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第3章傅里叶变换

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第三章――傅里叶变换周期信号的傅里叶级数分析

第三章――傅里叶变换周期信号的傅里叶级数分析

第三章 傅里叶变换3.1周期信号的傅里叶级数分析（一） 三角函数形式的傅里叶级数满足狄利赫里条件的周期函数()f t 可由三角函数的线性组合来表示，若()f t 的周期为1T ，角频率112T πω=，频率111f T =，傅里叶级数展开表达式为()()()0111cos sin n n n f t a a n t b n t ωω∞==++⎡⎤⎣⎦∑各谐波成分的幅度值按下式计算()0101t T t a f t dt T +=⎰()()0112cos t T n t a f t n t dt T ω+=⎰()()01012sin t T n t b f t n t dt T ω+=⎰其中1,2,n =⋅⋅⋅狄利赫里条件：（1） 在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；（2） 在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个； （3） 在一个周期内，信号是绝对可积的，即()00t T t f t dt +⎰等于有限值。

（二） 指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即()()11jn tnn f t F n eωω∞=-∞=∑其中()011011t T jn tn t F f t e dt T ω+-=⎰ 其中n 为从-∞到+∞的整数。

（三） 函数的对称性与傅里叶系数的关系（1） 偶函数由于()f t 为偶函数，所以()()1sin f t n t ω为奇函数，则()()01112sin 0t T n t b f t n t dt T ω+==⎰所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。

（2） 奇函数由于()f t 为奇函数，所以()()1cos f t n t ω为奇函数，则()0100110t T t a f t dt T +==⎰()()010112cos 0t T n t a f t n t dt T ω+==⎰ 所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项（3） 奇谐函数（()12T f t f t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭）半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正、余弦项，而不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。

第三章傅里叶变换

第三章傅里叶变换
E 4E 1 1 f ( t ) 2 cos(1t ) cos( 31t ) cos( 51t ) 2 9 25
讨论：离散性、收敛性、谐波性
2、 频谱的初步知识——三角波频谱
f ( t ) c0 c n cosn1t n
1

jn1t
f (t ) a0 an cos(n1t ) bn sin(n1t )
n 1
ห้องสมุดไป่ตู้

1 jn1t cos(n1t ) (e e jn1t ) 2 1 sin(n1t ) (e jn1t e jn1t ) 2j
an jbn jn1t an jbn jn1t f (t ) a0 ( e e ) 2 2 n 1
t
0
E 2
F ( n1 )为纯虚函数。
其傅里叶级数表达式为：
f (t ) E 1 1 sin(w1t ) sin(2w1t ) sin(3w1t ) 2 3
（3）奇谐函数信号（半波对称函数）
奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期 并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变 化，即满足： T1 a 0 f (t ) f (t ) 0 2
通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此， 以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。
二、指数形式的傅里叶级数 1、指数形式的傅里叶级数的形式
2 设f(t) 为任意周期信号（周期 1 , 角频率1 T ） T1 则其可展开为指数形式的傅里叶级数
f (t )
n
F (n )e
1 t0 T1 jn1t 记 dt 复函数：F (n1 ) Fn T t0 f (t )e 1 其中 n ~ 直流分量：F0 c0 a0

信号与系统第三章：傅里叶变换

信号与系统第三章：傅里叶变换

bn
n1
sin(n1t)
其中
an
,
bn
称为傅里叶系数，
1
2
T
。
16
傅里叶系数如何求得
Ci
t2 t1
f
(t
)
i
(t
)dt
t2
t1
i
2
(
t
)dt
1 Ki
t2 t1
f
(t
)
i
(t
)dt
式中： Ki
t2
t1
i
2
(t
)dt
an
2 T
T
2 T
f (t) cos(n1t)dt
2
a0 2
,
1 T
0 T
2
(1)
cos(n1t
)dt
2 T
T
2 0
cos(n1t
)dt
23
0
T
1
n1
2 T
sin(n1t
)
T 2
2 T
1
n1
sin(n1t
)
2 0
1
2
T
an
0
n 0,1, 2,3,L
24
bn
2 T
T
2 T
f (t) sin(n1t)dt
2
2 T
0 T
2
(1)
sin(n1t
)dt
2 T
T
2 0
26
T
T
0
T/ 2
t
0
T/ 2
t
(a)基波
(b)基波+三次谐波
0
T/ 2
Tt

