七年级数学三角形内角和练习题

7．2 与三角形有关的角7．2．1 三角形的内角基础过关作业1．△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=________．2．已知三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定3．△ABC中，∠A=∠B+∠C，则∠A=______度．4．根据下列条件，能确定三角形形状的是（）（1）最小内角是20°；（2）最大内角是100°；（3）最大内角是89°；（4）三个内角都是60°；（5）有两个内角都是80°．A．（1）、（2）、（3）、（4） B．（1）、（3）、（4）、（5）C．（2）、（3）、（4）、（5） D．（1）、（2）、（4）、（5）5．如图1，∠1+∠2+∠3+∠4=______度．(1) (2) (3)6．三角形中最大的内角不能小于_______度，最小的内角不能大于______度．7．△ABC中，∠A是最小的角，∠B是最大的角，且∠B=4∠A，求∠B的取值范围．8．如图2，在△ABC中，∠BAC=4∠ABC=4∠C，BD⊥AC于D，求∠ABD的度数．综合创新作业9．（综合题）如图3，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线，DE平分∠ADC交AC于E，则∠BDE=_________．10．（应用题）如图7-2-1-4是一个大型模板，设计要求BA与CD相交成30°角，DA与CB 相交成20°角，怎样通过测量∠A，∠B，∠C，∠D的度数，来检验模板是否合格？11．（创新题）如图，△ABC 中，AD 是BC 上的高，AE 平分∠BAC ，∠B=75°，•∠C=45°，求∠DAE 与∠AEC 的度数．12．（2005年，福建厦门）如图，已知，在直角△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D ．（1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD ；（2）若AP 平分∠BAC 且交BD 于P ，求∠BPA 的度数．13．（易错题）在△ABC 中，已知∠A=13∠B=15∠C ，求∠A 、∠B 、∠C 的度数．培优作业14．（探究题）（1）如图，在△ABC中，∠A=42°，∠ABC和∠ACB•的平分线相交于点D，求∠BDC的度数．（2）在（1）中去掉∠A=42°这个条件，请探究∠BDC和∠A之间的数量关系．15．（开放题）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，作BC边上的高AD，•图中出现多少个直角三角形？又作△ABD中AB边上的高DD1，这时，图中共出现多少个直角三角形？按照同样的方法作下去，作出D1D2，D2D3，…，当作出D n-1D n时，图中共出现多少个直角三角形？数学世界推门与加水爱迪生成名以后，去拜访他的人很多，但客人们都感到爱迪生家的大门很重，推门很吃力．后来，一位朋友对他说：“你有没有办法让你家的大门开关起来省力一些？”爱迪生边笑边回答：“我家的大门做得非常合理，我让那个门与一个打水装置相连接，来访的客人，每次推开门都可以往水槽加20升水．”不仅如此，爱迪生还在想，如果每次推门能向水槽加入25升水的话，那么比原来少推12次门，水槽就可以装满了．你能算出爱迪生家水槽的容积吗？答案:1．70°2．B 点拨：设这个三角形的三个内角分别为x°、2x°、3x°，则x+2x+3x=180，解得x=30．∴3x=90．∴这个三角形是直角三角形，故选B．3．90 点拨：由三角形内角和定理知∠A+∠B+∠C=180°，又∠B+∠C=∠A，•∴∠A+∠A=180°，∴∠A=90°．4．C5．280 点拨：由三角形内角和定理知，∠1+∠2=180°-40°=140°，•∠3+•∠4=180°-40°=140°．∴∠1+∠2+∠3+∠4=140°×2=280°．6．60；607．解：设∠B=x，则∠A=14x．由三角形内角和定理，知∠C=180°-54x．而∠A≤∠C≤∠B．所以14x≤180°-54x≤x．•即80°≤x≤120°．8．解：设∠ABC=∠C=x°，则∠BAC=4x°．由三角形内角和定理得4x+x+x=180．解得x=30．∴∠BAC=4×30°=120°．∠BAD=180°-∠BAC=180°-120°=60°．∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-60°=30°．点拨：∠ABD是Rt△BDA的一个锐角，若能求出另一个锐角∠DAB．就可运用直角三角形两锐角互余求得．9．132°点拨：因为∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-66°-54°=60°，且AD•是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠DAC=30°．在△ABD中，∠ADB=180°-66°-30°=84°．在△ADC中，∠ADC=180°-54°-30°=96°．又DE平分∠ADC，所以∠ADE=48°．故∠BDE=∠ADB+∠ADE=84°+48°=132°．10．解：设计方案1：测量∠ABC，∠C，∠CDA，若180°-（∠ABC+∠C）=30°，180°-（∠C+∠CDA）=20°同时成立，则模板合格；否则不合格．设计方案2：测量∠ABC，∠C，∠DAB，若180°-（∠ABC+∠C）=30°，（∠BAD+∠ABC）-180°=20°同时成立，则模板合格；否则不合格．设计方案3：测量∠DAB，∠ABC，∠CDA，若（∠DAB+∠CDA）-180°=30°，（∠BAD+∠ABC）-180°=20°同时成立，则模板合格；否则不合格．设计方案4：测量∠DAB，∠C，∠CDA，若（∠DAB+∠CDA）-180°=30°，180°-（∠C+∠CDA）=20°同时成立，则模板合格；否则不合格．点拨：这是一道几何应用题，借助于三角形知识分析解决问题，•对形成用数学的意识解决实际问题是大有益处的．11．解法1：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=75°，∠C=45°，∴∠BAC=60°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=12×60°=30°．∵AD是BC上的高，∴∠B+∠BAD=90°，∴∠BAD=90°-∠B=90°-75°=15°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=30°-15°=15°．•在△AEC中，∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-45°-30°=105°．解法2：同解法1，得出∠BAC=60°．∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=12∠BAC=12×60°=30°．∵AD是BC上的高，∴∠C+∠CAD=90°，∴∠CAD=90°-45°=45°，∴∠DAE=∠CAD-•∠CAE=45°-30°=15°．∵∠AEC+∠C+∠EAC=180°，∴∠AEC+30°+45°=180°，•∴∠AEC=105°．答：∠DAE=15°，∠AEC=105°．点拨：本节知识多与角平分线的定义，余角的性质，平行线的性质，三角形高的定义综合应用，有时也结合方程组、不等式等代数知识综合应用．求角的度数的关键是把已知角放在三角形中，利用三角形内角和定理求解，或转化为与已知角有互余关系或互补关系求解，有些题目还可以转化为已知角的和或差来求解．12．（1）证明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=30°．∴∠BAC=∠ABD，∴BD=AD．（2）解法1：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°．∴12（∠BAC+∠ABC）=45°．∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠BAP=12∠BAC，∠ABP=12∠ABC；即∠BAP+∠ABP=45°，∴∠APB=180°-45°=135°．解法2：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°．∴12（∠BAC+∠ABC）=45°．∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠DBC=12∠ABC，∠PAC=12∠BAC，∴∠DBC+∠PAD=45°．∴∠APB=∠PDA+∠PAD=∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°．13．解：由∠A=13∠B=15∠C知，∠B=3∠A，∠C=5∠A．设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=5x°．由三角形内角和定理得x+3x+5x=180．解得x=20．∴3x=60，5x=100．∴∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°．点拨：解此类题，一般设较小的角为未知数．14．解：（1）∵∠A=42°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=138°．∵BD、CD平分∠ABC、∠ACB的平分线．∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB．∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=12×138°=69°．∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-69°=111°．（2）∠BDC=90°+12∠A．理由：∵BD、CD分别为∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB．∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A）=90°-12∠A．∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-（90°-12∠A）=90°+12∠A．点拨：欲求∠BDC，只要求出∠DBC+∠DCB即可．15．解：作出BC边上的高AD时，图中出现3个直角三角形；作出△ABD中AB边上的高DD1时，图中出现5个直角三角形；作出D n-1D n时，图中共出现（2n+3）个直角三角形．数学世界答案:设原来推门x次可把水槽装满水，由题意，得20x=25（x-12）．解得x=60．则水槽容积为20×60=1200（升）．。

