第4章傅立叶变换例题精编版

傅里叶变换公式精编版傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，它被广泛应用于信号处理、通信系统、图像处理以及其他领域。

傅里叶变换可以将一个复杂的周期或非周期信号分解成多个简单的正弦和余弦函数的叠加。

本文将对傅里叶变换的公式进行精编，并介绍其基本原理和应用。

首先，傅里叶变换的基本公式可以表示为：F(w) = ∫[f(t)e^(-jwt)]dt其中，F(w)是信号f(t)的频域表示，w是频率，t是时间。

傅里叶变换将信号f(t)转换为一个复数域的函数F(w)，表示各个频率成分的幅度和相位信息。

根据基本公式可以推导出傅里叶变换的逆变换公式：f(t) = 1/(2π)∫[F(w)e^(jwt)]dw逆变换公式将频域表示F(w)转换为时域信号f(t)，表示各个频率成分在不同时间上的叠加情况。

傅里叶变换和逆变换是互逆的过程，可以相互转换信号的时域和频域表示。

在应用中，傅里叶变换经常使用快速傅里叶变换（FFT）算法进行计算，以提高计算效率。

快速傅里叶变换是一种将傅里叶变换的计算复杂度从O(n^2)优化到O(nlogn)的算法。

它通过利用信号的特性和对称性，将信号分解为不同频率分量的计算子问题，从而加速傅里叶变换的计算过程。

傅里叶变换有很多重要应用，其中之一是信号滤波。

通过傅里叶变换，可以将信号转换到频域进行滤波，然后再通过逆变换将滤波后的信号转换回时域。

这种方法可以有效地去除信号中的噪声或不需要的频率成分，提高信号的质量和可靠性。

另外，傅里叶变换还可以应用于信号分析和频谱分析。

通过对信号进行傅里叶变换，可以得到信号的频域表示，进而分析信号的频谱特性、频率成分以及各个频率分量之间的相互关系。

这对于理解信号的时频特性以及判断信号的特征非常有帮助。

此外，傅里叶变换还可以应用于图像处理和压缩。

在图像处理中，傅里叶变换可以将图像从空域转换为频域，实现像素的分析和处理。

在压缩领域，傅里叶变换可以通过分析和减小图像中高频部分的信息来实现图像的压缩，减小存储和传输的开销。

第四章 离散傅里叶变换4.1 已知信号4()()x n R n = 求66()((2))()y n x n R n =+解：6((2))x n +是对()x n 以6为周期作周期延拓，再左移2点，最后取主值区间的序列得到：()()(1)(4)(5)y n n n n n δδδδ=+-+-+-x=0:3;y=[1,1,1,1];stem(x,y);axis([0 10 -0.5 1.5]);title('R4(n)');4.2 已知信号3()(2)x n R n =-，求66()((2))()y n x n R n =+(重新画出()x n 和()y n ,保留画图的MATLAB 程序,周期延拓的序列6()((2))y n x n =+也画出来)解：663()((2))()()(1)(2)()y n x nRn n n n R n δδδ=+=+-+-=4.3 计算序列N 点的DFT ，主值区间01n N ≤≤- (1) ()()x n n δ=解:1()(),01()N kn Nn N X k n Wk N R k δ-==≤≤-=∑(2) 0()()x n nn δ=- ，001n N <<-解: 1()()N knN n X k n nW δ-==-∑ 01k N ≤≤-()kn N N W R k =⋅(3) ()()m x n R n = ,01m N <<-解: 1()()()N knmN N n X k Rn W R k -==⋅∑ （4） ()()m x n nR n = ， 01m N <<-解 1()()()N knmN N n X k n Rn W R k -==⋅⋅⋅∑(5) x(n)=1解 112/0()()()N N kn j kn NNN N n n X k WR k eR k π---===⋅=⋅∑∑221()1j k N k jNe R k eππ---=⋅-（6）0()()j nm x n eR n ω=⋅解 012/0()()()N j nj kn Nm N n X k eR n e R k ωπ--==⋅⋅⋅∑4.4 1325()(),()()x n R n x n R n ==，计算12()()x n x n *解 1235()()()()()y n x n x n R n R n =*=* 7530()()m Rm R n m ==⋅-∑()2(1)3(2)3(3)3(4)2(5)n n n n n n n δδδδδδδ=+-+-+-+-+-+-y(0)=1 , y(1)=2, y(2)=3, y(3)=3, y(4)=3, y(5)=2, y(6)=14.5 )(2)(321n R nn x =，)()1()(52n R n n x +=，计算)()(21n x n x *解4.6 )()(31n R n x =，)()(52n R n x =，计算)()(21n x n x ⊗,取圆周卷积长度为L=7 解 因为13N =,25N =,所以1217N N +-=,该题满足圆周卷积长度L ≥7,所以圆周卷积计算结果和线性卷积计算结果相等()()2(1)3(2)3(3)3(4)2(5)c y n n n n n n nn δδδδδδδ=+-+-+-+-+-+-4.7 )()(51n R n x =，)()(52n nR n x =，计算)()(21n x n x ⊗，取圆周卷积长度为L=7 解n 0 1 2 3 465550.(()).()m m Rn m R m =-∑11111105()m R m555(())()R n m R m -1 1 1 1 1 1 102 1 1 1 1 1 103 1 1 1 1 1 104 1 1 1 1 1 105 1 1 1 1 1 106 11111104.8 )(2)(421n R nn x =，)()(42n nR n x =，计算)()(21n x n x ⊗,取圆周卷积的长度L=7解 214119()()(){0,,2,}222n x n R n x n ==即242()()(){0,1,2,3}x n nR n x n ==即两个序列的长度充零后分别为1219(){0,,2,,0,0,0}(){0,1,2,3,0,0,0}22x n x n ==12()()()y n x n x n =⊗x=0:6;y1=[0,1/2,2,9/2,0,0,0]; axis([0 10 -0.5 1.5]); y2=[0,1,2,3,0,0,0]; y=conv(y1,y2) stem(y);y =0 0 0.5000 3.0000 10.0000 15.0000 13.5000127()(2)3(3)10(4)15(5)(6)22y n n n n n n δδδδδ=-+-+-+-+-4.9 )()(5k R k X =，计算 )]([)(k X IDFT n x = 解 455501()[()]()5nkK x n ID FT R k R k W -===∑ 04n ≤≤25415j n kk eπ==∑224552511..51jn jnj n e e e πππ-=-2552511.51j nj n e e ππ-=- 22511.51j nj n ee ππ-=-4.10对序列进行频谱分析，要求频谱分辨率100F Hz ≤，信号最高频率3000c f Hz =。

