数字信号处理第二章提高题

第二章作业题 答案%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2.1将序列1,01,1()0,22,30,n n x n n n =⎧⎪-=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩其他表示为()u n 及()u n 延迟的和。

解：首先将表示为单位脉冲序列的形式：()x n ()()()()=123x n n n n δδδ--+-对于单位脉冲函数，用单位阶跃序列表示，可得：()n δ()u n ()()()1n u n u n δ=--将上式带入到的单位脉冲序列表达式中，可得：()x n ()()()()()()()()()()()()()()()1231122342122324x n n n n u n u n u n u n u n u n u n u n u n u n u n δδδ=--+-=------+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=--+-+---%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2.5判断下列序列中，哪一个是周期序列，如果是周期序列，求出它的周期。

(1)()sin1.2x n n =(2)()sin 9.7x n n π=(5)()sin()cos()47nnx n ππ=-解：理论分析详见P18性质7）周期序列题中设计到的是正弦信号，对于正弦信号，分析其周期性，则()0()sin x n A n ωϕ=+需判断：2πω1）为整数，则周期；2）为有理数，则周期；3）为无理数则非周期。

观察（1）、（2）、（5），依次为：、、，从而可知0ω0 1.2ω=09.7ωπ=12,47ππωω==（1）为非周期，（2）、（5）为周期序列。

（2）中，，因此周期。

022209.797ππωπ==20N =（5）中，第一部分周期为，第二部分周期为，因此序列1028N πω==20214N πω==周期为。

第二章习题解答1、求下列序列的z 变换()X z ，并标明收敛域，绘出()X z 的零极点图。

(1) 1()()2nu n (2) 1()()4nu n - (3) (0.5)(1)nu n --- (4) (1)n δ+(5) 1()[()(10)]2nu n u n -- (6) ,01na a <<解：(1) 00.5()0.50.5nn n n zZ u n z z ∞-=⎡⎤==⎣⎦-∑，收敛域为0.5z >，零极点图如题1解图(1)。

(2) ()()014()1414n nn n z Z u n z z ∞-=⎡⎤-=-=⎣⎦+∑，收敛域为14z >，零极点图如题1解图(2)。

(3) ()1(0.5)(1)0.50.5nnn n zZ u n z z --=-∞-⎡⎤---=-=⎣⎦+∑，收敛域为0.5z <，零极点图如题1解图(3)。

(4) [](1Z n z δ+=，收敛域为z <∞，零极点图如题1解图(4)。

(5) 由题可知，101010910109(0.5)[()(10)](0.5)()(0.5)(10)0.50.50.50.50.50.5(0.5)n n nZ u n u n Z u n Z u n z z z z z z z z z z z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⋅=-----==--收敛域为0z >，零极点图如题1解图(5)。

(6) 由于()(1)nn n a a u n a u n -=+--那么，111()(1)()()()nn n Z a Z a u n Z a u n z z z a z a z a a z a z a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---⎣⎦⎣⎦⎣⎦=----=-- 收敛域为1a z a <<，零极点图如题1解图(6)。

(1) (2) (3)(4) (5) (6)题1解图2、求下列)(z X 的反变换。

2－1 试求如下序列的傅里叶变换： （1）)()(01n n n x -=δ （2）)1(21)()1(21)(2--++=n n n n x δδδ （3）),2()(3+=n u a n x n10<<a（4）)4()3()(4--+=n u n u n x（5）∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛=05)3(41)(k nk n n x δ（6）()6cos ,14()0,n n x n π⎧-≤≤=⎨⎩其他解： （1） 010()()j n j j nn X e n n ee ωωωδ∞--=-∞=-=∑（2） 2211()()122j j nj j n X e x n e e e ωωωω∞--=-∞==+-∑ωsin 1j +=（3） 2232()(2)1j j nj nn j nj n n a e X e a u n ea eaeωωωωω-∞∞---=-∞=-=+==-∑∑， 10<<a（4） []4()(3)(4)j j nn X e u n u n eωω∞-=-∞=+--∑∑-=-=33n nj e ω∑∑==-+=313n n j n nj e eωωωωωωωj j j j j e e e e e --+--=--111134=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=----ωωωω21sin 27sin 1137j j j e ee（5） 3350011()(3)44n kj jn j k n k k X e n k e e ωωωδ∞∞+∞--=-∞==⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∞+=--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=033411141k j kj e e ωω（6） 44336441()cos 32j j j jn jn n n X e nee e e ππωωωπ---=-=-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑994()()4()()3333001122j j n j j n n n e e e e ππππωωωω--++===+∑∑ ()9()9334()4()33()()3311112211j j j j j j e e e e e e ππωωππωωππωω-+-+-+⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2－2 设信号}1,2,3,2,1{)(---=n x ，它的傅里叶变换为)(ωj e X ，试计算(1)0()j X e （２）()j X ed πωπω-⎰（３）2()j X e d πωπω-⎰。

