(苏教版)七年级下数学7.5三角形的内角和 同步练习(含答案)

数学：7.5 三角形的内角和（2）同步练习（苏科版七年级下）【基础演练】 一、选择题1.一个三角形的三个内角中，至少有（ ）A.一个锐角；B.两个锐角；C.一个钝角；D.一个直角. 2.已知一个多边形的外角和等于它的内角和，则这多边形是（ ） A.三角形； B.四边形； C.五边形； D.六边形. 3.若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是( ) A.9； B.8； C.7； D.6.4.锐角三角形的三个内角是∠A 、∠B 、∠C 。

如果∠α＝∠A+∠B ，∠β＝∠B+∠C ，A C ∠+∠=∠γ，则γβα∠∠∠、、这三个角中（ ）A.没有锐角；B.有1个锐角；C.有2个锐角；D.有3个锐角.5.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( ) A.十三边形； B.十二边形； C.十一边形； D.十边形. 二、填空题6.每个内角都为144°的多边形为_________边形.7.一个多边形边数增加1，则这个多边形内角增加 ，外角增加 . 8.多边形的内角中,最多有________个直角.9.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是 边形. 10.一个多边形的每一个外角等于40°，则此多边形是 边形，它的内角和等于 .三、解答题11.如图,在四边形ABCD 中,∠B+∠D=180°,∠DCE 是四边形ABCD 的一个外角,∠DCE 与∠A 相等吗?为什么?12.有两个各角都相等的多边形,它们的边数之比为1:2,且第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°,求这两个多边形的边数.13.如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.ABCDE第11题图A BCDEF 第13题图【能力提升】14.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个内角的度数为( )A.90°；B.105°；C.130°；D.120°.15.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为7:2,则这个多边形的边数为_________.16.从n边形的一个顶点出发,最多可以引多少条条对角线?请你总结一下n边形共有多少条对角线.参考答案1.B.两个锐角；2.B；3.B；4.A；5.A.6.十；7.180度，0度；8.4；9.十；10.九，1260°.11.解：∠DCE=∠A.在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,所以∠A+∠BCD=180°.因为∠DCE+∠BCD=180°，所以∠DCE=∠A.12.12和24.13.360°.14.C；15.9.16.提示：可以从四边形、五边形、六边形开始讨论，n-3，2)3(nn.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m ＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是．12．(甘孜州中考)若函数y＝－kx＋2k＋2与y＝kx(k≠0)的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是．.◆类型三一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2C ．m ≥3D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m＜0，∴m＜－1，∴m＋1＜1－1，即m＋1＜0，m－1＜－1－1，即m－1＜－2，∴一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k≠013．B 14.k≥1。

7.5三角形的内角和（2）姓名________ 班级_________成绩_______ 1．n边形的内角和等于__________．2．你会用设计哪些方案求n边形的内角和？列举其中一种加以说明．3．（1）下列各角不是多边形的内角的是（）．（Ａ）1800（B）5400（C）19000 （D）10800（2）如果一个四边形的一组对角都是直角，那么另一组对角可以（）．（Ａ）都是锐角（B）都是钝角（C）是一个锐角和一个直角（D）是一个锐角和一个钝角（3）如果一个多边形的边数增加1，则它的内角和将（）．（Ａ）增加90°（B）增加180°（C）增加360°（D）不变（4）多边形内角和增加360°，则它的边数（）．（Ａ）增加1 （B）增加2 （C）增加3 （D）不变4．（1）五边形的内角和是__________，六边形的内角和是_________；（2）一个十边形所有内角都相等，它的每一个内角等于；（3）一个多边形的内角和是是2340°，则它的边数等于．5．五边形ABCDE的内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4．求∠CAD的度数．6．如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，且∠D+∠C=220°，求∠AOB的度数．7．如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数．4321ODCB A第6题图CE第5题图第7题图8．如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数比是2：3：4，那么这三个内角的度数分别是多少？9、小强把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在BCDE 内部时，他发现2∠A ＝∠1+∠2，你能帮他解释其中的原因吗？【数学阅读】当数学家的15个原因1、从楼上砸下一个西瓜，会有九个经理被砸着，而一个数学家都不会有。

2、当利息或税率调整时，数学家是算的最清楚的一个。

3、数学这个职业是投资回报率最高的职业之一。

只需要投入一枝笔加几张纸。

4、数学家永远不会象发明家那样被专利困扰，他不怕有假冒伪劣产品出现。

苏教版七年级数学下册7.5多边形的内角和与外角和（难题）专题训练（含答案）一、选择题1.关于正多边形，下列说法错误的是()A. 正多边形的边长相等B. 正多边形的每一个内角都相等C. 正六边形有9条对角线.D. 正多边形的对角线都相等2.如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？()A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°3.如图，一个多边形纸片按示的剪一个内角后得到一个内为2340°的新边形则原多边的边数()A. 13B. 14C. 15D. 164.若一个多边形的各内角都相等，则此多边形的一个内角与一个外角的度数之比不可能是()A. 2：1B. 1：1C. 5：2D. 5:45.①三角形三个内角的和为360°；②三角形一个外角大于它的任何一个内角；③三角形一个外角等于它任意两个内角的和；④多边形形的外角和等于360°.⑤一个多边形的对角线可能会有12条；⑥一个正多边形的每个内角是135°，这个多边形是八边形。