第3章 离散傅里叶变换(DFT)

第3章 离散傅里叶变换(DFT)
N X ( k )
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
实际上，任何周期为N的周期序列 x ( n) 都可以看 作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)
则是
x(n) 的一个周期， 即
x ( n)
m


x (n mN )
kn 序列，但由于 WN 的周期性，使离散傅里叶变换式中的
X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m， 总有
k ( W N W Nk mN ) k，m为整数，N为自然数
所以(3.1.1)式中， X(k)满足
X (k mN )

n 0
N 1
( x (n)W Nk mN ) n
x(9) x((9))8 x(1)
所得结果符合图3.1.2（a）和（b）所示的周期延拓规律。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
x(2) x((2))8 ？
2 (1) 8 6
x (2) x ((2))8 x(6)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
N：DFT变换区间长度，当N大于xn的长度时，fft
函数自动在xn后面补零。 Xk：函数返回xn的N点DFT变换结果向量。 当N小于xn的长度时，fft函数计算xn的前面N个元 素构成的N长序列的N点DFT，忽略xn后面的元素。 Ifft函数计算IDFT，其调用格式与fft函数相同。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
( 3.1.5) (3.1.6)
x ( n ) x ( n ) RN ( n )
上述关系如图3.1.2(a)和(b)所示。
x 周期序列 ~ (n) 中从n=0到N－1的第一个周期为 ~ (n)的主值区间，而主值区间上的序列称为 ~ (n)的 x x 主值序列。因此 x(n) 与 ~ (n) 的关系可叙述为： x

第3章 连续信号的频谱傅里叶变换

第3章 连续信号的频谱傅里叶变换
• 傅里叶分析方法不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中， 而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关 数学、物理和工程技术领域中得到广泛的应用。
• 本章讨论的路线：
• 傅里叶级数正交函数——傅里叶变换，建立信号频谱的概念；
• 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，掌握傅里叶分 析方法的应用。
第3章 连续信号的频谱 傅里叶变换
2020年4月22日星期三
本章的主要内容：
1、周期信号的傅里叶级数分析 2、典型周期信号的傅里叶级数 3、傅里叶变换 4、典型非周期信号的傅里叶变换 5、冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 6、傅里叶变换的基本性质 7、卷积特性（卷积定理） 8、周期信号的傅里叶变换 9、抽样信号的傅里叶变换 10、抽样定理
例子
以下为对称方波，注意不同的项数，有限级数对 原函数的逼近情况，并计算由此引起的方均误差 解：其傅。里叶级数表达式为 ：
只取基 波分量 一项
取基波分量和 三次谐波分量
取基波、三次谐 波分量和五次谐 波分量
从上面例子看出：
（1）n愈大，则愈逼近原信号f(t)。
(2) 当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿； 低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化愈剧烈，所含的高频分量 愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所含的低频分量愈丰富。
作业
P160 3-1，3-2，3-3，3-8
第三节 典型周期信号的
傅里叶级数
典型周期信号的傅里叶级数
•典型周期信号的频谱分析可利用： 傅里叶级数 或傅里叶变换 •介绍的典型周期信号有如下： 1、周期矩形脉冲信号 2、周期锯齿脉冲信号 3、周期三角脉冲信号 4、周期半波余弦信号 5、周期全波余弦信号
1、周期矩形脉冲信号 (1)周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解

第3章--离散傅里叶变换(DFT)

第3章--离散傅里叶变换(DFT)

