七年级数学下册：7.2.1三角形的内角

7．2 与三角形有关的角7．2．1 三角形的内角基础过关作业1．△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=________．2．已知三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定3．△ABC中，∠A=∠B+∠C，则∠A=______度．4．根据下列条件，能确定三角形形状的是（）（1）最小内角是20°；（2）最大内角是100°；（3）最大内角是89°；（4）三个内角都是60°；（5）有两个内角都是80°．A．（1）、（2）、（3）、（4） B．（1）、（3）、（4）、（5）C．（2）、（3）、（4）、（5） D．（1）、（2）、（4）、（5）5．如图1，∠1+∠2+∠3+∠4=______度．(1) (2) (3)6．三角形中最大的内角不能小于_______度，最小的内角不能大于______度．7．△ABC中，∠A是最小的角，∠B是最大的角，且∠B=4∠A，求∠B的取值范围．8．如图2，在△ABC中，∠BAC=4∠ABC=4∠C，BD⊥AC于D，求∠ABD的度数．综合创新作业9．（综合题）如图3，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线，DE平分∠ADC交AC于E，则∠BDE=_________．10．（应用题）如图7-2-1-4是一个大型模板，设计要求BA与CD相交成30°角，DA与CB 相交成20°角，怎样通过测量∠A，∠B，∠C，∠D的度数，来检验模板是否合格？11．（创新题）如图，△ABC 中，AD 是BC 上的高，AE 平分∠BAC ，∠B=75°，•∠C=45°，求∠DAE 与∠AEC 的度数．12．（2005年，福建厦门）如图，已知，在直角△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D ．（1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD ；（2）若AP 平分∠BAC 且交BD 于P ，求∠BPA 的度数．13．（易错题）在△ABC 中，已知∠A=13∠B=15∠C ，求∠A 、∠B 、∠C 的度数．培优作业14．（探究题）（1）如图，在△ABC中，∠A=42°，∠ABC和∠ACB•的平分线相交于点D，求∠BDC的度数．（2）在（1）中去掉∠A=42°这个条件，请探究∠BDC和∠A之间的数量关系．15．（开放题）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，作BC边上的高AD，•图中出现多少个直角三角形？又作△ABD中AB边上的高DD1，这时，图中共出现多少个直角三角形？按照同样的方法作下去，作出D1D2，D2D3，…，当作出D n-1D n时，图中共出现多少个直角三角形？数学世界推门与加水爱迪生成名以后，去拜访他的人很多，但客人们都感到爱迪生家的大门很重，推门很吃力．后来，一位朋友对他说：“你有没有办法让你家的大门开关起来省力一些？”爱迪生边笑边回答：“我家的大门做得非常合理，我让那个门与一个打水装置相连接，来访的客人，每次推开门都可以往水槽加20升水．”不仅如此，爱迪生还在想，如果每次推门能向水槽加入25升水的话，那么比原来少推12次门，水槽就可以装满了．你能算出爱迪生家水槽的容积吗？答案:1．70°2．B 点拨：设这个三角形的三个内角分别为x°、2x°、3x°，则x+2x+3x=180，解得x=30．∴3x=90．∴这个三角形是直角三角形，故选B．3．90 点拨：由三角形内角和定理知∠A+∠B+∠C=180°，又∠B+∠C=∠A，•∴∠A+∠A=180°，∴∠A=90°．4．C5．280 点拨：由三角形内角和定理知，∠1+∠2=180°-40°=140°，•∠3+•∠4=180°-40°=140°．∴∠1+∠2+∠3+∠4=140°×2=280°．6．60；607．解：设∠B=x，则∠A=14x．由三角形内角和定理，知∠C=180°-54x．而∠A≤∠C≤∠B．所以14x≤180°-54x≤x．•即80°≤x≤120°．8．解：设∠ABC=∠C=x°，则∠BAC=4x°．由三角形内角和定理得4x+x+x=180．解得x=30．∴∠BAC=4×30°=120°．∠BAD=180°-∠BAC=180°-120°=60°．∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-60°=30°．点拨：∠ABD是Rt△BDA的一个锐角，若能求出另一个锐角∠DAB．就可运用直角三角形两锐角互余求得．9．132°点拨：因为∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-66°-54°=60°，且AD•是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠DAC=30°．在△ABD中，∠ADB=180°-66°-30°=84°．在△ADC中，∠ADC=180°-54°-30°=96°．又DE平分∠ADC，所以∠ADE=48°．故∠BDE=∠ADB+∠ADE=84°+48°=132°．10．解：设计方案1：测量∠ABC，∠C，∠CDA，若180°-（∠ABC+∠C）=30°，180°-（∠C+∠CDA）=20°同时成立，则模板合格；否则不合格．设计方案2：测量∠ABC，∠C，∠DAB，若180°-（∠ABC+∠C）=30°，（∠BAD+∠ABC）-180°=20°同时成立，则模板合格；否则不合格．设计方案3：测量∠DAB，∠ABC，∠CDA，若（∠DAB+∠CDA）-180°=30°，（∠BAD+∠ABC）-180°=20°同时成立，则模板合格；否则不合格．设计方案4：测量∠DAB，∠C，∠CDA，若（∠DAB+∠CDA）-180°=30°，180°-（∠C+∠CDA）=20°同时成立，则模板合格；否则不合格．点拨：这是一道几何应用题，借助于三角形知识分析解决问题，•对形成用数学的意识解决实际问题是大有益处的．11．解法1：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=75°，∠C=45°，∴∠BAC=60°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=12×60°=30°．∵AD是BC上的高，∴∠B+∠BAD=90°，∴∠BAD=90°-∠B=90°-75°=15°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=30°-15°=15°．•在△AEC中，∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-45°-30°=105°．解法2：同解法1，得出∠BAC=60°．∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=12∠BAC=12×60°=30°．∵AD是BC上的高，∴∠C+∠CAD=90°，∴∠CAD=90°-45°=45°，∴∠DAE=∠CAD-•∠CAE=45°-30°=15°．∵∠AEC+∠C+∠EAC=180°，∴∠AEC+30°+45°=180°，•∴∠AEC=105°．答：∠DAE=15°，∠AEC=105°．点拨：本节知识多与角平分线的定义，余角的性质，平行线的性质，三角形高的定义综合应用，有时也结合方程组、不等式等代数知识综合应用．求角的度数的关键是把已知角放在三角形中，利用三角形内角和定理求解，或转化为与已知角有互余关系或互补关系求解，有些题目还可以转化为已知角的和或差来求解．12．（1）证明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=30°．∴∠BAC=∠ABD，∴BD=AD．（2）解法1：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°．∴12（∠BAC+∠ABC）=45°．∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠BAP=12∠BAC，∠ABP=12∠ABC；即∠BAP+∠ABP=45°，∴∠APB=180°-45°=135°．解法2：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°．∴12（∠BAC+∠ABC）=45°．∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠DBC=12∠ABC，∠PAC=12∠BAC，∴∠DBC+∠PAD=45°．∴∠APB=∠PDA+∠PAD=∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°．13．解：由∠A=13∠B=15∠C知，∠B=3∠A，∠C=5∠A．设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=5x°．由三角形内角和定理得x+3x+5x=180．解得x=20．∴3x=60，5x=100．∴∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°．点拨：解此类题，一般设较小的角为未知数．14．解：（1）∵∠A=42°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=138°．∵BD、CD平分∠ABC、∠ACB的平分线．∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB．∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=12×138°=69°．∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-69°=111°．（2）∠BDC=90°+12∠A．理由：∵BD、CD分别为∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB．∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A）=90°-12∠A．∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-（90°-12∠A）=90°+12∠A．点拨：欲求∠BDC，只要求出∠DBC+∠DCB即可．15．解：作出BC边上的高AD时，图中出现3个直角三角形；作出△ABD中AB边上的高DD1时，图中出现5个直角三角形；作出D n-1D n时，图中共出现（2n+3）个直角三角形．数学世界答案:设原来推门x次可把水槽装满水，由题意，得20x=25（x-12）．解得x=60．则水槽容积为20×60=1200（升）．。

