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第7章 傅里叶变换与滤波器形状 7.1离散时间傅里叶变换基础离散时间傅里叶变换（DTFT ）是数字信号分析的一个重要工具。
DTFT 把信号或滤波器从时域变换到频域，主要是为了研究信号或滤波器的频率特性。
该变换主要用于分析信号和滤波器的频谱性质。
对于信号，DTFT 提供的信息称为信号的频谱。
对于滤波系统，DTFT 得到的信息称为滤波器的频率响应（frequency response ）。
它由两部分组成：幅度响应（magnitude response ）和相位响应（phase response ）。
幅度响应给出了滤波器的形状，通过它我们可以深入了解滤波器的工作特性。
信号x[n]的离散时间傅里叶变换定义为：()[]jn n X x n e∞-Ω=-∞Ω=∑，这里Ω为数字频率，单位弧度。
记为(){[]}X x n Ω=F利用欧拉公式，DTFT 变换为()[][](cos()sin())jn n n X x n ex n n j n ∞∞-Ω=-∞=-∞Ω==Ω-Ω∑∑变换()X Ω在每个不同的数字频率上可有不同的值，当信号x[n]与正弦或余弦“共振”时，最大。
也就是说，当x[n]以接近频率Ω变化时，()X Ω较大。
离散时间傅里叶变换反应了信号的频率。
例7.1 求如图信号的离散时间傅里叶变换注意，一般情况，DTFT 是复值。
例7.2 求信号x[n]=4(u[n]-u[n-3])的DTFT 。
离散时间傅里叶变换有两个重要的特性，时延特性和周期性。
00[]()[]()Fjn Fx n X x n n eX -Ω−−→Ω-−−→Ω(2)()X X πΩ+=ΩDTFT 是周期性的，周期为2π。
即离散时间傅里叶变换对所有的数字频率Ω，每2π重复一次，不断重复。
7.2.1 频率响应和差分方程 对差分方程逐项求DTFT∑∑==-=-Mk kN k kk n x b k n y a 0][][][]2[]1[][][]2[]1[][210210M n x b n x b n x b n x b N n y a n y a n y a n y a M N -++-+-+=-++-+-+0101()()()()()()j jN N j jM M a Y a e Y a e Y b X b eX b eX -Ω-Ω-Ω-ΩΩ+Ω++Ω=Ω+Ω++Ω0101()()()()j jN j jM N M a a e a e Y b b e b e X -Ω-Ω-Ω-Ω+++Ω=+++Ω010010()()()Mjk j jM k M k Nj jN jk N k k b eY b b e b eH X a a e a ea e-Ω-Ω-Ω=-Ω-Ω-Ω=Ω+++Ω===Ω+++∑∑例7.3 求差分方程频率响应y[n]=-0.85y[n-1]+0.5x[n].例7.4 求差分方程频率响应y[n]+0.1y[n-1]+0.85y[n-2]=x[n]-0.3x[n-1]7.2.2 频率响应和传输函数10101010()()()MkMkM k NNkN k k b zb b z b zY z H z X z a a z a za z---=---=+++===+++∑∑010010()()()Mjk j jM k M k Nj jN jk N k k b eY b b e b eH X a a e a e a e-Ω-Ω-Ω=-Ω-Ω-Ω=Ω+++Ω===Ω+++∑∑例 7.5 求滤波器的频率响应，它的传输函数21210.2()10.50.9z H z z z ----=++2210.2()10.50.9j j j e H e e-Ω-Ω-Ω-Ω=++频率响应是脉冲响应的DTFT 。
傅立叶变换和频率域滤波的介绍序言．傅立叶变换的作用和意义1、下图中，最后一个波是由前面四个波组合而成的，是用傅立叶变换，可以很容易将其区分出来。
2、对比物理上对光谱的理解（赤橙黄绿青蓝紫、初中对光的三棱镜分解、高中对燃烧的钠元素所发出光的光谱分析实验），可以将傅立叶变换理解成“数学上的三棱镜”，傅立叶变换使我们能够通过频率成分来分析一个函数。
一．一维傅立叶变换及其反变换单变量连续函数f(x)的傅立叶变换F(u)定义为等式：(1)其中j=。
相反，给定F(u)，通过傅立叶反变换可以获得f(x)：(2)这两个等式组成了傅立叶变换对。