上述正确说法的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 46.社区有一个五边形的小公园，如图所示，张老师每天晚饭后都要到公园里去散步，已知图形中的∠1=95°.张老师沿公园边由A点经过B→C→D→E一直到F时，他在行走过程中共转过的度数是()A. 265°B. 275°C. 360°D. 445°二、填空题7.过一个多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成了7个三角形，则这个多边形是_________边形．8.把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1=52°，∠2=18°，则∠3=______．9.如图，用若干个完全相同的正五边形可以拼成一个环状，如图是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环还需要的正五边形个数是___________________________．10.一个多边形除了两个内角外，其余各内角的和为2030°，则这个多边形的边数是_________．11.若计算一个多边形内角和时，粗心的小明将其中一个内角没有加上去，而是加上了这个内角所对应的外角，这样计算出来的结果是600°，则小明计算的这个多边形的边数为____．12.如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180∘，AD=CD，∠ABD=m∘，则∠ADC的度数为是______ ∘(用含m的代数式表示)13.若一个凸多边形截去一个内角得到的新多边形的内角和是540°，则原多边形是_______________边形．三、解答题(∠C+ 14.如图，在四边形ABCD中，∠DAB、∠CBA的平分线交于点E，试说明：∠AEB=12∠D)．15.(1)如图1，在△ADC中，∠ADC的平分线和∠ACD的外角平分线交于点P，若∠ADC=70°，∠ACD=50°，求∠P的度数．(2)如图2，在四边形ABCD中，∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P，∠A=90°，∠B=150°，求∠P的度数．(3)如图3，若将(2)中“∠A=90°，∠B=150°”改为“∠A=α，∠B=β”，其余条件不变，直接写出∠P与α+β之间的数量关系．16.如图所示，平面上有n(n为奇数，n≥5)个点，顺次连结相隔的两个点分别作一条线段，则称这样围成的图形叫做回形n星形，相邻两条线段的夹角叫做内角，如图形1为回形五星形，图形2为回形七星形，……．(1)图1中的回形五星形的内角和∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=_________；(2)猜想图2中的回形七星形的内角和是多少？并证明你的结论；(3)猜想回形n星形的内角和是_______________________17.∠EAB是四边形ABCD的外角，设∠ABC=α、∠C=β．(1)如图1，∠ADC和∠EAB的平分线DM、AM相交于点M，当α=136∘、β=96∘时，∠M=__∘；(2)如图2，∠ADC和∠EAB的三等分线DN、AN相交于点N(∠CDN=13∠ADC,∠BAN=1 3∠EAB)，求证：∠N=23(α+β)−120∘；(3)如图3，∠ADC和∠EAB的n等分线分别相交于点P1、P2、P3、…、P n−1，∠P1+∠P2+∠P3+⋯+∠P n−1=__多少度(用含α、β、n的代数式表示)．答案和解析1.D解：A.正多边形的边长相等，正确；B.正多边形的每一个内角都相等，正确；C.正六边形有9条对角线，正确；D.正六边形对角线都不都相等，此项错误．2.A解：在DO延长线上找一点M，如图所示．∵多边形的外角和为360°，∴∠BOM=360°−220°=140°．∵∠BOD+∠BOM=180°，∴∠BOD=180°−∠BOM=180°−140°=40°．3.B解：设新多形是边形，由多边形内角和得解得n=1，原多边形5−1=14，4.D解：A.外角是：180×13=60°，360÷60=6，故可能；B.外角是：180×12=90°，360÷90=4，故可能；C.外角是：180×27=3607度，360÷3607=7，故可能；D.外角是：180×49=80°.360÷80=4.5，故不能构成．5.B解：①三角形的内角和为180∘，故说法①错误；②三角形一个外角大于与它不相邻的任一个内角，故说法②错误；③三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故说法③错误；④多边形的外角和等于360°，故说法④正确；⑤根据多边形对角线条数公式可知一个多边形的对角线不可能会有12条，故说法⑤错误；⑥一个正多边形的每个内角是135°，此时，它的一个外角为45°，则其边数为：360°÷45°=8，故说法⑥正确，所以正确的说法有④⑥，共2个．6.B解：360°−(180°−95°)=275°，故张老师共转了275°．7.九解：设这个多边形是n边形，由题意得，n−2=7，解得：n=9，即这个多边形是九边形，故答案为九．8.32°解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数(5−2)×180°=108°，是：15则∠3=360°−60°−90°−108°−∠1−∠2=32°．9.7解：设要完全拼成一个圆环需要的正五边形为n个，所以(n−2)⋅180°=(360°−2×108°)n，解得n=10，所以要完全拼成一个圆环还需要的正五边形的个数为7．10.n=14或15解：设多项式的边数为n，根据题意得：0<(n−2)×180°−2030°<360°，解得：13518<n<15518，即整数n=14或15，11.5或6解：设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，少加的内角为180°−a，则(n−2)⋅180°=600°−α+180°−α，180°n−360°=780°−2α，α=570°−90°n，∵0°<α<180°∴0°<570°−90°n<180°，∴133<n<193，∵n只能为整数，∴n=5或6，12.(180−2m)解：如图所示：延长BA到E，使AE=BC，连接DE，，，∴∠C=∠DAE．又AD=CD，AE=BC，∴△DAE≌△DCB，∴∠E=∠CBD,DE=BD．∴∠E=∠ABD，，，13.四或五或六解：设新多边形的边数为n，则(n−2)⋅180°=540°，解得n=5，如图所示，截去一个角后，多边形的边数可以增加1，不变，减少1，所以，5−1=4，5+1=6，所以原来多边形的边数为4或5或6．14.证明：∵∠DAB与∠ABC的平分线交于四边形内一点E，∴∠EAB=12∠DAB，∠EBA=12∠ABC，∴∠AEB=180°−(∠EAB+∠EBA)=180°−12(∠DAB+∠CBA)=180°−12(360°−∠C−∠D)=12(∠C+∠D)．15.(1)解：如图1，在射线DC上取一点E，∵∠ADC的平分线和∠ACD的外角平分线交于点P，∴∠PDC=12∠ADC=35ﾟ，∠PCE=12∠ACE=12(180ﾟ−∠ACD)=65ﾟ.∴∠P=∠PCE−∠PDC=30ﾟ；(2)解：如图2，在射线DC上取一点E，∵∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCE=12∠BCE=12(180ﾟ−∠BCD)，∴∠P=∠PCE−∠PDC=12(180ﾟ−∠BCD)−12∠ADC=90ﾟ−12∠BCD−12∠ADC =90ﾟ−12(∠BCD+∠ADC)=90ﾟ−12(360ﾟ−∠A−∠B)=12(∠A+∠B)−90ﾟ=30ﾟ；(3)∠P=12(α+β)−90ﾟ．16.解：：(1)180°；(2)七星形的内角和是540°，理由如下：连接A4A5、A3A6，∵∠1+∠2=∠5=∠3+∠4，∴内角和=∠A1+∠A2+∠A4+∠A5+∠A7+∠1+∠2+∠6+∠7，=∠A1+∠A2+∠A4+∠A5+∠A7+∠3+∠4+∠6+∠7，=(∠A1+∠6+∠7)+(∠A2+∠A4+∠A5+∠A7+∠3+∠4)，=180°+360°=540°，(3)猜想回形n星形的内角和是180°(n−4)．17.(1)26；(2)证明：如图2，延长AB交DN于T，交DC的延长线于K，∵∠EAK是△ADK的外角，∴∠EAK=∠K+∠KDA，∴∠K=∠EAK−∠KDA，∵∠KTD=∠NTA，∴∠K+∠KDT=∠N+∠NAT，∵∠CDN=13∠ADC，∠BAN=13∠EAB，∴∠K−∠N=∠NAT−∠KDT，=13∠EAB−13∠ADC，=13∠K，∴∠N=23∠K，∵∠DCB、∠ABC是△BCK的外角，∴∠DCB=∠K+∠KBC，∠ABC=∠K+∠KCB，∴∠DCB+∠ABC=180°+∠K，∴∠K=(α+β)−180°，∴∠N=23[{α+β)−180°]=23(α+β)−120°；(3)n−12[(α+β)−180°]．。

