沪教版七年级下册14.1三角形的内角和(基础)知识讲解

初中数学知识归纳三角形的内角和与外角性质三角形是初中数学中重要的概念之一，在三角形的学习中，了解三角形的内角和与外角性质十分重要。

本文将对初中数学中与三角形的内角和与外角性质相关的知识进行归纳总结。

一、内角和的性质1. 三角形内角和定理三角形的内角和为180°。

这是三角形的基本性质，对于任意一个三角形而言，它的三个内角之和恒定为180°。

2. 等腰三角形的内角性质等腰三角形的两个底角（底边上的两个角）相等，而顶角等于两个底角之和的一半。

3. 直角三角形的内角性质直角三角形的两个锐角之和为90°。

4. 锐角三角形的内角性质锐角三角形的三个内角都是锐角。

5. 钝角三角形的内角性质钝角三角形的其中一个内角是钝角。

二、外角的性质1. 外角和内角的关系三角形的外角等于其对应的两个内角的和。

即一个三角形的外角与其非相邻的两个内角形成一条直线。

2. 三角形外角和的性质一个三角形的所有外角和等于360°。

三、实例应用1. 设某三角形的一个内角为60°，则其余两个内角的度数分别为多少度？根据三角形的内角和定理，三角形的内角和为180°。

已知一个内角为60°，设其余两个内角分别为x和y，则x + y + 60 = 180，整理得到x + y = 120。

因此，另外两个内角的度数分别为120°。

2. 若三角形的两个内角分别为30°和60°，求第三个内角的度数。

根据三角形的内角和定理，三角形的内角和为180°。

已知两个内角分别为30°和60°，设第三个内角的度数为x，则30 + 60 + x = 180，整理得到x = 90。

因此，第三个内角的度数为90°。

3. 在一个三角形中，一个内角为120°，另外两个内角是什么？根据三角形的内角和定理，三角形的内角和为180°。

三角形的内角和定理解析在几何学中，三角形是一种基本的图形，有很多重要的性质和定理。

其中之一就是三角形的内角和定理，也被称为三角形内角和公式。

本文将对此定理进行详细解析。

三角形的内角和定理是说，三角形的三个内角的和等于180度（°），可以表示为如下的公式：∠A + ∠B + ∠C = 180°其中，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角。

三角形的内角和定理是几何学中最基本的定理之一，它可以帮助我们计算三角形的其他角度，或者验证一个已知角度是否符合三角形的条件。

下面，我们将通过几个例子来进一步说明三角形的内角和定理。

例子1：考虑一个直角三角形ABC，其中∠C=90°。

根据三角形内角和定理可知：∠A + ∠B + 90° = 180°即：∠A + ∠B = 90°这个结果也符合直角三角形的性质，即直角三角形的两个锐角的和等于90°。

例子2：现有一个等边三角形XYZ，其中三个内角都相等，我们用∠X表示一个内角，则有：∠X + ∠Y + ∠Z = 180°因为等边三角形的三个内角都相等，所以∠X = ∠Y = ∠Z，可以将公式改写为：3∠X = 180°即：∠X = ∠Y = ∠Z = 60°这个结果也符合等边三角形的性质，即等边三角形的三个内角都等于60°。

通过以上的例子，我们可以看到三角形的内角和定理的应用。

通过已知的内角和公式，我们可以计算或验证三角形的角度。

在实际问题中，内角和定理还可以与其他定理一起使用，帮助我们解决更复杂的几何问题，比如角的相等性、三角形的相似性、直角三角形的性质等等。

除了三角形的内角和定理，几何学中还有许多其他重要的定理和性质，比如三角形的外角和定理、直角三角形的勾股定理、相似三角形的性质等等。

通过研究这些定理和性质，我们可以更好地理解和应用几何学的知识。

总结：三角形的内角和定理是几何学中最基本的定理之一，它指出三角形的三个内角的和等于180°。

14.2（1）三角形的内角和教学目标1、理解和掌握三角形的内角和性质；2、通过经历量一量、撕一撕、折一折等操作、归纳、猜测、说理证实的数学研究过程，初步体验感受数学探索、发现的科学历程；3、体会直观感知与理性思考的联系和区别，懂得直观结论需要说理证实的意义.教学重点及难点三角形的内角和性质及其运用教学过程一、复习引入1.复习旧知识:三角形按角分类，可以分为哪几类？如何判断？2.引出要探究的内容：三角形的内角和是多少度？二、学习新课（一）量一量、算一算：合作要求：（1）小组分工（2）用量角器测量出你们小组内的三角形每个内角的度数。

