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第二章作业题 答案%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2.1将序列1,01,1()0,22,30,n n x n n n =⎧⎪-=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩其他表示为()u n 及()u n 延迟的和。
解：首先将表示为单位脉冲序列的形式：()x n ()()()()=123x n n n n δδδ--+-对于单位脉冲函数，用单位阶跃序列表示，可得：()n δ()u n ()()()1n u n u n δ=--将上式带入到的单位脉冲序列表达式中，可得：()x n ()()()()()()()()()()()()()()()1231122342122324x n n n n u n u n u n u n u n u n u n u n u n u n u n δδδ=--+-=------+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=--+-+---%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2.5判断下列序列中，哪一个是周期序列，如果是周期序列，求出它的周期。
(1)()sin1.2x n n =(2)()sin 9.7x n n π=(5)()sin()cos()47nnx n ππ=-解：理论分析详见P18性质7）周期序列题中设计到的是正弦信号，对于正弦信号，分析其周期性，则()0()sin x n A n ωϕ=+需判断：2πω1）为整数，则周期；2）为有理数，则周期；3）为无理数则非周期。
观察（1）、（2）、（5），依次为：、、，从而可知0ω0 1.2ω=09.7ωπ=12,47ππωω==（1）为非周期，（2）、（5）为周期序列。
（2）中，，因此周期。
022209.797ππωπ==20N =（5）中，第一部分周期为，第二部分周期为，因此序列1028N πω==20214N πω==周期为。
第二章习题解答1、求下列序列的z 变换()X z ，并标明收敛域，绘出()X z 的零极点图。
(1) 1()()2nu n (2) 1()()4nu n - (3) (0.5)(1)nu n --- (4) (1)n δ+(5) 1()[()(10)]2nu n u n -- (6) ,01na a <<解：(1) 00.5()0.50.5nn n n zZ u n z z ∞-=⎡⎤==⎣⎦-∑，收敛域为0.5z >，零极点图如题1解图(1)。
(2) ()()014()1414n nn n z Z u n z z ∞-=⎡⎤-=-=⎣⎦+∑，收敛域为14z >，零极点图如题1解图(2)。
(3) ()1(0.5)(1)0.50.5nnn n zZ u n z z --=-∞-⎡⎤---=-=⎣⎦+∑，收敛域为0.5z <，零极点图如题1解图(3)。
(4) [](1Z n z δ+=，收敛域为z <∞，零极点图如题1解图(4)。
(5) 由题可知，101010910109(0.5)[()(10)](0.5)()(0.5)(10)0.50.50.50.50.50.5(0.5)n n nZ u n u n Z u n Z u n z z z z z z z z z z z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⋅=-----==--收敛域为0z >，零极点图如题1解图(5)。
(6) 由于()(1)nn n a a u n a u n -=+--那么，111()(1)()()()nn n Z a Z a u n Z a u n z z z a z a z a a z a z a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---⎣⎦⎣⎦⎣⎦=----=-- 收敛域为1a z a <<，零极点图如题1解图(6)。
(1) (2) (3)(4) (5) (6)题1解图2、求下列)(z X 的反变换。
2－1 试求如下序列的傅里叶变换： （1）)()(01n n n x -=δ （2）)1(21)()1(21)(2--++=n n n n x δδδ （3）),2()(3+=n u a n x n10<<a（4）)4()3()(4--+=n u n u n x（5）∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛=05)3(41)(k nk n n x δ（6）()6cos ,14()0,n n x n π⎧-≤≤=⎨⎩其他解： （1） 010()()j n j j nn X e n n ee ωωωδ∞--=-∞=-=∑（2） 2211()()122j j nj j n X e x n e e e ωωωω∞--=-∞==+-∑ωsin 1j +=（3） 2232()(2)1j j nj nn j nj n n a e X e a u n ea eaeωωωωω-∞∞---=-∞=-=+==-∑∑， 10<<a（4） []4()(3)(4)j j nn X e u n u n eωω∞-=-∞=+--∑∑-=-=33n nj e ω∑∑==-+=313n n j n nj