很明显，()F u 是一个复函数，即 ()()()F u R u jI u =+ (3)R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部，其中 (4) 称为傅立叶变换的幅度或频率谱，同时 (5) 称为变换的相角或相位谱。
在研究图像增强时，我们主要关心频率谱的性质。
所以需要定义的另一个量是功率谱，它被定义为傅立叶变换的平方：(6) 术语“谱密度”也用来指功率谱。
这些等式很容易扩展到两个变量u 和v 的情况：(7)类似地，反变换为：(8) 例1、已知()(0,0)x f x e x β-∂=>∂>，而且()0(0)f x t =<=。
则其傅立叶变换为： 2(2)00(2)(2)00222222()2(2)2(2)(2)2(2)2(2)(2)x j ux x j ux j u x j u xF u e e dx e dx e dx e j uj u j u j u j u j u u u j u u ππππββββπββππππββππββπππ+∞+∞-∂--∂++∞-∂+-∂++∞==-==∂+-∂-==∂+∂+∂-∂-=∂+∂=-∂+∂+⎰⎰⎰我们的兴趣在于离散函数，所以将不停留在这些数学定义中。
然而，在某些情况下，利用这些等式比利用它们的离散形式更容易证明二维傅立叶变换的性质。
傅里叶变换与滤波器设计引言：傅里叶变换是一种重要的数学工具，它可以将一个函数在时域中的描述转换为频域中的描述。
滤波器设计是一种基于傅里叶变换的方法，用于对信号进行处理和改变其频率特性。
本文将详细介绍傅里叶变换的原理和滤波器设计的基本概念。
一、傅里叶变换的概述傅里叶变换是将信号从时域转换到频域的一种数学变换。
通过傅里叶变换，我们可以将一个信号分解为一系列的正弦和余弦分量，每个分量对应于不同的频率。
傅里叶变换可以分为离散傅里叶变换（DFT）和连续傅里叶变换（CTFT）两种形式。
二、离散傅里叶变换（DFT）与快速傅里叶变换（FFT）离散傅里叶变换是将连续信号转换为离散信号的一种方法。
在离散傅里叶变换中，信号被看作是一系列离散的采样点，通过计算每个采样点的幅值和相位，可以得到信号在频域中的表示。
而快速傅里叶变换是一种高效的计算离散傅里叶变换的方法，通过减少计算复杂度，可以快速地得到信号的频域表示。
三、滤波器的基本概念滤波器是一种电子设备或算法，用于改变信号的频率特性。
滤波器可以实现信号的滤波、增强某些频率成分或抑制其他频率成分的功能。
常见的滤波器有低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等。
四、滤波器设计方法滤波器设计是根据滤波器的要求和设计规范，选择适当的滤波器类型并确定其参数的过程。
常见的滤波器设计方法有时域方法和频域方法。
时域方法包括窗函数法和脉冲响应法，频域方法包括理想滤波器法和波导滤波器法。
根据不同的需求和应用场景，可以选择合适的设计方法和滤波器类型。
五、应用实例：语音信号处理中的滤波器设计滤波器设计在语音信号处理中具有重要的应用。
例如，在语音通信系统中，为了提高语音质量和降低噪声干扰，常常需要设计滤波器对语音信号进行降噪和增强。
此外，在语音识别和语音合成等领域中，滤波器设计也扮演着关键的角色。
六、总结傅里叶变换是一种重要的数学工具，可以将信号从时域转换到频域，为信号处理和滤波器设计提供了基础。
第７章滤波器的设计方法教学目的1．掌握由连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；2．了解常用的窗函数，掌握低通IIR滤波器的频率变换法、用窗函数法设计FIR滤波器的方法；3．掌握FIR滤波器的逼近原理与设计方法。
教学重点与难点重点：本章是本课程的重中之重，滤波器的设计是核心内容之一。
1．连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；2．常用的窗函数，掌握低通IIR滤波器的频率变换法、用窗函数法设计FIR滤波器的方法；3．掌握FIR滤波器的逼近原理与设计方法。
难点：1.冲激响应不变法，双线性变换法2.用窗函数法设计FIR滤波器FIR滤波器的逼近原理与设计方法基本概念7.0.1 选频滤波器的分类数字滤波器是数字信号处理的重要基础。
在对信号的过滤、检测与参数的估计等处理中, 数字滤波器是使用最广泛的线性系统。
数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。
它将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。
