=l/Fs； M=Tp*Fs；n=0：M-l；t=n*T； A=444、128；alph=pi*50*2 0^ 5；omega二pi*50*2"0、5；xnt=A*exp(-alph*t)、*sin(omega*t)；Xk=T*fft(xnt,M)；subplot (4,2,7)； stem(n,xnt,、)； xlabel(n)；ylabel(x3(n))； title(Fs=2001Iz 采样序列)；k=0：M-l；wk=k/(Tp*Fs)； subplot(4,2,8)；plot(wk,abs(Xk))；title(T*FT[xa(nT)],Fs=200 Hz 幅频特性)；xlabel (w/\pi) ；ylabel ((H3 (jf))) ;%频域采样M=27；N=32；n=0：M；xn=(n>=0&n<=13)、*(n+1)+(n>=14&n<=26)、*(27-n)；%产生x(n)Xk=fft(xn, 1024) ； %1024 点FFT[x(n)]X32k=fft(xn,32)； %32 点FFT[x(n)]x32n=ifft(X32k)； %32 点IFFT[X32(k)]得到x32(n)X16k=X32k(l：2：N)；%隔点抽取X32(k)得到X16(k)xl6n=ifft (X16k,N/2) ；%16 点IFFT[X16(k)]得到xl6(n)k=0： 1023；wk=2*k/1024；%连续频谱图的横坐标取值subplot (3,2,1)； plot (wk,abs(Xk))；title(FT[x(n)])；xlabel('omega/'pi)；ylabel( X(e j\omega)| )；axis([0,1,0,200])；subplot(3,2,2)；stem(n,xn,、)；title(三角波序列x(n)) ； xlabel(n) ； ylabel(x(n))；axis([0,32,0,20])k=0：N/2-1; %离散频谱图的横坐标取值subplot (3,2,3)； stem(k, abs (X16k) ,、) ； title (16 点频域采样)；xlabel(k)；ylabel(|X_l_6(k)|);axis([0,8,0,200])n1=0：N/ 2-1；subplot (3,2,4);stem(nl,xl6n,. )；title(16IDFT[X_1_6(k)])；x label (n) ； ylabel (x_l_6(n)) ；axis([0,32,0,20])k=0：NT ；%离散频谱图的横坐标取值subplot (3,2,5)； stem(k, abs (X32k),、) ； title (32 点频域采样)；xlabel(k)；ylabel(|X_3_2(k)|)；axis([0,16,0,200])nl=0：N1；subplot (3,2,6)；stem(nl,x32n,、)；title(32IDFT[X_3_2 (k)])；xlabel (n)；ylabel (x_3_2(n))；axis([0,32,0,20])。

时域抽样定理时域抽样定理是数字信号处理中的基本理论之一，它对于理解信号采样和重构有着重要的意义。

本文将详细介绍时域抽样定理的原理、条件和应用。

1. 定理原理时域抽样定理，又称为奈奎斯特采样定理（Nyquist Sampling Theorem），是由哈里·奈奎斯特（Harry Nyquist）于20世纪20年代提出的。

该定理指出：在连续时间信号中，如果信号的最高频率为fs，则采样频率必须大于2fs才能保证采样后的离散信号能完美地重构出原始信号。

2. 定理条件奈奎斯特采样定理的成立需要满足以下两个条件：2.1 带宽限制条件信号的带宽必须是有限的。

即信号的频谱必须在一定范围内有限制，不允许有无限大的频率成分存在。

如果信号的带宽无限大，那么无论采样频率多高，也无法在离散信号中准确地表示原始信号。

2.2 采样频率条件采样频率必须大于信号最高频率的两倍。

只有在这种条件下，才能够完美地重构出原始信号。

如果采样频率低于信号最高频率的两倍，将会出现混叠效应，导致重构的信号与原始信号存在偏差。

3. 定理应用奈奎斯特采样定理在实际应用中有着广泛的应用，尤其是在信号处理和通信领域。

3.1 数字音频和视频在数字音频和视频领域，奈奎斯特采样定理的应用非常重要。

通过在一定的采样频率下对模拟音频或视频信号进行抽样，可以得到离散的数字信号。

这些离散的信号可以通过数学算法来进行处理和压缩，从而实现高保真度的音频和视频传输。

3.2 通信系统在通信系统中，奈奎斯特采样定理被广泛应用于调制和解调过程中。

发送端将模拟信号进行抽样和量化，将其转换为数字信号后进行传输。

接收端通过接收到的数字信号进行解调和重构，实现原始模拟信号的恢复。

3.3 图像处理在图像处理领域，奈奎斯特采样定理可以用于图像的采集和重构。

通过在一定的采样频率下对图像进行抽样，可以得到离散的像素值。

这些像素值可以用于图像的处理、压缩和重构，从而实现高质量的图像处理效果。

实验一 MATLAB 验证低通抽样定理一、实验目的1、掌握抽样定理的工作原理。

2、通过MATLAB 编程实现对抽样定理的验证，加深抽样定理的理解。

同时训练应用计算机分析问题的能力。

3、了解MATLAB 软件，学习应用MATLAB 软件的仿真技术。

它主要侧重于某些理论知识的灵活运用，以及一些关键命令的掌握，理解，分析等。

4、计算在临界采样、过采样、欠采样三种不同条件下恢复信号的误差，并由此总结采样频率对信号恢复产生误差的影响，从而验证时域采样定理。

二、实验预习要求1、复习《数字通信原理》中有关抽样定理的章节；2、复习《数字通信原理》中有关PCM 的章节；；3、认真阅读本实验内容，熟悉实验步骤。

三、实验环境PC 电脑，MA TLAB 软件四、基本原理(1)时域采样定理1、对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。