某某省灌南县实验中学七年级数学下册《三角形的内角和》同步练习1 苏科版（说明：标注符号“▲”为选做题）
1.多边形的内角和可能是（）° ° C.180° °
2.如果一个四边形的一组对角都是直角，那么另一组对角可以（）
Ａ.都是锐角 B.
3.一个多边形的边数增加1，则它的内角和将（）Ａ.增加90° B.增加180° C.增加360° D.不变
4.多边形内角和增加360°，则它的边数（）Ａ.增加1 B.增加2 C.增加3 D.不变
6.一个十边形所有内角都相等，它的每一个内角等于.
7.如图，在四边形ABCD中，∠1、∠2分别是∠BCD和∠BAD的补角，且∠B＋∠ADC＝140°
，则∠1＋∠2＝°.
8.已知九边形中，除了一个内角外，其余各内角之和是1205°，求该内角.
附加题（▲）
9.将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A’处的位置.
（1）如果A’落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A’与∠1＋∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由. （2）如果A’落在四边形BCDE的的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A’与∠2之间的关系是. （3）如果A’落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A’与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由.。

七年级数学下7.5多边形的内角和同步练习(苏科版含答案)7、5多边形的内角和同步练习(苏科版含答案)第2课时多边形的内角和知识点多边形的内角和1、七边形的内角和是()A、180B、360、900D、10802、教材练一练第3题变式已知一个多边形的内角和是900，则这个多边形是()A、五边形B、六边形、七边形D、八边形3、xx泰兴期末如图7－5－10，在四边形ABD中，如果∠A＋∠B＋∠＝260，那么∠D的度数为()图7－5－10A、120B、110、100D、904、下列度数中，不可能是某个多边形的内角和的是()A、180B、270、360D、5405、xx海南五边形的内角和的度数是________、6、若四边形四个内角的度数之比为2∶3∶5∶8，则它们的度数分别是______________、7、求出下列图形中x的值：(1)根据图7－5－11①列方程：______________，解得x＝________；(2)根据图7－5－11②列方程：______________，解得x＝________、图7－5－118、已知在一个二边形中，其中一个内角的度数和是1680，求这个二边形另一个内角的度数、【能力提升】9、xx镇江期末一个多边形的每个内角都等于144，则这个多边形的边数是()A、8B、9、10D、1110、xx南长区模拟如图7－5－12，四边形纸片ABD中，∠A ＝70，∠B＝80，将纸片折叠，使点，D落在AB边上的点′，D′处，折痕为N，则∠AD′＋∠BN′＝()图7－5－12A、50B、60、70D、8011、xx聊城如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是________、12、如图7－5－13，一块较为精密的模板中，AB，D的延长线应该相交成80的角，因交点不在模板上，不便测量，测得∠BAE＝124，∠DF＝155，AE⊥EF，F⊥EF，此时AB，D的延长线相交成的角是否符合规定？为什么？13、如图7－5－14，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7等于()A、450B、540、630D、720 教师详解详析1、[解析]当n＝7时，180(n－2)＝900，所以七边形的内角和为900，故选、2、[解析]设这个多边形是n边形，则(n－2)180＝900，解得n＝7、3、[解析]∠D＝360－(∠A＋∠B＋∠)＝360－260＝100、故选、4、B [解析]多边形的内角和是180的整数倍、5、540 [解析]五边形的内角和的度数为180(5－2)＝1803＝540、6、40，60，100，160 [解析]设四边形四个内角的度数分别为2k，3k，5k，8k，则2k＋3k＋5k＋8k＝360，所以k＝20，所以四个内角的度数分别是40，60，100，160、7、(1)x＋x＋90＋140＝360 65(2)2x＋x＋90＋150＋120＝540 608、解：因为二边形的内角和为(12－2)180＝1800，其中一个内角的度数和是1680，所以这个二边形另一个内角的度数为1800－1680＝120、9、[解析]运用多边形内角和公式，列出关于边数的方程即可、10、B [解析]根据四边形的内角和得到∠D＋∠＝360－∠A －∠B＝210、由折叠的性质得到∠D′B＝∠D，∠N′A＝∠，得到∠D′B＋∠N′A＝210，根据平角的定义得到∠AD′＋∠B′N＝150，根据三角形的内角和即可得到结论、11、540或360或180 [解析]n边形的内角和是(n－2)180、①边数增加1，则新的多边形的内角和是(4＋1－2)180＝540；②所得新的多边形的边数不变，则新的多边形的内角和是(4－2)180＝360；③所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是(4－1－2)180＝180、12、解：不符合规定、理由：设AB与D的延长线交于点G，如图、因为AE⊥EF，F⊥EF，所以∠E＝∠F＝90、因为∠BAE＝124，∠DF＝155，所以∠G＝540－(124＋155＋902)＝540－459＝81、因为81≠80，所以AB，D的延长线相交成的角不符合规定、13、B [解析]如图、因为∠3＋∠4＝∠8＋∠9，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540、故选B、全文结束》》。