e eωω（等比数列求解）ωωωωωj j j j j e e e e e --+--=--111134=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=----ωωωωω21sin 27sin 1137j j j e ee ((1-e^a)提出e^(0.5a))（5） 3350011()(3)44nkj jn j k n k k X e n k e e ωωωδ∞∞+∞--=-∞==⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∞+=--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=033411141k j kj e e ωω（6） 44336441()cos 32j j j jn jn n n X e nee e e ππωωωπ---=-=-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑994()()4()()3333001122j j n j j n n n e e e e ππππωωωω--++===+∑∑ ()9()9334()4()33()()3311112211j j j j j j e e e e e e ππωωππωωππωω-+-+-+⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2－2 设信号}1,2,3,2,1{)(---=n x ，它的傅里叶变换为)(ωj e X ，试计算(1)0()j X e （２）()j X ed πωπω-⎰（３）2()j X e d πωπω-⎰。
【最新整理，下载后即可编辑】第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。
若是，请确定它的最小周期。
（1）x(n)=Acos(685ππ+n )（2）x(n)=)8(π-ne j （3）x(n)=Asin(343ππ+n )解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。
因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)5(16516取k k =。
（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。
因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。
（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。
因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。
计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。
(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1222222 3333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式y(n)=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。
(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2) y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)= ∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u(n)2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λn u(n)*u(n)解：(1) y(n)=∑∞-∞=-k k n u k u )()( =∑∞=-0)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0 即y(n)=(n+1)u(n)(2) y(n)=∑∞-∞=-k k k n u k u )()(λ=∑∞=-0)()(k kk n u k u λ=λλ--+111n ,n ≥0即y(n)=λλ--+111n u(n)2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a n u(n),|a|<1,求系统的输出y(n).解ω(n)=x(n)*h1(n)=∑∞-∞=k ku)([δ(n-k)-δ(n-k-4)] =u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h2(n)=∑∞-∞=k k k ua)([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞-=3nk ka,n≥32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a n-u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。
数字信号处理 重点习题（1-5章）第一章5.设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。