（3）最后要求计算出三个角的内角和是多少度，填在表格里。

三角形的形状每个内角的度数三个内角的和锐角三角形直角三角形钝角三角形将三角形的三个内角撕下来，看看它们能拼成什么呢？结论：三角形的三个内角折在一起组成了一个平角。

（三）折一折：让学生通过小组互助的方式，折一折手中的纸质三角形，看看能不能把三角形的三个内角拼成什么呢？结论：三角形的三个内角折在一起组成了一个平角。

（四）总结规律：任意三角形的内角和都等于180度。

注意：这一性质与三角形的大小、形状无关。

（五）合作探究，验证规律问：上述验证方法可靠吗？上述验证方法都存在误差，而误差是无法避免的，因此我们要通过说理验证这一规律的正确性。

已知：C B A ∠∠∠、、是ABC ∆的三个内角，说明180=∠+∠+∠C B A方法一：过ABC ∆的顶点A 作直线DE ∥BC∵DE∥BC（已作）∴ = ， = （）∵点D、A、E在直线DE上（所作）∴ + + =180°（平角的意义）∴ + + =180°（等量代换）方法二：延长BC，过点C作CG//AB∵CG//AB（已作）∴ = （）= （）∵点B、C、F在直线BF上（所作）∴ + + =180°（平角的意义）∴ + + =180°（等量代换）方法三：过点A作AM//BC∵AM//BC（已作）∴ = （）∴ + =180°（两直线平行，同旁内角互补）即 + + =180°∴ + + =180°（等量代换）（六）知识运用例题分析例1：判断下列各组角度的角是否是同一个三角形的内角？（1） 80°、95°、5°；（2）60°、20°、90°；（3） 35°、40°、105°； （4）73°、50°、57°.例2：已知△ABC 中两个内角的度数，判断△ABC 的类型：（1）∠A=30°，∠B=40°；（2）∠B=32°，∠C=58°；（3）∠A=60°，∠C=50°.例3：已知BE 、CF 是△ABC 的两条角平分线，它们相交于点G（1）若∠A=80º，∠ABC=60º，求∠BGC 的度数。

三角形内角和定理知识点总结三角形是初中数学中非常重要的一个几何图形，而三角形内角和定理则是三角形相关知识中的核心定理之一。

下面我们来详细总结一下三角形内角和定理的相关知识点。

一、三角形内角和定理的内容三角形内角和定理指的是：三角形的三个内角之和等于 180 度。

无论三角形的形状、大小如何变化，其内角和始终保持不变，都是180 度。

二、定理的证明方法1、剪拼法将三角形的三个角剪下来，然后拼在一起，可以拼成一个平角，从而证明三角形内角和为 180 度。

2、作平行线法过三角形的一个顶点作其对边的平行线，利用平行线的性质来证明。

例如，在三角形 ABC 中，过点 A 作直线 DE 平行于 BC。

因为 DE平行于 BC，所以∠DAB ＝∠B，∠EAC ＝∠C。

又因为∠DAB ＋∠BAC ＋∠EAC ＝ 180 度，所以∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝ 180 度，证明了三角形内角和为 180 度。

三、三角形内角和定理的应用1、求三角形中未知角的度数已知三角形中两个角的度数，可以通过三角形内角和定理求出第三个角的度数。

例如，在三角形 ABC 中，∠A ＝ 50 度，∠B ＝ 60 度，那么∠C＝ 180 50 60 ＝ 70 度。

2、判断三角形的类型根据三角形内角的度数，可以判断三角形的类型。

（1）如果三角形的三个角都小于 90 度，那么这个三角形是锐角三角形。

（2）如果三角形有一个角等于 90 度，那么这个三角形是直角三角形。

（3）如果三角形有一个角大于 90 度，那么这个三角形是钝角三角形。

3、解决实际问题在实际生活中，很多问题都可以转化为三角形内角和的问题来解决。

比如，测量建筑物的角度、计算道路拐弯的角度等。

四、与三角形内角和定理相关的拓展知识1、三角形的外角和定理三角形的外角和等于 360 度。

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

2、多边形内角和公式（1）n 边形的内角和公式为：（n 2) × 180 度。

《14.2(1)三角形的内角和》（第1课时）教案【教学目标】1.经历对三角形内角和进行实验、猜测、说理证实的研究过程，体会直观感知与理性思考的联系和区别，懂得直观结论需要说理证实。