7.5 多边形的内角和与外角和一．选择题1．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（）A．120°B．105°C．60°D．45°2．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．193．过某个多边形一点顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形4．把一副三角板按如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．160°C．155° D．150°5．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．钝角或直角三角形6．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）A．40°B．45°C．50°D．60°7．正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．88．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．αC．90°+αD．360°﹣α9．（2017•云南）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形10．（2017•临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形11．（2017•台湾）如图为互相垂直的两直线将四边形ABCD分成四个区域的情形，若∠A=100°，∠B=∠D=85°，∠C=90°，则根据图中标示的角，判断下列∠1，∠2，∠3的大小关系，何者正确（）A．∠1=∠2＞∠3 B．∠1=∠3＞∠2 C．∠2＞∠1=∠3 D．∠3＞∠1=∠2 12．（2017•株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（）A．145°B．150°C．155° D．160°13．（2017•郴州）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（）A．180°B．210°C．360° D．270°14．（2017•长沙）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形二．填空题15．（2017•广东）一个n边形的内角和是720°，则n=．16．（2017•西宁）若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是．17．（2017•青海）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=．18．（2017•成都）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为．19．（2017•泰州）将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为．20．（2017•福建）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于度．21．（2017•南京）如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D=°．三．解答题22．已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE．（1）当∠BAC=40°时，∠BPC=，∠BQC=；（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；（3）如图②，当∠BAC=120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC 的度数．23．（1）阅读理解：如图1是二环三角形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A6=360°理由：连接A1A4∵∠1+∠2+∠A1OA4=180°∠A5+∠A6+∠A5OA6=180°又∵∠A1OA4=∠A5OA6∴∠1+∠2=∠A5+∠A6∴∠A2+∠3+∠1+∠2+∠4+∠A3=360°∴∠A2+∠3+∠A5+∠A6+∠4+∠A3=360°即S=360°（2）延伸探究：①如图2是二环四边形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A8=720°，请你加以证明②如图3是二环五边形，可得S=，聪明的你，能根据以上的规律直接写出二环n边形（n≥3的整数）中，S=度．（用含n的代数式表示最后的结果）24．分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：（1）试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：．（2）从十五边形的一个顶点可以引出条对角线，十五边形共有条对角线：（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．25．请你裁定，你一定要主持公道啊！小明和小方分别设计了一种求n边形的内角和（n为大于2的整数）的方案：（1）小明是在n边形内任取一点P，然后分别连接PA1，PA2，…，PA n（如图①）；（2）小方是在n边形的一边A2A3上任取一点P，然后分别连接PA1，PA4，…，PA n（如图②）．请你评判这两种方案是否可行；如果不可行，请你说明理由；如果可行，请你分别沿着两种方案的设计思路，求出n边形的内角和．26．探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．27．问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为．问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；由“”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．所以2∠APC=．请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）；解决问题1：如图（3）已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，并说明理由；解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的关系为．28．△ABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D．（1）如图1，求证：∠AIB=∠ADI；（2）如图2，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F．①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；②若∠BAC=70°，求∠F的度数．29．如图1，已知△ABC，射线CM∥AB，点D是射线CM上的动点，连接AD．（1）如图2，若∠ACB=∠ABC，∠CAD的平分线与BC的延长线交于点E．①若∠BAC=40°，AD∥BC，则∠AEC的度数为；②在点D运动的过程中，探索∠AEC和∠ADC之间的数量关系；（2）若∠ACB=n∠ABC，∠CAD内部的射线AE与BC的延长线交于点E，∠CAE=n ∠EAD，那么∠AEC和∠ADC之间的数量关系为．30．如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是180°”的结论．小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把∠1和∠2移动到∠3的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了．小明的证明过程如下：已知：如图，△ABC．求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：延长BC，过点C作CM∥BA．∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠ACB=180°．请你参考小明解决问题的思路与方法，写出通过实验方法2证明该结论的过程．31．（1）如图①，你知道∠BOC=∠1+∠2+∠A的奥秘吗？请用你学过的知识予以证明；（2）如图②，设x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E，运用（1）中的结论填空．x=；x=（3）如图③，一个六角星，其中∠BOD=80°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．参考答案与试题解析一．选择题1．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（）A．120°B．105°C．60°D．45°【分析】先求出∠2，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图，∠2=90°﹣45°=45°，由三角形的外角性质得，∠1=∠2+60°，=45°+60°，=105°．故选B．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．2．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．19【分析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n﹣1）边形．【解答】解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形．故选A．【点评】此题主要考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．3．过某个多边形一点顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，依此可得n的值．【解答】解：根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成n﹣2个三角形，∴n﹣2=5，即n=7．故选C．【点评】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．4．把一副三角板按如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．160°C．155° D．150°【分析】先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1，再求出∠α即可．【解答】解：如图，∠1=∠D+∠C=45°+90°=135°，∠α=∠1+∠B=135°+30°=165°．故选：A．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．5．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．钝角或直角三角形【分析】利用“设k法”求出最大角的度数，然后作出判断即可．【解答】解：设三个内角分别为2k、3k、4k，则2k+3k+4k=180°，解得k=20°，所以，最大的角为4×20°=80°，所以，三角形是锐角三角形．故选A．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”表示出三个内角求解更加简便．6．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD﹣∠BPC=（x﹣40）°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）=80°，∴∠CAF=100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP=∠PAC=50°．故选C．【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键．7．正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：∵正多边形的一个内角为135°，∴外角是180﹣135=45°，∵360÷45=8，则这个多边形是八边形，故选D．【点评】本题考查了外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，难度适中．8．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）A．90°﹣αB．αC．90°+αD．360°﹣α【分析】先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣α）=180°﹣α，则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣α）=α．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，关键是先求出∠ABC+∠BCD的度数．9．（2017•云南）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【分析】设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．【解答】解：设这个多边形是n边形，则（n﹣2）•180°=900°，解得：n=7，即这个多边形为七边形．故本题选C．【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．10．（2017•临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．【解答】解：设所求正n边形边数为n，由题意得（n﹣2）•180°=360°×2解得n=6．则这个多边形是六边形．故选：C．【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，n边形的内角和为（n ﹣2）•180°．11．（2017•台湾）如图为互相垂直的两直线将四边形ABCD分成四个区域的情形，若∠A=100°，∠B=∠D=85°，∠C=90°，则根据图中标示的角，判断下列∠1，∠2，∠3的大小关系，何者正确（）A．∠1=∠2＞∠3 B．∠1=∠3＞∠2 C．∠2＞∠1=∠3 D．∠3＞∠1=∠2【分析】根据多边形的内角和与外角和即可判断．【解答】解：∵（180°﹣∠1）+∠2=360°﹣90°﹣90°=180°∴∠1=∠2∵（180°﹣∠2）+∠3=360°﹣85°﹣90°=185°∴∠3﹣∠2=5°，∴∠3＞∠2∴∠3＞∠1=∠2故选（D）【点评】本题考查多边形的内角与外角，解题的关键是熟练运用多边形的内角和与外角和，本题属于基础题型．12．（2017•株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠BAD=（）A．145°B．150°C．155° D．160°【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x，∠B=2x，∠C=3x，∴6x=180°，∴x=30°，∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，故选B．【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识，学会构建方程解决问题，属于基础题．13．（2017•郴州）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（）A．180°B．210°C．360° D．270°【分析】根据三角形的外角的性质分别表示出∠α和∠β，计算即可．【解答】解：∠α=∠1+∠D，∠β=∠4+∠F，∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F=∠2+∠D+∠3+∠F=∠2+∠3+30°+90°=210°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．14．（2017•长沙）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【分析】根据三角形内角和等于180°计算即可．【解答】解：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、3x，则x+2x+3x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，∴这个三角形一定是直角三角形，故选：B．【点评】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．二．填空题15．（2017•广东）一个n边形的内角和是720°，则n=6．【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．【解答】解：依题意有：（n﹣2）•180°=720°，解得n=6．故答案为：6．【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．16．（2017•西宁）若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是9．【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得=40，解得n=9．故答案为9．【点评】本题主要考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°，比较简单．17．（2017•青海）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=24°．【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1﹣∠2的度数即可．【解答】解：正三角形的每个内角是：180°÷3=60°，正方形的每个内角是：360°÷4=90°，正五边形的每个内角是：（5﹣2）×180°÷5=3×180°÷5=540°÷5=108°，正六边形的每个内角是：（6﹣2）×180°÷6=4×180°÷6=720°÷6=120°，则∠3+∠1﹣∠2=（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°）=30°+12°﹣18°=24°．故答案为：24°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和=（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．18．（2017•成都）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为40°．【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，∴∠A的度数为：40°．故答案为：40°．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确表示出各角度数是解题关键．19．（2017•泰州）将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为15°．【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠α=60°﹣45°=15°，故答案为：15°．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．20．（2017•福建）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于108度．【分析】根据多边形的内角和，可得∠1，∠2，∠3，∠4，根据等腰三角形的内角和，可得∠7，根据角的和差，可得答案．【解答】解：如图，由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，∠5=∠6=180°﹣108°=72°，∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，故答案为：108．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和得出每个内角是解题关键．21．（2017•南京）如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D=425°．【分析】根据补角的定义得到∠AED=115°，根据五边形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵∠1=65°，∴∠AED=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D=540°﹣∠AED=425°，故答案为：425．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．三．解答题22．已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE．（1）当∠BAC=40°时，∠BPC=70°，∠BQC=125°；（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；（3）如图②，当∠BAC=120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC 的度数．【分析】（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC=∠PBC，∠QCB=∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB=180°，依此求解即可；（3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC的度数．【解答】解：（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°，∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，∴∠CBP+∠BCP=（∠DBC+∠BCE）=110°，∴∠BPC=180°﹣110°=70°，∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，∴∠QBC=∠PBC，∠QCB=∠PCB，∴∠QBC+∠QCB=55°，∴∠BQC=180°﹣55°=125°；故答案为：70°，125°；（2）∵BM∥CN，∴∠MBC+∠NCB=180°，∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∴（∠DBC+∠BCE）=180°，即（180°+∠BAC）=180°，解得∠BAC=60°；（3）∵∠BAC=120°，∴∠MBC+∠NCB=（∠DBC+∠BCE）=（180°+α）=225°，∴∠BOC=225°﹣180°=45°．【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．23．（1）阅读理解：如图1是二环三角形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A6=360°理由：连接A1A4∵∠1+∠2+∠A1OA4=180°∠A5+∠A6+∠A5OA6=180°又∵∠A1OA4=∠A5OA6∴∠1+∠2=∠A5+∠A6∴∠A2+∠3+∠1+∠2+∠4+∠A3=360°∴∠A2+∠3+∠A5+∠A6+∠4+∠A3=360°即S=360°（2）延伸探究：①如图2是二环四边形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A8=720°，请你加以证明②如图3是二环五边形，可得S=1080，聪明的你，能根据以上的规律直接写出二环n边形（n≥3的整数）中，S=360（n﹣2）度．（用含n的代数式表示最后的结果）【分析】在（1）的基础上类似作辅助线，把要求的所有角转换到一个多边形中，再根据多边形的内角和定理进行求解．【解答】解：（1）如图所示，则S=∠A1+∠A2+…+∠A8=S=∠A1+∠A2+…+∠A5+∠M+∠1+∠2=（6﹣2）×180°=720°．（2）依此类推，得是二环五边形时，则S=1080°；推而广之，二环n边形（n≥3的整数）时，S=360（n﹣2）．【点评】此题主要是巧妙构造辅助线把要求的角能够构造到一个多边形中．n边形的内角和是（n﹣2）×180°．24．分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：（1）试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：S=n（n﹣3）．（2）从十五边形的一个顶点可以引出12条对角线，十五边形共有90条对角线：（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．【分析】（1）根据多边形对角线的条数的公式即可求解；（2）根据多边形对角线的条数的公式代值计算即可求解；（3）根据等量关系：一个多边形对角线的条数与它的边数相等，列出方程计算即可求解．【解答】解：如图所示：（1）用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：S=n（n﹣3）；（2）十五边形从一个顶点可引出对角线：15﹣3=12（条），共有对角线：×15×（15﹣3）=90（条）；（3）设多边形有n条边，则n（n﹣3）=n，解得n=5或n=0（应舍去）．故这个多边形的边数是5．故答案为：S=n（n﹣3）；12，90．【点评】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式总结，熟记公式对今后的解题大有帮助．25．请你裁定，你一定要主持公道啊！小明和小方分别设计了一种求n边形的内角和（n为大于2的整数）的方案：（1）小明是在n边形内任取一点P，然后分别连接PA1，PA2，…，PA n（如图①）；（2）小方是在n边形的一边A2A3上任取一点P，然后分别连接PA1，PA4，…，PA n（如图②）．请你评判这两种方案是否可行；如果不可行，请你说明理由；如果可行，请你分别沿着两种方案的设计思路，求出n边形的内角和．【分析】两种方案都是可行的，方案一可按照思路：n个三角形的内角和减去一个周角的度数，方案二按照思路：（n﹣1）个三角形的内角和减去一个平角的度数．【解答】解：小明和小方的方案均可行．理由如下：小明的方案：n边形的内角和等于n个三角形的内角和减去一个周角，即n边形的内角和为n×180°﹣360°为（n﹣2）×180°；小方的方案：n边形的内角和等于（n﹣1）个三角形的内角和减去一个平角，即n边形的内角和为（n﹣1）×180°﹣180°为（n﹣2）×180°．【点评】本题考查了多边形的内角和，解答本题关键是仔细观察所给图形，利用三角形的内角和定理解答．26．探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．【解答】解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD=180°﹣∠ADC﹣∠ACD=180°﹣（∠ADC+∠ACD）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A；探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD=180°﹣∠ADC﹣∠BCD=180°﹣（∠ADC+∠BCD）=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）=（∠A+∠B）．【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．27．问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为∠AOC=∠A+∠C+∠P．问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；由“外角的性质”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．所以2∠APC=∠B+∠C．请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）；解决问题1：如图（3）已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，并说明理由；解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的关系为∠P=90°+（∠B+∠D）．【分析】问题1：根据三角形的外角的性质即可得到结论；问题2：根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；解决问题1：根据四边形的内角和等于360°可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；解决问题2：根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．【解答】解：问题1：连接PO并延长．则∠1=∠A+∠2，∠3=∠C+∠4，∵∠2+∠4=∠P，∠1+∠3=∠AOC，∴∠AOC=∠A+∠C+∠P；故答案为：∠AOC=∠A+∠C+∠P；问题2：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠2+∠B=∠3+∠P，∠1+∠P=∠4+∠D，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=×（28°+48°）=38°；解决问题1：如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠4）+∠D，在四边形APCB中，（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，在四边形APCD中，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，∴2∠P+∠B+∠D=360°，∴∠P=180°﹣（∠B+∠D）；解决问题2：如图4，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵（∠1+∠2）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P=180°+∠D+∠B，∴∠P=90°+（∠B+∠D）．故答案为：∠P=90°+（∠B+∠D）．解法二：如图3，∵AP平分△AOB的外角∠FAD，CP平分△COD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，分别作∠BAD、∠BCD的角平分线交于点M，则∠5=∠6，∵∠1+∠2+∠5+∠6=180°，∴∠2+∠6=90°，即∠PAM=90°，同理：∠PCM=90°，∴在四边形APCM中，∠P+∠M=180°，由问题2，得∠M=（∠B+∠D）．∴∠P=180°﹣（∠B+∠D）．如图4中，作∠BCD的角平分线，交AP的延长线于点N，则∠1=∠2，由问题2，得∠N=（∠B+∠D）．∵CP平分△COD的外角∠BCE，∴∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠4=90°，即∠PCN=90°，∵∠APC=∠PCN+∠N∴∠APC=90°+（∠B+∠D）．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．28．△ABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D．（1）如图1，求证：∠AIB=∠ADI；（2）如图2，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F．①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；②若∠BAC=70°，求∠F的度数．【分析】（1）只要证明∠AIB=90°+∠ACB，∠ADI=90°+∠ACB即可；（2）①只要证明∠IDC=∠DCF即可；②首先求出∠ACE﹣∠ABC=∠BAC=70°，再证明∠F=∠ACE﹣∠ABC=（∠ACE ﹣∠ABC）即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AI、BI分别平分∠BAC，∠ABC，∴∠BAI=∠BAC，∠ABI=∠ABC，∴∠BAI+∠ABI=（∠BAC+∠ABC）=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，∴在△ABI中，∠AIB=180°﹣（∠BAI+∠ABI）=180°﹣（90°﹣∠ACB）=90°+∠ACB，∵CI平分∠ACB，∴∠DCI=∠ACB，∵DI⊥IC，∴∠DIC=90°，∴∠ADI=∠DIC+∠DCI=90°+∠ACB，∴∠AIB=∠ADI．（2）①解：结论：DI∥CF．理由：∵∠IDC=90°﹣∠DCI=90°﹣∠ACB，∵CF平分∠ACE，∴∠ACF=∠ACE=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，∴∠IDC=∠ACF，∴DI∥CF．②解：∵∠ACE=∠ABC+∠BAC，∴∠ACE﹣∠ABC=∠BAC=70°，∵∠FCE=∠FBC+∠F，∴∠F=∠FCE﹣∠FBC，∵∠FCE=∠ACE，∠FBC=∠ABC，∴∠F=∠ACE﹣∠ABC=（∠ACE﹣∠ABC）=35°【点评】本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．29．如图1，已知△ABC，射线CM∥AB，点D是射线CM上的动点，连接AD．（1）如图2，若∠ACB=∠ABC，∠CAD的平分线与BC的延长线交于点E．①若∠BAC=40°，AD∥BC，则∠AEC的度数为35°；②在点D运动的过程中，探索∠AEC和∠ADC之间的数量关系；（2）若∠ACB=n∠ABC，∠CAD内部的射线AE与BC的延长线交于点E，∠CAE=n ∠EAD，那么∠AEC和∠ADC之间的数量关系为∠AEC=∠ADC．【分析】（1）①先根据三角形的内角和求∠ACB=70°，由平行线的性质得：∠DAC=70°，利用角平分线得：∠DAE=35°，最后利用平行线的内错角相等得结论；②设∠CAE=x，∠BAC=y，在△ACD和△ABE中根据三角形内角和表示∠ADC和∠AEC，可得结论；（2）如图3，设∠ABC=x，∠EAD=y，则∠ACB=nx，∠CAE=ny，在△ACE中根据外角的性质得：∠AEC=nx﹣ny=n（x﹣y），在△ADC中，根据三角形内角和可得∠ADC的度数，由此可得结论．【解答】解：（1）①如图2，∵∠BAC=40°，∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°，∵∠ACB=∠ABC，∴∠ACB=70°，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=70°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠DAC=×70°=35°，∵AD∥BC，∴∠AEC=∠DAE=35°，故答案为：35°；②∠ADC=2∠AEC，理由是：设∠CAE=x，∠BAC=y，则∠EAD=x，∠ABC=，∵AB∥CM，∴∠ACM=∠BAC=y，∴∠ADC=180﹣2x﹣y，△ABE中，∠AEC=180﹣x﹣y﹣=90﹣x﹣，。