2、设连续信号的的最高频率为max F ，如果采样频率max 2F F s >，那么采样信号可以唯一的恢复出原连续信号，否则max 2F F s ≤会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。

(2)设计原理图(3)信号的时域采样与频谱分析对一个连续信号a f (t)进行理想采样的过程可以用下式表示)()()(^t s t f t f a a = （1）其中)(^t f a 为)(t f a 的理想采样，s(t)为周期脉冲信号，即 ∑∞-∞=-=n nT t t s )()(δ（2） )(^t f a 的傅里叶变换)(^Ωj F a 为∑∞-∞=Ω-Ω=Ωm saa m j F Tj F )]([1)(^（3）上式表明，)(^Ωj F a 为)(Ωj F a 的周期延拓，其延拓周期为采样角频率（s Ω=2π/T ）。

只有满足采样定理时，才不会发生频率混叠失真。

在计算机上用高级语言编程，直接按照(3)式计算)(^t f a 的频谱)(^Ωj F a 很不方便，下面导出用序列的傅里叶变换来计算)(^Ωj F a 的公式。

简述奈奎斯特时域采样定理的内容
奈奎斯特时域采样定理是由美国信号处理理论家尼尔萨维奈特（N.E.Sviatot）和他的同事彼得库卡（P.Kurka）于1949年分别发
布的两个独立定理。

它深刻改变了时间域信号处理的理论基础，成为现代数字信号处理的理论基石。

定理一：如果一个时间域信号的加权积分（即信号与时间函数之间的乘积）大于或等于零，则其有限频率范围内的频谱必定是连续函数。

定理二：光滑的时域信号（即瞬时加权积分大于或等于零的信号）的两次连续采样，即采样频率大于两倍的信号的全频率成分准确重构，即通过两个采样点就可以准确确定一个光滑时域信号。

这两个定理在数字信号处理和数字通信系统中有着重要应用。

它们指出当我们将一个光滑的时域信号进行两次采样，我们可以准确地确定它的全部频率范围内的所有成分，这意味着我们可以通过采样频率大于两倍的信号频率来重构原始信号，而不用在原始信号的所有频率成分上进行采样。

因此，根据这两个定理的理论，我们可以以较低的采样频率进行采样，从而节约存储空间和采样时间，而做到不损失信号精度。

奈奎斯特时域采样定理在数字技术领域中有着广泛而深远的影响。

例如，许多视频编码标准，如MPEG-2，H.264和H.265，都依赖于奈奎斯特时域采样定理来重构视频流。

此外，它还可以用于模拟信号转换为数字信号，在时域信号处理和图像处理方面也有着可观的应
用前景。

总的来说，时域采样定理是数字信号处理的一个重要理论。

它的应用范围非常广泛，能够深刻地影响信号的存储和处理，帮助我们提高存储空间的效率，从而实现数字信号的精准处理。

数字信号处理课程实验报告实验一 离散时间信号和系统响应一. 实验目的1. 熟悉连续信号经理想采样前后的频谱变化关系，加深对时域采样定理的理解2. 掌握时域离散系统的时域特性3. 利用卷积方法观察分析系统的时域特性4. 掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法，利用序列的傅里叶变换对离散信号及系统响应进行频域分析二、实验原理1. 采样是连续信号数字化处理的第一个关键环节。

对采样过程的研究不仅可以了解采样前后信号时域和频域特性的变化以及信号信息不丢失的条件，而且可以加深对离散傅里叶变换、Z 变换和序列傅里叶变换之间关系式的理解。

对连续信号()a x t 以T 为采样间隔进行时域等间隔理想采样，形成采样信号： 式中()p t 为周期冲激脉冲，()a x t 为()a x t 的理想采样。

()a x t 的傅里叶变换为()a X j Ω：上式表明将连续信号()a x t 采样后其频谱将变为周期的，周期为Ωs=2π/T 。

也即采样信号的频谱()a X j Ω是原连续信号xa(t)的频谱Xa(jΩ)在频率轴上以Ωs 为周期，周期延拓而成的。

因此，若对连续信号()a x t 进行采样，要保证采样频率fs ≥2fm ，fm 为信号的最高频率，才可能由采样信号无失真地恢复出原模拟信号ˆ()()()a a xt x t p t =1()()*()21()n a a a s X j X j P j X j jn T π∞=-∞Ω=ΩΩ=Ω-Ω∑()()n P t t nT δ∞=-∞=-∑计算机实现时，利用计算机计算上式并不方便，因此我们利用采样序列的傅里叶变换来实现，即而()()j j n n X e x n e ωω∞-=-∞=∑为采样序列的傅里叶变换2. 时域中，描述系统特性的方法是差分方程和单位脉冲响应，频域中可用系统函数描述系统特性。

已知输入信号，可以由差分方程、单位脉冲响应或系统函数求出系统对于该输入信号的响应。