7.2.1 三角形的内角和一、教学目标（一）知识与技能通过一系列的实验、操作活动，让学生推理归纳出三角形的内角和为180°。

（二）数学思考1、经历一系列的推理归纳过程，培养数学推理归纳能力。

2、经历猜想、实验、操作等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。

（三）解决问题1、学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

2、把抽象的东西转变成形象的东西。

（四）情感态度与态度1、积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。

2、在探究活动中，培养学生观察、抽象、概括的能力和创新意识，发展学生的逻辑推理能力。

二、教学重点与难点重点：引导学生发现三角形的内角和为180°。

难点：用不同的方法验证三角形的内角和为180°。

三、教学辅助多媒体、投影仪，量角器，不同的三角形四、教学方法实验法五、教学过程六、教学设计说明教学过程不仅是知识传授的过程，更是学生掌握良好学习方法，锻炼思维能力、感受数学思想的过程。

因此，本次课遵循由特殊到一般的规律进行探究活动是这节课设计的主要特点之一。

先让学生思考直角三角形的另外两个角是什么角，再设疑让学生判断一个三角形中有两个角是直角，引出课题。

接着让学生猜想是不是所有的三角形的内角和是180°。

学生通过用量的方法得出三角形的内角和大约是180°（存在误差），再引导学生通过剪拼、折拼的方法发现：各类三角形的三个内角都可以拼成一个平角。

再利用课件演示进一步验证，由此获得三角形的内角和是180°的结论。

这一系列活动潜移默化地向学生渗透了“转化”数学思想，培养学生科学试验的态度，培养学生的统计观念。

让学生体验数学学习的快乐。

初一数学知识点总结之三角形知识点概述
7.1与三角形有关的线段
7.1.1三角形的边
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。