7.5三角形的内角和（1）姓名________ 班级_________成绩_______1．（1）三角形的3个内角和等于 ； （2）直角三角形的两个锐角 ；（3）三角形的一个外角等于 ． 2．在一个三角形，若︒=∠=∠40B A ，则ABC ∆是（ ）．（Ａ）直角三角形 （Ｂ）锐角三角形 （Ｃ）钝角三角形 （Ｄ）以上都不对 3．在△ABC 中，（1）∠C = 90º,∠B =30º, 则 ∠A = º；（2）∠A = 100º,∠B =∠C , 则 ∠B = º； （3）若△ABC 中的三个内角度数之比为2：3：4，则相应外角之比为 ． （4）三角形的三个内角中，最多有 个锐角，最多有 个直角，最多有 个钝角．4．如图所示，在△ABC 中，∠B =440，∠C =720，AD 是△ABC 的角平分线， （1）求∠BAC 的度数；（2）求∠ADC 的度数．5．如图，在△ABC 中，外角∠DBA ＝78º，∠A ＝36º，求∠C 和∠ABC 的大小．6．如图，在△ABC 中，BE 、CD 相交于点E ． （1）∠1和∠2分别是哪一个三角形的外角？（2）如果∠A ＝2∠ACD ＝76º，∠2＝143º．试求∠1和∠DBE 的度数．7． 如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ， (1)若∠ABC =60°，∠ACB =80°，求∠BOC 的度数； (2) 若∠A =70°, 求∠BOC 的度数． (3)若∠BOC =120°, 求∠A 的度数．ABCD第4题图第5题图B第6题图第7题图OCBA8(选做题)．已知：如图，△ABC中，∠B的平分线和△ABC的外角平分线交于点D，∠A=90°．求∠D的度数．第8题图DE CBA。

