第二章问题拓展单

苏教版（2019）选修第一册突围者第2章专项拓展训练2与圆有关的定点、定值、探索性问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．动圆C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，且12,x x 是方程2240x mx +-=的两根． （1）若线段AB 是动圆C 的直径，求动圆C 的方程；（2）证明：当动圆C 过点(0,1)M 时，动圆C 在y 轴上截得弦长为定值． 2．已知圆22:4O x y +=，点P 是直线:4l x =上的动点．（1）若从点P 到圆O 的切线长为P 的坐标以及两条切线所夹的劣弧长； （2）若点(2,0)A -，(2,0)B ，直线PA ，PB 与圆O 的另一交点分别为M ，N ，求证：直线MN 经过定点(1,0)Q ．3．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3470x y -+=相切，且被y 轴截得的弦长为C 的面积小于13. （1）求圆C 的标准方程：（2）设过点(0,3)M 的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程：如果不存在，请说明理由.4．已知圆22:1O x y +=与y 轴正半轴上一定点()1A ，是否存在一定点B ，使得圆O 上任一点P ，都有||1||PA PB =成立？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知圆()22:44C x y +-=，直线()():31140l m x m y ++--= .（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；（3）已知点()3,4M -，在直线MC 上（C 为圆心），存在定点N （异于点M ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PM PN为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数.6．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A 是指该球的球心点A ．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：（1）如图1，设母球A 的位置为(0,0)，目标球B 的位置为(4,0)，要使目标球B 向(8,4)C -处运动，求母球A 的球心运动的直线方程；（2）如图2，若母球A 的位置为(0,2)-，目标球B 的位置为(4,0)，让母球A 击打目标球B 后，能否使目标球B 向(8,4)C -处运动？二、单选题7．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A ．π B ．4π C ．8πD ．9π8．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M 、N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在边QB 上找一点，使得MPN ∠最大”.如图，其结论是：点P 为过M 、N 两点且和射线QB 相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点()1,2M -、()1,4N ，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是（ ）A ．1B ．7-C ．1或7-D ．2或7-9．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线():2l y a x =-.给出以下命题：①当0a =时，若直线l 截黑色阴影区域所得两部分面积记为12,S S ()12S S ≥，则12:3:1S S =；②当43a =-时，直线l 与黑色阴影区域有1个公共点；③当(]0,1a ∈时，直线l 与黑色阴影区域有2个公共点.其中所有正确命题的序号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③三、多选题10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣2，0），B （4，0），点P 满足12PA PB=．设点P 的轨迹为C ，下列结论正确的是，（ ） A ．C 的方程为（x +4）2+y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两定点D ，E ，使得12PDPE = C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线 D ．在C 上存在点M ，使得|MO |＝2|MA |11．设有一组圆224*:(1)()()k C x y k k k N -+-=∈.下列四个命题正确的是 A ．存在k ，使圆与x 轴相切 B ．存在一条直线与所有的圆均相交 C ．存在一条直线与所有的圆均不相交 D ．所有的圆均不经过原点四、填空题12．若任意两圆交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，且满足121212120x x y yy y x x -++=-+，则称两圆为“O →心圆”．已知圆2221:4250C x y x y a +-+-+=与圆222:(210)2C x y b x by+---2+-+=∈R为“O→心圆”，则实数b的值为______．210160(,)b b a b参考答案1．（1）222()4x m y m ++=+；（2）证明见解析 【分析】（1）根据韦达定理求出圆心坐标和半径，即求动圆C 的方程；（2）设动圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=.令0y =，则20x Dx F ++=.由题意，结合韦达定理可得2D m =，4F =-．又动圆C 过点(0,1)M ，可求E 的值. 令0x =，可求动圆C 在y 轴上截得的弦长. 【详解】 （1）12,x x 是方程2240x mx +-=的两根，122x x m ∴+=-，124x x ⋅=-．动圆C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点且线段AB 是动圆C 的直径， ∴动圆C 的圆心C 坐标为(,0)m -，半径为21||22x x AB -===∴动圆C 的方程为：222()4x m y m ++=+．（2）证明：设动圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=， 动圆C 与y 轴交于(0,1)M ，()30,N y ， 令0y =，则20x Dx F ++=． 由题意可知2D m =，4F =-． 又动圆C 过点(0,1)M ，140E ∴+-=，即3E =．令0x =，则2340y y +-=，解得1y =或4y =-． 34y ∴=-．∴动圆C 在y 轴上截得弦长为315y -=． ∴动圆C 在y 轴上截得弦长为定值．【点睛】本题考查圆的方程及直线与圆的位置关系，属于中档题.2．（1）(4,0)，43π；（2）证明见解析． 【分析】（1）设(4,)P t ，两切点分别为C ，D ，利用222PO OC PC =+，可求得点P 的坐标，在Rt POC△中，可求得60POC ∠=︒，分析即得解两条切线所夹的劣弧长；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，(4,)P t ，分别写出直线PA ，PB 的方程，与圆联立，即可用t 表示,M N 两点的坐标，当MN 斜率不存在时，可得MN 经过定点(1,0)Q ，再证明一般情况，,,M N Q 三点共线即可【详解】（1）依题意，设(4,)P t ．设两切点分别为C ，D ，则OC PC ⊥，OD PD ⊥．由题意可知222PO OC PC =+，即(222242t +=+，解得0t =，所以点P 的坐标为(4,0)． 在Rt POC △中，可求得60POC ∠=︒，所以120DOC ∠=︒， 所以所求两条切线所夹的劣弧长为1204223603ππ︒⨯⨯=︒． （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，(4,)P t ． 依题意，可得直线PA 的方程为(2)6ty x =+， 由22(2) 64t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得()222236441440t x t x t +++-=．因为直线PA 经过点(2,0)A -，()11,M x y ， 所以2-，1x 是上述方程的两个根， 则2124144236t x t --=+，即21272236t x t -=+，代入直线方程(2)6ty x =+，得212272224263636t t t y t t ⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭．同理，可得直线PB 的方程为(2)2ty x =-． 由22(2)24t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得()2222444160t x t x t +-+-=．因为直线PB 经过点(2,0)B ，()22,N x y ， 所以2，2x 是上述方程的两个根， 则22241624t x t -=+，即222284t x t -=+，代入直线方程(2)2ty x =-，得22222882244t t t y t t ⎛⎫--=-= ⎪++⎝⎭． 若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+，显然M ，N 在直线1x =上，所以直线MN 经过定点(1,0)Q ． 若11x ≠，则212t ≠，21x ≠，由1101MQy k x -==-22222483672212136tt t t t t -+=---+， 2201NQy k x -==-2222884281214t t t t t t --+=---+，可知MQ NQ k k =， 所以M ，Q ，N 三点共线，即直线MN 经过定点(1,0)Q ． 综上所述，直线MN 经过定点(1,0)Q ． 3．(1) 22(1)4x y -+=. (2) 不存在这样的直线l . 【详解】试题分析：（I ）用待定系数法即可求得圆C 的标准方程；（Ⅱ）首先考虑斜率不存在的情况.当斜率存在时，设直线l ：y=kx+3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).l 与圆C 相交于不同的两点，那么Δ>0.由题设及韦达定理可得k 与x 1、x 2之间关系式，进而求出k 的值.若k 的值满足Δ>0，则存在；若k 的值不满足Δ>0，则不存在.试题解析：（I ）设圆C ：(x-a)2+y 2=R 2(a>0)，由题意知R R =，，解得a=1或a=138，又∵S=πR 2<13， ∴a=1，∴圆C 的标准方程为：(x-1)2+y 2=4．（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l 为：x=0不满足题意． 当斜率存在时，设直线l ：y=kx+3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 又∵l 与圆C 相交于不同的两点，联立223{(1)4y kx x y =+-+=，，消去y 得：(1+k 2)x 2+(6k-2)x+6=0， ∴Δ=(6k -2)2-24(1+k 2)=3k 2-6k-5>0，解得1k <1k >． x 1+x 2=2621k k --+，y 1+ y 2=k(x 1+x 2)+6=2261k k ++， 121211()()22OD OA OB x x y y =+=++，，(13)MC =-，， 假设OD ∥MC ，则12123()x x y y -+=+， ∴226226311k k k k -+⨯=++，解得3(1(1)4k =∉-∞⋃+∞，，假设不成立．