因此，数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。
我们已经知道，一个输入序列x(n)，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变系统后，其输出响应y(n)为∑∞-)(y))()()(n(nn=m*=xmhnhx将上式两边经过傅里叶变换，可得式中，Y (e j ω)、X (e j ω)分别为输出序列和输入序列的频谱函数， H (ejω)是系统的频率响应函数。
可以看出，输入序列的频谱X (e j ω)经过滤波后，变为X (e j ω)H (e j ω)。
如果|H (e j ω)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。
因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H (ej ω)，使得滤波后的X (e j ω)H (e j ω)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。
和模拟滤波器一样，线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。
傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。
而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
傅立叶变换要求连续信号在时间上必须可积这一充分非必要条件F(jw)是频谱密度函数或频谱函数傅立叶级数明确地表示了谐波频率与其幅值与相位的关系，根据频率就可以确定各次谐波的幅值。
那对非周期信号做傅立叶变换得到的是连续频谱密度函数，某一频率点的信号幅度是无穷小，没有意义，那这个频谱密度函数有什么用呢？前四种傅里叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号，即信号的的长度是无穷大的，计算机无法处理。
针对长度有限的信号，解决方法有两种：（1）.长度有限的信号表示成长度无限的信号，可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示，这样，这个信号就可以被看成是非周期性离散信号，我们就可以用到离散时域傅立叶变换的方法。
（2）.也可以把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离散信号，这时我们就可以用离散傅立叶变换方法进行变换。
但是对于非周期性的信号，我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示，这对于计算机来说是不可能实现的。
所以对于有限离散信号的变换只有方法（2）才可以。
当离散的信号为周期序列时，严格的讲，傅立叶变换是不存在的，因为它不满足信号序列绝对级数和收敛（绝对可和）这一傅立叶变换的充要条件，但是采用DFS（离散傅立叶级数）这一分析工具仍然可以对其进行傅立叶分析。
得出每个主值序列在各频率上的频谱分量，这样就表示出了周期序列的频谱特性。
时域上连续的信号在频域上都有非周期的特点，但对于周期信号和非周期信号又有在频域离散和连续之分。
DTFT：时域上是离散的，频域上是连续的DFT：时域上是离散的，频域上是离散的，就相当于DTFT变换成连续频谱后再对其采样，此时采样频率等于序列延拓后的周期N，即主值序列的个数。
傅里叶变换图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。
对图像而言，图像的边缘部分是突变部分，变化较快，因此反应在频域上是高频分量；图像的噪声大部分情况下是高频部分；图像平缓变化部分则为低频分量；也就是说，傅里叶变换提供另外一个角度来观察图像，可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征。
图像进行二维傅里叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图。
一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。