傅里叶变换练习题及答案傅里叶变换是数学中的一种重要工具，被广泛应用于信号处理、图像处理、物理学等领域。

它可以将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的和，从而使得复杂的信号可以被简化和分析。

在学习傅里叶变换的过程中，练习题是非常重要的一部分，通过解答练习题可以加深对傅里叶变换的理解和应用。

下面将给出一些傅里叶变换的练习题及答案，供读者参考。

1. 练习题：计算函数f(t) = 2cos(3πt) + 3sin(4πt) 的傅里叶变换。

解答：根据傅里叶变换的定义，函数的傅里叶变换可以通过积分来计算。

对于给定的函数 f(t)，其傅里叶变换F(ω) 定义为：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt)] dt其中，j 是虚数单位，ω 是频率。

将给定的函数 f(t) 代入上式，得到：F(ω) = ∫[(2cos(3πt) + 3sin(4πt)) * e^(-jωt)] dt根据欧拉公式，可以将 cos 和 sin 函数表示为复指数形式：F(ω) = ∫[(2 * e^(j3πt) + 3 * e^(j4πt)) * e^(-jωt)] dt根据指数函数的性质，可以将上式中的指数相乘并合并：F(ω) = ∫[(2 * e^((j3π-ω)t) + 3 * e^((j4π-ω)t))] dt对于指数函数的积分，可以直接求解：F(ω) = [(2/(j3π-ω)) * e^((j3π-ω)t) + (3/(j4π-ω)) * e^((j4π-ω)t)] + C其中，C 是积分常数。

综上所述，函数f(t) = 2cos(3πt) + 3sin(4πt) 的傅里叶变换为：F(ω) = [(2/(j3π-ω)) * e^((j3π-ω)t) + (3/(j4π-ω)) * e^((j4π-ω)t)] + C2. 练习题：计算函数 f(t) = e^(-2πt) 的傅里叶变换。

解答：同样地，根据傅里叶变换的定义，可以将函数 f(t) 的傅里叶变换表示为积分形式：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt)] dt将给定的函数 f(t) 代入上式，得到：F(ω) = ∫[e^(-2πt) * e^(-jωt)] dt根据指数函数的性质，可以将指数相加并合并：F(ω) = ∫[e^(-(2π+jω)t)] dt对于指数函数的积分，可以直接求解：F(ω) = [-(1/(2π+jω)) * e^(-(2π+jω)t)] + C其中，C 是积分常数。

第四章 快速傅立叶变换一、 计算DFT 效率及其改善途径 填空题：1．如果一台通用机算计的速度为：平均每次复乘需100s μ，每次复加需20s μ，今用来计算N=1024点的DFT )]({n x 。

问直接运算需（ ）时间，用FFT 运算需要（ ）时间。

解：（1）直接运算：需复数乘法2N 次，复数加法）（1-N N 次。

直接运算所用计算时间1T 为s s N N N T 80864.12512580864020110021==⨯-+⨯=μ）（（2）基2FFT 运算：需复数乘法N N2log 2次，复数加法N N 2log 次。

用FFT 计算1024点DTF 所需计算时间2T 为s s N N N NT 7168.071680020log 100log 2222==⨯+⨯=μ 2．N 点FFT 的运算量大约是（ ）。

解：N N2log 2次复乘和N N 2log 次复加 3．快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换 ___________和利用旋转因子k Nj e π2-的________ 来减少计算量，其特点是 _______,_________和__________。

解：快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换 长度逐次变短 和利用旋转因子k Nje π2-的 周期性、对称性来减少计算量，其特点是 蝶形计算、 原位计算 和 码位倒置。

简答题：4．FFT 主要利用了DFT 定义中的正交完备基函数)1,,1,0(-=N n W nN 的周期性和对称性，通过将大点数的DFT 运算转换为多个小数点的DFT 运算，实现计算量的降低。

请写出N W 的周期性和对称性表达式。

答：① 周期性：nN k Nnk N k N n N W W W )()(++== ② 对称性：nNN n N W W -=+2 5．基2FFT 快速计算的原理是什么？它所需的复乘、复加次数各是多少？解：原理：利用kn N W 的特性，将N 点序列分解为较短的序列，计算短序列的DFT ，最后再组合起来。