苏教版2017-2018学年七年级下册三角形的内角和（2）同步练习【基础演练】一、选择题1.一个三角形的三个内角中，至少有（ ）A.一个锐角；B.两个锐角；C.一个钝角；D.一个直角.苏教版2017-2018学年七年级下册2.已知一个多边形的外角和等于它的内角和，则这多边形是（ ）A.三角形；B.四边形；C.五边形；D.六边形.3.若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是( )A.9；B.8；C.7；D.6.4.锐角三角形的三个内角是∠A 、∠B 、∠C 。

如果∠α＝∠A+∠B ，∠β＝∠B+∠C ，A C ∠+∠=∠γ，则γβα∠∠∠、、这三个角中（ ）A.没有锐角；B.有1个锐角；C.有2个锐角；D.有3个锐角.5.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( )A.十三边形；B.十二边形；C.十一边形；D.十边形.二、填空题6.每个内角都为144°的多边形为_________边形.7.一个多边形边数增加1，则这个多边形内角增加 ，外角增加 .8.多边形的内角中,最多有________个直角.9.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是 边形.[10.一个多边形的每一个外角等于40°，则此多边形是 边形，它的内角和等于 .三、解答题11.如图,在四边形ABCD 中,∠B+∠D=180°,∠DCE 是四边形ABCD 的一个外角,∠DCE 与∠A 相等吗?为什么?12.有两个各角都相等的多边形,它们的边数之比为1:2,且第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°,求这两个多边形A B CD E 第11题图的边数.13.如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.[【能力提升】14.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个内角的度数为( )A.90°；B.105°；C.130°；D.120°.15.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为7:2,则这个多边形的边数为_________.16.从n 边形的一个顶点出发,最多可以引多少条条对角线?请你总结一下n 边形共有多少条对角线.A B CD E F第13题图参考答案1.B.两个锐角；2.B；3.B；4.A；5.A.6.十；7.180度，0度；8.4；9.十；10.九，1260°.11.解：∠DCE=∠A.在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,所以∠A+∠BCD=180°.因为∠DCE+∠BCD=180°，所以∠DCE=∠A.12.12和24.13.360°.14.C；15.9.16.提示：可以从四边形、五边形、六边形开始讨论，n-3，2)3(n n.。