【最新整理，下载后即可编辑】第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。

若是，请确定它的最小周期。

（1）x(n)=Acos(685ππ+n )（2）x(n)=)8(π-ne j （3）x(n)=Asin(343ππ+n )解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。

因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=)5(16516取k k =。

（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。

因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。

（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。

因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。

计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。

(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1222222 3333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式y(n)=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。

(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2) y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)= ∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u(n)2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λn u(n)*u(n)解：(1) y(n)=∑∞-∞=-k k n u k u )()( =∑∞=-0)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0 即y(n)=(n+1)u(n)(2) y(n)=∑∞-∞=-k k k n u k u )()(λ=∑∞=-0)()(k kk n u k u λ=λλ--+111n ,n ≥0即y(n)=λλ--+111n u(n)2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a n u(n),|a|<1,求系统的输出y(n).解ω(n)=x(n)*h1(n)=∑∞-∞=k ku)([δ(n-k)-δ(n-k-4)] =u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h2(n)=∑∞-∞=k k k ua)([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞-=3nk ka,n≥32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a n-u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。

一、 信号的取样和内插知识点：● 连续时间信号离散后的频谱特点 ● Nyquist 取样定理的理解和掌握● 理想内插的时域和频域信号特点，了解非理想内插的几个函数1)考虑两个正弦波信号:1()cos(6)g t t 和2()cos(14)g t t ;以 Ω= 20πrad/sec 对此信号进行离散化；然后使用截止频率为 ΩT = 10πrad/sec 的理想低通 滤波器恢复得到模拟信号如下 g 1(t), g 2(t)；请给出对应的模拟信号。

解： g 1(t) 满足 Nyquist 抽样定理，无信号的混叠。

g 2(t)不满足 Nyquist 抽样定理，发生信号的混叠。

恢复的模拟信号如下:1122()cos(6)()cos(6)()cos(14)()cos(6)g t t g t t g t t g t t2）设有模拟信号)(1t x a =300)2000sin(t ⋅π，=)(2t x a 300)5000cos(t ⋅π，用抽样s f =3000样值/秒分别对其进行抽样，则)()(11s a nT x n x =，)()(22s a nT x n x =的周期分别为多少?解：1N = 3 ，2N = 6 。

3）已知三角形脉冲的频谱见下图，大致画出三角形脉冲被冲激抽样后信号的频谱（抽样间隔为，令分析：频谱为的信号被冲激信号抽样后，所得的抽样信号的频谱其中为抽样频率，为抽样时间间隔，,此题中，，则.解：如图所示，三角脉冲信号的频谱第一零点值抽样信号的频谱大致如下图所示：4）若连续信号的频谱是带状的（），如题图所示。

利用卷积定理说明当时，最低抽样率只要等于就可以使抽样信号不产生频谱混叠。

解：对连续信号进行冲激抽样，所得的抽样信号（T为抽样间隔）由卷积定理（为抽样频率）若的频谱是带状的，如题如所示，则当时，采用的频率对进行抽样，所得的如下图所示，可见频谱没有发生混叠。

5）内插或以整数因子N增采样的过程可以看成两种运算的级联。

数字信号处理 重点习题（1-5章）第一章5.设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。

（6）y(n)=x(n2)（7）y(n)= （8）y(n)=x(n)sin(ωn)6.给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。

（3） y(n)= x(k) （5） y(n)=e x(n)13.有一连续信号x a(t)=cos(2πft+),式中，f =20 Hz,=π/2。

（1）求出x a(t)的周期；（2）用采样间隔T=0.02 s对x a(t)进行采样，试写出采样信号 的表达式；（3） 画出对应 的时域离散信号（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。

14. 已知滑动平均滤波器的差分方程为（1）求出该滤波器的单位脉冲响应；（2）如果输入信号波形如题14图所示，试求出y(n)并画出它的波形。

第二章3.线性时不变系统的频率响应（频率响应函数）H(e jω)=|H(e jω)|e jθ(ω)， 如果单位脉冲响应h(n)为实序列，试证明输入x(n)=A cos(ω0n+)的稳态响应为10.若序列h(n)是实因果序列， 其傅里叶变换的实部如下式：H R(e jω)=1+cosω,求序列h(n)及其傅里叶变换H(e jω)。

18.已知,分别求：（1） 收敛域0.5<|z|<2对应的原序列x(n)；（2）收敛域|z|>2对应的原序列x(n)。

24.已知线性因果网络用下面差分方程描述： y(n)=0.9y(n－1)+x(n)+0.9x(n－1),（1）求网络的系统函数H(z)及单位脉冲响应h(n)；（2） 写出网络频率响应函数H(e jω)的表达式， 并定性画出其幅频特性曲线； （3） 设输入x(n)=e jω0n， 求输出y(n)。

28.若序列h(n)是因果序列， 其傅里叶变换的实部如下式：,求序列h(n)及其傅里叶变换H(e jω).29.若序列h(n)是因果序列, h(0)=1, 其傅里叶变换的虚部为,求序列h(n)及其傅里叶变换H(e jω)。