七年级三角形内角和定理（难度系数0.36）一、单选题（共10题；共20分）1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线.以点D为圆心，适当长为半径GH的长为半径画弧，两弧在∠ADC 画弧，交DA于点G，交DC于点H.再分别以点G、H为圆心，大于12内部交于点Q，连接DQ并延长与AM交于点F，则△ADF的形状是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】 D【考点】平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质2.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，BE平分∠ABC，则∠A的度数为（）A. 30°B. 32°C. 34°D. 36°【答案】 D【考点】三角形内角和定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质3.一幅三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠a的度数是( )A. 75°B. 60°C. 65°D. 55°【答案】A【考点】三角形的外角性质4.如图，是三个等边三角形（注：等边三角形的三个内角都相等）随意摆放的图形，则∠1+∠2+∠3等于（）A. 90°B. 120°C. 150°D. 180°【答案】 D【考点】三角形内角和定理5.如图，直角△ADB 中，∠D=90°，C 为AD 上一点，且∠ACB 的度数为 (5x −10)° ，则 x 的值可能是（ ）A. 10B. 20C. 30D. 40【答案】C【考点】三角形的外角性质，三角形相关概念6.如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，则∠A 与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）A. 2∠A=∠1-∠2B. 3∠A=2（∠1-∠2）C. 3∠A=2∠1-∠2D. ∠A=∠1-∠2【答案】 A【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质7.下列叙述中，正确的有（ ）①如果 2x =a,2y =b ，那么 2x−y =a −b ；②满足条件 (43)2n =(34)n−3 的n 不存在；③任意一个三角形的三条高所在的直线相交于一点，且这点一定在三角形的内部；④ΔABC 中，若∠A+∠B=2∠C, ∠A-∠C=40°，则这个△ABC 为钝角三角形.（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】 B【考点】同底数幂的除法，负整数指数幂的运算性质，三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理8.如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG//BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；② CA平分∠BCG；③ ∠ADC=∠GCD；④ ∠CGE=2∠DFB；其中正确的结论是( )A. 只有①③B. 只有①③④C. 只有②④D. ①②③④【答案】B【考点】平行线的性质，三角形内角和定理9.如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠A=50°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC= ( )A. 115°B. 125°C. 130°D. 140°【答案】A【考点】三角形内角和定理10.如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示.若∠A=60°，∠1=90°，则∠2的度数为（）A. 24°B. 25°C. 30°D. 35°【答案】C【考点】对顶角、邻补角，三角形内角和定理，翻折变换（折叠问题）二、填空题（共8题；共8分）11.如图，BD、CE为△ABC的两条角平分线，则图中∠1、∠2、∠A之间的关系为________.【答案】∠1+∠2- 32∠A=90°【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质12.∠A=65º，∠B=75º，将纸片一角折叠，使点C•落在△ABC外，若∠2=20º，则∠1的度数为________.【答案】100°【考点】三角形内角和定理，翻折变换（折叠问题）13.如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠P=20°，∠D=100°，则∠C=________°.【答案】120【考点】三角形内角和定理，角平分线的性质，多边形内角与外角14.如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO＋∠CFO＝88°，则∠C的度数为=________．【答案】46°【考点】三角形内角和定理，翻折变换（折叠问题）15.如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1, ∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2：⋯：∠An-1BC与∠An+1CD的平分线交与点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为________【答案】6【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质16.如图，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO=28°，则∠MFE=________度．【答案】56【考点】角平分线的定义，平行线的性质，三角形的外角性质17.如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠A＝50°，则∠1+∠2＝________°【答案】100【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的性质，翻折变换（折叠问题）18.如图，一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠2=52°，则∠1+∠3=________°.【答案】98【考点】对顶角、邻补角，三角形内角和定理三、解答题（共4题；共20分）19.如图，在ΔABC中，AD是高，∠DAC=10°，AE是ΔABC外角∠MAC的平分线，交BC的延长线于点E，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC=46°，求∠AFB的度数。

专题4.1三角形内角和定理的运用【八大题型】【北师大版】【题型1运用三角形内角和定理直接求角的度数】 (1)【题型2三角形内角和定理与角平分线、高线综合】 (4)【题型3三角形内角和定理与平行线的性质综合】 (9)【题型4三角形内角和定理与折叠性质综合】 (13)【题型5三角形内角和定理与新定义问题综合】 (18)【题型6运用三角形内角和定理探究角的数量关系】 (23)【题型7判断直角三角形】 (30)【题型8运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】 (35)【知识点1三角形的内角及内角和定理】三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°．【题型1运用三角形内角和定理直接求角的度数】【例1】（2021秋•涡阳县期末）在△ABC中，已知∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，求∠A的度数．【分析】将第一个等式代入第二等式用∠A表示出∠C，再根据三角形的内角和等于180°列方程求出∠A，然后求解即可．【解答】解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，∴∠C＝∠A+10°+25°＝∠A+35°，由三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，所以，∠A+∠A+10°+∠A+35°＝180°，解得∠A＝45°．【变式1-1】（2022春•武侯区校级期中）如图，点E、D分别在AB、AC上．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠1+∠2＝°．【分析】根据三角形的内角和定理列式整理可得∠1+∠2＝∠B+∠C，从而可求解．【解答】解：∵∠1+∠2+∠A＝180°，∠B+∠C+∠A＝180°，∴∠1+∠2＝∠B+∠C，∵∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠1+∠2＝∠B+∠C＝30°+50°＝80°．故答案为：80°．【变式1-2】（2022•哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是度．【分析】分两种情况：△ABC为锐角三角形或钝角三角形，然后利用三角形内角和定理即可作答．【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，如图，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；当△ABC为钝角三角形时，如图，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．综上所述，∠BAC＝80°或40°．故答案为：80或40．【变式1-3】（2022•南京模拟）已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为45°，则∠BAC等于．【分析】根据三角形的内角和定理．分∠BAC与这个45°的角在一个四边形内，及∠BAC 与这个45°的角不在一个四边形内两种情况讨论．【解答】解：若∠BAC与这个45°的角在一个四边形BCDE内，因为BD、CE是△ABC的高，设BD的延长线交CE的延长线于O．∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵∠O＝45°，∴∠DAE＝180°﹣45°＝135°∴∠BAC＝∠DAE＝135°；若∠BAC与这个45°的角不在一个四边形BCDE内，因为BD、CE是△ABC的高，如图：∠BAC＝180°﹣（180°﹣45°）＝45°，所以∠BAC等于45度．若∠ACB是钝角，∠A是锐角，易知∠ABD＝40°，∠A＝45°综上所述，∠A的值为45°或135°．故答案为：45°或135°．【题型2三角形内角和定理与角平分线、高线综合】【例2】（2022春•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADB的度数为（）A．100°B．90°C．80°D．50°【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠B与∠BAD的度数即可求解．【解答】解：∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC＝30°，∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣30°＝100°．故选：A．【变式2-1】（2021秋•靖西市期末）△ABC中，∠C＝50°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，点F为AE上一点，FD⊥BC于点D，则∠EFD的度数为（）A．5B．10C．12D．20【分析】根据三角形的内角和为180°即可得出结论．【解答】解：∵∠C＝50°，∠B＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣50°﹣30°＝100°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝50°，∴∠FED＝50°+30°＝80°，又∵DF⊥BC，∴∠FED+∠EFD＝90°，∴∠EFD＝90°﹣80°＝10°，故选：B．【变式2-2】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．（1）若∠B＝32°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；（2）若∠C﹣∠B＝18°，求∠DAE的度数．