2.掌握三角形内角和性质，会用符号语言表达，能运用三角形内角和进行简单的说理，初步经历和体验几何推理的过程。

【教学重点和难点】1.教学重点：三角形内角和性质的说理2.教学难点：三角形内角和性质的说理证实过程【思维导图】【教学准备】PPT、三角形纸片、geogebra、量角器【教学过程】一、复习导入（一）三角形有哪些元素？顶点、边、角（二）三角形三边有什么样的数量关系？（三）三角形三个内角有什么样的数量关系呢？二、学习新知（一）探究新知1、常用的三角板是两个特殊而三角形，内角和相加都是180度。

由此猜想：任意一个三角形的内角和180度。

如何用我们已经学过的知识来验证我们的猜想呢？2、验证：①动手操作，如何得到三角形三个内角度数之和为180°？方法一：测量方法二：剪拼（教师引导：撕下三角形的两个角拼一拼）②软件验证，出示geogebra演示。

③小组交流合作，探究如何通过说理来验证？师生交流。

（利用平行线，转移角）。

方法一：解：过ABC ∆的顶点A 作直线BC EF //,由平行线的性质得： B EAB ∠=∠,C FAC ∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为E 、A 、F 在直线EF 上（所作）得︒=∠+∠+∠180FAC BAC EAB （平角的意义） 所以︒=∠+∠+∠180C BAC B （等量代换）方法二：过ABC ∆的顶点A 作直线BC AE //,并延长CA 到F ，将EAB ∠记作1∠，将EAF ∠记作2∠由平行线的性质得： B ∠=∠1（两直线平行，内错角相等） C ∠=∠2（两直线平行，同位角相等） 因为︒=∠+∠+∠18021BAC （平角的意义）所以︒=∠+∠+∠180C B BAC （等量代换）方法三：过ABC ∆的顶点A 作直线BC AE //,将EAB ∠记作1∠，由平行线的性质得： B ∠=∠1（两直线平行，内错角相等）︒=∠+∠+∠1801C BAC （两直线平行，同旁内角互补） 所以︒=∠+∠+∠180C BAC B3、思考：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，各有几个钝角、直角？利用今天学习的知识，你能否判断一个三角形的内角最多有几个钝角、直角，为什么？4、练习1：判断下列各组角度的角是否为一个三角形的内角：（1）︒80、︒95、︒5； （2）︒60、︒20、︒90；FECBA2F1ECBA 1E CBA（3）︒35、︒40、︒105； （4）︒73、︒50、︒57.（二）运用新知 练习2：填空：（1（3）（1）ABC ∆中，已知︒=∠55B ,︒=∠75C ,则，___=∠A ，ABC ∆是____三角形。

三角形的内角和相关知识点一、三角形内角和定理。

1. 定理内容。

- 三角形的内角和等于180°。

无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，其三个内角的和都是180°。

例如，一个锐角三角形的三个角分别为60°、70°、50°，60°+70° + 50°=180°；直角三角形的一个角是90°，另外两个锐角之和为90°（如30°和60°，30°+60°+90° = 180°）；钝角三角形如120°、30°、30°，120°+30°+30° = 180°。

2. 证明方法。

- 剪拼法。

- 把三角形的三个角剪下来，然后将它们的顶点拼在一起，可以发现这三个角刚好组成一个平角，从而直观地证明三角形内角和为180°。

例如，对于一个纸质的三角形，沿角的边剪下三个角，然后把它们的顶点重合在一起，角的边会形成一条直线，即180°。

- 测量法。

- 使用量角器分别测量三角形的三个内角，然后将测量得到的度数相加，多次测量不同的三角形会发现结果接近180°。

由于测量存在误差，所以这种方法只能作为一种初步的验证。

- 推理证明（以平行线的性质证明为例）- 已知三角形ABC，过点A作直线EF平行于BC。

- 因为EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等，所以∠B = ∠FAB，∠C=∠EAC。

- 而∠FAB+∠BAC + ∠EAC = 180°（平角的定义），所以∠B+∠BAC+∠C = 180°，从而证明了三角形内角和为180°。

二、三角形内角和定理的应用。

1. 求三角形中未知角的度数。

- 已知三角形的两个内角的度数，根据三角形内角和为180°，用180°减去已知的两个角的度数，就可以求出第三个角的度数。

三角形的内角和知识点三角形是几何学中最基础且重要的图形之一。

对于三角形来说，一个关键的概念就是内角和。

本文将从定义、性质以及相关定理等方面详细介绍三角形的内角和知识点。

一、内角和的定义及性质1. 定义：三角形的内角和是指三个内角的度数之和。

根据平面几何学的基本定理，三角形的内角和总是等于180度。

2. 性质：三角形的内角和有以下几个性质：- 对于任意三角形ABC，内角A、内角B和内角C的度数之和为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