傅里叶变换的作用：（1）图像增强与图像去噪绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频—噪音；边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强图像的边缘；（2）图像分割之边缘检测提取图像高频分量（3）图像特征提取形状特征：傅里叶描述子纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换使特征具有平移，伸缩、旋转不变形（4）图像压缩可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅里叶变换的实变换。
频域中的重要概念：图像高频分量：图像突变部分；在某些情况下指图像边缘信息，某些情况下指噪音更多是两者的混合；低频分量：图像变换平缓部分，也就是图像轮廓信息高通滤波器：让图像使低频分量抑制，高频分量通过低通滤波器：带通滤波器：使图像在某一部分的频率信息通过，其他过低或过高的都抑制。
模板运算与卷积公式：在时域内做模板运算，实际上就是对图像进行卷积。
模板运算是图像处理一个很重要的处理过程，很多图像处理过程中，比如增强/去噪，边缘检测中普遍用到。
根据卷积定理，时域卷积等价于频域乘积。
因此，在时域内对图像做模板运算就等效于在频域内对图像做滤波处理。
比如说一个均值模板，其频域响应为一个低通滤波器；在时域内对图像作均值滤波就等效于在频域内对图像用均值模板的频域响应对图像的频域响应做一个低通滤波。
为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。
实验四图像的傅立叶变换与频域滤波一、实验目的1 了解图像变换的意义和手段；2 熟悉傅里叶变换的基本性质；3 熟练掌握FFT 方法的应用；4 通过实验了解二维频谱的分布特点；5 通过本实验掌握利用MATLAB 编程实现数字图像的傅立叶变换。
6、掌握怎样利用傅立叶变换进行频域滤波7、掌握频域滤波的概念及方法8、熟练掌握频域空间的各类滤波器9、利用MATLAB 程序进行频域滤波二、实验原理1 应用傅立叶变换进行图像处理傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。
通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。
对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。
2 傅立叶( Fourier )变换的定义对于二维信号，二维Fourier 变换定义为:F{ f (x, y)} F(u,v) f (x,y)e j2 (ux vy)dxdy 二维离散傅立叶变换为:F(u,v)MINI侖 f (x,y)e j2 (uxM uyN) x 0 y 0图像的傅立叶变换与一维信号的傅立叶变换变换一样，有快速算法，具体参见参考书目，有关傅立叶变换的快速算法的程序不难找到。
实际上，现在有实现傅立叶变换的芯片，可以实时实现傅立叶变换。
3利用MATLAB软件实现数字图像傅立叶变换的程序：匸imread( '原图像名.gif ' ); % 读入原图像文件imshow(l); % 显示原图像fftl=fft2(l); % 二维离散傅立叶变换sfftl=fftshift(fftl); % 直流分量移到频谱中心RR=real(sfftl); % 取傅立叶变换的实部ll=imag(sfftl); % 取傅立叶变换的虚部A=sqrt(RR.A2+ll.A2);% 计算频谱幅值A= ( A-min(min(A)) )/(max(max(A))-min(min(A)))*225;%归一化figure; %设定窗口imshow(A); %显示原图像的频谱域滤波分为低通滤波和高通滤波两类，对应的滤波器分别为低通滤波器和高通滤波器。
第7章傅里叶变换与滤波器形状7.1离散时间傅里叶变换基础离散时间傅里叶变换（DTFT）是数字信号分析的一个重要工具。
DTFT把信号或滤波器从时域变换到频域，主要是为了研究信号或滤波器的频率特性。
该变换主要用于分析信号和滤波器的频谱性质。
对于信号，DTFT提供的信息称为信号的频谱。
对于滤波系统，DTFT得到的信息称为滤波器的频率响应（frequency response）。
它由两部分组成：幅度响应（magnitude response）和相位响应（phase response）。
幅度响应给出了滤波器的形状，通过它我们可以深入了解滤波器的工作特性。