∴不存在这样的直线l ． 考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系. 4．存在定点(0,1B 满足条件． 【分析】设定点()00,B x y，用坐标表示||1||PA PB =，由点P 的任意性，可得(()2200043101)2(3x y x y ⎧-=-++⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，联立即得解 【详解】设(,)P x y ，假设存在定点()00,B x y满足||1||PA PB =，1=，即)421y -=(()2200003122x y x x y y -++--，于是(()220043101)2(3x y x y ⎧--++⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得0001x y =⎧⎪⎨=⎪⎩故存在定点(0,1B 满足条件．5．（1）()1,3；（2）1m =-；（3）4,43N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，常数32.【分析】（1）利用直线系方程的特征，直接求解直线l 过定点A 的坐标． （2）当AC l ⊥时，所截得弦长最短，由题知(0,4)C ，2r ，求出AC 的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可．（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点(,4)N t 满足题意， 则设(,)P x y ，||||PM PN λ=，得222||||(0)PM PN λλ=>，且22(4)4y x -=-，求出λ，然后求解比值． 【详解】解：（1）依题意得，(3)(4)0m x y x y -++-=，令30x y -=且40x y +-=，得1x =，3y =∴直线l 过定点(1,3)A ， （2）当AC l ⊥时，所截得弦长最短，由题知(0,4)C ，2r ，∴43101AC k -==--，得1111l AC k k --===-，∴由3111m m +=-得1m =-， ∴圆心到直线的距离为||d AC = ∴最短弦长为l ==（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点(,4)N t 满足题意， 则设(,)P x y ，||||PM PN λ=，得222||||(0)PM PN λλ=>，且22(4)4y x -=- 222222(3)(4)()(4)x y x t y λλ∴++-=-+-222222(3)4()(4)x x x t x λλ∴++-=-+-整理得，2222(62)(413)0t x t λλλ+-+-=上式对任意[2x ∈-，2]恒成立， 2620t λ∴+=且2224130t λλ+-=解得43,32t λ=-=或3t =-，1λ=（舍去，与M 重合）综上可知，在直线MC 上存在定点4(,4)3N -，使得||||PM PN 为常数32【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 6．（1）y =；（2）不能使目标球B 向(8,4)C -处运动． 【分析】（1）利用A ，B 两球碰撞时，球A 的球心在,B C 两点连线上，且球A 与球B 外切，列出方程组，即可求得两球碰撞时，球'A 的坐标，即得解；（2）由（1）知球A需运动到(4A '处，且到达A '处前不与目标球B 接触，，过点B 作 BE AA ⊥'于点E ，分析可得2BE <，即得解. 【详解】（1）点(4,0)B ，(8,4)C -所在的直线方程为40x y +-=，如图，可知A ，B 两球碰撞时，球A 的球心在直线40x y +-=上， 且在第一象限，设A ，B 两球碰撞时，球A 的球心坐标为(,)A a b '， 此时2A B '=，则4020,0a b a b +-=⎧>>⎪⎩，解得4a =b =即A ，B 两球碰撞时，球A的球心坐标(4A '，所以母球A的球心运动的直线方程为y，即y =．（2）假设能使目标球B 向(84)C -，处运动，则由（1）知球A 需运动到(4A '处，且到达A '处前不与目标球B 接触． 如图，设AA '与x 轴的交点为D ．因为A B '的斜率为1-，所以45A BD '∠=︒．因为AA '1>，所以45A DB ∠>'︒．所以DA B ∠'为锐角．过点B 作 BE AA ⊥'于点E ，因为2A B '=，所以2BE <， 所以球A 的球心还未到直线BC 上时，就会与目标球B 接触， 所以不能使目标球B 向(8,4)C -处运动． 7．B 【详解】已知两定点()20A -，，()10B ，，如果动点P 满足2PA PB =，设P 点的坐标为(),x y ，则()()222224[1]x y x y ++=-+，即()2224x y -+=，所以点的轨迹是以()2,0为圆心，2为半径的圆，所以点P 的轨迹所包围的图形的面积等于4π，故选B. 8．A 【分析】根据米勒问题的结论，P 点应该为过点M 、N 的圆与x 轴的切点，可设点P 的坐标为(),a b ，写出圆的方程，并将点M 、N 的坐标代入可求出点P 的横坐标. 【详解】设圆心C 的坐标为(),a b ，则圆的方程为()()222x a y b b -+-=，将点M 、N 的坐标代入圆的方程得()()()()2222221214a b ba b b⎧--+-=⎪⎨-+-=⎪⎩， 解得12a b =⎧⎨=⎩或710a b =-⎧⎨=⎩（舍），因此，点P 的横坐标为1，故选A.【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查直线与圆的位置关系、切割线定理等基础知识，考查运算求解能力，属于中等题. 9．A 【分析】根据图形的特征，注意到直线l 恒过定点(2,0),利用直线与圆相切的条件和圆的面积公式，对选项进行逐一分析即可. 【详解】 如图所示：大圆的半径为2，小圆的半径为1，大圆面积为4π，小圆面积为π， 所以大圆的四分之一面积为π，小圆的一半面积为2π, 对①：当a =0时，直线():2l y a x =-方程为 y =0,即直线l 为x 轴，直线l 截阴影部分的面积分为两部分， 123=+=222S S ππππ=，，所以12:3:1S S =，故①正确. 对②：根据题意，半圆在第一象限的方程为()2211x y +-=，(0)x >若当43a =-时，直线(2)y a x =-方程为4(2)3y x =--，即4380x y +-=,与小圆圆心()0,1的距离1d =,等于小圆半径，所以直线与该半圆弧相切，如图所示，直线与阴影区域只有一个公共点，故②正确； 对③：当[)0,1a ∈时，如图所示：直线(2)y a x =-与黑色阴影部分的公共部分为一条线段，有无数个公共点，故错误； 综上所述，①②正确. 故选：A. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，关键是将形成阴影的边界分解，厘清有关圆弧的方程和计算分割成的各部分的面积，并注意直线经过定点(2,0)，斜率为a . 10．BC 【分析】设P （x ，y ），运用两点的距离公式，化简可得P 的轨迹方程，可判断A ；假设在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得12PDPE=，设出D，E的坐标，求得轨迹方程，对照P的轨迹方程可得D，E，可判断B；当A，B，P三点不共线时，由12OA PAOB PB==，由角平分线定理的逆定理，可判断C；若在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|，可设M（x，y），运用两点的距离公式，可得M的轨迹方程，联立P的轨迹方程，即可判断D．【详解】在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满足12 PAPB=，设P（x，y），则12 =，化简可得（x+4）2+y2＝16，故A错误；假设在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得12 PDPE=，可设D（m，0），E（n，0）=化简可得3x2+3y2﹣（8m﹣2n）x+4m2﹣n2＝0，由P的轨迹方程为x2+y2+8x＝0，可得8m﹣2n＝﹣24，4m2﹣n2＝0，解得m＝﹣6，n＝﹣12或m＝﹣2，n＝4（舍去），即存在D（﹣6，0），E（﹣12，0），故B 正确；当A，B，P三点不共线时，由12OA PAOB PB==，可得射线PO是∠APB的平分线，故C正确；若在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|，可设M（x，y）化简可得x2+y2163+x163+=0，联立x2+y2+8x＝0，可得方程组无解，故不存在M，故D错误．故选：BC．【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查圆方程的求法和运用，以及两点距离公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．11．ABD【分析】根据圆的方程写出圆心坐标，半径，判断两个圆的位置关系，然后对各选项进行分析检验，从而得到答案. 【详解】根据题意得圆的圆心为（1，k ），半径为2k ，选项A,当k=2k ，即k=1时，圆的方程为()()22111x y -+-=，圆与x 轴相切，故正确； 选项B ，直线x=1过圆的圆心（1，k ），x ＝1与所有圆都相交，故正确；选项C,圆k ：圆心（1，k ），半径为k 2，圆k +1：圆心（1，k +1），半径为（k +1）2， 两圆的圆心距d ＝1，两圆的半径之差R ﹣r ＝2k +1，（R ﹣r ＞d ），∁k 含于C k +1之中， 若k 取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，故错误；选项D,将（0，0）带入圆的方程，则有1+k 2＝k 4，不存在 k ∈N *使上式成立， 即所有圆不过原点，正确． 故选ABD 【点睛】本题考查圆的方程，考查两圆的位置关系，会利用反证法进行分析证明，会利用数形结合解决实际问题． 12．53【分析】可转化121212120x x y yy y x x -++=-+为()()222212120x x y y -+-=，将两点()11,A x y ，()22,B x y 分别代入两圆方程，点差法化简，联立即得解 【详解】设圆1C 与圆2C 交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，则121212120x x y y y y x x -++=-+，()()222212120x x y y ∴-+-=．将()11,A x y ，()22,B x y 分别代入2224250x y x y a +-+-+=，得22211114250x y x y a +-+-+=①，22222224250x y x y a +-+-+=②，①-②得()()()()222212121212420x x y y x x y y -+---+-=，()()1212420x x y y ∴---=，12121()2x x y y -∴=*-． 将()11,A x y ，()22,B x y 分别代入222(210)2210160x y b x by b b +---+-+=，得2221111(210)221016x y b x by b b +---+-+③，2222222(210)221016x y b x by b b +---+-+④， ③-④得()()()()222212121212(210)20x x y y b x x b y y -+------=，()()()1212 21020b x x b y y ∴--+-=，即()1212(210)20b x x b y y --+=-，将()*代入得210202b b -+=，解得53b =． 故答案为：53。