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠EAC，根据垂直求出∠ADC＝90°，根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC，再求出答案即可；（2）求出∠C＝18°+∠B，根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠EAC，根据垂直求出∠ADC＝90°，根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC，再求出答案即可．【解答】解：（1）∵∠B＝32°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝88°，∵AE是角平分线，∴∠EAC=12∠BAC＝44°，∵AD是高，∴∠AC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝30°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝44°﹣30°＝14°；（2）∵∠C﹣∠B＝18°，∴∠C＝18°+∠B，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣∠B﹣（18°+∠B）＝162°﹣2∠B，∵AE是角平分线，∴∠EAC=12∠BAC＝81°﹣∠B，∵AD是高，∴∠AC＝90°，∵∠C＝18°+∠B，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣（18°+∠B）＝72°﹣∠B，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝（81°﹣∠B）﹣（72°﹣∠B）＝9°．【变式2-3】（2022春•锡山区期中）已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC 的平分线，若∠DAC＝30°，∠BAC＝80°．（1）求∠EBC的度数；（2）求∠AOB的度数．【分析】（1）由直角三角形的性质可求解∠C＝60°，利用三角形的内角和定理可求解∠ABC＝40°，再根据角平分线的定义可求解；（2）由∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC可求解∠BAD＝50°，由角平分线的定义可求解∠ABO ＝∠EBC＝20°，由三角形的内角和定理可求解．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴△ADC是直角三角形，∵∠DAC＝30°，∴∠C＝90°﹣∠DAC＝60°，∵∠BAC＝80°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝40°，∵BE是△ABC的平分线，∴∠EBC=12∠ABC＝20°；（2）∵∠BAC＝80°，∠DAC＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝50°，由（1）可知∠EBC＝20°，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABO＝∠EBC＝20°，在△AOB中，∠AOB＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝110°．【题型3三角形内角和定理与平行线的性质综合】【例3】（2022•高唐县二模）将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠B＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点C在边DF上，AC，BC分别交DE于点G，H．若BC∥EF，则∠AGD的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠ACB（即∠HCG）的度数，由BC ∥EF，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠GHC的度数，在△HCG中，利用三角形内角和定理可求出∠HGC的度数，再结合对顶角相等可得出∠AGD的度数．【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝45°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣90°﹣45°＝45°，即∠HCG＝45°．∵BC∥EF，∴∠GHC＝∠E＝60°，∴∠HGC＝180°﹣∠GHC﹣∠HCG＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴∠AGD＝∠HGC＝75°．故选：D．【变式3-1】（2022春•兴宁区校级期末）如图，在△ABG中，D为AG上一点，AB∥DC，点E是边AB上一点，连接ED，∠EBD＝∠EDB，DF平分∠EDG，若∠GDC＝72°，则∠BDF的度数为（）A．50°B．40°C．45°D．36°【分析】根据平行线的性质可得∠EBD＝∠BDC，根据角平分线的定义可得∠EDB＝∠BDC，设∠EDB＝∠BDC＝x°，表示出∠GDE，根据角平分线的性质可得∠EDF，再根据∠BDF＝∠EDF﹣∠BDE，求解即可．【解答】解：∵AB∥DC，∴∠EBD＝∠BDC，∵∠EBD＝∠EDB，∴∠EDB＝∠BDC，设∠EDB＝∠BDC＝x°，∵∠GDC＝72°，∴∠GDE＝2x°+72°，∵DF平分∠EDG，∴∠EDF=12∠EDG＝x°+36°，∴∠BDF＝∠EDF﹣∠BDE＝x°+36°﹣x°＝36°，故选：D．【变式3-2】（2022春•泌阳县期末）如图，在△ABC中，AO平分∠BAC，BO⊥AO，O为垂足，OD∥AC，若∠ABO＝40°，试求∠BOD的大小．（提示：延长AO交BC于点E）【分析】延长AO交BC于点E，根据垂直的定义得到∠AOB＝∠BOE＝90°，根据三角形内角和得出∠BAO＝50°，根据角平分线的定义得到∠EAC＝50°，根据平行线的性质得到∠EOD＝50°，根据角的和差即可得解．【解答】解：延长AO交BC于点E，∵BO⊥AO，∴∠AOB＝∠BOE＝90°，∵∠ABO＝40°，∴∠BAO＝180°﹣∠ABO﹣∠AOB＝50°，∵AO平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAO＝50°，∵OD∥AC，∴∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝140°．【变式3-3】（2022春•铜梁区校级期中）如图，AD是△ABE的角平分线，过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C，点F在AB上，连接EF交AD于点G．（1）若2∠1+∠EAB＝180°，求证：EF∥BC；（2）若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度数．【分析】（1）先根据垂直等于得到∠ABC＝90°，则∠C+∠BAC＝90°，再证明2∠C+∠EAB＝180°，加上2∠1+∠EAB＝180°，则∠1＝∠C，然后根据平行线的判定方法得到结论；（2）先根据三角形内角和定理可计算出计算出∠BAC＝18°，则∠EAD＝18°，根据三角形内角和定理得到∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，即18°+78°＝72°+∠CBE，从而可求出∠CBE的度数．【解答】（1）证明：∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∵AD是△ABE的角平分线，∴∠BAC=12∠EAB，∴∠C+12∠EAB＝90°，即2∠C+∠EAB＝180°，∴∠1＝∠C，∴EF∥BC；（2）解：∵∠ABC＝90°，∠C＝72°，∴∠BAC＝18°，∴∠EAD＝∠BAC＝18°，∵∠ADE＝∠BDC，∴∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，即18°+78°＝72°+∠CBE，∴∠CBE＝24°．【题型4三角形内角和定理与折叠性质综合】【例4】（2022春•锦江区校级期中）如图甲所示三角形纸片ABC中，∠B＝∠C，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙），则∠ABC的大小为°．【分析】设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA ＝2x，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题．【解答】解：设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠DEB＝∠A+∠EDA＝2x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2x，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠ABC＝72°．故答案为：72．【变式4-2】（2021春•丹阳市期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点O，将△ABC沿MN折叠，使点C与点O重合，若∠AOB＝135°，则∠1+∠2=°．【分析】根据折叠的性质得到对应角相等，推出∠1+∠2＝2∠MON，根据垂直的定义得到∠ODN＝∠OEM＝90°，利用平角的定义得到∠BOD+∠DON+∠MON+∠EOM＝180°，即可求出结果．【解答】解：由折叠性质可知，∠OMN＝∠CMN，∠ONM＝∠CNM，∠MON＝∠MCN，∴∠1＝180°﹣2∠CMN，∠2＝180°﹣2∠CNM，∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠CMN﹣∠CNM）＝2∠MCN＝2∠MON，∵∠AOB＝135°，∴∠BOD ＝45°，∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠ODN ＝∠OEM ＝90°，∴∠DON ＝90°﹣∠2，∠EOM ＝90°﹣∠1，∵∠BOD +∠DON +∠MON +∠EOM ＝180°，即45°+90°﹣∠2+90°﹣∠1+12（∠1+∠2）＝180°，∴12（∠1+∠2）＝45°，∴∠1+∠2＝90°，故答案为：90．【变式4-3】（2022春•铁西区期末）有一张三角形纸片ABC ，已知∠B ＝30°，∠C ＝50°，点D 在边AB 上，请在边BC 上找一点E ，将纸片沿直线DE 折叠，点B 落在点F 处，若EF 与三角形纸片ABC 的边AC 平行，则∠BED 的度数为．【分析】分两种情况：①当点F 在AB 的上方时，②当点F 在BC 的下方时，根据折叠性质、平行线的性质即可解决问题．【解答】解：①当点F 在AB的上方时，如图：∵AC ∥EF ，∠C ＝50°，∴∠BEF ＝∠C ＝50°，∴∠BED ＝∠FED =12∠BEF =12×50°＝25°；②当点F 在BC 的下方时，如图：∵AC∥EF，∠C＝50°，∴∠CEF＝∠C＝50°，∵∠F＝∠B＝30°，∴∠BGD＝50°+30°＝80°，∴∠BDG＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∴∠BDE=12∠BDG=12×70°＝35°，∴∠BED=115°；综上所述，∠BED的度数为25°或115°．故答案为：25°或115°．【变式4-4】（2022•巴彦县二模）在△ABC中，∠A＝110°，点D在△ABC内，将射线BA 沿直线BD翻折，将射线CA沿直线CD翻折，两射线交于点E，若∠BEC＝150°，则∠BDC的度数为．