（6）y(n)=x(n2)（7）y(n)= （8）y(n)=x(n)sin(ωn)6.给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。
（3） y(n)= x(k) （5） y(n)=e x(n)13.有一连续信号x a(t)=cos(2πft+),式中，f =20 Hz,=π/2。
（1）求出x a(t)的周期；（2）用采样间隔T=0.02 s对x a(t)进行采样，试写出采样信号 的表达式；（3） 画出对应 的时域离散信号（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。
14. 已知滑动平均滤波器的差分方程为（1）求出该滤波器的单位脉冲响应；（2）如果输入信号波形如题14图所示，试求出y(n)并画出它的波形。
第二章3.线性时不变系统的频率响应（频率响应函数）H(e jω)=|H(e jω)|e jθ(ω)， 如果单位脉冲响应h(n)为实序列，试证明输入x(n)=A cos(ω0n+)的稳态响应为10.若序列h(n)是实因果序列， 其傅里叶变换的实部如下式：H R(e jω)=1+cosω,求序列h(n)及其傅里叶变换H(e jω)。
18.已知,分别求：（1） 收敛域0.5<|z|<2对应的原序列x(n)；（2）收敛域|z|>2对应的原序列x(n)。
24.已知线性因果网络用下面差分方程描述： y(n)=0.9y(n－1)+x(n)+0.9x(n－1),（1）求网络的系统函数H(z)及单位脉冲响应h(n)；（2） 写出网络频率响应函数H(e jω)的表达式， 并定性画出其幅频特性曲线； （3） 设输入x(n)=e jω0n， 求输出y(n)。
28.若序列h(n)是因果序列， 其傅里叶变换的实部如下式：,求序列h(n)及其傅里叶变换H(e jω).29.若序列h(n)是因果序列, h(0)=1, 其傅里叶变换的虚部为,求序列h(n)及其傅里叶变换H(e jω)。
数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。
解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。
解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。
（2）()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。
3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1）3()cos()78x n A n ππ=-，A 是常数；（2）1()8()j n x n e π-=。
解：（1）3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （2）12,168w wππ==，这是无理数，因此是非周期序列。
5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。
若是,请确定它的最小周期.（1）x （n ）=Acos(685ππ+n ） （2)x （n)=)8(π-ne j（3）x （n)=Asin(343ππ+n ) 解 （1）对照正弦型序列的一般公式x （n ）=Acos （ϕω+n )，得出=ω85π。
因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)5(16516取k k =。
（2）对照复指数序列的一般公式x （n ）=exp[ωσj +］n,得出81=ω。
因此πωπ162=是无理数,所以不是周期序列。
(3）对照正弦型序列的一般公式x （n)=Acos(ϕω+n ），又x （n)=Asin （343ππ+n ）＝Acos （-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π）,得出=ω43π.因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x （n ）和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。
计算并列的x （n ）和h （n)的线性卷积以得到系统的输出y(n ）,并画出y(n)的图形。
(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1-1222222 33333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式y(n ）=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法,计算y(n)的每一个取样值。
（a ） y （0）=x （O)h （0）=1y （l ）=x （O ）h(1)+x （1)h （O)=3y （n)=x(O)h （n ）+x （1)h(n-1)+x(2)h （n —2)=4,n ≥2 （b) x(n ）=2δ(n ）-δ（n-1）h(n)=-δ（n)+2δ（n —1)+ δ(n —2）y(n ）=-2δ(n)+5δ（n —1）= δ(n-3） (c ） y （n ）=∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u （n ）2。