信号x[n]的离散时间傅里叶变换定义为：，这里为数字频率，单位弧度。
记为利用欧拉公式，DTFT变换为变换在每个不同的数字频率上可有不同的值，当信号x[n]与正弦或余弦“共振”时，最大。
也就是说，当x[n]以接近频率变化时，较大。
离散时间傅里叶变换反应了信号的频率。
例7.1 求如图信号的离散时间傅里叶变换注意，一般情况，DTFT是复值。
例7.2 求信号x[n]=4(u[n]-u[n-3])的DTFT。
离散时间傅里叶变换有两个重要的特性，时延特性和周期性。
DTFT是周期性的，周期为。
即离散时间傅里叶变换对所有的数字频率，每重复一次，不断重复。
7.2 频率响应及其他形式7.2.1 频率响应和差分方程对差分方程逐项求DTFT例7.3 求差分方程频率响应y[n]=-0.85y[n-1]+0.5x[n].例7.4 求差分方程频率响应y[n]+0.1y[n-1]+0.85y[n-2]=x[n]-0.3x[n-1]7.2.2 频率响应和传输函数例 7.5 求滤波器的频率响应，它的传输函数7.2.3 频率响应和脉冲响应频率响应是脉冲响应的DTFT。
例7.6 数字滤波器的脉冲响应写出其频率响应。
7.3 频率响应与滤波器形状7.3.1 滤波器对正弦输入的作用由于复杂信号可以由各种频率和相位的正弦波叠加而成，我们先考虑单一频率即正弦信号的输入。
时域与频域的输出关系。
频率响应是个复数，可表示成是增益，无量纲，但可用分贝dB表示，此时增益为。
是相位差，单位是度或弧度。
增益是对输入的放大量，相位差是对输入的相移。
对于给定的频率，输出的幅度是滤波器的增益与输入幅度的乘积，输出相位是滤波器相位差与输入相位的和。
7.3.2 幅度响应和相位响应幅度响应是增益与频率的关系图。
相位响应是相位与频率的关系图。
例7.9 系统频率响应，每间隔pi/4弧度，计算相应的频率响应，绘制幅度响应和相位响应图。
幅度响应和相位响应是周期的，每2pi弧度重复一次。
幅度响应和相位响应是连续函数，在每个频率上有值。
幅度响应是偶函数，相位响应是奇函数。
由于负频率没有实际意义，在0~pi间已经包含了所有重要的信息。
采用分贝的优点是，在增益变化范围非常大时，可以方便的绘制在一个图上。
对数刻度实际上是对原图进行比例缩小。
弧度和度对相位响应形状没有什么影响。
例7.10 滤波器幅度响应和相位响应如图，可以观察到不同频率对应的滤波器增益和相位差。
例7.11 把信号加到具有如图所示频率响应的滤波器上。
增益、分贝表示的幅度响应和弧度、度表示的相位响应。
各种滤波器形状。
例7.13 滤波器频率响应。
例7.14 滤波器脉冲响应。
例7.15 滤波器的差分方程y[n]=1.5y[n-1]-0.85y[n-2]+x[n]例7.16 递归滤波器传输函数这是个梳状滤波器。
具有模拟回响的作用。
梳状滤波器的另一个例子第8章将介绍周期信号频谱，对于周期信号，其频谱是在固定间隔的尖峰上（谐波），梳状滤波器可以用来衰减谐波尖峰间的分量（噪声）。
7.3.3 模拟频率与数字频率不同采样频率对数字滤波器的影响。
以数字频率表示的滤波器特性，只有在采样频率选定后，才能确定。
例如，中心频率为0.6pi弧度的窄带滤波器，当采样频率为1kHz时，可通过300Hz的信号，而采样频率为4kHz时可通过1.2kHz的信号。
例7.18 采样频率分别为12kHz和30kHz时，低通滤波器截止频率分别为1800Hz和4500Hz。
例7.19 对于带通滤波器，采样频率分别为4kHz和10kHz时，观察它对1kHz输入信号的影响。
P196 例7.207.3.4 由极零点确定滤波器形状幅度与到极点的距离成反比，与到零点的距离成正比。
极点与单位圆距离越近的位置幅度越大，越远的位置幅度越小。
零点与单位圆距离越近的位置幅度越小，越远的位置幅度越大。
例7.21 滤波器传输函数例7.22 滤波器差分方程y[n]=x[n-1]+x[n-3]例7.23 比较滤波器形状7.3.5 一阶滤波器形状一阶系统：例7.24 7.25观察两个滤波器y[n]+0.5y[n-1]=x[n]和y[n]-0.5y[n-1]=x[n]的形状。
7.3.6 二阶滤波器形状二阶系统：我们给出8个滤波器的形状P203，其极零点图在第6章 P159 所示。
这其中包括了低通、高通与带通滤波器，极点距离单位圆近的滤波器选择性较好。
第8章数字信号频谱8.1 数字信号频谱的意义前章研究了滤波器的频率特性，本章则研究信号的频率特性。
在频域每个数字信号都有其典型的特征。
比如正弦波含单一频率，白噪声（white noise）包含所有频率分量。