【分析】当点E在△ABC外时，根据四边形的内角和求出∠ABE+∠ACE，再由折叠性质求得∠ABD+∠ACD，由三角形内角和求得∠ABC+∠ACB，便可求得∠CBD+∠BCD，最后由三角形内角和求得∠BDC；当点E在△ABC内时，根据三角形内角和求出结果便可．【解答】解：当点E在△ABC外时，如图，∵∠A＝110°，∠BEC＝150°，∴∠ABE+∠ACE＝360°﹣110°﹣150°＝100°，由折叠性质知，∠ABD＝∠EBD=12∠ABE，∠ACD＝∠ECD=12∠ACE，∴∠ABD+∠ACD=12×100°=50°，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝70°，∴∠CBD+∠BCD＝70°﹣50°＝20°，∴∠BDC＝180°﹣20°＝160°，当点E在△ABC内时，如图，∵∠A＝110°，∠BEC＝150°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣110°＝70°，∠EBC+∠ECB＝180°﹣150°＝30°，∴∠ABE+∠ACE＝＝70°﹣30°＝40°，由折叠性质知，∠DBE=12∠ABE，∠DCE=12∠ACE，∴∠DBE+∠DCE=12（∠ABE+∠ACE）＝20°，∴∠DBC+∠DCB＝∠DBE+∠DCE+∠EBC+∠ECB＝50°，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）130°，故答案为：160°或130°．【题型5三角形内角和定理与新定义问题综合】【例5】（2021秋•山亭区期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是．【分析】根据三角形内角和定理以及分类讨论的思想解决本题．【解答】解：设这个“倍角”三角形的三个内角分别为α、β、γ，其中α＝2β，则可能出现以下几种情况：①当α＝99°时，则β＝49.5°；②当β＝99°时，则α＝198°，该种情况不存在；③当γ＝99°时，则α+β+γ＝2β+β+99°＝180°，故β＝27°，α＝54°．综上：α＝99°或54°．故答案为：99°或54°．【变式5-1】（2022春•大丰区校级月考）当三角形中一个内角â是另外一个内角á的12时，我们称此三角形为“友好三角形”，á为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为36°，那么这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为．【分析】利用“友好三角形”的定义讨论：当三角形的另一个内角为72°时，可确定“友好角á”的度数为72°；当三角形的另一个内角为18°时，可确定“友好角á”的度数为36°；当三角形的另两个内角为x ，2x 时，利用三角形内角和求出x ＝48°，所以2x ＝96°，从而得到“友好角á”的度数．【解答】解：∵一个“友好三角形”中有一个内角为36°，∴当三角形的另一个内角为72°时，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为72°；当三角形的另一个内角为18°时，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为36°；当三角形的另两个内角为x，2x时，则x+2x+36°＝180°，解得x＝48°，2x＝96°，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为96°；综上所述，这个“友好三角形”的“友好角á”的度数为36°或72°或96°．故答案为：36°或72°或96°．【变式5-2】（2022春•安溪县期末）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC 中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“倍角三角形”．（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD 为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠D，根据n倍角三角形的定义判断；（2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定义分情况讨论计算，得到答案．【解答】解：（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，∴∠D＝2∠E，∴△DEF为“2倍角三角形”，故答案为：2；（2）∵∠C＝36°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，∴∠DAB=12∠BAC，∠DBA=12∠ABC，∴∠DAB+∠DBA=12×144°＝72°，∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，∵△ABD为“6倍角三角形”，∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°，当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，综上所述，∠ABD的度数为18°或54°．【变式5-3】（2021秋•福田区校级期末）我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON 于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝°，△AOB（填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC 上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON 于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝18°，△AOB是（填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC 上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“完美三角形”的概念判断；（2）根据“完美三角形”的概念证明即可；应用拓展：根据比较的性质得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“完美三角形”的定义求解即可．【解答】解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB＝90°，∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝90°﹣72°＝18°，∵∠MON＝4∠ABO，∴△AOB为“完美三角形”，故答案为：18；是；（2）证明：∵∠MON＝72°，∠ACB＝90°，∠ACB＝∠OAC+∠MON，∴∠OAC＝90°﹣72°＝18°，∵∠AOB＝72°＝4×18°＝4∠OAC，∴△AOC是“完美三角形”；应用拓展：∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，∴∠EFC＝∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF＝∠ADE，∵∠DEF＝∠B，∴∠B＝∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE ＝∠CDE ，∴∠B ＝∠BCD ，∵△BCD 是“完美三角形”，∴∠BDC ＝4∠B ，或∠B ＝4∠BDC ，∵∠BDC +∠BCD +∠B ＝180°，∴∠B ＝30°或∠B ＝80°．【题型6运用三角形内角和定理探究角的数量关系】【例6】（2021秋•青田县期末）如图，直线l ∥线段BC ，点A 是直线l 上一动点．在△ABC 中，AD 是△ABC 的高线，AE 是∠BAC 的角平分线．（1）如图1，若∠ABC ＝65°，∠BAC ＝80°，求∠DAE 的度数；（2）当点A 在直线l 上运动时，探究∠BAD ，∠DAE ，∠BAE 之间的数量关系，并画出对应图形进行说明．【分析】（1）根据角平分线的定义得∠BAE =12∠BAC ＝40°．而∠BAD ＝90°﹣∠ABD＝25°，利用角的和差关系可得答案；（2）根据高在形内和形外进行分类，再根据AB ，AC ，AD 为位置进行讨论．【解答】解：（1）∵AE 是∠BAC 的角平分线，∴∠BAE =12∠BAC ＝40°．∵AD 是△ABC 的高线，∴∠BDA ＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°；（2）如图1，∠BAD+∠BAE＝∠DAE；如图2，∠BAD+∠DAE＝∠BAE；如图3，∠BAE+∠DAE＝∠BAD；如图4，∠BAE+∠DAE＝∠BAD．【变式6-1】（2022春•顺德区期中）如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的内角平分线且BO，CO相交于点O．（1）若∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，求∠BOC的度数；（2）若∠A＝60°，求∠BOC的度数；（3）请你直接写出∠A与∠BOC满足的数量关系式，不需要说明理由．【分析】（1）由角平分线的定义可得∠CBO＝40°，∠BCO＝20°，由三角形的内角和定理即可求解；（2）由三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，再由角平分线的定义得∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，从而可求得∠CBO+∠BCO＝60°，即可求∠BOC的度数；（3）仿照（2）的过程进行求解即可．【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，∴∠CBO=12∠ABC＝20°，∠BCO=12∠ACB＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝120°；（2）∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，∴∠CBO+∠BCO=12（∠ABC+∠ACB）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝120°；（3）由题意得：∠ABC +∠ACB ＝180°﹣∠A ，∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠CBO =12∠ABC ，∠BCO =12∠ACB ，∴∠CBO +∠BCO =12（∠ABC +∠ACB ）＝90°−12∠A ，∴∠BOC ＝180°﹣（∠CBO +∠BCO ）＝90°+12∠A ，即∠BOC ＝90°+12∠A ．【变式6-2】（2022春•海门市期末）已知：△ABC ，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，连接BD ，CE ，BD 与CE 交于点O ，∠BOC ﹣∠BAC ＝54°．（1）如图1，当BD ，CE 都是△ABC 的角平分线时，求∠BOC 的度数；（2）如图2，当BD ，CE 都是△ABC 的高时，求∠BOC 的度数；（3）如图3，当∠ABD ＝2∠ACE 时，探究∠BEO 与∠CDO 的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算即可；（2）根据高的定义，三角形内角和定理以及图形中角之间的和差关系进行计算即可；（3）利用三角形内角和定理，四边形的内角和以及角之间的和差关系进行计算即可．