一、 信号的取样和内插知识点：● 连续时间信号离散后的频谱特点 ● Nyquist 取样定理的理解和掌握● 理想内插的时域和频域信号特点，了解非理想内插的几个函数1)考虑两个正弦波信号:1()cos(6)g t t 和2()cos(14)g t t ;以 Ω= 20πrad/sec 对此信号进行离散化；然后使用截止频率为 ΩT = 10πrad/sec 的理想低通 滤波器恢复得到模拟信号如下 g 1(t), g 2(t)；请给出对应的模拟信号。
解： g 1(t) 满足 Nyquist 抽样定理，无信号的混叠。
g 2(t)不满足 Nyquist 抽样定理，发生信号的混叠。
恢复的模拟信号如下:1122()cos(6)()cos(6)()cos(14)()cos(6)g t t g t t g t t g t t2）设有模拟信号)(1t x a =300)2000sin(t ⋅π，=)(2t x a 300)5000cos(t ⋅π，用抽样s f =3000样值/秒分别对其进行抽样，则)()(11s a nT x n x =，)()(22s a nT x n x =的周期分别为多少?解：1N = 3 ，2N = 6 。
3）已知三角形脉冲的频谱见下图，大致画出三角形脉冲被冲激抽样后信号的频谱（抽样间隔为，令分析：频谱为的信号被冲激信号抽样后，所得的抽样信号的频谱其中为抽样频率，为抽样时间间隔，,此题中，，则.解：如图所示，三角脉冲信号的频谱第一零点值抽样信号的频谱大致如下图所示：4）若连续信号的频谱是带状的（），如题图所示。
利用卷积定理说明当时，最低抽样率只要等于就可以使抽样信号不产生频谱混叠。
解：对连续信号进行冲激抽样，所得的抽样信号（T为抽样间隔）由卷积定理（为抽样频率）若的频谱是带状的，如题如所示，则当时，采用的频率对进行抽样，所得的如下图所示，可见频谱没有发生混叠。
5）内插或以整数因子N增采样的过程可以看成两种运算的级联。
第一个系统（系统A）相当于在x[n]的每个序列值之间插入（N-1）个零序列值，因而对于准确的带限内插，是一个理想的低通滤波器。
（1）确定系统A是否是线性的。
（2）确定系统A是否是时不变的。
（3）若如图所示，且N=3，画出。
解：（1）取和，并设则而所以因此可见系统是线性的。
（2）取（3）则在N=4时，有（4）取则在N=4时，有如下图所示，可见系统A是时变的。
（3）上式的傅里叶变换为如图所示二、离散系统及其普遍关系知识点：● 掌握离散系统的线性，时变，稳定和因果的判断方法； ● 理解单位脉冲响应对应的稳定和因果的判断方法； ● 掌握线性时不变系统的离散卷积计算方法。
3）试判断下列系统是否线性？是否时不变？是否稳定？是否因果？0()() nm n y n x m n n =-=>∑解：线性、移变、非稳定、因果。
4) 试判断下列系统是否线性？是否时不变？是否稳定？是否因果？()()x n y n e =解：(b) _非线性、移不变、稳定、因果。
5）设某线性时不变系统，其单位抽样响应为()()n h n a u n =试讨论该系统的因果性和稳定性。
解：讨论因果性：0n <时，()0h n =，故此系统是因果系统。
讨论稳定性：01, 11(), 1nn n a a h n a a ∞∞=-∞=⎧<⎪-==⎨⎪∞≥⎩∑∑所以1(1)[()()]y n y n x n a-=-时，系统稳定。
6）常系数线性差分方程为()(1)()y n ay n x n --=边界条件为(0)1y =，试说明它是否是线性时不变系统。
解： （1）令11()(), (0)1x n n y δ==则1112111111(1)(0)(1)(2)(1)(2)()(1)()n y ay x a y ay x a y n ay n x n a =+==+==-+=同样利用1(1)[()()]y n y n x n a -=-可递推求得1()0, 1y n n =≤所以1()()n y n a u n =令22()(1), (0)1x n n y δ=-=则22222221222(1)(0)(1)1(2)(1)(2)()(1)()n n y ay x a y ay x a a y n ay n x n a a -=+=+=+=+=-+=+同样可递推求得2(), 1n y n a n =≤所以12()()(1)(1)n n n y n a u n a u n a u n -=+-+--1()x n 和2()x n 为移一位关系，但1()y n 和2()y n 不是移一位关系，因而系统不是时不变系统。
（2）前面已证明11122()()()()()(1)()()(1)n n n x n n y n a u n x n n y n a u n a u n δδ-=−−→==-−−→=+-令3123()()()()(1), (0)1x n x n x n n n y δδ=+=+-=则得33323331333(1)(0)(1)1(2)(1)(2)()(1)()n n y ay x a y ay x a a y n ay n x n a a -=+=+=+=+=-+=+同样可递推求得3()0, 1y n n =≤-所以13()()(1)n n y n a u n a u n -=+-又112()()2()(1)(1)n n n y n y n a u n a u n a u n -+=+-+--所以312()()()y n y n y n ≠+因此，这个系统不是线性系统。