信号的平稳变化源于它的低频分量，陡峭边缘和急剧变化源于它的高频分量。
例如方波，即包含产生平稳变化的低频分量，又包含了形成陡峭边缘的高频分量。
信号的频谱（spectrum）详细描述了信号所包含的频率分量。
了解信号频率特性对滤波器设计极为重要。
例如，要用扬声器再现音乐，那么音乐的频率分量决定了扬声器的特性。
语音识别系统中的麦克风必须有足够宽的频率响应，才能采集到语音的所有重要频率。
信号频谱由两部分构成，幅度频谱和相位频谱。
分非周期信号和周期信号考察其频谱特性。
8.2 非周期数字信号非周期信号就是不按固定间隔重复的信号。
计算非周期数字信号频谱，使用离散时间傅里叶变换（DTFT）。
DTFT计算需要信号所有采样值，当信号有无限多个递减的非零采样值时，就可以在幅度降低到某个合适的门限后截断信号，计算近似的DTFT。
非周期数字信号频谱是连续和周期性的，周期为。
当采样频率确定时对应的模拟频率为。
例8.1 求矩形脉冲x[n]=u[n]-u[n-4]的幅度响应和相位频谱。
幅度频谱是所有矩形脉冲具有的特性，称为sinc函数。
相位频谱仅用计算的点很难准确画出。
频谱是连续周期的。
0~п弧度的信息足以推出所有的频谱信息。
幅度频谱是偶函数，相位频谱是奇函数。
幅度频谱有零点。
频率的主要分量集中在低频部分。
采样频率确定时，才能获知频谱对应的模拟频率。
例8.2 求信号的频谱。
采样频率为15kHz。
由于信号衰减很快，前3个采样点足以近似信号的DTFT。
信号在低频和高频间的幅度差小于2dB，说明信号包含的各频率分量幅度近似。
0~2kHz之间频谱幅度较大。
例8.3 元音“eee”发音的一段发音，采样频率8kHz。
信号很有规律，但不是理想的周期信号，主要由200Hz和400Hz信号构成。
8.3 周期数字信号周期信号是在整个时域按固定间隔重复的信号。
每个重复周期中出现的采样点数称为信号的数字周期。
使用傅里叶级数（DFS）或称离散傅里叶级数来计算其频谱。
数字周期为N的信号，可以表示为正弦或余弦和，可以由欧拉公式展开为复指数形式：n为采样点编号，标号k从0~N-1变化，事实上由于信号的周期性，可以是任意相继的N个值。
c k为傅里叶系数：计算傅里叶系数需要x[n]的任意N个相继的采样值，因此c k具有k个主值，随k值增大，这k个主值不断重复。
这里含有信号幅度信息，由它随k的变化表示信号的幅度频谱；携带相位信息，由它随k的变化表示信号的相位频谱。
此式显示了傅里叶级数所有分量的频率。
由k=0可以获得信号的直流分量|c0|/N，它是信号的平均值。
k>0的其它频率称为周期信号的谐波。
k=1的频率为信号的一次谐波，或称为基频。
大小为f s/N，此频率十分重要，其倒数为信号完成一个完整循环的时间，即NT s，T s为采样间隔。
所有谐波为基频的整数倍。
N个傅里叶级数的系数位于从0直到接近采样频率的频率上。
幅度频谱和相位频谱都具有周期为N的周期性。
幅度频谱是k的偶函数，相位频谱是k的奇函数。
DFS与DTFT有着重要的区别：DTFT产生连续频谱，频谱在所有频率处都有值。
非周期信号的频谱是光滑连续的谱线。
DFS产生的频谱仅有N点的频谱，且仅含有有限个频率。
周期信号的频谱是线谱。
周期N=60的周期信号。
周期信号每60个采样点重复一次。
基频为f s/60Hz。
其它竖线表示其它谐波，位于基频整数倍处。
N-1次谐波位于59f s/60Hz。
并不是所有周期信号都含有全部谐波，有些信号只含有奇次谐波，偶次谐波为0，有些信号仅在某些谐波处的值为0。
例8.4 求如图所示方波信号的幅度频谱和相位频谱。
N=8。
该信号含有直流分量和奇次谐波。
图形表明，它是非周期信号频谱的采样形式P215。
例8.5 求信号x[n]=sin(nп/5)的频谱，采样频率为1kHz。
例8.6 求信号x[n]=1+sin(nп/2)+cos(nп/4) 的频谱。
例8.8 周期为256点的周期方波的频谱。
只含奇次谐波，第3、5、7次谐波的幅度分别为一次谐波幅度的1/3、1/5和1/7，进一步证实了方波可由奇谐正弦波构造出来。
例8.9 数字系统以每秒20k采样点的速率对信号进行采样，得到数字信号为x[n]=cos(nп/6)+cos(nп3/7)+cos(nп2/3)，三个子信号的周期分别为12、14、3，整个信号的周期为84。
根据公式，，计算出三个子信号分别为1667Hz、4286Hz和6667Hz。
频谱图上k=7、18、28三条谱线对应这三个子信号，可由式算出。