【解答】解：（1）∵BD ，CE 都是△ABC 的角平分线，∴∠DBC ＝∠ABD =12∠ABC ，∠ECB ＝∠ACE =12∠ACB ，∴∠DBC +∠ECB =12（∠ABC +∠ACB ）=12（180°﹣∠BAC）＝90°−12∠BAC，∴∠BOC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（90°−12∠BAC）＝90°+12∠BAC，又∵∠BOC﹣∠BAC＝54°，即90°+12∠BAC﹣∠BAC＝54°，∴∠BAC＝72°，∴∠BOC＝90°+12∠BAC＝90°+36°＝126°；（2）∵BD，CE都是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵∠A+∠ADB+∠DOE+∠AEC＝360°，∴∠A+90°+∠DOE+90°＝360°，∴∠A＝180°﹣∠DOE，∵∠DOE＝∠BOC，∴∠A＝180°﹣∠BOC，∵∠BOC﹣∠A＝54°，∴∠BOC﹣（180°﹣∠BOC）＝54°，∴∠BOC＝117°．（3）∠ODC﹣∠BEO＝18°，理由如下：∵∠BEO＝∠A+∠ACE，∴∠BOC＝∠BEO+∠ABD＝∠A+∠ACE+∠ABD，∴∠BOC﹣∠A＝∠ACE+∠ABD．∵∠BOC﹣∠A＝54°，∴∠ABD＝2∠ACE，∴54°＝∠ACE+2∠ACE，∴∠ACE＝18°，∴∠ABD＝2×18°＝36°，∵∠BOC＝∠ODC+∠DCO＝∠BEO+∠ABD，∴∠BEO+36°＝∠ODC+18°，∴∠ODC﹣∠BEO＝18°．【变式6-3】（2022春•辉县市期末）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系．（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：∠B/度1030302020∠C/度7070606080∠EAD/度30a152030上表中a＝，于是得到∠B、∠C、∠EAD的数量关系为．（2）小明继续探究，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图2，过EA的延长线是一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D，当∠ABC＝80°，∠C＝24°时，∠F度数为°．【分析】（1）求出∠BAE和∠BAD的大小即可得到∠EAD的值，再通过找规律的形式得出三者的关系，（2）分别用∠B和∠C表示出∠BAE和∠BAD，再由∠EAD＝∠BAE和﹣BAD即可得出答案，（3）分析同（2）．【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝70°，∴Rt△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣∠B﹣∠C）=12（180°﹣30°﹣70°）＝40°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣40°＝20°，∴a＝20，故答案为：20；2∠EAD＝∠C﹣∠B．（2）如图，过点A作AF⊥BC于F，∵PD⊥BC，AF⊥BC，∴PD∥AF，∴∠EPD＝∠EAF，∵△ABC内角和为180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC＝90°−∠�+∠�2，同时∠BAF＝90°﹣∠B，∴可得出∠EAF＝∠BAF﹣∠BAE=∠�−∠�2=∠EPD，综上所述，∠EPD=∠�−∠�2；（3）同理（2），依旧可得∠EFD=∠�−∠�2=28°，故答案为：28．【知识点2直角三角形的判定】直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．【题型7判断直角三角形】【例7】（2021春•历下区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案．【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，∴5x+2x+3x＝180°，解得：x＝18°，∴∠A＝18°×5＝90°，∴△ABC是直角三角形；③∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝180°﹣90°＝90°，∴△ABC是直角三角形；④∵3∠C＝2∠B＝∠A，∴∠A+∠B+∠C=12∠A+13∠A+∠A＝180°，∴∠A＝（108011）°，∴△ABC为钝角三角形．∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，故选：C．【变式7-1】（2022秋•旌阳区校级月考）在下列条件中（1）∠A+∠B＝∠C；（2）∠A：∠B：∠C＝1：2：3；（3）∠A＝∠B=12∠C；（4）∠A=12∠B=13∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】（1）根据三角形内角和定理列式计算，根据直角三角形的概念判定即可．【解答】解：（1）∵∠A +∠B ＝∠C ，∠A +∠B +∠C ＝180°，∴2∠C ＝180°，解得：∠C ＝90°，∴△ABC 是直角三角形；（2）设∠A ＝x ，则∠B ＝2x ，∠C ＝3x ，由三角形内角和定理得：x +2x +3x ＝180°，解得：x ＝30°，∴∠C ＝30°×3＝90°，∴△ABC 是直角三角形；（3）∵∠A ＝∠B =12∠C ，∠A +∠B +∠C ＝180°∴12∠C +12∠C +∠C ＝180°，解得：∠C ＝90°，∴△ABC 是直角三角形；（4）∵∠A =12∠B =13∠C ，∴∠C ＝3∠A ，∠B ＝2∠A ，∴∠A +∠B +∠C ＝3∠A +2∠A +∠A ＝180°，解得：∠A ＝30°，∴∠C ＝3∠A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．所以能确定△ABC 是直角三角形的有共4个，故选：D ．【变式7-2】（2021秋•谢家集区期中）如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝62°，AE平分∠BAC．（1）求∠BAE；（2）若AD⊥BC于点D，∠ADF＝74°，证明：△ADF是直角三角形．【分析】（1）在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，根据三角形内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AE平分∠BAC，根据角平分线的定义，可求得∠BAE的度数；（2）由AD⊥BC，根据直角三角形的性质，可求得∠BAD的度数，继而求得∠DAE的度数，则可求得∠ADF的度数．【解答】（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝62°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣62°＝88°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=12×88°＝44°；（2）证明：∵AD⊥BC；∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣44°＝16°，∵∠ADF＝74°，∴∠ADF+∠EAD＝74°+16°＝90°，∴∠AFD＝90°，∴△ADF是直角三角形．【变式7-3】（2022春•崇川区期末）定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”．（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求证：△ABD为“奇妙三角形”（2）若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：△ABC是直角三角形；（3）如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的度数．【分析】（1）根据“奇妙三角形”的定义，在△ABD中，∠A+2∠ABD＝100°，即证明△ABD为“奇妙三角形”．（2）由三角形的内角和知，A+∠B＝100°，由△ABC为“奇妙三角形”得出∠C+2∠B ＝100°或∠C+2∠A＝100°两种情况，计算得∠B＝90°或∠A＝90°，从而证明△ABC 是直角三角形．（3）由三角形的内角和知，∠ADB+∠ABD＝140，由△ABC为“奇妙三角形得出∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°两种情况，求得∠C＝80°或100°．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD．在△ABC中，∵∠ACB＝80°，∴∠A+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°，即∠A+2∠ABD＝100°，∴△ABD为“奇妙三角形”．（2）证明：在△ABC中，∵∠C＝80°，∴∠A+∠B＝100°，∵△ABC为“奇妙三角形”，∴∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°，∴∠B＝10°或∠A＝10°，当∠B＝10°时，∠A＝90°，△ABC是直角三角形．当∠A＝10°时，∠B＝90°，△ABC是直角三角形．由此证得，△ABC是直角三角形．（3）解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，∵△ABD为“奇妙三角形”，∴∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°，①当∠A+2∠ABD＝100°时，∠ABD＝（100°﹣40°）÷2＝30°，∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，∴∠C＝80°；②当2∠A+∠ABD＝100°时，∠ABD＝100°﹣2∠A＝20°，∴∠ABC＝2∠ABD＝40°，∴∠C＝100°；综上得出：∠C的度数为80°或100°．【知识点3直角三角形的性质】直角三角形的性质：直角三角形两个内角互余．【题型8运用直角三角形两锐角互余的性质倒角】【例8】（2022秋•宁晋县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C＝∠BDF＝∠BAD＝∠ADE．【解答】解：如图，∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，∴∠C＝∠ADE，∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，故选：A．【变式8-1】（2022•碑林区校级模拟）如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF ＝90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（）个．A．5B．4C．3D．2【分析】利用平行线的性质与判定可得∠E＝∠BME＝∠AMF，根据同角的余角相等可得∠E＝∠C，即可求解．【解答】解：∵∠BAC＝∠EDF＝90°，∴∠BAC+∠EDF＝180°，∴AB∥DE，∠E+∠F＝90°，∴∠E＝∠BME＝∠AMF，∵EF⊥BC，∴∠C+∠F＝90°，∴∠E＝∠C，故与∠E相等的角有3个，故选：C．【变式8-2】（2022春•邓州市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ABD＝∠CAD＝36°，根据角平分线的性质求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可；（2）根据角平分线的性质、直角三角形的性质证明结论．