7.5 第1课时三角形的内角和1.如图,因为DE∥BC,所以∠DAB=∠,∠EAC=∠.又因为∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°,所以∠+∠+∠=180°.2.在△ABC中,若∠A=20°,∠B=70°,则∠C的度数是()A.70°B.90°C.20°D.110°3.(2021镇江京口区模拟)如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=20°,延长线段BA至点D,则∠DAC的度数为()A.45°B.60°C.65°D.115°4.如图,AB∥CD,∠DEC=100°,∠C=40°,则∠B的度数是()A.30°B.40°C.50°D.60°5.在△ABC中,若∠A=∠B=1∠C,则∠A= °.36.(2021淮安洪泽区模拟)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,若∠A=68°,∠BCD=31°,则∠B= °.7.在△ABC中.(1)∠A=52°,∠B=118°,求∠C的度数;(2)∠C=90°,∠A=4∠B,求∠B的度数;(3)∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶7,求∠A,∠B和∠C的度数.8.如图,在△ABC中,∠B=60°,AD平分∠BAC交BC于点D,点E在AD的延长线上,且EC⊥AC.若∠E=50°,则∠ADC的度数是.9.如图,将一块三角尺DEF放置在锐角三角形ABC上,使得该三角尺的两条直角边DE,DF恰好分别经过点B,C.若∠A=50°,则∠ABD+∠ACD= °.10.(教材例2变式)(2021兴化月考)如图,△ABC的角平分线BD,CE交于点P.(1)若∠ABC=60°,∠ACB=80°,求∠BPC的度数;(2)若∠A=α,求∠BPC的度数(用含α的代数式表示).11.(2021徐州期末改编)如图①,在△ABC中,∠C=70°,D,E分别是AC,BC边上的点,P是AB 边上一动点.(1)试探究∠α,∠1,∠2间的数量关系,并说明理由.(2)如图②,若点P在边AB的延长线上,则(1)中结论是否改变?为什么?12、如图,把△ABC沿线段DE折叠,使点A落在点F处,BC∥DE,若∠A+∠B=105°,则∠FEC= °.13、如图,把△ABC沿线段DE折叠,使点A落在点F处,BC∥DE,若∠A+∠B=65°,则∠FEC= °.14、如图,在△ABC中,∠A=80°,∠B=70°,D是AC边上一点,过点D将△ABC折叠,使点C落在BC下方的点C'处,折痕DE与BC交于点E,当AB与∠C'的一边平行时,∠DEC'的度数为.7.5 第1课时 三角形的内角和1.B C B BAC C2.B3.C ∠DAC=180°-∠CAB=180°-(180°-∠C-∠B )=∠C+∠B=45°+20°=65°.4.B 依据三角形内角和是180°,可得∠D=40°,再根据平行线的性质,即可得到∠B=∠D=40°.5.36 设∠A=∠B=x ,则∠C=3x.因为∠A+∠B+∠C=180°,所以x+x+3x=180°,解得x=36°,即∠A=36°.6.50 由CD 平分∠ACB ,得∠ACB=2∠BCD=62°,则∠B=180°-∠A-∠ACB=50°.7.解:(1)∠C=180°-∠A-∠B=10°.(2)因为∠C=90°,所以∠A+∠B=180°-∠C=90°.因为∠A=4∠B ,所以4∠B+∠B=90°,所以∠B=18°.(3)设∠A=x ,则∠B=x ,∠C=7x.根据题意,得x+x+7x=180°,解得x=20°, 所以∠A=20°,∠B=20°,∠C=140°.8.100° 因为EC ⊥AC ,∠E=50°,所以∠DAC=40°.因为AD 平分∠BAC ,所以∠BAD=∠DAC=40°.因为∠B=60°,所以∠ADB=180°-40°-60°=80°,所以∠ADC=100°. 9.40 在△ABC 中,因为∠A=50°,所以∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°. 在△DBC 中,因为∠BDC=90°,所以∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°,所以∠ABD+∠ACD=130°-90°=40°.10.解:(1)由BD ,CE 为△ABC 的角平分线,∠ABC=60°,∠ACB=80°,得∠PBC=12∠ABC=30°,∠PCB=12∠ACB=40°, 则∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=110°.(2)由BD ,CE 为△ABC 的角平分线,得∠PBC=12∠ABC ,∠PCB=12∠ACB ,而∠ABC+∠ACB=180°-∠A ,则12∠ABC+12∠ACB=12(180°-∠A )=90°-12∠A ,即∠PBC+∠PCB=90°-12∠A. 又∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°,所以∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB )=180°-90°-12∠A =90°+12∠A=90°+12α. 11.解:(1)∠1+∠2=70°+∠α.理由如下:如图,连接PC.在△DPC 中,由∠1=180°-∠CDP ,∠DCP+∠DPC=180°-∠CDP ,得∠1=∠DCP+∠DPC.同理可得∠2=∠ECP+∠CPE ,则∠1+∠2=∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠CPE=∠ACB+∠DPE=∠ACB+∠α.而∠ACB=70°,于是∠1+∠2=70°+∠α.(2)改变.理由如下:在△CDF 中,由∠1=180°-∠CDF ,∠C+∠DFC=180°-∠CDF ,得∠1=∠C+∠CFD ,同理可得∠CFD=∠2+∠α,则有∠1=∠C+∠2+∠α.即∠1-∠2=70°+∠α.12、 30 由∠A+∠B=105°,得∠C=180°-(∠A+∠B )=75°.因为BC ∥DE ,所以∠AED=∠C=75°.又△DEF 由△DEA 沿线段DE 折叠而得,则∠DEF=∠AED=75°.可得∠FEC=180°-∠AED-∠DEF=30°.13、 50 由∠A+∠B=65°,得∠C=180°-(∠A+∠B )=115°.因为BC ∥DE ,所以∠AED=∠C=115°.又△DEF 由△DEA 沿线段DE 折叠而得,则∠DEF=∠AED=115°.可得∠DEC=180°-∠AED=65°.从而∠FEC=∠DEF-∠DEC=50°.14、 110°或125° 由∠A=80°,∠B=70°,得∠C=180°-∠A-∠B=30°.①当AB∥C'D时,∠CDC'=∠A=80°,∠CDC'=40°,∠C=∠C'=30°, 由折叠的性质得∠CDE=∠C'DE=12则∠DEC'=180°-∠C'DE-∠C'=110°.②当AB∥C'E时,∠B=∠BEC'=70°,由折叠的性质得∠CED=∠C'ED,设∠CED=∠C'ED=x,则x+x-70°=180°,解得x=125°,则∠DEC'=125°.。