百分数之浓度问题一、知识要点：浓度的配比是百分比问题。

巧配浓度首先要了解溶质、溶剂、溶液这三个量和它们之间的关系。

溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量溶质质量＝溶液质量×浓度浓度＝溶质质量÷溶液质量溶液质量＝溶质质量÷浓度热身题：（1）盐水100千克，含盐15％，则含盐千克。

（2）水90千克,盐10 千克,混合后含盐的百分比，即盐水浓度为。

（3）5%的盐水100克，20%的盐水200克，混合后浓度是。

二、经典例题：例 1.在浓度为25%的盐水10千克中加入6千克水，这时盐水溶液的浓度是多少？例2．有含盐16%的盐水40千克，要使盐水的浓度为20%，需要加盐多少千克？例 3. 在浓度8%，重量500克的食盐水中，加入多少克水就能得到浓度为5%的盐水？例4 .浓度为45%的硫酸溶液10 千克，与浓度60%的硫酸溶液5千克，混合后所得硫酸溶液的浓度多少？例5：有甲、乙两种酒精溶液，甲种溶液的浓度为95%，乙种溶液的浓度为80%，要想得到浓度为85%的酒精溶液270克，应从甲、乙两种酒精溶液中各取多少克？三、精选习题 1．比54米多13 是( )米。

比54米少13 是( )米。

54米比( )米多13 。

54米比( )米少13 。

2．小明家装修房子仅用了30万元，比计划节约了6万元，节约了( )%。

3．小明家今年的教育支出预算6万元，比去年的实际教育支出多1万元。

小明家今年的教育支出预算增加了( )%。

4．甲数比a 多10%，a 比乙数少10%，甲数与乙数的比是( )。

5．小明家的收入来源于爸爸、妈妈的工资所得和投资所得。

10月爸爸工资收入5000元，占总收入的40%。

妈妈的工资收入是爸爸的54，妈妈的收入占总收入的( )%，是( )元。

6.有含糖量10%的糖水300克，要使含糖量增大到28%，需要加入多少克糖？7. 要把含盐24%的30千克盐水制成含盐40%的盐水，如果蒸去水分要蒸去多少？8．浓度为70%的酒精溶液500克与浓度50%的酒精溶液300克混合后所得到的酒精溶液浓度多少？9．有两种硫酸，一种浓度60%，另一种浓度90%，现在要配制浓度为70%的硫酸300克，问每种硫酸各取多少克？10.甲容器有8%的盐水300克，乙容器有12.5%的盐水120克，往甲、乙两个容器中分别倒入等量的水，使两个容器中的盐水浓度一样。

拓展课运动图像与追及相遇问题核心要点运动图像问题[要点归纳]1.x－t图像与v－t图像的比较比较内容x－t图像v－t图像图像物理意义反映的是位移随时间的变化规律反映的是速度随时间的变化规律①表示物体从位移为正处开始一直做反向匀速直线运动并过零位移处表示物体先做正向匀减速直线运动，再做负向匀加速直线运动②表示物体静止不动表示物体做正向匀速直线运动③表示物体从位移为零处开始做正向匀速运动表示物体从静止开始做正向匀加速直线运动④表示物体做加速直线运动表示物体做加速度逐渐增大的加速运动图像与坐标轴围成的“面积”的意义无实际意义表示相应时间内的位移（1）根据图像斜率可以求出物体的速度。

（2）由图像判断物体运动的方向。

（3）根据图像可以求出一段时间内的位移或发生一段位移所用的时间。

（4）在同一坐标系中若画出几个物体的位移图像，可比较它们运动的快慢，也可知道它们相遇（两图线的交点）的时刻。

3.v－t图像的应用（1）由图像判断物体运动的方向。

（2）根据图像的斜率可以求出物体的加速度。

（3）根据图像可以求出某一时刻的速度或某段时间内速度的变化量。

（4）根据图线与t 轴所围图形面积求物体的位移。

（5）根据图像可以判断物体的运动性质。

（6）在同一坐标系中，若画出几个物体的速度图像，可比较它们速度变化的快慢，也可知道它们速度相等（两图线的交点）的时刻。

[试题案例][例1] （多选）质点做直线运动的v －t 图像如图所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s 内的平均速度及质点运动的总路程为（ ） A.总路程为2 mB.平均速度为0.25 m/s ，方向向左C.总路程为8 mD.平均速度为1 m/s ，方向向左解析 v －t 图像中，图线与时间轴围成的面积表示位移的大小，时间轴上方的面积表示的位移为正值，下方的面积表示的位移为负值，由图知，前8 s 内的总位移x ＝3×22 m －5×22m ＝－2 m ，平均速度v －＝xt＝－0.25 m/s ，负号表示方向向左，故选项B 正确，D 错误；总路程为s ＝3×22 m ＋5×22 m ＝8 m ，选项C 正确，A 错误。