【解答】（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAD＝36°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=12∠ABC＝18°，∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，∴∠AEF＝∠BFD，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠AEF＝∠AFE．【变式8-3】（2022春•米东区期末）如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE ⊥AD，且BE平分∠ABC．（1）求证：∠ACE＝∠ABC；（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；（3）求证：∠CEF＝∠CFE．【分析】（1）根据条件易求∠ACE＝∠D，进而可证明结论；（2）通过判定AD∥BC可得∠BEC+∠EBC＝90°，根据直角三角形的性质结合角平分线的定义可得2∠EBC+∠ECD＝90°，进而可证明结论；（3）由对顶角的定义结合角平分线的定义可证明结论．【解答】证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°，∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠D．∵∠D＝∠ABC，∴∠ACE＝∠ABC；（2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，∴∠ACB＝∠DAC，∴AD∥BC，∵CE⊥AD，∴CE⊥BC，∴∠BEC+∠EBC＝90°，∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC，∴∠ABC+∠ECD＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC∴2∠EBC+∠ECD＝90°，∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC，即∠EBC+∠ECD＝∠BEC；（3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE，∴∠ABF+∠CFE＝90°，∵∠CBE+∠CEF＝90°，∠ABF＝∠CAE，∴∠CEF＝CFE．。

小学数学学习材料金戈铁骑整理制作三角形的内角和练习卷（带解析）1．一个三角形中，有1个角是44°，另外两个角可能是（）A．96°，50° B．80°，56° C．90°，36°2．用10倍的放大镜看一个三角形，这个三角形三内角和是（）。

A．108° B．180° C．1800° D．1080°3．三角形中最大的一个角一定（）A．不小于60° B．大于90° C．小于90° D．大于60°而小于90°4．两个不相等的三角形，它们的内角和（）。

A．相等 B．面积大的三角形内角和大C．面积小的三角形内角和小 D．不能比较5．一个三角形最小的内角是50度，这是一个（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都不对6．一个三角形中，有两个角都是锐角，另一个角（）A．一定是钝角 B．一定是锐角C．可能是钝角、锐角或直角7．下面能组成一个三角形的三个角是（）A．∠1= 80度，∠2= 70度，∠3 =15度B．∠1= 50度，∠2= 85度，∠3 =63度C．∠1= 60度，∠2= 60度，∠3 =70度D．∠1= 74度，∠2= 16度，∠3 =90度8．把一个等边三角形从顶点起用一条直线分成两个同样大小的三角形，其中一个三角形的内角和是（）A．30 B．60° C．90° D．180°9．一个三角形中，如图所示，∠1=70度，∠3=35度，∠2=（）A．45度 B．180度 C．75度 D．90度10．在一个等腰直角三角形中，它的一个底角是（）A．30° B．45° C．60°11．下列图形中，内角和不是180度的图形是（）A．等腰三角形 B．平行四边形 C．锐角三角形12．一个等腰三角形的顶角是60度，它的底角和是（）A．70° B．120° C．140°13．下面每组三个角，不可能在同一个三角形内的是（）A.15度、87度、78度B.120度、55度、5度C.80度、50度、50度D.90度、16度、104度14．一个直角三角形中的一个锐角是另一个锐角的2倍，则这个三角形中最小锐角是（）A．450° B．30° C．25°15．一个等腰三角形的底角为a度，顶角可表示为（）度。

7.5三角形的内角和（1）姓名________ 班级_________成绩_______1．（1）三角形的3个内角和等于 ； （2）直角三角形的两个锐角 ；（3）三角形的一个外角等于 ． 2．在一个三角形，若︒=∠=∠40B A ，则ABC ∆是（ ）．（Ａ）直角三角形 （Ｂ）锐角三角形 （Ｃ）钝角三角形 （Ｄ）以上都不对 3．在△ABC 中，（1）∠C = 90º,∠B =30º, 则 ∠A = º；（2）∠A = 100º,∠B =∠C , 则 ∠B = º； （3）若△ABC 中的三个内角度数之比为2：3：4，则相应外角之比为 ． （4）三角形的三个内角中，最多有 个锐角，最多有 个直角，最多有 个钝角．4．如图所示，在△ABC 中，∠B =440，∠C =720，AD 是△ABC 的角平分线， （1）求∠BAC 的度数；（2）求∠ADC 的度数．5．如图，在△ABC 中，外角∠DBA ＝78º，∠A ＝36º，求∠C 和∠ABC 的大小．6．如图，在△ABC 中，BE 、CD 相交于点E ． （1）∠1和∠2分别是哪一个三角形的外角？（2）如果∠A ＝2∠ACD ＝76º，∠2＝143º．试求∠1和∠DBE 的度数．7． 如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ， (1)若∠ABC =60°，∠ACB =80°，求∠BOC 的度数； (2) 若∠A =70°, 求∠BOC 的度数． (3)若∠BOC =120°, 求∠A 的度数．ABCD第4题图第5题图B第6题图第7题图OCBA8(选做题)．已知：如图，△ABC中，∠B的平分线和△ABC的外角平分线交于点D，∠A=90°．求∠D的度数．第8题图DE CBA。

初一数学三角形的内角和试题1.一个三角形的三个内角中，至少有（）A．一个锐角B．两个锐角C．一个钝角D．一个直角【答案】B【解析】根据三角形的内角和定理判断即可．三角形的三个内角中至少有两个锐角，不可能有两个钝角或两个直角，故选B．【考点】本题考查的是三角形的内角和定理点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形的三个内角和是180°．2.已知一个多边形的外角和等于它的内角和，则这多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】B【解析】根据多边形的外角和以及四边形的内角和定理即可解决问题．∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和等于它的外角和，则内角和是360度，∴这个多边形是四边形，故选B.【考点】本题考查的是多边形的外角和点评：解答本题的关键是熟练掌握任意多边形的外角和均是360度，与边数无关。

3.若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数是( )A．9B．8C．7D．6【答案】B【解析】根设这个多边形的边数是n，据多边形的内角和公式即可得到结果。

设这个多边形的边数是n，由题意得，解得，故选B.【考点】本题考查的是多边形的内角和公式点评：解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式：4.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是( )A．十三边形B．十二边形C．十一边形D．十边形【答案】A【解析】根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，由此可得到答案．设这个多边形是n边形．依题意，得n-3=10，∴n=13，故选A.【考点】本题考查的是多边形的对角线点评：多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n-3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n-2）个三角形．5.一个多边形边数增加1，则这个多边形内角增加，外角增加 .【答案】180度，0度【解析】根据多边形的内角和公式，多边形的外角和为360度即可得到结果。

1.几位同学用三根木棒拼成的图形如图所示,则其中符合三角形定义的是()2.如图,过A,B,C,D,E五个点中任意三点画三角形.(1)其中以AB为一边可以画出____________个三角形;(2)其中以C为顶点可以画出____________个三角形.3.如图,以CD为公共边的三角形是____________;∠EFB是____________的内角;在△BCE中,BE所对的角是____________,∠CBE 所对的边是____________;以∠A为公共角的三角形是____________.4.在△ABC中,若∠A=95°,∠B=40°,则∠C的度数为()A.35°B.40°C.45°D.50°5.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C等于()C.75°D.90°6.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是三条边上的点,EF∥AC,DF∥AB,∠B=45°,∠C=60°,则∠EFD等于()A.80°B.75°C.70°D.65°7.在一个直角三角形中,有一个锐角等于60°,则另一个锐角的度数是()A.120°B.90°C.60°D.30°8.(如图,直线a∥b,直线l与a,b分别相交于A,B两点,过点A作直线l 的垂线交直线b于点C,若∠1=58°,则∠2的度数为()A.58°B.42°C.32°D.28°9.如图,将一块含有30°角的直角三角尺的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上,如果∠2=60°,那么∠1的度数为()A.60°B.50°C.40°D.30°10.在△ABC中,∠A=20°,∠B=60°,则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形或钝角三角形11.如图所示的三角形被木板遮住了一部分,这个三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能12.根据下列条件,判断△ABC的形状.(1)∠A=40°,∠B=80°;(2)∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7.提升训练13.如图,在△ABC中,D,E是BC,AC上的点,连接BE,AD,交于点F,问:(1)图中有多少个三角形?并把它们表示出来.(2)△BDF的三个顶点是什么?三条边是什么?(3)以AB为边的三角形有哪些?(4)以F为顶点的三角形有哪些?14.如图,请猜想∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数,并说明你的理由.15.如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EP平分∠BEF,FP平分∠DFE.试说明:△PEF是直角三角形.等的角吗?为什么?(2)如图②,把图①中的CD平移到ED处,图中还有与∠A相等的角吗?为什么?