第7章 傅里叶变换与滤波器形状 7.1离散时间傅里叶变换基础离散时间傅里叶变换（DTFT ）是数字信号分析的一个重要工具。
DTFT 把信号或滤波器从时域变换到频域，主要是为了研究信号或滤波器的频率特性。
该变换主要用于分析信号和滤波器的频谱性质。
对于信号，DTFT 提供的信息称为信号的频谱。
对于滤波系统，DTFT 得到的信息称为滤波器的频率响应（frequency response ）。
它由两部分组成：幅度响应（magnitude response ）和相位响应（phase response ）。
幅度响应给出了滤波器的形状，通过它我们可以深入了解滤波器的工作特性。
信号x[n]的离散时间傅里叶变换定义为：()[]jn n X x n e∞-Ω=-∞Ω=∑，这里Ω为数字频率，单位弧度。
记为(){[]}X x n Ω=F利用欧拉公式，DTFT 变换为()[][](cos()sin())jn n n X x n ex n n j n ∞∞-Ω=-∞=-∞Ω==Ω-Ω∑∑变换()X Ω在每个不同的数字频率上可有不同的值，当信号x[n]与正弦或余弦“共振”时，最大。
也就是说，当x[n]以接近频率Ω变化时，()X Ω较大。
离散时间傅里叶变换反应了信号的频率。
例7.1 求如图信号的离散时间傅里叶变换注意，一般情况，DTFT 是复值。
例7.2 求信号x[n]=4(u[n]-u[n-3])的DTFT 。
离散时间傅里叶变换有两个重要的特性，时延特性和周期性。
00[]()[]()Fjn Fx n X x n n eX -Ω−−→Ω-−−→Ω(2)()X X πΩ+=ΩDTFT 是周期性的，周期为2π。
即离散时间傅里叶变换对所有的数字频率Ω，每2π重复一次，不断重复。
7.2.1 频率响应和差分方程 对差分方程逐项求DTFT∑∑==-=-Mk kN k kk n x b k n y a 0][][][]2[]1[][][]2[]1[][210210M n x b n x b n x b n x b N n y a n y a n y a n y a M N -++-+-+=-++-+-+0101()()()()()()j jN N j jM M a Y a e Y a e Y b X b eX b eX -Ω-Ω-Ω-ΩΩ+Ω++Ω=Ω+Ω++Ω0101()()()()j jN j jM N M a a e a e Y b b e b e X -Ω-Ω-Ω-Ω+++Ω=+++Ω010010()()()Mjk j jM k M k Nj jN jk N k k b eY b b e b eH X a a e a ea e-Ω-Ω-Ω=-Ω-Ω-Ω=Ω+++Ω===Ω+++∑∑例7.3 求差分方程频率响应y[n]=-0.85y[n-1]+0.5x[n].例7.4 求差分方程频率响应y[n]+0.1y[n-1]+0.85y[n-2]=x[n]-0.3x[n-1]7.2.2 频率响应和传输函数10101010()()()MkMkM k NNkN k k b zb b z b zY z H z X z a a z a za z---=---=+++===+++∑∑010010()()()Mjk j jM k M k Nj jN jk N k k b eY b b e b eH X a a e a e a e-Ω-Ω-Ω=-Ω-Ω-Ω=Ω+++Ω===Ω+++∑∑例 7.5 求滤波器的频率响应，它的传输函数21210.2()10.50.9z H z z z ----=++2210.2()10.50.9j j j e H e e-Ω-Ω-Ω-Ω=++频率响应是脉冲响应的DTFT 。