七年级数学第二章《有理数》拓展提优一．填空题1．数轴上，点A的初始位置表示的数为2，现点A做如下移动：第1次点A向左移动1个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动2个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动3个单位长度至点A3，按照这种移动方式进行下去，点A2019表示的数是．2．如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这种移动方式进行下去，如果点An与原点的距离不小于26，那么n的最小值是．3．在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是﹣9，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝1，则C点表示的数是．4．已知a、b、c均是不等于0的有理数，则的值为．二．解答题5．数轴上的点A、B、C、O、D、E分别表示3，﹣1.5，﹣3，﹣4，0，2.5，（1）在图所示的数轴上画出点A、B、C、O、D、E；（2）比较这六点所表示的数的大小，用“＜”号连接起来；＜＜＜＜＜（3）有同学说：“这六个点中，其中有两个点之间的距离恰好与另外两个点之间的距离相等”，你觉得这位同学的说法正确吗？请你作出判断，并说明理由．6．【阅读理解】如果点M，N在数轴上分别表示实数m，n，在数轴上M，N两点之间的距离表示为MN＝m﹣n（m＞n）或MN＝n﹣m（n＞m）或|m﹣n|．利用数形结合思想解决下列问题：已知数轴上点A与点B的距离为12个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）点A表示的数为，点B表示的数为．（2）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA＝，PC＝．（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒4个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．7．【阅读理解】点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A 的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．【知识运用】如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．（1）数所表示的点是{M，N}的奇点；数所表示的点是{N，M}的奇点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？8．一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下：（单位：米）+6，﹣3，+11，﹣9，﹣7，+12，﹣10．（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？（2）在练习过程中，守门员离开球门线最远距离是多少米？（3）守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？9．阅读材料（1）绝对值的几何意义是表示数轴上的点到原点的距离，如|﹣2|＝2，|x|＝2，x＝+2或﹣2，特别地|x﹣1|＝2表示“x”到“1”的距离是2，就是x ﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，所以x＝3或﹣1；同理，当|x+1|＝2，表示“x”到“﹣1”的距离是2，就是x+1＝2或x+1＝﹣2，所以x＝﹣3或+1；根据以上说明，求下列各式中x的值．①|x|＝1②|x﹣2|＝2③|x+1|＝3（2）由（1）可知，|a|＝a或﹣a，|b|＝b或﹣b，|c|＝c或﹣c，若abc≠0，求的值．（3）若abcd≠0，直接写出+的值．10．阅读下面材料在数轴上4与﹣1所对的两点之间的距离：|4﹣（﹣1）|＝5在数轴上﹣2与3所对的两点之间的距离|（﹣2）﹣3|＝5；在数轴上﹣7与﹣5所对的两点之间的距离：|（﹣7）﹣（﹣5）|＝2在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|依据材料知识解答下列问题（1）数轴上表示﹣3和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为；（2）七年级研究性学习小组进行如下探究：①请你在草稿纸上面出数轴当表示数x的点在﹣3与2之间移动时，|x+3|+|x﹣2|的值总是一个固定的值为：，式子|x+3|+|x+2|的最小值是．②请你在草稿纸上画出数轴，当x等于时，|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|的值最小，且最小值是．11．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，回答下列问题：（1）化简：3|a﹣c|﹣2|﹣a﹣b|；（2）令y＝|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|，x满足什么条件时，y有最小值，求最小值12．定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝，已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数．（1）计算：a2＝，a3＝；（2）根据你发现的规律计算a2018的值．13．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面﹣层有一个圆圈，以下各层均比上﹣层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n＝．如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．14．研究下列算式，你会发现什么规律？1×3+1＝4＝222×4+1＝9＝323×5+1＝16＝424×6+1＝25＝52…（1）请你找出规律井计算7×9+1＝＝（）2（2）用含有n的式子表示上面的规律：．（3）用找到的规律解决下面的问题：计算：＝．15．对于有理数，定义一种新运算“⊕”，观察下列各式：1⊕2＝|1×4﹣2|＝2，2⊕8＝|2×4﹣8|＝0，﹣3⊕4＝|﹣3×4﹣4|＝16（1）计算：（﹣4）⊕3＝，a⊕b＝．（2）若a≠b，则a⊕b b⊕a（填入“＝”或“≠”）（3）若有理数a，b在数轴上的对应点如图所示且a⊕（﹣b）＝5，求[（a+b）⊕（a+b）]⊕（a+b）的值．16．已知有理数a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，有理数m和﹣2在数轴上表示的点相距3个单位长度，求|m|﹣+﹣cd的值．17．若a，b互为相反数且都不为零，c，d互为倒数，m与最小的正整数在数轴上对应点间的距离为2，求（a+b）•+mcd+的值．18．定义☆运算，观察下列运算：（+5）☆（+14）＝+19，（﹣13）☆（﹣7）＝+20，（﹣2）☆（+15）＝﹣17，（+18）☆（﹣7）＝﹣25，0☆（﹣19）＝+19，（+13）☆0＝+13．（1）请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则：两数进行☆运算时，同号，异号．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，．（2）计算：（+17）☆[0☆（﹣16）]＝．（3）若2×（2☆a）﹣1＝3a，求a的值．19．定义一种新运算：观察下列各式：1⊙3＝1×4+3＝73⊙（﹣1）＝3×4﹣1＝115⊙4＝5×4+4＝24（﹣4）⊙（﹣3）＝﹣4×4﹣3＝﹣19完成下列题目（1）2⊙（﹣3）＝，（﹣5）⊙（﹣2）＝（2）计算并比较1⊙[（﹣2）⊙1]与（﹣1）⊙[1⊙（﹣2）]的大小（3）计算1⊙（﹣1）+2⊙（﹣2）+3⊙（﹣3）+…+16⊙（﹣16）的值．20．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：（1）若数轴上数1表示的点与﹣1表示的点重合，则数轴上数﹣5表示的点与数表示的点重合．（2）若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．①则数轴上数3表示的点与数表示的点重合．②若数轴上A、B两点之间的距离为7（A在B的左侧），并且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是．③若数轴上C、D两点之间的距离为d，C在D的左侧并且C、D两点经折叠后重合，求C、D两点表示的数分别是多少？（用含d的代数式表示）21．阅读下列材料，回答提出的问题我们知道：一个数a的绝对值可以表示成|a|，它是一个非负数，|a|在数轴上含义是：表示a这个数的点到原点的距离（距离，当然不可能是负数），这样就把|a|与数轴上的点建立了一种联系（这正是绝对值的几何意义），比如说|2|的几何意义就是：数轴上表示2这个数的点到原点的距离，它是2，所以说|2|＝2，|﹣2|表示﹣2这个数在数轴上所对应的点到原点的距离，它也是2，所以说|﹣2|＝2，严格来说，在数轴上，一个数a在数轴上所对应的点到原点（原点对应的数为0）的距离应该表示为|a﹣0|，但平时我们都写成|a|，原因你明白．（1）若给定|x|＝3，要找这样的x，请按照上面材料中的说法，解释它的几何意义并找出对应的x；（2）实际上，对于数轴上任意两个数x1，x2之间的距离我们也可以表示为|x1﹣x2|，反过来，|x1﹣x2|这个绝对值的几何意义就是：数轴上表示x1与x2这两个数的点之间的距离，你能结合上面的叙述，解释|5﹣2|＝3的几何意义吗？请按你的理解说明：|5+2|＝7呢？如果能解释这个，你了不起；（3）若|x﹣2019|＝1，请直接写出x的值．22．如图，数轴上每相邻两刻度线间的距离为1个单位长度，请回答下列问题：（1）如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？（2）如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？图中5个点表示的数的乘积是多少？（3）求|x+1.5|+|x﹣0.5|+|x﹣4.5|的最小值．23．已知数轴上两点A，B对应的是﹣2和4，点P为数轴上一动点，（1）若点P到点A和点B的距离相等，求点P对应的数．（2）若点P在点A和点B之间，且将线段AB分成1：3两部分，求点P对应的数．（3）数轴上是否存在点P，使得点P到点A的距离与到点B的距离之比为1：2？若存在，求点P对应的数；若不存在，说明理由．24．我们知道数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|根据以上知识解题：（1）若数轴上两点A、B表示的数为x、﹣1，①A、B之间的距离可用含x的式子表示为；②若两点之间的距离为2，那么x值为；（2）在（1）的条件下，是否存在点P，使得点P到点A的距离等于点P到点B的距离的三倍．答案与解析一．填空题（共4小题）1．数轴上，点A的初始位置表示的数为2，现点A做如下移动：第1次点A向左移动1个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动2个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动3个单位长度至点A3，按照这种移动方式进行下去，点A2019表示的数是﹣1008．