(3)如图③,把图①中的CD平移到ED处,交BC的延长线于点E,图中还有与∠A相等的角吗?为什么?参考答案1.【答案】D2.【答案】(1)3(2)6解：(1)其中以AB为一边可以画出3个三角形,分别为△ABE,△ABD,△ABC;(2)其中以C为顶点可以画出6个三角形,分别为△ABC,△BCD,△BCE,△ADC,△DEC,△ACE.3.【答案】△CDF与△BCD;△BEF;∠BCE;CE;△ABD,△ACE和△ABC4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】C9.【答案】D12.解:(1)∠C=180°-∠A-∠B=60°,因为40°<60°<80°<90°,所以△ABC是锐角三角形.(2)设∠A=2x,∠B=3x,∠C=7x,则2x+3x+7x=180°,解得x=15°.所以∠C=7×15°=105°.所以△ABC是钝角三角形.13.解:(1)8个:△ABC,△ABF,△ABE,△ABD,△BDF,△AEF,△ACD,△BCE(2)三个顶点:B,D,F三条边:BD,BF,DF(3)△ABC,△ABF,△ABD,△ABE(4)△ABF,△BDF,△AEF14.解:猜想:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.理由:因为∠A+∠B+∠AMB=180°,∠AMB+∠BMP=180°,所以∠BMP=∠A+∠B.同理得∠ENM=∠E+∠F,∠MPC=∠C+∠D.又因为∠BMP+∠ENM+∠MPC=(180°-∠NMP)+(180°-∠MNP)+(180°-∠MPN)=540°-(∠NMP+∠MNP+∠MPN)=360°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.分析：此题不能直接求出每个角的度数,但可将这些角放置在不同三角形中,根据三角形内角和等于180°和补角的定义,得出∠BMP=∠A+∠B,∠ENM=∠E+∠F,∠MPC=∠C+∠D,然后运用这些条件并结合三角形内角和等于180°和补角求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数..15.解:因为AB∥CD,所以∠BEF+∠DFE=180°.又因为EP平分∠BEF,FP平分∠DFE,所以∠PEF=∠BEF,∠PFE=∠DFE.所以∠PEF+∠PFE=(∠BEF+∠DFE)=90°. 又因为∠PEF+∠PFE+∠P=180°,所以∠P=90°.所以△PEF是直角三角形.16.解:(1)有.理由:因为CD⊥AB,所以∠B+∠BCD=90°. 因为∠ACB=90°,所以∠B+∠A=90°.所以∠BCD=∠A.(2)有.理由:因为ED⊥AB,所以∠B+∠BED=90°. 因为∠ACB=90°,所以∠B+∠A=90°.所以∠BED=∠A.(3)有.理由:因为ED⊥AB,所以∠B+∠E=90°.因为∠ACB=90°,所以∠B+∠A=90°.所以∠E=∠A.北师大版九年级数学上册期中测试题 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12 C.13 D.14 2. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是 A.这个方程是一元二次方程 B.方程C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解 3.下列说法正确的个数是 ①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形; ③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形 ⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分 A.1 B.2 C.3 D.4 4.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ …………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ …………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..是 A.23 B.12 C.13 D.49 8.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.24013 9.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为 A.5 B.4 C.342 D.34 10.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ …………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.1个B.2个C.3个D.4个 二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________. 12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，则菱形ABCD 的周长为________. 13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P ，再随机摸出一张卡片，其数字记为q ，则关于的方程x 2+px+q ＝0有实数根的概率是________. 14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下: 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ …………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到0.1) 15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________. 16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________. 三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程: (1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-12 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ …………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..18.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转 (1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果; (2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜 若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获 胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明 19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ …………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..惠，则每件衬衫应降价多少元? (2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由. 20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F. (1)求证:四边形BEDF 是平行四边形; (2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长. 21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求: (1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? (2)能围成面积为200平方米的鸡场吗? 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ …………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律. (1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式; (2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x. 23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F. (1)求证:△BDF 是等腰三角形; (2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O ①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由; ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长. 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ …………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。

例题3图 CA DB12 12 同步练习CADBHECOA FECDA第9章《多边形》培优习题2：三角形内角和考点1：三角形的内角和等于180度题型1：已知两个角的度数求第三个角或已知三角关系求角的度数问题例1、在ABC ∆中，如果︒=∠60A ，︒=∠45B ，那么C ∠等于（ ）A 、115°B 、105°C 、75°D 、45°例2、ABC ∆的三个内角A ∠，B ∠，C ∠满足关系式A C B ∠=∠+∠3，则此三角形（ ）A 、一定是直角三角形B 、一定是钝角三角形C 、一定有一个内角为45°D 、一定有一个内角为60°【同步练习】1、若三角形三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形一定是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确定2、一个三角形三个内角的度数之比为3：4：5，这个三角形一定是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形3、一个三角形三个内角的度数之比为4：5：6，这个三角形一定是（ ）A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、锐角三角形D 、钝角三角形例3、如图，点D 在ABC ∆内，且︒=∠120BDC ，︒=∠+∠5521，则A ∠的度数为（ ）A 、50°B 、60°C 、65°D 、75°【同步练习】如图，在ABC ∆中，︒=∠50A ，︒=∠301，︒=∠402，D ∠的度数是（ ） A 、110°B 、120°C 、130°D 、140°题型2：三角形内角和与高线结合解决角度问题例4、如图，ABC ∆中，︒=∠80A ，高BE 和CH 的交点为O ，则BOC ∠等于（ ）A 、80°B 、120°C 、100°D 、150°考点汇编D E例题4图B C ADE同步练习1BC AD 同步练习2B CAA ′C B例题6图AM NB ′C B同步练习AD【同步练习】如图，在ABC ∆中，高BD ，CF 相交于点E ，若︒=∠52A ，则=∠BEC （ ） A 、116°B 