7.5 第1课时三角形的内角和知识点三角形的内角和1.如图7－5－1，因为DE∥BC，所以∠DAB＝∠______，∠EAC＝∠______．又∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°，所以∠______＋∠______＋∠______＝180°.图7－5－12．下列各组角中，哪一组是同一个三角形的内角( )A．95°，80°，5° B．63°，70°，67°C．34°，36°，50° D．25°，160°，15°3．已知△ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则△ABC的形状是( )A．直角三角形 B．锐角三角形C．等腰三角形 D．钝角三角形4．已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( ) A．40° B．60° C．80° D．90°5．2018·广东如图7－5－2，AB∥CD，∠DEC＝100°，∠C＝40°，则∠B 的大小是( )图7－5－2A．30° B．40° C．50° D．60°6．2017·盐城月考在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC为( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．无法确定7．在△ABC中，若∠A＋∠B＝88°，则∠C＝________°，这个三角形是________三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”)．8．如图7－5－3，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝38°，则∠A等于________°.图7－5－39．已知三角形三个内角的度数之比是2∶3∶4，则这个三角形中最大角的度数是________．10. 在△ABC中，(1)∠A＝52°，∠B＝118°，求∠C的度数；(2)∠C＝90°，∠A与∠B的差为20°，求∠B的度数；(3)∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶7，求∠A，∠B和∠C的度数；(4)∠A＝12∠B＝13∠C，求∠A，∠B和∠C的度数．11．2018·淮安区期中如图7－5－4，EF⊥BD，垂足为E，∠1＝50°，∠2＝40°，试判断AB与CD是否平行，并说明理由．图7－5－4【能力提升】12．2018·眉山将一副三角尺按图7－5－5所示的位置放置，使含30°角的三角尺的一条直角边和含45°角的三角尺的一条直角边在同一条直线上，则∠α的度数是( )图7－5－5A．45° B．60° C．75° D．85°13．2017·姜堰区期末如图7－5－6，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE 平分∠BAC交BC于点E，若∠C＝80°，∠B＝40°，则∠DAE的度数为________°.图7－5－614．如图7－5－7所示，在△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E.若∠AFD＝158°，求∠EDF的度数．图7－5－715．2017·兴化市期末如图7－5－8，△ABC中，点E在边BA上，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别是D，F，∠1＝∠2.(1)DG与BA平行吗？为什么？(2)若∠B＝51°，∠C＝54°，求∠CGD的度数．图7－5－816．教材“复习巩固”第19题变式(1)如图7－5－9①，把△ABC纸片沿DE 折叠，使点A落在四边形BCED内部的点A′处，此时∠A与∠1，∠2之间存在什么样的关系？请你继续探索：(2)如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外部的点A′处，如图②，此时∠A与∠1，∠2之间存在什么样的关系？图7－5－9教师详解详析1．B C B BAC C2．A [解析] 因为三角形的内角和是180°，95°＋80°＋5°＝180°，所以选A.3．A [解析] 因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，且∠A＝∠B＋∠C，所以2∠A＝180°，所以∠A＝90°，所以△ABC为直角三角形，故选A.4．A [解析] 由题意，得∠B＝2∠A，∠C＝∠A＋20°，所以∠A＋∠B＋∠C ＝∠A＋2∠A＋∠A＋20°＝180°，解得∠A＝40°.故选A.5．B [解析] 依据三角形内角和是180°，可得∠D＝40°，再根据平行线的性质，即可得到∠B＝∠D＝40°.6．A [解析] 因为∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，所以可设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，由三角形的内角和是180°可得3x＋4x＋5x＝180，解得x＝15，所以∠A＝3x°＝45°，∠B＝4x°＝60°，∠C＝5x°＝75°，所以△ABC为锐角三角形．故选A.7．92 钝角[解析] 因为∠A＋∠B＝88°，所以∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝92°.因为∠C＞90°，所以△ABC是钝角三角形．8．52 [解析] 根据垂直的定义知道∠ACO＝90°，再根据对顶角相等的性质可以知道∠AOC＝∠BOD＝38°，最后应用三角形的内角和是180°求∠A的度数．9．80°[解析] 设三角形三个内角的度数分别是2x°，3x°，4x°，得出方程2x＋3x＋4x＝180，解得x＝20，所以最大角的度数为4x°＝80°.10．解： (1)∠C＝180°－∠A－∠B＝10°.(2)∠A－∠B＝20°，而∠A＋∠B＝180°－90°＝90°，于是可求得∠B＝35°.(3)设∠A＝x，则∠B＝x，∠C＝7x，根据题意，得x＋x＋7x＝180°，解得x ＝20°，所以∠A＝20°，∠B＝20°，∠C＝140°.(4)设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，于是有x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，所以∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°.11．解：AB∥CD.理由：由EF⊥BD，得∠FED＝90°. 在△EFD中，∠D＝180°－∠FED－∠1＝40°，则∠2＝∠D，所以AB∥CD.12．C [解析] 先根据三角形的内角和求得以30°角为内角的小钝角三角形的另一个锐角为45°，再利用三角形内角和与邻补角的定义可求得∠α的度数．13．20 [解析] 根据三角形内角和是180°求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，然后根据三角形内角和定理求出∠BAD，最后根据∠DAE＝∠BAD－∠BAE代入数据进行计算即可得解．14．解：因为FD⊥BC，所以∠FDC＝90°.因为∠AFD＋∠CFD＝180°，∠AFD＝158°，所以∠CFD＝22°，所以∠C＝180°－90°－∠CFD＝68°，所以∠B＝∠C＝68°.因为DE⊥AB，所以∠DEB＝90°，所以∠BDE＝180°－90°－∠B＝22°.又因为∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°，所以∠EDF＝180°－∠BDE－∠FDC＝180°－22°－90°＝68°.15．解：(1)平行. 理由如下：因为EF⊥BC，AD⊥BC，所以∠BFE＝∠BDA＝90°，所以EF∥AD(同位角相等，两直线平行)，所以∠2＝∠BAD(两直线平行，同位角相等)．因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠BAD，所以DG∥BA(内错角相等，两直线平行)．(2)因为DG∥BA，所以∠CDG＝∠B＝51°(两直线平行，同位角相等)．因为∠C＋∠CDG＋∠CGD＝180°，所以∠CGD＝180°－51°－54°＝75°. 16．解：(1) 2∠A＝∠1＋∠2.理由如下：根据翻折的性质，得∠ADE＝12(180°－∠1)，∠AED＝12(180°－∠2)，而∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°，则∠A＋12(180°－∠1)＋12(180°－∠2)＝180°，整理，得2∠A＝∠1＋∠2.(2)2∠A＝∠1－∠2.理由如下：根据翻折的性质，得∠ADE＝12(180°－∠1)，∠AED＝12(180°＋∠2)，而∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°，则∠A＋12(180°－∠1)＋12(180°＋∠2)＝180°，整理，得2∠A＝∠1－∠2.。