【分析】奇数次移动是左移，偶数次移动是右移，第n次移动n个单位．每左移右移各一次后，点A右移1个单位，故第2018次右移后，点A向右移动1×（2018÷2）个单位，第2019次左移2019个单位，故点A2019表示的数是1×（2018÷2）﹣2019×1+2．【解答】解：第n次移动n个单位，第2019次左移2019×1个单位，每左移右移各一次后，点A右移1个单位，所以A2019表示的数是1×（2018÷2）﹣2019×1+1＝﹣1008．故答案为：﹣1008．【点评】本题考查数轴上点的移动规律，确定每次移动方向和距离的规律，以及相邻两次移动的后的实际距离和方向是解答次题的关键．2．如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这种移动方式进行下去，如果点A n与原点的距离不小于26，那么n的最小值是17．【分析】序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数为﹣17﹣3＝﹣20，A12表示的数为16+3＝19，则可判断点A n与原点的距离不小于26时，n的最小值是17．【解答】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3＝﹣2；第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6＝4；第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9＝﹣5；第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12＝7；第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15＝﹣8；…；则A7表示的数为﹣8﹣3＝﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3＝﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3＝﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3＝﹣20，A6表示的数为7+3＝10，A8表示的数为10+3＝13，A10表示的数为13+3＝16，A12表示的数为16+3＝19，A14表示的数为19+3＝22，A16表示的数为22+3＝25，A18表示的数为25+3＝28，所以点A n与原点的距离不小于26，那么n的最小值是17，故答案为：17．【点评】本题考查了规律型：认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解题关键．3．在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是﹣9，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝1，则C点表示的数是﹣2．【分析】设点C表示的数是x，利用AB＝AC﹣BC＝1，列出方程解答即可．【解答】解：设点C表示的数是x，则AC＝x﹣（﹣9）＝x+9，BC＝4﹣x，∵AB＝1，即AC﹣BC＝x+9﹣（4﹣x）＝2x+5＝1，解得：x＝﹣2，∴点C表示的数是﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查数轴，解决此题的关键是能利用数轴上两点间的距离公式用含x 的式子表示出线段的长度．4．已知a、b、c均是不等于0的有理数，则的值为7或﹣1．【分析】分a、b、c三个数都是正数，两个正数，一个正数，都是负数四种情况，根据绝对值的性质去掉绝对值号，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解．【解答】解：①a、b、c三个数都是正数时，a＞0，b＞0，c＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，abc＞0，原式＝1+1+1+1+1+1+1，＝7；②a、b、c中有两个正数时，不妨设为a＞0，b＞0，c＜0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，abc＜0，原式＝1+1﹣1+1﹣1﹣1﹣1，＝﹣1；③a、b、c有一个正数时，不妨设为a＞0，b＜0，c＜0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，abc＞0，原式＝1﹣1﹣1﹣1﹣1+1+1，＝﹣1；④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，则ab＞0，ac＞0，bc＞0，abc＜0，原式＝﹣1﹣1﹣1+1+1+1+1﹣1，＝﹣1；综上所述，原式的值为7或﹣1，故答案为：7或﹣1．【点评】本题考查了有理数的除法，绝对值的性质，难点在于根据三个数的正数的个数分情况讨论．二．解答题（共19小题）5．数轴上的点A、B、C、O、D、E分别表示3，﹣1.5，﹣3，﹣4，0，2.5，（1）在图所示的数轴上画出点A、B、C、O、D、E；（2）比较这六点所表示的数的大小，用“＜”号连接起来；﹣4＜﹣3＜﹣1.5＜0＜ 2.5＜3（3）有同学说：“这六个点中，其中有两个点之间的距离恰好与另外两个点之间的距离相等”，你觉得这位同学的说法正确吗？请你作出判断，并说明理由．【分析】（1）根据数轴是表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来；（2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案；（3）根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案【解答】解：（1）如图；，（2）由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得﹣4＜﹣3＜﹣1.5＜0＜2.5＜3，故答案为：﹣4，﹣3，﹣1.5，0，2.5，3，（3）对．﹣4与﹣3之间距离等于2.5与3之间距离都是0.5．或者﹣4与﹣1.5之间距离等于2.5与0之间距离是2.5．【点评】本题考查了有理数大小比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键．6．【阅读理解】如果点M，N在数轴上分别表示实数m，n，在数轴上M，N两点之间的距离表示为MN＝m﹣n（m＞n）或MN＝n﹣m（n＞m）或|m﹣n|．利用数形结合思想解决下列问题：已知数轴上点A与点B的距离为12个单位长度，点A 在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）点A表示的数为﹣24，点B表示的数为﹣12．（2）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA＝2t，PC＝36﹣2t．（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒4个单位的速度向C点运动，Q 点到达C点后，立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．【分析】（1）因为点A在原点左侧且到原点的距离为24个单位长度，所以点A表示数﹣24；点B在点A右侧且与点A的距离为12个单位长度，故点B表示：﹣24+12＝﹣12．（2）因为点P从点A出发，以每秒运动2两个单位长度的速度向终点C运动，则t秒后点P表示数﹣24+2t（0≤t≤18，令﹣24+2t＝12，则t＝18时点P运动到点C），而点A 表示数﹣24，点C表示数12，所以PA＝|﹣24+2t﹣（﹣24）|＝2t，PC＝|﹣24+2t﹣12|＝36﹣2t．（3）以点Q作为参考，则点P可理解为从点B出发，设点Q运动了m秒，那么m秒后点Q表示的数是﹣24+4m，点P表示的数是﹣12+2m，再分两种情况讨论：①点Q运动到点C之前；②点Q运动到点C之后．【解答】解：（1）设A表示的数为x，设B表示的数是y．∵|x|＝24，x＜0∴x＝﹣24又∵y﹣x＝12∴y＝﹣24+12＝﹣12．故答案为：﹣24；﹣12．（2）由题意可知：∵t秒后点P表示的数是﹣24+2t（0≤t≤18），点A表示数﹣24，点C 表示数12∴PA＝|﹣24+2t﹣（﹣24）|＝2t，PC＝|﹣24+2t﹣12|＝36﹣2t．故答案为：2t；36﹣2t．（3）设点Q运动了m秒，则m秒后点P表示的数是﹣12+2m．①当m≤9，m秒后点Q表示的数是﹣24+4m，则PQ＝|﹣24m+4m﹣（﹣12+2m）|＝2，解得m＝5或7，此时P表示的是﹣2或2；②当m＞9时，m秒后点Q表示的数是12﹣4（m﹣9），则PQ＝|12﹣4（m﹣9）﹣（﹣12+2m）|＝2，解得m＝，此时点P表示的数是．答：P、Q两点之间的距离能为2，此时点P点表示的数分别是﹣2，2，．【点评】本题考查了数轴上两点间的距离公式以及实数与数轴的相关概念，解题时同时注意数形结合数学思想的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，用代数式表示出数轴上的动点代表的数，找出合适的等量关系列出方程，再求解．7．【阅读理解】点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．【知识运用】如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．（1）数3所表示的点是{M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？【分析】（1）根据定义发现：奇点表示的数到{M，N}中，前面的点M是到后面的数N 的距离的3倍，从而得出结论；根据定义发现：奇点表示的数到{N，M}中，前面的点N是到后面的数M的距离的3倍，从而得出结论；（2）点A到点B的距离为80，由奇点的定义可知：分两种情况列式：①PB＝3PA；②PA ＝3PB；可以得出结论．【解答】解：（1）5﹣（﹣3）＝8，8÷（3+1）＝2，5﹣2＝3；﹣3+2＝﹣1．故数3所表示的点是{M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点；（2）30﹣（﹣50）＝80，80÷（3+1）＝20，30﹣20＝10，﹣50+20＝﹣30，故P点运动到数轴上的﹣30或10位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点．故答案为：3；﹣1．【点评】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：奇点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的3倍，列式可得结果．8．一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下：（单位：米）+6，﹣3，+11，﹣9，﹣7，+12，﹣10．（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？（2）在练习过程中，守门员离开球门线最远距离是多少米？（3）守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？