设x(n)是一种长度为M旳有限长序列， 则定义x(n)旳N点
离散傅里叶正变换为
N 1
j 2 nk
X (k ) DFT[x(n)] x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
离散傅里叶逆变换为
离散傅里叶变换对
x(n)
IDFT[ X (k )]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k )e N
3.2 离散傅里叶变换旳基本性质
1 线性性质 假如x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=max［N1, N2］，
则y(n)旳N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)旳N点DFT。 若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变
k 2 k f f s k
N
N
以上所讨论旳三种频率变量之间旳关系，在对模 拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数 字滤波器乃至整个数字信号处理中十分主要，望 同学们高度注重。
第三章 离散傅里叶变换DFT
3.1.2 DFT旳隐含周期性------ DFT与 DFS旳关系
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但因为WknN旳周
第三章 离散傅里叶变换DFT
例2 ： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)旳8点、16点DFT。
解: x(n)旳8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 j2k n

第三章傅里叶变换


则
f1 (t )
f
2
(t
)
F
1
2
F1() F2 ()
可见：频域中卷积信号的傅里叶变换等于信号傅里叶变 换的卷积并乘以 １／２π 。
对于一个线性非时变系统，若知系统的单位冲激响应为 h(t)
时，系统对于任何输入x(t) 的响应 y(t) 可以用卷积求出，即
y(t) x(t) h(t)
运用傅里叶变换的时域卷积定理，有
第三章 傅里叶变换
傅里叶生平
• 1768年生于法国
• 1807年提出“任何周 期信号都可用正弦函 数级数表示”
• 拉格朗日反对发表
• 1822年首次发表“热 的分析理论”
• 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件
傅里叶的两个最主要的贡献——
“周期信号都可以表示为成谐波关 系的正弦信号的加权和”——傅里 叶的第一个主要论点
假定线性时不变系统单位冲激响应为h(t)，系统频率响应为H()，即有
F [h(t)] H()
当输入为 x(t) e jk0t 时，系统输出的傅里叶变换为
Y () X ()H ()
输入信号 x(t) e jk0t 可以看成 e jk0t 与一个直流信号的乘积，根据傅里
叶变换的频移特性，有
1F 2 ()
2
Ω为模拟角频率，它与实际频率的关系：Ω=2πf
F(Ω )通常为复函数，可以写成：
F () F () e j ()
F(Ω)︱是F(Ω)的幅度函数，表示信号中各频率下谱密度的相对大小；
是F(Ω()的) 相位函数，表示信号中各频率成分的相位关系。在工程技
术中︱F(Ω)︱通常也称为幅度频谱， 为相(位)频谱，它们都是频率 Ω的连续函数。

第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法


傅里叶系数标号k ：0～N
数字频率ω：0～2π 模拟频率 f ：0～fs
0
N /2
0
0
fs /2
0
s /2
北京邮电大学信息与通信工程学院
N k (变换系数标号) 2 （弧度，数字频率） fs f （Hz，模拟频率） s （弧度/秒，模拟角频率）
24
DFS 定义：几点说明
频率成份
直流分量：
N 1
北京邮电大学信息与通信工程学院
11
DFS 定义：预备知识
基本关系式 若 r，m 都是整数,则:
N N 1 j 2 k(r m )
eN
k0
0
rm rm
证明: 对于r=m：不论 k 取何值，显然等式成立。
对于r≠m：
1 W N 1 j 2 k(rm) N
e W 1W k0
N 1 k(rm)
离散傅里叶级数包含了 0 到 (N-1)fs/N 的频率，因而 N 个傅里叶级数的系 数位于从 0 直到接近取样频率的频率上。
N 1
当 k=0 时， X (0) x(n)WN 0n x(n) ，此时得到的傅里叶级数的系数
称为信号的直流分量（DnC0 Componenn0t）X，(0)/ N 是信号的平均值；
交流分量：
其它频率（k>0）称为周期信号的谐波，此时的傅里叶级数系数称为 信号的交流分量。
k=1 时的频率为信号的一次谐波，或基频，频率大小为 fs/N，时间为 NTs，等于完成一个周期所需要的时间。其它谐波为基频的整数倍。
8
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （6）
四种傅里叶变换形式的归纳总结：
形式
时间函数
频率函数