、128°C 、138°D 、142°题型3：三角形内角和与角平分线结合解决角度例5、如图，在ABC ∆中，︒=∠46B ，︒=∠54C ，AD 平分BAC ∠，交BC 于D ，AB DE //，交AC 于E ，则ADE ∠的大小是（ ）A 、40°B 、45°C 、50°D 、54°【同步练习】1、如图，在ABC ∆中，︒=∠60A ，︒=∠70C ，BD 平分ABC ∠，BC DE //，则BDE ∠的度数是（ ）A 、50°B 、25°C 、30°D 、35°2、如图，在ABC ∆中，︒=∠70BAC ，︒=∠60B ，AD 是ABC ∆的角平分线，则ADC ∠的度数是（ ）A 、95°B 、100°C 、105°D 、110°题型4：三角形内角和与折叠结合解决角度问题例6、如图，将ABC ∆纸片沿MN 折叠，使点A 落在点A '处，若︒=∠50AMN ，MB A '∠的度数是（ ）A 、20°B 、120°C 、70°D 、80°【同步练习】如图，将一个直角三角形纸片ABC （︒=∠90ACB ），沿线段CD 折叠，使点B 落在B '处，若︒='∠72B AC ，则ACD ∠的度数为（ ）A 、9°B 、10°C 、12°D 、18°考点2：直角三角形两锐角互余例7、一副三角板如图方式摆放，点D 在直线EF 上，且EF AB //，则ADE ∠的度数是（ ）EDFACB例题7图OD ACB同步练习11EDACB同步练习21探究应用22 BOCA探究应用3E1DBC探究应用42ECDCAED【同步练习】1、若把一副三角板如图叠放在一起，使顶点O 、D 、C 在一直线上，则AOB ∠等于（ ） A 、15° B 、30° C 、45° D 、60°2、将一副三角板按如图所示的方式放置，若︒=∠40EAC ，则1∠的度数为（ ）A 、95°B 、85°C 、105°D 、80°1、一个三角形三个内角的度数的比是2：3：5、则其最大内角的度数为（ ） A 、60° B 、90° C 、120° D 、150°2、一副三角板按如图方式摆放，且1∠的度数比2∠的度数小20°，则2∠的度数为（ ）A 、35°B 、40°C 、45°D 、55°3、如图所示，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的角平分线相交于点O ，若︒=∠140BOC ，则A ∠的度数是（ ）A 、40°B 、90°C 、100°D 、140°4、如图，把ABC ∆纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则A ∠与21∠+∠之间有一种数量关系始终保持不变，试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）A 、A ∠=∠+∠221B 、A ∠=∠+∠21C 、()A ∠=∠+∠213D 、A ∠=∠+∠2121 5、如图，ABC ∆中，︒=∠90ACB ，沿CD 折叠△CBD ，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若︒=∠24A ，则EDC ∠等于（ ）A 、42°B 、66°C 、69°D 、77°探究应用AE DCB探究应用8AEDC探究应用9DC B探究应用10EADCB探究应用116、如图，ABC ∆纸片中，︒=∠56A ，︒=∠88C ，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD 、则EDB ∠的度数为（ ）A 、76°B 、74°C 、72°D 、70°7、如图，已知D 为ABC ∆边AB 的中点，E 在边AC 上，将ABC ∆折叠，使A 点落在BC 上的F 处，若︒=∠65B ，则BDF ∠等于（ ）A 、65°B 、50°C 、60°D 、57.5° 8、如图，ABC ∆中，︒=∠40A ，若沿图中虚线截去A ∠，则=∠+∠DEB CDE （ ）A 、140°B 、220°C 、280°D 、360°9、如图，在ABC ∆中，D 为AB 延长线上一点，AC DE ⊥于E ，︒=∠40C ，︒=∠20D ，则ABC ∠的度数为（ ）A 、50°B 、60°C 、70°D 、80°10、如图，在ADB Rt ∆中，︒=∠90D ，BC 是ABD ∠的角平分线，交AD 于点C ，且︒=∠50A ，则ACB ∠的度数为（ ）A 、110°B 、120°C 、130°D 、140°11、将一副三角板按如图所示摆放，使点A 在DE 上，DE BC //，其中︒=∠45B ，︒=∠60D ，则AFC ∠的度数是 ；12、如图，在ABC ∆中，BD 是ABC ∠的角平分线，BC DE //，交AB 于点E ，︒=∠60A ，︒=∠95BDC ，求BED ∠的度数。

1认识三角形第1课时三角形及其内角和1．下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是(D)2．在△ABC中，BC边的对角是(A)A．∠A B．∠BC．∠C D．∠D3．如图，△ABC中，AB与BC的夹角是∠B，∠A的对边是BC，∠A，∠C的公共边是AC .4．如图，以点A为顶点的三角形有 4 个，它们分别是△ABC，△ADC，△ABE，△ADE .5．在△ABC中，若∠C＝100°，∠B＝10°，则∠A＝ 70° .6．在△ABC中，若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠B＝ 50° .7．在△ABC中，若∠C＝40°，∠B＝4∠A，则∠A等于(B)A．30° B．28° C．26° D．40°8．如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠C＝40°，则∠E等于(C)A．70° B．80° C．90° D．100°9．在△ABC中，∠B比∠A大36°，∠C比∠A小36°，求△ABC的各内角的度数．解：设∠A＝x，则∠B＝x＋36°，∠C＝x－36°.根据题意，得x＋x＋36°＋x－36°＝180°，解得x＝60°，所以x＋36°＝96°，x－36°＝24°.所以∠A＝60°，∠B＝96°，∠C＝24°.10．如图，如果把△ABC的一边BA延长，可以得到∠CAD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，我们把它称作三角形的外角．它的一个性质定理是三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．如果∠C＝50°，∠B＝30°，则∠CAD的度数是(A)A．80° B．90° C．100° D．110°11．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点D在BC的延长线上，∠ACD＝145°，则∠B等于(C)A．45° B．55° C．65° D．75°12．(2019·湖北襄阳保康模拟)下列图形中，能确定∠1＞∠2的是(C)13．三角形按角分类可以分为(A)A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形C．直角三角形、等边三角形D．以上答案都不正确14．(教材P82，议一议改编)下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形的形状的是(C)15．(2019·上海徐汇区月考)已知在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝46°，那么△ABC的形状为(A)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形16．(2019·江苏徐州期中)在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则△ABC的形状是(A)A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形17．如图，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，那么图中与∠A相等的角是∠BCD .18．如图，图中三角形的个数有(B)A．6个 B．8个 C．10个 D．12个19．如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则(D)A．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形B．△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形C．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形D．△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形20．(2019·江苏无锡江阴期中)如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝24°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′的度数为(A)A．42° B．40° C．30° D．24°21．如图，在△ABC中，∠C＝78°，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝(D)A．282° B．180° C．360° D．258°22．一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α等于(A)A．105° B．115° C．120° D．135°23．在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C，②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，③∠A＝90°－∠B，④∠A＝∠B＝∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③ (填序号)．24．如图，已知DF⊥AB于点F，∠A＝40°，∠D＝50°，求∠ACB的度数．解：因为DF⊥AB，所以∠GF A＝90°.因为∠A＝40°，所以∠AGF＝50°.所以∠DGC＝50°.又∠D＝50°，所以∠ACB＝∠D＋∠DGC＝100°.25．阅读材料：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”．解决问题：(1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由．(2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：①如图2，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABD＋∠ACD＝ 50 °；②如图3，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝64°，∠BPC＝142°，求∠BDC的度数．解：(1)如图，连接AD并延长至点F.根据外角的性质，可得∠BDF＝∠BAD＋∠B，∠CDF＝∠C＋∠CAD，又因为∠BDC＝∠BDF＋∠CDF，∠BAC＝∠BAD＋∠CAD，所以∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C.(2)②由(1)得∠BPC＝∠BAC＋∠ABP＋∠ACP，∠BDC＝∠BAC＋∠ABD＋∠ACD，所以∠ABP＋∠ACP＝∠BPC－∠BAC＝142°－64°＝78°. 又因为BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，所以∠ABD＋∠ACD＝12(∠ABP＋∠ACP)＝39°，所以∠BDC＝64°＋39°＝103°.。