【分析】（1）由于守门员从球门线出发练习折返跑，问最后是否回到了球门线的位置，只需将所有数加起来，看其和是否为0即可；（2）计算每一次跑后的数据，绝对值最大的即为所求；（3）求出所有数的绝对值的和即可．【解答】解：（1）（+6）+（﹣3）+（+11）+（﹣9）+（﹣7）+（+12）+（﹣10）＝（6+11+12）﹣（3+9+7+10）＝29﹣29＝0答：守门员最后回到了球门线的位置．（2）由观察可知：6﹣3+11＝14米．答：在练习过程中，守门员离开球门线最远距离是12米．（3）|+6|+|﹣3|+|+11|+|﹣9|+|﹣7|+|+12|+|﹣10|＝6+3+11+9+7+12+10＝58米．答：守门员全部练习结束后，他共跑了58米．【点评】本题考查了有理数的加减混合运算．关键是根据题意，正确列出算式．9．阅读材料（1）绝对值的几何意义是表示数轴上的点到原点的距离，如|﹣2|＝2，|x|＝2，x＝+2或﹣2，特别地|x﹣1|＝2表示“x”到“1”的距离是2，就是x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，所以x ＝3或﹣1；同理，当|x+1|＝2，表示“x”到“﹣1”的距离是2，就是x+1＝2或x+1＝﹣2，所以x ＝﹣3或+1；根据以上说明，求下列各式中x的值．①|x|＝1②|x﹣2|＝2③|x+1|＝3（2）由（1）可知，|a|＝a或﹣a，|b|＝b或﹣b，|c|＝c或﹣c，若abc≠0，求的值．（3）若abcd≠0，直接写出+的值．【分析】（1）根据绝对值的意义进行计算即可；（2）（2）对a、b、c进行讨论，即a、b、c同正、同负、两正一负、两负一正，然后计算得结果；（3）根据abcd≠0，得出共有5种情况，然后分别进行化简即可．【解答】解：（1）①|x|＝1，x＝±1；②|x﹣2|＝2，x﹣2＝2或x﹣2＝﹣2，所以x＝4或0，③|x+1|＝3，x+1＝3或x﹣1＝﹣3，所以x＝2或﹣2，（2）当abc≠0时，①a，b，c三个都是负数时，＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；②a，b，c三个都是正数时，＝1+1+1＝3；③a，b，c两负一正，＝﹣1﹣1+1＝﹣1；④a，b，c两正一负，＝﹣1+1+1＝1．故的值为±1，或±3．（3）①若a，b，c，d有一个负数，三个正数，则+＝﹣1+3＝2；②若a，b，c，d有二个负数，二个正数，则+＝﹣2+2＝0；③若a，b，c，d有三个负数，一个正数，则+═﹣3+1＝﹣2；④若a，b，c，d有四个负数，则+═﹣4；⑤若a，b，c，d有四个正数，则+═4；故+的值为：±2，±4，0．【点评】本题考查了有理数的加法、绝对值的化简，解决本题的关键是对a、b、c、d的分类讨论．注意＝±1（x＞0，结果为1，x＜0，结果为﹣1）．10．阅读下面材料在数轴上4与﹣1所对的两点之间的距离：|4﹣（﹣1）|＝5在数轴上﹣2与3所对的两点之间的距离|（﹣2）﹣3|＝5；在数轴上﹣7与﹣5所对的两点之间的距离：|（﹣7）﹣（﹣5）|＝2在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|依据材料知识解答下列问题（1）数轴上表示﹣3和﹣5的两点之间的距离是2，数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为|x﹣3|或|3﹣x|；（2）七年级研究性学习小组进行如下探究：①请你在草稿纸上面出数轴当表示数x的点在﹣3与2之间移动时，|x+3|+|x﹣2|的值总是一个固定的值为：5，式子|x+3|+|x+2|的最小值是1．②请你在草稿纸上画出数轴，当x等于2时，|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|的值最小，且最小值是7．【分析】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|的表达式计算出绝对值；（2）要去掉绝对值符号，需要抓住已知点在数轴上进行分段讨论，写出去绝对值后的表达式讨论计算即可．【解答】解：（1）根据题意知﹣3和﹣5的两点之间的距离可表示为：|﹣3﹣（﹣5）|＝2；数x和3的两点之间的距离|x﹣3|或|3﹣x|；故答案为2，|x﹣3|或|3﹣x|；（2）①∵﹣3≤x≤2，∴x+3≥0，x﹣2≤0，∴|x+3|+|x﹣2|＝x+3﹣（x﹣2）＝5所以当﹣3≤x≤2时，|x+3|+|x﹣2|的值总是一个固定的值为5．|x+3|+|x+2|是表示x到A、C的距离之和，可观察下图．当﹣3≤x≤﹣2时，由①可知|x+3|+|x+2|＝1当﹣2＜x≤2时，|x+3|+|x+2|＝|x+2|+1+|x+2|＝2|x+2|+1＞1∴当﹣3≤x≤﹣2时，式子|x+3|+|x+2|的最小值是1．故答案为5，1．②画出图形，则可知，|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|是表示x的点到A、B、C三点距离之和．如下图分区间来讨论，可以得出当﹣3≤x≤2时，|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|＝﹣x+4+x+3﹣x+2＝﹣x+9，可见x＝2取得最小值，﹣x+9＝7；当2≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|＝﹣x+4+x+3+x﹣2＝x+5，x＝2时取得最小值，x+5＝7．所以式|x﹣4|+|x+3|+|x﹣2|当x等于2时，最小值是7．故答案为2，7．【点评】本题考查的是数轴上两点之间的距离和数的绝对值计算之间的关系，去掉绝对值之后代数式的表达是解题的关键，解此类题目要学会分区间讨论和数形结合的思想方法．11．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，回答下列问题：（1）化简：3|a﹣c|﹣2|﹣a﹣b|；（2）令y＝|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|，x满足什么条件时，y有最小值，求最小值【分析】（1）从数轴上的标示可知c＜0＜a＜b，由此去掉绝对值符号化简即可；（2）分区间进行去绝对值化简比较即可．【解答】解：（1）根据数轴上的标示知，c＜0＜a＜b，∴a﹣c＞0，﹣a﹣b＜0，∴原式＝3（a﹣c）﹣2（a+b）＝3a﹣3c﹣2a﹣2b＝a﹣2b﹣3c．（2）①当x≤c时，y＝﹣x+a﹣x+b﹣x+c＝﹣3x+a+b+c，因为该函数为减函数，所以当且仅当x＝c时最小，最小值为：a+b﹣2c，②当c≤x≤a时，y＝﹣x+a﹣x+b+x﹣c＝﹣x+a+a﹣c，因为该函数为减函数，所以当且仅当x＝a时最小，最小值为：a﹣c，③当a≤x≤b时，y＝x﹣a﹣x+b+x﹣c＝x﹣a+b﹣c，因为该函数为增函数，所以当且仅当x＝b时最小，最小值为：2b﹣a﹣c，④当x≥b时，y＝x﹣a+x﹣b+x﹣c＝3x﹣a﹣b﹣c，因为该函数为增函数，所以当且仅当x＝b时最小，最小值为：2b﹣a﹣c，从以上讨论中可知，只有当c≤x≤a时y的值是a﹣c，小于其他最小值，所以当c≤x≤a时y有最小值是a﹣c．【点评】本题不仅考查了数轴上的点的正、负和大小的判定，更重要的是考查了含绝对值符号的一元一次函数的极值问题，运用分类讨论的方法和函数的增加性来得出函数的极值的解题能力．12．定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝，已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数．（1）计算：a2＝，a3＝4；（2）根据你发现的规律计算a2018的值．【分析】（1）根据规定的运算方法，依次计算出a2、a3；（2）进一步计算出a4、a5，即可发现每3个数为一个周期依次循环，然后用2018除以3，根据规律，即可得出答案．【解答】解：（1）a2＝＝，a3＝＝4．故答案为，4；（2）∵a1＝﹣，a2＝，a3＝4，a4＝＝﹣，a5＝＝，…∴这列数以﹣，，4三个数依次不断循环出现；2018÷3＝672…2，a2018＝a2＝．【点评】此题考查数字的变化规律，利用规定的运算方法，得出数字之间的循环规律，利用规律解决问题．13．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面﹣层有一个圆圈，以下各层均比上﹣层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n＝．如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．【分析】（1）12层时最底层最左边这个圆圈中的数是11层的数字之和再加1；（2）首先计算圆圈的个数，从而分析出23个负数后，又有多少个正数．【解答】解：（1）1+2+3+…+11+1＝6×11+1＝67；（2）图4中所有圆圈中共有1+2+3+…+12＝＝78个数，其中23个负数，1个0，54个正数，所以图4中所有圆圈中各数的绝对值之和＝|﹣23|+|﹣22|+...+|﹣1|+0+1+2+ (54)（1+2+3+…+23）+（1+2+3+…+54）＝276+1485＝1761．另解：第一层有一个数，第二层有两个数，同理第n层有n个数，故原题中1+2+．+11为11层数的个数即为第11层最后的圆圈中的数字，加上1即为12层的第一个数字．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．注意连续整数相加的时候的这种简便计算方法：1+2+3+…+n＝．14．研究下列算式，你会发现什么规律？1×3+1＝4＝222×4+1＝9＝323×5+1＝16＝424×6+1＝25＝52…（1）请你找出规律井计算7×9+1＝64＝（8）2（2）用含有n的式子表示上面的规律：n（n+2）+1＝（n+1）2．（3）用找到的规律解决下面的问题：计算：＝．【分析】（1）（2）观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，依此得到7×9+1＝64＝82；含有n的式子表示的规律．（3）由（1+）（1+）＝×××知，+…+（1+）＝，利用此规律计算．【解答】解：（1）7×9+1＝64＝82；（2）上述算式有规律，可以用n表示为：n（n+2）+1＝n2+2n+1＝（n+1）2．（3）原式＝＝．故答案为：64，8；n（n+2）+1＝（n+1）2；．【点评】本题考查了有理数的运算，是找规律题，找到+…+（1+）＝××××××…××＝是解题的关键．15．对于有理数，定义一种新运算“⊕”，观察下列各式：1⊕2＝|1×4﹣2|＝2，2⊕8＝|2×4﹣8|＝0，﹣3⊕4＝|﹣3×4﹣4|＝16（1）计算：（﹣4）⊕3＝19，a⊕b＝|4a﹣b|．（2）若a≠b，则a⊕b≠b⊕a（填入“＝”或“≠”）（3）若有理数a，b在数轴上的对应点如图所示且a⊕（﹣b）＝5，求[（a+b）⊕（a+b）]⊕（a+b）的值．【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；（2）根据题目中的新定义和（1）中的结果，可以解答本题；（3）根据题意和题目中的式子可以求得所求式子的值．【解答】解：（1）（﹣4）⊕3＝|（﹣4）×4﹣3|＝19，a⊕b＝|4a﹣b|，故答案为：19，|4a﹣b|；（2）∵a⊕b＝|4a﹣b|，b⊕a＝|4b﹣a|，a≠b，∴（4a﹣b）﹣（4b﹣a）＝4a﹣b﹣4b+a＝4（a﹣b）+（a﹣b）＝5（a﹣b）≠0，∴a⊕b≠b⊕a，故答案为：≠；。