顶点是A、B、C的三角形，记作△ABC，读作三角形ABC。

三角形两边的和大于第三边。

7.1.2三角形的高、中线和角平分线
7.1.3三角形的动摇性
三角形具有动摇性。

7.2与三角形有关的角
7.2.1三角形的内角
三角形的内角和等于180。

7.2.2三角形的外角
三角形的一边与另一边的延伸线组成的角，叫做三角形的外角。

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

7.3多边形及其内角和
7.3.1多边形
在平面内，由一些线段首尾依次相接组成的图形叫做多边
形。

衔接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

n边形的对角线公式：
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

7.3.2多边形的内角和
n边形的内角和公式：180(n-2)
多边形的外角和等于360。

7.4课题学习镶嵌。

初中数学七年级下册知识点总结二七年级数学下册知识点总结2有一个共同的顶点，一条共同的边，另一边是彼此相对的延长线。

这样的两个角叫做相邻的余角。

两条直线相交时有四对相邻的余角。

有一个公共顶点，角的两边是相对的延长线。

这样的两个角叫做对跖角。

两条直线相交并有两对对角。

顶角相等。

5.1.2两条直线相交，四个角中有一个是直角，所以两条直线互相垂直。

其中一条直线称为另一条直线的垂线，它们的交点称为垂足。

注意：⑴垂线是一条直线。

⑵具有垂直关系的两条直线所成的4个角都是90。

⑶垂直是相交的特殊情况。

⑷垂直的记法：a⊥b，ab⊥cd。

画已知直线的垂线有无数条。

有且只有一条直线垂直于已知直线。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简单说成：垂线段最短。

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

在同一平面内，两条直线没有交点，则这两条直线互相平行，记作：a∥b。

在同一平面内两条直线的关系只有两种：相交或平行。

平行公理:经过直线外的一点后，有且只有一条直线与这条直线平行。

如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也相互平行。

5.2.2直线平行的条件两条直线被第三条线切割。

在两条截线的同侧，在截线的同侧，这样的两个角叫做同余角。

两条直线被第三条直线切割，在两条切割线之间，切割线的两侧，这样的两个角叫做内切角。

两条直线被第三条线所截，在两条截线之间，在截线的同侧，这样的两个角叫做同侧内角。

判定两条直线平行的方法：方法1两条直线被第三条直线切割。

如果全等角相等，则两条直线平行。

简单来说:同一个角度相等，两条直线平行。

方法2两条直线被第三条直线切割。

如果内部位错角相等，则两条直线平行。

简单来说:内部位错角相等，两条直线平行。

方法3两条直线被第三条直线切割。

如果它们是互补的，那么这两条直线是平行的。

简单来说:同侧内角互补，两条直线平行。

5.3平行线的性质平行线具有性质：性质1两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

新课标人教版初中数学七年级下册第七章《7.2.1三角形的内角》精品教案一.引课：以前在小学,我们就已接触了与三角形有关的知识，那三角形的内角和为多少度呢？（1800）同学们想知道为什么吗?(想).今天,老师将与大家一起研究和讨论“与三角形有关的角”第一节：“三角形的内角”（板书课题）。

二．正课：活动一：结论的证明1．动手操作，发现结论：师：请同学们观看幻灯片，各小组按要求亲自动手实验，你能得到什么结论？幻灯片（一）：幻灯片一剪下内角，动手拼拼看，三个内角是否为180度。

生：动手实验，并将自己的做法展示给大家。

（实物投影）。

注：一名学生亲自演示，一名与师进行师生合作。

最后得出结论：三角形内角和等于180度。

（师板书）师：演示幻灯片（二）：进一步从直观感性上确定结论的正确性。

2．数学证明，验证结论：师：同学们观察和总结的非常棒，但这只是实验，而观察与实验得到的结论不一定正确，可靠，这样就需要通进数学证明来验正结论是否正确，请同学们结合幻灯片（二），交流讨论说明结论为什么成立。

生：交流讨论。

师：将图画在黑板上，并巡视指导。

生：总结汇报，说明结论成立的理由。

师：同学们表达的十分准确，理由也很充分，但数学还需要书写规范的过程，接下师板演过程。

证明：延长BC ，过点C 做CD ∥AB。

有：∠1=∠A ∠B=∠2A BB幻灯片二因为：∠1+∠2+∠ACB=1800所以：∠A+∠B+∠ACB=18003．方法赏析，巩固结论。

师；同学们还有其他的方法吗？请大家观察幻灯片（三）：生：在所给卡片上结合自己的能力仿照板书，选择完成证明过程。

师：有选择的展示汇报。

4．新知应用：幻灯片（四）：幻灯片三幻灯片四5．跟踪小练：幻灯片（五）：幻灯片五活动二：结论的应用。

1．自学指导，例题解析：师：同学们对“三角形内角和为1800”掌握已经非常牢固了，下面请同学们结合所学知识，按照自学指导完成例题的自学任务，比一比，谁理解的最好。