第3章离散时间傅里叶变换

第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。

与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。

本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。

3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。

若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。

[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：图3-1离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。

即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。

第三章 傅里叶变换

~x(n) x((n))N
周期序列的离散傅立叶级数
X~(k)
N1 ~x (n)WNkn
N 1
x((n))
W kn
NN
N 1
x(n)
W kn N
பைடு நூலகம்n0
n0
n0
~x (n)
1 N
N 1 X~ (k )WNkn
k 0
1 N
N 1
X (k )WNkn
k 0
上式中的
X (k) X~(k)RN (k)
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNkn
两者比较可知：
n0
,0 k N 1
X (k) X (z)
j 2 k ze N
,
0 k N 1
x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。
X (k) X (e j ) 2 k , 0 k N 1 N
X(k) 为x(n)的傅立叶变换在区间【0，2π】上的N点等间隔采样。
结论：有限长序列的离散傅立叶变换X(k)正好是x(n)的周 期延拓序列x((n))N的离散傅立叶级数系数 X~(k) 的 主值序列。
3.2 离散傅立叶变换的基本性质
• 线性性质
若 y(n) ax1(n) bx2 (n)
则y(n)的N点（N ＝max(N1，N2)， N1，N2 为两序列的长度）DFT为：
则有
Y
(k
)
W km N
X
(k
)
3、频域循环移位定理（证明留作业）
证明 时域循环移位定理
Y (k) DFT [ y(n)]
N-1
N-1
x((n
m))N
RN
(n)WNkn
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三角形式:
f
(t)
E
T1
E1
n1
Sa( n1
2
) cos(n1t)
(n为偶数)
an
4 T1
bn
4 T1
T1 2 0
T1 2 0
f (t) cos(n1பைடு நூலகம்)dt
(n为奇数)
f
(t )
cos(n1t
)dt
信号分解为f (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) n 1
n为所有的偶数
吉布斯(Gibbs)现象
page99:用三角函数集取不同的有限项 级数逼近原函数(对称方波).原函数既是 偶函数又是奇谐函数,因此,傅里叶级数 只存在奇次谐波的余弦项. 分析结论:page100
g
* j
(t
)dt
0
t2
t1
gi
(t ) gi* (t )dt
Ki
(i j)在区间(t1,t2 )内
则此复变函数集为正交函数集.
完备正交函数集
定义一 : 如果用正交函数集g1(t), g2 (t),...gn (t)
在(t1,t2 )近似表示函数f (t) cr gr (t) r 1
方均误差为 2 1 t2 t1
吉布斯现象:当选取的傅里叶项数越多, 合成波形中出现的峰起越靠近f(t)的不 连续点。当项数N很大时,峰起值趋于 一个常数,约为总跳变值的9%,并从不 连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰 减下去。无论N多大，这个超量不变。
但是在不连续点附近波峰宽度趋近于零，所 以波峰下面积也趋近于零，因而在能量的意 义下部分和的波形收敛于原波形。
3.1 引言
信号的正交分解 完备正交集
信号的正交函数分解
二维空间:矢量在直角坐标系中分解为两 个正交矢量的组合,每一个正交矢量都是 原矢量在正交坐标系上的投影.