第1篇第一章：智慧的开端欢迎来到《智商游戏：智力挑战之旅》，这是一场专门为寻找智慧火花而设计的游戏。

在这里，你将面临各种智力难题，从简单的逻辑推理到复杂的数学计算，从古老的谜题到现代的科技挑战，每一道题目都旨在激发你的大脑潜能，提升你的思维能力。

测试题目一：数字密码题目描述：你是一位密码破解专家，被雇佣来解决一个古老的密码。

这个密码由五个数字组成，每个数字都是独一无二的。

以下是你已知的线索：1. 第一个数字是偶数。

2. 第二个数字是第一个数字的两倍。

3. 第三个数字比第二个数字小3。

4. 第四个数字是第三个数字的平方。

5. 第五个数字是第四个数字的倒数。

请找出这个密码。

测试题目二：逻辑推理题目描述：你是一位侦探，接到一个神秘案件的线索。

以下是案件现场的情况：- 现场有一个被打破的玻璃杯，杯子里有水。

- 附近有四个嫌疑人：A、B、C、D。

- A声称是他打破了玻璃杯。

- B声称是他打破了玻璃杯，但他在案发时正在另一个房间。

- C声称他看到是D打破了玻璃杯。

- D否认打破了玻璃杯，并声称他当时正在打电话。

请问，谁最有可能是打破玻璃杯的人？测试题目三：数学难题题目描述：你是一位数学老师，面对一群聪明的学生。

他们提出了以下问题：1. 一个人有10个苹果，他给了朋友5个，然后又从朋友那里拿回3个。

他现在有多少个苹果？2. 一个长方形的长是12厘米，宽是8厘米。

如果将长方形的长和宽都增加2厘米，新的长方形的面积是多少？3. 一个数字加上它的倒数的和是3，这个数字是多少？测试题目四：谜语挑战题目描述：以下是一个谜语，你需要找出谜底。

“白天的星星，夜晚的月亮，不是你，不是他，那是谁？”测试题目五：科技挑战题目描述：你是一位未来的科学家，需要解决一个科技难题。

以下是挑战：- 你需要设计一个机器人，它能在3小时内从A点移动到B点，A点和B点之间相距100公里。

- 机器人的能源是有限的，只能携带5升燃料。

- 燃料燃烧速度为每升燃料1公里/小时。

预学单1课题：2.1.1 整式——用字母表示数课型：新授课执笔：陈芬芬审核人：学生姓名：一、预学目标进一步理解字母表示数的意义，会用含有字母的式子表示实际问题中的数量关系。

预学重难点：学会使用含有字母的式子表示实际问题中的数量关系．二、学法点津：经历用含有字母的式子表示实际问题数量关系的过程，体会从具体到抽象的认识过程，发展符号意识．四、自主学习1、预习内容：自学课本P54—55页，完成本章引言中的问题，着重解决引言问题（1）根据速度、时间和路程之间的关系：（2）青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段，列车在冻土地段的行驶的速度是100千米/小时，在非冻土地段的行驶速度可以达到120千米/小时，请根据这些数据回答下列的问题：列车在冻土地段行驶2小时的路程是：列车在冻土地段行驶3小时的路程是：列车在冻土地段行驶t 小时的路程是：2、预习测试：1.一盒铅笔共10支，n盒铅笔共有支。

2.一件夹克标价为a元，现按标价7折出售，则售价为元。

五、小组合作探究（用含有字母的式子表示数量关系）探究点一：正方形的边长为a，用式子表示正方形的周长及面积；某产品原价是每千克30元，打x折出售，用式子表示售价；某两位数的个位数字是y,十位数字是x,用字母表示这个两位数。

探究点二：1、买一支铅笔需要x元，买一支钢笔需要y元，买2支铅笔和3支钢笔共需要多少元钱？（）2、一架飞机在无风时飞行速度为840km/h,风速是X km/h,用式子表示飞机在顺风与逆风中飞行的速度；（）3、用式子表示比数a的12小3的数。

（）六、我的疑惑（通过预习你对哪方面知识认识的还不够呢？例举一二）预学单2课题： 2.1.1 单项式课型：新授课执笔：陈芬芬审核人：学生姓名：一、预学目标了解正负数正确表示相反意义的量二、预学重难点：了解什么是表示向指定方向变化的量，进一步理解正负数概念。