7）设1, 13()20, n n x n n⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他1, 02()0, n h n n ≤≤⎧=⎨⎩其他 试画出()y n ，其中()()()y n x n h n =*。
解：一、离散时间信号的傅里叶变换及性质知识点：● 连续采样信号傅里叶变换与离散时域信号傅里叶变换的关系● 利用DTFT 的定义及性质求DTFT ● 离散时间信号截断后傅里叶变换 ● 离散时间信号的内插与抽取 考察点：DTFT 性质1.设信号()x n 的傅里叶变换为()jwX e ，利用傅里叶变换的定义或性质，求下列序列的傅里叶变换（1）()(1)x n x n -- （2）*()x n （3）*()x n - （4）(2)x n （5）()nx n （6）2()x n解答：（1）()jw jwe X e （2）*()jwX e-（3）()jwX e （4）/2()jw X e（5）()jw dX e j dw-（6）()()*()j j w X e X e dw πϕϕπ--⎰考察点：DTFT 性质2.如图所示序列()x n ，设其DTFT 为()jwX e ，试利用DTFT 的物理含义及性质，完成以下运算（1）0()j X e （2）()jw X e dw ππ-⎰ （3）()j X e π（4）确定并画出傅里叶变换为(())jwe R X e 的时间序列()e x n（5）2|()|jwX edw ππ-⎰ （6）2()jw dX e dw dwππ-⎰解答：173737223(1)()()6(2)()(0)*24(3)()()(1)()2(4)Re(())()1()(()())2(5)()2()28()(6)()()j n jw j j nnn n Fjw e e jwn jw Fjw X e x n X e dw x X e x n ex n X e x n x n x n x n X e dw x n dX e jnx n dwdX e ππππππππππ-=--∞-=-∞=--=-======-=←−−→=--==←−→-∑⎰∑∑∑⎰27232()316n dw nx n dw ππππ-=-==∑⎰（4）考察点：离散时间信号抽取3.若()jwX e 为()x n 的傅里叶变换，()/()0k nx n k x n k ⎧⎪=⎨⎪⎩为整数其他，求()jw k X e解答：()()()()jwjwnjwkrjkw k kn r X e x n ex r eX e ∞∞--=-∞=-∞===∑∑考察点：离散时间信号的截断4.将一个n =-∞∞的无限长信号截短，最简单的方法是用一个窗函数去乘该信号。
若所用的窗函数为矩形窗，即10,1,...,1()()0N n N d n R n n =-⎧==⎨⎩为其他值则()()()N N x n x n R n =实现了()x n 的截短若()x n 的频谱310.4()00.4jww X e w πππ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩，求()N x n 傅里叶变换，并画出频谱大致分布； 解答：由DTFT 定义得11/2/2/2/2/2/2(1)/2()()1()1()sin(/2)sin(/2)N N jwjwnjwnn n jwN jwN jwN jwN jwjw jw jw jw N D e d n ee e e e e e e e e wN e w ----==--------==--==--=∑∑ 由DTFT 性质有()0.4()0.4()()*()()()()()jw jw jw N j j w w j j w w X e X e D e D e X e d D e X e d πϕϕππϕϕπϕϕ--+--===⎰⎰频谱大致分布考察点：DTFT 性质5.若序列()x n 是因果序列，已知傅里叶变换的实部为()1cos jwR X e w =+，求序列()x n 及其傅里叶变换()jwX e 。
解答：*11()1cos 12211()()(1)(1)221()(()())2()11()()(1)221()12jw jw jwR e e jw jwX e w e e x n n n n x n x n x n x n x n n n X e e δδδδδ--=+=++=+++-=+-=+-=+因为为实因果序列 6.假设序列1234(),(),(),()x n x n x n x n 分别如图所示，其中1()x n 的傅里叶变换为1()jwX e ，试用1()jwX e 表示其它三个序列的傅里叶变换。
解答：2114211311*34311411*7411()()(4)()()()()(3)(4)()()()()()(7)()()()jw jw jw j w jw jw j w jw j w jw jw jw j wx n x n x n X e X e X e e x n x n x n X e X e e X e e x n x n x n X e X e X e e ------=+-=+=-++-=+=+-+=+二、Z 反变换（留数法）知识点：● Z 变换及其收敛域的判断； ● 留数法求Z 反变换；● Z 反变换求离散系统响应；考察点：z 变换收敛域判断及用留数法求Z 反变换 7.已知1132()10.512X z z z --=+-- （1）根据零极点分布，写出所有可能的收敛域； （2）若系统稳定，用留数法求逆z 变换；（3）若系统稳定非因果，用留数法求逆z 变换。