- 如果一个角的度数大于180度，那么它不是一个三角形的内角。

- 对于等边三角形，三个内角的度数相等，每个角的度数都是60度。

- 对于等腰三角形，拥有相等底边的两个内角的度数相等。

- 三角形的最大内角一定是两个较小内角之和的度数范围内。

二、三角形内角和的计算方法1. 已知两个内角求第三个内角：如果已知一个三角形的两个内角的度数，可以通过用180度减去已知的两个内角的度数，来求得第三个内角的度数。

2. 已知一个内角和两边的边长求另外两个内角的度数：如果已知一个三角形的一个内角的度数以及与该角相对的两边的边长，可以使用三角函数（正弦、余弦、正切）来计算另外两个内角的度数。

三、三角形内角和的定理1. 角平分线定理：三角形中，如果一条线段同时是一个内角的角平分线和对边上的边中线，那么这个线段把该三角形分成两个内角和相等的三角形。

2. 角的外角等于其余两个内角和：三角形中，任意一个内角的外角等于其余两个内角的和。

3. 角和的辅助角：三角形的三个内角的和等于一个全角（即360度）。

因此，可以通过找到三个内角之外的辅助角求解三角形的内角。

四、实际应用三角形的内角和知识点在几何学和实际生活中有广泛的应用，例如：1. 地理测量：在地理测量中，测量角度是很常见的，而角度的测量与三角形的内角和密切相关。

通过测量三角形的各个内角，可以计算出地球上不同地区的经度和纬度。

执教日期：1 / 13B.由不在同一条直线上的三条线段所组成的图形叫做三角形.C.由不在同一条直线上的三条线段联结所组成的图形叫做三角形.D.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形叫做三角形.三角形的图形语言：三角形的边：线段AB、BC、AC或a、b、c三角形的顶点：点A、B、C三角形的内角（角）：∠A、∠B、∠C是相邻两边组成的角三角形的符号语言：△ABC 读作“三角形ABC”二、操作1：1.操作并填表可以从长分别为4厘米（红）、6厘米（绿）、10厘米（蓝）、12厘米（黄）的四根细棒中，任选三根，能否围成三角形？1.读题2.观察操作结果3.及时引导（4）巩固概念1.动手操作2.展示答案3.合作学习通过操作、观察、探究“怎样的三根细棒能围成三角形”.体会从特殊到一般再到特殊的思想.10’长度为3cm的木棒呢？思考题：已知△ABC 的两边 a=5cm, b=7cm,那么第三边 c 的长度在什么范围内？为什么？三、概念形成2：画出三角形的高、角平分线、中线.（1）三角形的高：在三角形中，从一个顶点向它所对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.符号语言：∵线段AD是△ABC边BC上的高，D为垂足∴ AD⊥BC（2）三角形的角平分线: 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.符号语言：∵线段AD是三角形ABC的角平分线.∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC;∠BAC =2∠BAD =2∠BAD(2)三角形的中线：在三角形中，联结一个顶点及其对边的中点的线段叫做三角形的中线.符号语言：∵线段AD是三角形ABC边BC上的中线.∴ BD=CD=12BC; BC=2BD=2CD四、操作2：用同样的方法分别画出△ABC的另外两条高、角平分线和中线.练习 1.图中有几个不同的三角形？用符号表示这些三角形.2. 用下列长度的三根铁条首尾能顺次联结做成三角形框架的是（）A、23cm，10cm，8cmB、15cm，23cm，8cnC、18cm，10cm，23cmD、18cm，10cm，8cm1．指导2．纠错.板演.口答.巩固三角形的相关概念.做到不重复、不遗漏.对“三角形任意两边的和大于第三边”的巩固练习.理解三角形的中线、内角平分线、高的概念，学会简单10′AEDBC10 / 13两边只差＜第三边＜两边之和4.三角形的高：在三角形中，从一个顶点向它所对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.符号语言：∵线段AD是三角形ABC边BC上的高,垂足为D.∴ AD⊥BC三角形的角平分线: 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.符号语言：∵线段AD是三角形ABC的角平分线.∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC;∠BAC =2∠BAD =2∠BAD三角形的中线：在三角形中，联结一个顶点及其对边的中点的线段11 / 13叫三角形的中线.符号语言：∵线段AD是三角形ABC边BC上的中线.∴ BD=CD=12BC; BC=2BD=2CD课后反思：本节课是概念课，概念知识点比较多，学生难以理解。