三、学法点津：通过观察代数式的特点，发现、归纳单项式的概念，培养学生观察、分析、归纳的能力． 四、自主学习1、预习内容：自学课本P56---57页，完成《能力培养与测试》p41页“教材助读 自主学习”2、用含有字母的式子填空，看看列出的式子有什么特点。

《有理数的加减混合运算》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在通过有理数的加减混合运算的练习，巩固学生对正负数运算的理解，提升学生计算能力，增强学生的数学逻辑思维，为学生进一步学习数学奠定坚实的基础。

二、作业内容1. 基础练习：设计一系列简单的加减混合运算题目，涵盖正数、负数以及零的混合运算，旨在帮助学生熟练掌握基本运算规则和运算顺序。

2. 进阶练习：（1）设置含有多步骤的加减混合运算题目，培养学生分析问题和解决问题的能力。

（2）引入实际应用题，如温度变化、商场购物找零等情境，让学生将数学与实际生活相联系，增强学习兴趣。

3. 拓展练习：（1）设计一些需要运用简便算法的题目，如凑整法、分组法等，提高学生运算速度和准确性。

（2）设置一些带有未知数的实际问题，让学生通过列方程的方式进行解答，锻炼学生的代数思维能力。

三、作业要求1. 学生应按照规定的作业时间完成作业。

2. 在解题过程中，要保证运算的准确性，遵守数学中的运算法则和运算顺序。

3. 对于应用题，应正确理解题目情境，根据情境选择合适的运算方法。

4. 对于拓展题目，学生可尝试多种解题方法，培养自己思维的广度和深度。

5. 书写规范、清晰，避免出现潦草或错别字等情况。

四、作业评价1. 批改作业时，重点评价学生的运算准确性和解题思路的清晰度。

2. 对学生使用简便算法和列方程等方法的情况进行评价，鼓励创新思维。

3. 对于学生理解应用题情境的能力给予肯定或提出改进建议。

4. 针对学生在作业中出现的错误进行记录和分类，为后续教学提供参考。

五、作业反馈1. 针对学生在作业中出现的错误进行及时纠正和指导，帮助学生找出错误原因并改正。

2. 对于学生在作业中表现出的优点和亮点进行表扬和鼓励，增强学生的学习信心。

3. 定期将学生的作业情况进行汇总和分析，为后续教学提供参考依据。

4. 鼓励学生之间互相交流学习心得和解题方法，促进同学之间的交流与合作。

通过上作业设计方案的实施，学生可以在完成作业的过程中巩固知识，提高运算能力，培养逻辑思维。

《有理数的加法》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本课时的作业设计，使学生能够熟练掌握有理数加法的基本概念、运算法则，并能够运用所学知识解决简单的实际问题，培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。

二、作业内容1. 基础练习：- 完成课本上的有理数加法练习题，包括同号相加、异号相加等基本题型。

- 掌握有理数加法的基本法则，如加法交换律和结合律。

2. 拓展应用：- 设计一系列实际问题，如温度变化、购物找零等场景，要求学生运用所学知识进行计算。

- 引导学生通过小组合作，探讨有理数加法在实际生活中的应用，培养学生的合作能力和问题解决能力。

3. 巩固提高：- 布置一些综合性的有理数加法题目，包括正负数的混合运算、分数的加减法等，以提高学生的运算能力和思维能力。

- 要求学生进行自我总结和反思，梳理所学知识，加深对有理数加法的理解和掌握。

三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案。

2. 基础练习部分要求准确无误地完成所有题目，理解并掌握有理数加法的基本法则。

3. 拓展应用部分要求学生在理解题意的基础上，运用所学知识进行计算，并能够用数学语言进行表达和交流。

4. 巩固提高部分要求学生进行充分的思考和探索，掌握更多的知识点和技巧，提高解题能力。

5. 学生需在规定时间内完成作业，并按照老师的要求进行自我总结和反思。

四、作业评价1. 老师将根据学生完成作业的准确性和速度进行评价，对完成情况良好的学生进行表扬和鼓励。

2. 老师将根据学生的作业情况，对学生的学习情况进行了解和分析，以便更好地指导学生的学习。

3. 对于学生的错误和不足，老师将进行针对性的指导和帮助，帮助学生找到问题所在并加以改正。

五、作业反馈1. 老师将对学生的作业进行批改和点评，指出学生的错误和不足，并给出正确的解答方法和思路。

2. 对于学生在作业中表现出的问题和困难，老师将在课堂上进行讲解和指导，帮助学生解决问题和提高学习效果。

3. 老师将鼓励学生进行自我总结和反思，帮助学生更好地掌握所学知识，提高学习效率和成绩。

拓展课 匀变速直线运动规律的应用核心要点初速度为零的匀加速直线运动的比例式[问题探究]汽车以2 m/s 2的加速度由静止开始启动，若汽车做匀加速直线运动。

（1）请分别计算汽车1 s 、2 s 、3 s 、4 s 末的速度，以及1 s 、2 s 、3 s 、4 s 末的速度比。

你能发现什么规律？（2）请分别计算汽车1 s 、2 s 、3 s 、4 s 内的位移，以及1 s 、2 s 、3 s 、4 s 内的位移比。

你能发现什么规律？（3）请分别计算汽车第1 s 内、第2 s 内、第3 s 内、第4 s 内的位移，以及第1 s 内、第2 s 内、第3 s 内、第4 s 内的位移比。

你能发现什么规律？答案 （1）根据v ＝at 知v 1＝2 m/s ，v 2＝4 m/s ，v 3＝6 m/s ，v 4＝8 m/s ，故v 1∶v 2∶v 3∶v 4＝1∶2∶3∶4 速度比＝时间比（2）根据x ＝12at 2知x 1＝1 m ，x 2＝4 m ，x 3＝9 m ，x 4＝16 m ，x 1∶x 2∶x 3∶x 4＝1∶4∶9∶16总位移比＝时间二次方比（3）x Ⅰ＝1 m ，x Ⅱ＝x 2－x 1＝3 m ，x Ⅲ＝x 3－x 2＝5 m ，x Ⅳ＝x 4－x 3＝7 m ，x Ⅰ∶x Ⅱ∶x Ⅲ∶x Ⅳ＝1∶3∶5∶7连续相等时间内的位移比＝连续奇数比 [探究归纳]1.初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分（设相等的时间间隔为T ） ①1T 末、2T 末、3T 末…瞬时速度之比： 由v ＝at 可得：v 1∶v 2∶v 3…＝1∶2∶3… ②1T 内、2T 内、3T 内…位移之比： 由x ＝12at 2可得：x 1∶x 2∶x 3…＝1∶4∶9…③第一个T 内、第二个T 内、第三个T 内…的位移之比：由x Ⅰ＝x 1，x Ⅱ＝x 2－x 1，x Ⅲ＝x 3－x 2…可得：x Ⅰ∶x Ⅱ∶x Ⅲ…＝1∶3∶5…2.初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分（设相等的位移为x 0） ①通过x 0、2x 0、3x 0…所用时间之比： 由x ＝12at 2可得t ＝2x 0a，所以t 1∶t 2∶t 3…＝1∶2∶3…②通过第一个x 0、第二个x 0、第三个x 0…所用时间之比：由t Ⅰ＝t 1，t Ⅱ＝t 2－t 1，t Ⅲ＝t 3－t 2…可得：t Ⅰ∶t Ⅱ∶t Ⅲ…＝1∶（2－1）∶（3－2）…③x 0末、2x 0末、3x 0末…的瞬时速度之比： 由v 2＝2ax ，可得v ＝2ax ，所以v 1∶v 2∶v 3…＝1∶2∶3…温馨提示 （1）比例式解题适用初速度为零的匀加速直线运动。