正交函数:在区间(t1<t<t2)内用函数f2(t) 近似表示f1(t).
f1(t) c12 f2 (t) (t1 t t2 ) 选取c12使得实际函数与近似函数之间的方均
在(t1,t2 )内正交的条件 :
t2 t1
f1(t) f2 (t)dt
0
例题:page326 6-1 6-2
正交函数集
n个函数g1(t), g2 (t), gn (t)构成一函数集,
如在区间(t1,t2 )内满足正交特性,即
t2
t1
gi
(t ) g
j
(t)dt
0
(i j)
t2
t1
gi2
(t)dt
其中n 1,2,....
周期信号的另一种三角 函数正交集表示
f (t) c0 cn cos(n1t 0 ) n1
f (t) d0 dn sin( n1t n ) n1
狄利克雷(Dirichlet)条件
周期信号能够进行傅里叶级数展开的一组充 分条件：
(1)在一周期内,信号是绝对可积的,即
t2 t1
[
f
(t)
n r 1
cr
gr
(t )]2
dt
1 [
t2 t1
t2 t1
f
2 (t)dt
n
cr 2Kr ]
r 1
若令n趋于无限大,有 lim 2 0 n
则此函数集称为完备正交函数集.
3.2 周期信号的傅里叶级数 分析
三角函数的傅里叶级数 指数函数的傅里叶级数 函数的对称性与傅里叶系数的关系 傅里叶有限级数与最小方均误差
3.3 典型周期信号的傅里 叶级数
周期矩形脉冲信号 周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期半波余弦信号 周期全波余弦信号
周期矩形脉冲信号
f (t)
E
T1
0
2
2
T1
t
一个周期[ T1 , T1 ]内 22
E f (t)
0
(t (t
)
2
)
E[u(t
) 2
u(t
)] 2
2
对应傅里叶级数
Ki
则此函数集称为正交函数集.
归一化正交函数集：
t2 t1
g
2 i
(t
)dt
Ki
1
ci
t2 t1
f (t)gi (t)dt
2
1[ t2 t1
t2 t1
f
2 (t)dt
n
cr 2 ]
r 1
复变函数的正交特性
复变函数集{gr (t)}(r 1,2,..., n)满足
t2
t1
gi
(t
)
误差 2在区间t1 t t2内为最小.
2 1
t2 t1
t2 t1
[
f1 (t )
c12
f2
(t )]2
dt
使 2最小的c12,
应有 d 2 dc12
0 c12
t2 t1
f1(t) f2 (t)dt
t2 t1
f22 (t)dt
正交条件
若c12 0,则f1(t)内不包含f2 (t)的分量, 称为正交.
三角函数的傅里叶级数
f
(t )
a0
n1
(an
cos
n1t
bn
sin
n1t ), 1
2
T1
直流分量 :
a0
1 T1
t0 T1 f (t)dt
t0
余弦分量幅度
: an
2 T1
t0 T1 t0
f (t) cos n1tdt
正弦分量幅度
: bn
2 T1
t0 T1 t0
f (t) sin n1tdt
| t0 T1 f (t) | dt 等于有限值. t0
(2)在一周期内,如果有间断点存在,则间断点的 数目应是有限个.
(3)在一周期内,极大值和极小值的数目应是有 限个.
指数函数的傅里叶级数
f (t) F (n1)e jn1t n
F (n1)
Fn
1 T1
t0 T1 t0
f (t)e jn1t dt
函数的对称性与傅里叶 系数的关系
(1)偶函数 : f (t) f (t)
系数为: an
4 T1
T1 2
0
f (t) cos n1tdt
bn 0
信号分解为f (t) a0 an cos n1t n1
类推:偶谐函数?
(4)偶谐函数(半波重叠) : f (t) f (t T1 ) 2
系数为: a0 an bn 0
第三章傅里叶变换
本章要点: 1. 利用傅里叶级数和傅里叶级数的性质对周期信号的离散谱 进行分析 2. 利用傅里叶变换和傅里叶变换的性质对非周期信号的连续 谱进行分析 3. 利用卷积和卷积定理，进一步理解信号的时域和频域特性 间的内在关系 4. 灵活运用傅立叶变换的有关性质对信号进行正逆变换 5. 掌握抽样信号的傅里叶变换和抽样定理
其中n为所有的整数
请将三角函数表示的频谱 与指数函数表示的频谱
的对应关系找出!
帕塞瓦尔定理
周期信号的功率特性
P f 2 (t) 1 t0 T1 f 2 (t)dt T1 t0
a0 2
1 2
n1
(an2
bn2 )
c0 2
1 2
cn 2
n1
|
n
Fn
|2
称为帕塞瓦尔方程.表征了时频域的能量守恒.